chuyên đề phương trình lượng giác

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Giá trị lượng giác của các cung có dạng: ; ; ; ; ( ) 2 3 4 6 k k k k k k π π π π π ∈¢ luôn tính được bằng máy tính fx-570ES 1. Công thức lượng giác cơ bản 2 2 sin cos 1x x+ = sin tan cos x x x = cos cot sin x x x = 2 2 1 1 tan cos x x + = 2 2 1 1 cot sin x x + = tan .cot 1x x = 2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt ☻ Hai cung đối nhau : x và x− ☻ Hai cung bù nhau : x và ( ) x π − ( ) cos cosx x− = ( ) sin sinx x− = − ( ) sin sinx x π − = ( ) cos cosx x π − = − ( ) tan tanx x− = − ( ) cot cotx x− = − ( ) tan tanx x π − = − ( ) cot cotx x π − = − ☻ Cung hơn kém π là : x và ( ) x π + ☻ Hai cung phụ nhau là : x và 2 x π   −  ÷   ( ) sin sinx x π + = − ( ) cos cosx x π + = − sin cos 2 x x π   − =  ÷   cos sin 2 x x π   − =  ÷   ( ) tan tanx x π + = ( ) cot cotx x π + = tan cot 2 x x π   − =  ÷   cot tan 2 x x π   − =  ÷   3. Công thức CỘNG ( ) sin .cos cos .sin sin α β α β α β + = + ( ) cos .cos sin .sin cos α β α β α β + = − ( ) sin .cos cos .sin sin α β α β α β − = − ( ) cos .cos sin .sin cos α β α β α β − = + ( ) tan tan tan 1 tan .tan α β α β α β + + = − ( ) tan tan tan 1 tan .tan α β α β α β − − = + 4. Công thức NHÂN ĐÔI sin 2 2.sin .cosa a a= 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin a a a a a = − = − = − Công thức HẠ BẬC ( ) 2 1 cos2 cos 2 1 1 cos2 2 a a a + = = + ( ) 2 1 cos2 sin 2 1 1 cos2 2 a a a − = = − 2 2tan tan 2 1 tan a a a = − Daukhacha.toan@gmail.com 1 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 5. Công thức biến TỔNG thành TÍCH cos cos 2cos .cos 2 2 u v u v u v + = + − cos cos 2sin .sin 2 2 u v u v u v − = − + − sin sin 2sin .cos 2 2 u v u v u v + = + − sin sin 2cos .sin 2 2 u v u v u v − − = + 6. Công thức biến TÍCH thành TỔNG ( ) ( ) 1 cos .cos cos cos 2 a b a b a b= − + +    ( ) ( ) 1 sin .sin cos cos 2 a b a b a b= − − +    ( ) ( ) 1 sin .cos sin sin 2 a b a b a b= − + +    cos .sin sin .cos ? α β β α = = PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình : sin x a= (1) CT1: 2 sin sin , 2 x k x k x k α π α π α π = +  = ⇔ ∈  = − +  ¢ CT2: 0 0 0 0 0 0 .360 sin sin , 180 .360 x k x k x k β β β  = + = ⇔ ∈  = − +  ¢ CT3: arcsin 2 sin , arcsin 2 x a k x a k x a k π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  ¢ Chú ý : (đây là các phương trình rất đặc biệt) • sin 1 2 , 2 x x k k π π = ⇔ = + ∈¢ • sin 1 2 , 2 x x k k π π = − ⇔ = − + ∈¢ • sin 0 , x x k k π = ⇔ = ∈¢ Giải phương trình : sin x a= (1) • Nếu 1a > hoặc 1a < − thì phương trình (1) vô nghiệm • Nếu 1 2 3 ; ; 2 2 2 a = ± ± ± thì chúng ta dùng CT1 hoặc CT2 • Nếu 1; 0; 1a = − thì chúng ta dùng phần chú ý • Nếu 1 1a − < < và 1 2 3 ; ; 2 2 2 a ≠ ± ± ± thì chúng ta dùng CT3 • Lưu ý: Chỉ sử dụng CT2 khi phương trình có mặt đơn vị độ. Daukhacha.toan@gmail.com 2 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2. Phương trình : cos x a= (2) CT4: 2 cos cos , 2 x k x k x k α π α α π = +  = ⇔ ∈  = − +  ¢ CT5: 0 0 0 0 0 360 cos cos , 360 x k x k x k β β β  = + = ⇔ ∈  = − +  ¢ CT6: arccos 2 cos , arccos 2 x a k x a k x a k π π = +  = ⇔ ∈  = − +  ¢ Chú ý : (đây là các phương trình rất đặc biệt) • cos 1 2 , x x k k π = ⇔ = ∈¢ • cos 1 2 , x x k k π π = − ⇔ = + ∈¢ • cos 0 , 2 x x k k π π = ⇔ = + ∈¢ Giải phương trình : cos x a= (2) • Nếu 1a > hoặc 1a < − thì phương trình (2) vô nghiệm • Nếu 1 2 3 ; ; 2 2 2 a = ± ± ± thì chúng ta dùng CT4 hoặc CT5 • Nếu 1; 0; 1a = − thì chúng ta dùng phần chú ý • Nếu 1 1a − < < và 1 2 3 ; ; 2 2 2 a ≠ ± ± ± thì chúng ta thường dùng CT6 • Lưu ý: Chỉ sử dụng CT5 khi phương trình có mặt đơn vị độ. 3. Phương trình: tan x a = (3) Điều kiện xác định của phương trình (3) là : cos 0x ≠ ⇔ , 2 x k k π π ≠ + ∈¢ Phương trình (3) đã cho luôn có nghiệm. CT7 tan tan , x x k k α α π = ⇔ = + ∈¢ • Nếu 3 3 ; 1 ; 0 ; 3 a = ± ± ± thì chúng ta dùng CT7 hoặc CT8 • Nếu 3 3 ; 1 ; 0 ; 3 a ≠ ± ± ± thì chúng ta thường dùng CT9 CT8 0 0 0 tan tan .180 , x x k k β β = ⇔ = + ∈¢ CT9 tan arctan , x a x a k k π = ⇔ = + ∈¢ 4. Phương trình: cot x a= (4) Điều kiện xác định của phương trình (4) là: sin 0 , x x k k π ≠ ⇔ ≠ ∈¢ . Phương trình (4) luôn có nghiệm CT10 cot cot , x x k k α α π = ⇔ = + ∈¢ • Nếu 3 3 ; 1 ; 0 ; 3 a = ± ± ± thì chúng ta dùng CT10 hoặc CT11 • Nếu 3 3 ; 1 ; 0 ; 3 a ≠ ± ± ± thì chúng ta thường dùng CT12 CT11 0 0 0 cot cot .180 , x x k k β β = ⇔ = + ∈¢ CT12 cot arccot , x a x a k k π = ⇔ = + ∈¢ Daukhacha.toan@gmail.com 3 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BT1. Giải các phương trình lượng giác sau: a) ( ) ( ) ??? sin cos sin cos 1 0 sin 1 cos sin 1 0 x x x x x x x − − + = ⇔ + − + = ⇔ 1) 3 3 2 cos sin 2sin 1x x x+ + = ??? ⇔ 3 3 2 2 2 cos sin 2sin sin cosx x x x x+ + = + ⇔ 3 3 2 2 cos sin sin cos 0x x x x+ + − = ??? ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) sin cos 1 sin cos sin cos sin cos 0x x x x x x x x+ − + + − = ⇔ … 2) ( ) ( ) cos 2 1 2cos sin cos 0x x x x+ + − = ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 cos sin 1 2cos cos sin 0x x x x x− − + − = ⇔ … 3) 3 2 4sin 4sin 3sin 2 6cos 0x x x x+ + + = ⇔ 3 2 4sin 4sin 6sin cos 6cos 0x x x x x+ + + = ⇔ ( ) ( ) 2 2sin sin 1 3cos sin 1 0x x x x+ + + = ⇔ … 4) ( ) ( ) 2 2 2 2sin 1 tan 2 3 cos 1 0x x x− + − = (nhớ điều kiện của phương trình là: cos 2 0x ≠ ) ??? ⇔ ( ) 2 2 cos2 tan 2 3 cos 1 0x x x− + − = ??? ⇔ 2 2 sin 2 3sin 0 cos2 x x x − − = ⇔ 2 2 sin 2 3cos 2 .sin 0x x x+ = ⇔ 2 2 2 4sin .cos 3cos2 .sin 0x x x x+ = ⇔ … 5) 2sin 2 4sin 1 0 6 x x π   − + + =  ÷   ⇔ 2 sin 2 cos cos 2 sin 4sin 1 0 6 6 x x x π π   − + + =  ÷   ⇔ 3 sin 2 cos 2 4sin 1 0x x x− + + = ⇔ 3 sin 2 4sin 1 cos2 0x x x+ + − = ⇔ 2 2 3sin cos 4sin 2sin 0x x x x+ + = ⇔ … 6) 3 3 2 3 2 cos3 cos sin3 sin 8 x x x x + − = (****) Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 2 2 cos . 2cos3 .cos sin . 2sin 3 .sin 2 2 8 1 1 2 3 2 cos cos4 cos 2 sin cos 2 cos4 2 2 8 2 3 2 2 3 2 cos4 cos sin cos2 cos sin cos 4 cos 2 4 4 2 4cos 4 2 1 cos4 2 3 2 cos 4 2 16 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k x x x x k Z π π − ⇔ − = − ⇔ + − − = − − ⇔ + + − = ⇔ + = ⇔ + + = − ⇔ = ⇔ = ± + ∈ 7) 3 2 2 cos cos sin 0 4 x x x π   − − − =  ÷   ( ) 3 2 2 2= Daukhacha.toan@gmail.com 4 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ??? ⇔ 3 2 cos cos sin 0 4 x x x π     − − − =  ÷       ??? ⇔ ( ) ( ) 3 sin cos sin cos 0x x x x+ − + = ⇔ … 8) ( ) 2 2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0x x x x x+ − + = ??? ⇔ 2 2 2 3 2 sin cos sin cos2 cos 2sin 0 cos x x x x x x x − + + = ??? ⇔ ( ) 2 2 2 sin cos2 2sin sin cos 0x x x x x+ + − = ??? ⇔ 2 2 sin sin cos 0x x x+ − = ??? ⇔ 2 2sin sin 1 0x x+ − = ⇔ … 9) 2 2 cos 2 1 tan 3tan 2 cos x x x x π −   + − =  ÷   ??? ⇔ 2 2 2 2sin cot 3tan cos x x x x − − − = ⇔ 2 2 1 3tan 2 tan tan x x x − − = − ⇔ … 10) 3 sin tan 2 2 1 cos x x x π   − + =  ÷ +   (nhớ tìm điều kiện của phương trình) ??? ⇔ sin cot 2 1 cos x x x + = + ⇔ cos sin 2 sin 1 cos x x x x + = + ⇔ … 11) sin 2 cos2 sin cos 1 0x x x x+ + − − = ⇔ ( ) ( ) sin 2 1 cos2 sin cos 0x x x x− + + − = ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 cos sin cos sin cos sin 0x x x x x x− − + − − − = ⇔ … 12) sin( ) ? cos( ) ? 5 3 sin cos 2 cos 2 4 2 4 2 a b a b x x x π π − = − =     − − − =  ÷  ÷     1 44 2 4 43 1 4 2 4 3 ??? ⇔ 2 5 5 2 3 sin cos cos sin 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x     − − + =  ÷  ÷     ??? ⇔ sin sin ? cos cos ? 5 5 3 sin sin cos cos 2cos 2 2 2 2 2 u v u v x x x x x − = + =     − − + =  ÷  ÷     1 4 4 2 4 43 1 4 4 2 4 4 3 ⇔ … 13) ( ) 2 2cos 2 3 sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x+ + = + ( 2 2 1 sin cosx x= + ) ??? ⇔ ( ) 2 2 3cos 2 3cos sin sin 3 sin 3 cosx x x x x x+ + = + ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ? 3 cos 2. 3 cos .sin sin 3 sin 3 cos a ab b x x x x x x + + = + + = + 1 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 3 ⇔ … 14) 1 1 sin 2 sin cot 2 2sin sin 2 x x x x x + − − = (điều kiện của phương trình là sin 2 0x ≠ ) ??? ⇔ 2 sin .sin ? sin 2 sin sin 2 cos 1 cos 2 a b x x x x x = + − − = 1 42 43 ⇔ ( ) 2 1 sin 2 cos cos3 cos 1 cos2 2 x x x x x+ − − − = ??? ⇔ … Daukhacha.toan@gmail.com 5 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 15) sin 3 3 cos3 2sin 2x x x− = ??? ⇔ sin3 cos cos3 sin ? 3 3 1 3 sin 3 cos3 sin 2 2 2 x x x x x π π − = − = 1 4 44 2 4 4 43 ⇔ … 16) 2 2cos 2sin 1 cos2 sin 2 1 2cos x x x x x   + + = +  ÷  ÷   142 43 ??? ⇔ 2 4sin cos 2sin cos 1 2cosx x x x x+ = + ??? ⇔ ( ) 2sin cos 2cos 1 1 2cosx x x x+ = + ⇔ … 17) 3 3 2 2 sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = − ??? ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 2 sin sin cos 3 cos sin cos 0x x x x x x− + − = ⇔ … 18) sin( ) ? sin( ) ? 1 1 7 4sin 3 sin 4 sin 2 a b a b x x x π π − = − =   + = −  ÷     −  ÷   1 442 4 43 1 4 2 4 3 (nhớ tìm điều kiện của phương trình) ??? ⇔ ( ) 1 1 2 2 sin cos sin cos x x x x + = + ⇔ … 19) 2 2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − = ⇔ 2 2sin 2 1 sin 7 sinx x x− + = ??? ⇔ cos4 sin 7 sin 0x x x − + − = ⇔ cos4 2cos 4 sin 3 0x x x − + = ⇔ … 20) 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x   + + =  ÷   ??? ⇔ 1 sin 3 cos 2x x+ + = ⇔ sin 3 cos 1x x+ = ⇔ … 21) ( ) ( ) 2 2 1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = + ??? ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 cos sin sin cos sin cos sin cosx x x x x x x x+ + + = + ⇔ … 22) 2 cos 2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 − = + − + x x x x x (nhớ tìm điều kiện của phương trình) (A2003) ⇔ 2 2 2 sin cos sin 1 sin sin cos cos 1 tan x x x x x x x x − − = + − + ??? ⇔ ( ) 2 2 2 cos cos sin sin 1 sin sin cos cos cos sin x x x x x x x x x x − − = + − + ⇔ ( ) ( ) sin cos cos cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x x − = − − − ⇔ … 23) 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x − + = (nhớ tìm điều kiện của phương trình) (B2003) ⇔ cos sin 2 4sin 2 sin cos 2sin cos x x x x x x x − + = Daukhacha.toan@gmail.com 6 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ 2 2 cos sin 4sin 2 sin cos 1 sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x x − + = ??? ⇔ 2 cos2 2sin 2 1x x+ = ⇔ ( ) 2 cos 2 2 1 cos 2 1x x+ − = ⇔ … 24) 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2 x x x π   − − =  ÷   (nhớ tìm điều kiện của phương trình) (D2003) ⇔ 2 2 2 2 2sin ? 2sin tan 2cos 0 2 4 2 a x x x π =   − − =  ÷   1 44 2 4 43 ??? ⇔ ( ) 2 cos( ) ? 1 cos tan cos 1 0 2 a b x x x π − =       − − − + =    ÷         1 4 2 4 3 ⇔ … 25) 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − ⇔ ??? Dùng CT hạ bậc, nhóm và biến tổng → tích (B-2002) 26) 2 2 cos 3 cos2 cos 0x x x− = ??? ⇔ 2 2 2 2cos ? 2cos 3 .cos 2 2cos 0 a x x x = − = 14 2 43 ⇔ ( ) ( ) cos6 1 cos 2 cos2 1 0x x x+ − + = ⇔ … 27) ( ) 2 5sin 2 3 1 sin tanx x x− = − (nhớ tìm điều kiện của phương trình) (B2004) ⇔ ( ) 2 2 sin 5sin 2 3 1 sin cos x x x x − = − ⇔ ( ) 2 2 sin 5sin 2 3 1 sin 1 sin x x x x − = − − ⇔ 2 3sin 5sin 2 1 sin x x x − = + ⇔ ( ) ( ) 2 5sin 2 1 sin 3sinx x x− + = ⇔ … 28) ( ) ( ) 2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = − (D2004) ⇔ ( ) ( ) 2cos 1 2sin cos 2sin cos sinx x x x x x− + = − ⇔ ( ) ( ) ( ) 2cos 1 2sin cos sin 2cos 1x x x x x− + = − ⇔ … 29) 4 4 3 cos sin cos sin 3 0 4 4 2 x x x x π π     + + − − − =  ÷  ÷     ??? ⇔ ( ) 4 4 2cos .sin ??? 2 cos sin 2cos sin 3 3 0 4 4 a b x x x x π π =     + + − − − =  ÷  ÷     1 4 4 4 4 2 4 4 4 43 (sử dụng công thức biến tích thành tổng) ??? ⇔ ( ) ( ) 4 4 sin ? 2 cos sin sin 4 sin 2 3 0 2 a b x x x x π − =   + + − + − =  ÷   1 442 4 43 ??? ⇔ ( ) 4 4 2 cos sin cos 4 sin 2 3 0x x x x+ − + − = ⇔ ( ) 2 2 2 2 2 2 cos sin 2sin cos cos 4 sin 2 3 0x x x x x x   + − − + − =     ??? ⇔ 2 2 2 4sin cos cos 4 sin 2 3 0x x x x− − + − = ⇔ 2 2 sin 2 cos4 sin 2 3 0x x x− − + − = Daukhacha.toan@gmail.com 7 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ??? ⇔ ( ) 2 2 2 sin 2 1 2sin 2 sin 2 3 0x x x− − − + − = ⇔ 2 sin 2 sin 2 2 0x x+ − = ⇔ … 30’) ( ) 6 6 2 sin cos sin cos 0x x x x+ − = ??? ⇔ ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 3sin .cos . sin cos sin .cos 0x x x x x x x x   + − + − =     ??? ⇔ ( ) 2 2 2 1 3sin .cos sin .cos 0x x x x− − = ⇔ ( ) 2 2 4 1 3sin .cos 2sin .cos 0x x x x− − = ??? ⇔ 2 3sin 2 sin 2 4 0x x− − + = ⇔ … 30) ( ) 6 6 2 cos sin sin cos 0 2 2sin x x x x x + − = − (điều kiện 2 2sin 0 ???x− ≠ ⇔ ) ⇔ ( ) 6 6 2 sin cos sin cos 0x x x x+ − = ⇔ … 31) cot sin 1 tan tan 4 2   + + =  ÷   x x x x (điều kiện phương trình sin 2 0x ≠ )Chú ý: ??? sin 0 cos 0 sin 2 0 cos 0 2 x x x x   ≠  ≠ ⇔ ≠    ≠  32) cos3 cos2 cos 1 0x x x + − − = ??? ⇔ ( ) ( ) cos3 cos cos 2 1 0x x x− + − = ⇔ … (biến tổng thành tích) 33) 2sin cot 2sin 2 1x x x+ = + (điều kiện sin 0x ≠ ) ⇔ cos 2sin 4sin cos 1 sin x x x x x + = + ⇔ … (quy đồng) 34) ( ) 4 4 sin cos 1 tan cot sin 2 2 x x x x x + = + (điều kiện: sin 2 0x ≠ ) Chú ý: sin 2 0 cos 0 sin 2 0 sin 0 x x x x ≠   ≠ ⇔ ≠   ≠  ??? ⇔ 2 2 1 2sin .cos 1 sin cos sin 2 2 cos sin x x x x x x x −   = +  ÷   ⇔ … 36) 2 2 sin sin cos sin 1 2cos 2 2 4 2 x x x x x π   − + = −  ÷   ⇔ 2 2 2 2cos 1 ? sin sin cos sin 2cos 1 2 2 4 2 a x x x x x π − =   − = − −  ÷   1 4 44 2 4 4 43 ??? ⇔ 2 sin sin cos sin cos 2 2 2 x x x x x π   − = −  ÷   ??? ⇔ 2 sin .sin cos .sin sin 2 2 x x x x x− = ⇔ … 38) ( ) 2 2cos 1 ? 2 2 sin cos cos 3 cos2 a x x x x − = + = + 123 ??? ⇔ ( ) 2 2 2 sin cos cos 2cos 2x x x x+ = + ⇔ … (chia cả hai vế cho 2 cos x , rồi đưa về pt bậc hai đối với tan x , nhớ vận dụng 2 2 1 1 tan cos x x = + ) 39) ( ) ( ) 2 2sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3x x x x+ + − + = Daukhacha.toan@gmail.com 8 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ ( ) ( ) 2 2sin 1 3cos 4 2sin 4 4(1 sin ) 3x x x x+ + − + − = ⇔ ( ) ( ) 2 2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 4sin 0x x x x+ + − + − = ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 2sin 1 2sin 0x x x x x+ + − + − + = ⇔ … 41) ( ) 3 sin tan 2cos 2 tan sin x x x x x + − = − (nhớ tìm điều kiện của phương trình) ??? ⇔ ( ) 3 sin .cos sin 2cos 2 sin sin .cos x x x x x x x + − = − ⇔ ( ) 3 cos 1 2cos 2 1 cos x x x + − = − ⇔ ( ) ( ) 3 cos 1 2 cos 1 0 1 cos x x x + − + = − ⇔ 42) 2sin 2 cos 2 7sin 2cos 4x x x x− = + − ??? ⇔ 2 4sin cos 2sin 1 7sin 2cos 4x x x x x+ − = + − ??? ⇔ ( ) ( ) ( ) 2cos 2sin 1 sin 2sin 1 3 2sin 1x x x x x− + − = − ⇔ … 44) 2 sin 3 3 cos3 2 4sinx x x− = − ⇔ 2 cos2 ? 1 3 sin 3 cos3 1 2sin 2 2 a x x x = − = − 14 2 43 ⇔ … 46) 3 4cos 3 2 sin 8cosx x x+ = ⇔ … (pp chia cả hai vế cho 3 cos x ) 47) 3 3 3 3 ? cos sin sin cos a b x x x x + = + = + 1 44 2 4 43 ⇔ … (pp phân tích) 48) ( ) 3 3 2 sin cos 3 cos 2 cos sin x x x x x − = − (nhớ ĐK của phương trình) ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 sin cos sin sin cos cos 3 cos 2 cos sin x x x x x x x x x − + + = − ??? ⇔ 2 sin 2 3 cos 2x x− − = ⇔ sin 2 3 cos2 2x x+ = − ⇔ … 49) 3 3 sin cos cos2x x x+ = ??? ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 2 sin cos sin sin cos cos cos sinx x x x x x x x+ − + = − ⇔ … 50) 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4 π   − = + −  ÷   x x x ??? ⇔ 2 2 3 4sin 2 3 cos2 2cos 1 2 4 x x x π   − − = − −  ÷   ⇔ … ⇔ 3 2cos 3 cos2 cos 2 2 x x x π   − = −  ÷   ⇔ 2cos 3 cos2 sin 2x x x− = ⇔ … 51) 3 3 sin cos cos2 cos sin x x x x x + = + (nhớ ĐK của phương trình) ⇔ ( ) ( ) 2 2 sin cos sin sin cos cos cos2 cos sin x x x x x x x x x + − + = + ⇔ Daukhacha.toan@gmail.com 9 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 69) sin 2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x + − − = + (D-2011) 70) sin 2 .cos sin .cos cos 2 sin cosx x x x x x x + = + + (B-2011) 71) 2 1 sin 2 cos 2 2.sin .sin 2 1 cot x x x x x + + = + (A-2011) 52) sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x− + − − = (D2010) 53) ( ) sin 2 cos2 cos 2cos 2 sin 0x x x x x+ + − = (B2010) 54) 3 cos5 2sin3 cos 2 sin 0x x x x− − = (D-2009) 55) ( ) 3 sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x+ + = + (B-2009) 56) ( ) ( ) ( ) 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x − = + − (A-2009) 57) ( ) 2sin 1 cos2 sin 2 1 2cosx x x x+ + = + (D-2008) 58) 3 3 2 2 sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = − (B-2008) 59) 1 1 7 4sin 3 sin 4 sin 2 x x x π π   + = −  ÷     −  ÷   (A-2008) 60) 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x   + + =  ÷   (D-2007) 61) 2 2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − = (B-2007) 62) ( ) ( ) 2 2 1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = + (A-2007) 63) cos3 cos 2 cos 1 0x x x+ − − = (D-2006) 64) cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x   + + =  ÷   (B-2006) 65) ( ) 6 6 2 cos sin sin cos 0 2 2sin x x x x x + − = − (A-2006) 66) 1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x + + + + = (B-2005) 67) Tìm ( ) 0;2x π ∈ thỏa mãn phương trình : cos3 sin3 5 sin cos 2 3 1 2sin 2 x x x x x +   + = +  ÷ +   (A-2002) 68) 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − (B-2002) 1. 1 1 2 2 sin 4 sin cos x x x π   + = +  ÷   2 sin sin cos 4 2 2 sin 2 2 sin 4 sin cos 4 sin cos x x x x x x x x x π π π   +  ÷ +       ⇔ + = ⇔ + =  ÷  ÷     sin 0 4 4 1 2 sin 2 0 sin 2 0 sin cos 0 4 sin cos sin 2 1 2sin cos 1 x x k x x x x x x x x x π π π π     + = = − +  ÷          ⇔ + − = ⇔ ⇔  ÷ ÷ ≠   ≠          = =     Daukhacha.toan@gmail.com 10 [...]... MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trong các đề thi đại học những năm gần đây, đa số các bài tốn về giải phương trình lượng giác đều rơi vào một trong hai dạng :phương trình đưa về dạng tích và phương trình chứa ẩn ở mẫu Nhằm giúp các bạn ơn thi có kết quả tốt, bài viết này tơi xin giới thiệu một số kĩ năng quan trọng của dạng tốn đó I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH 1 Phương trình sử dụng các... lại dành cho bạn đọc Bài 5 Giải phương trình : cos 2 x + 3sin 2 x + 5sin x − 3cos x = 3 (5) Giải ( 5 ) ⇔ ( 6sin x cos x − 3cos x ) − ( 2sin 2 x − 5sin x + 2 ) = 0 ⇔ 3cos x(2sin x − 1) − (2sin x − 1)(sin x − 2) = 0 ⇔ (2sin x − 1)(3cos x − sin x + 2) = 0 Phương trình này tương đương với 2 phương trình cơ bản ( dành cho bạn đọc ) II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Với loại phương trình này khi giải rất dễ dẫn... dạng tốn đó I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH 1 Phương trình sử dụng các cơng thức biến đổi lượng giác : cơng thức biến tích thành tổng, tổng thành tích , cơng thức hạ bậc ,… Bài 1 Giải phương trình : sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x + sin 5 x + sin 6 x = 0 (1) Daukhacha.toan@gmail.com 28 Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Giải ( 1) ⇔ ( sin 6 x + sin x ) + ( sin 5 x + sin 2 x ) + ( sin 4 x + sin 3 x ) =... ≤ 2 4 2  t = 1 3 2 2 Phương trình trở thành : t + 2t − t − 2 = 0 ⇔ ( t + 1) ( t + 2t − 5 ) = 0 ⇔  t = −2 (loai ) 41 cos x + 1 1 10 + sin x + = cos x sin x 3 1   10 ⇔ ( sin x + cos x ) 1 + ÷=  sin x cos x  3 Daukhacha.toan@gmail.com 17 Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π t 2 −1  Đặt t = sin x + cos x = 2 cos  x − ÷ ⇒ sin x cos x = 4 2  điều kiện: t ≤ 2 Phương trình trở thành :  t =... x − cos 2 x ) 2sin x cos x ⇔ = ⇔ = 0 ⇔ sin 3 x = 0 (loai ) do đk sin 2 x ≠ 0 sin 2 x sin 3 x sin 3 x cos 2 x sin 2 x sin 3 x cos 2 x Vậy phương trình vô nghiệm 77 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 1997 Daukhacha.toan@gmail.com 21 Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin x sin 2 x + sin 3 x = 6 cos 3 x ⇔ 2sin 2 x cos x + 3sin x − 4sin 3 x = 6 cos3 x ⇔ tan 3 x − 2 tan 2 x − 3 tan x + 6 = 0 ⇔ ( tan... cos ( a − b ) − cos ( a + b ) ⊕1 + tan a tan b = ⊕1 − tan a tan b = cos a cos b cos a cos b Cần lưu ý các điều kiện xác định của từng cơng thức Daukhacha.toan@gmail.com 30 Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 6 Giải phương trình : cot x = tan x + 2 cos 4 x (6) sin 2 x Giải sin x ≠ 0 kπ  ,k ∈Z ĐK : cos x ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 sin 2 x ≠ 0   x = lπ 2 cos 4 x 2 cos 2 x 2 cos 4 x ⇔ = ⇔ cos 4... (chương trình mới khơng dùng)  2 π 2 Bài 3 Giải phương trình : 2 cos  − 2 x ÷+ 3 cos 4 x = 4 cos x − 1 (3) 4  Giải π ( 3) ⇔ 1 + cos  − 4 x  + 3 cos 4 x = 4 cos 2 x − 1 ⇔ sin 4 x + 3 cos 4 x = 2 ( 2 cos 2 x − 1)  ÷ 2  π   x = 12 + kπ 1 3 π  ⇔ sin 4 x + cos 4 x = cos 2 x ⇔ cos  4 x − ÷ = cos 2 x ⇔  ,k ∈Z 2 2 6   x = π + kπ  36 3  2 Phương trình sử dụng một số biến đổi khác Việc đưa phương. .. ∈Z 2 2 6   x = π + kπ  36 3  2 Phương trình sử dụng một số biến đổi khác Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra nhân tử chung nhanh nhất, sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó Daukhacha.toan@gmail.com 29 Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⊕ sin 2 x = ( 1 − cos x ) ( 1 + cos x ) cos 2 x = ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) ⊕ 1... 3 x + cos 4 x = 0 ⇔ 4 cos x.cos cos = 0 ⇔ cos  2 2 2  x cos = 0  2 60 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998 sin 3 x + cos3 x = 2 ( sin 5 x + cos5 x ) Daukhacha.toan@gmail.com 18 Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ ( sin 3 x + cos3 x ) ( sin 2 x + cos 2 x ) = 2 ( sin 5 x + cos 5 x ) ⇔ sin 3 x cos 2 x + sin 2 x cos3 x = sin 5 x + cos5 x ⇔ sin 3 x ( cos 2 x − sin 2 x ) = cos 3 x ( cos 2 x − sin 2... ) = 2 + 3 tan x 2  3 tan x + 2 = 0  tan x = − 3 ⇔ ⇔  cos x = 1 cos x = 1 67 Đại Học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2000 4 cos3 x + 3 2 sin 2 x = 8cos x Daukhacha.toan@gmail.com 19 ( Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ) ⇔ 4 cos3 x + 6 2 sin x cos x = 8cos x ⇔ 2 cos x 2 cos 2 x + 3 2 sin x − 4 = 0  cos x = 0  ⇔ 2 cos x 2sin 2 x − 3 2 sin x + 2 = 0 ⇔ sin x = 2 (loai)  sin x = 2   2 ( ) 69 Đại . ý: Chỉ sử dụng CT2 khi phương trình có mặt đơn vị độ. Daukhacha.toan@gmail.com 2 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2. Phương trình : cos x a= (2) CT4:. k π = ⇔ = + ∈¢ Daukhacha.toan@gmail.com 3 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BT1. Giải các phương trình lượng giác sau: a) ( ) ( ) ??? sin cos sin cos