Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích 1 PHẦN ÔN TẬP: LƢỢNG GIÁC LỚP 10 CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC THƢỜNG DÙNG  Hệ thức cơ bản 22 sin cos 1aa 22 sin 1 cosaa 22 cos 1 sinaa tan .cot 1aa 1 tan cot a a ; 1 cot tan a a sin tan cos a a a ; cos cot sin a a a 2 2 1 1 cot sin a a ; 2 2 1 1 tan cos a a  Công thức cộng sin( ) sin cos cos sina b a b a b cos( ) cos cos sin sina b a b a b tan tan tan( ) 1 tan .tan ab ab ab 2 tan cot sin2 xx x  Công thức góc nhân đôi và hệ quả sin 2 2sin cosa a a 1 sin cos sin2 2 a a a 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a 2 1 cos2 2cosaa 2 1 cos2 2sinaa  Công thức nhân ba 3 cos3 4cos 3cosa a a 3 sin3 3sin 4sina a a  Công thức hạ bậc 2 1 cos2 sin 2 a a 2 1 cos2 cos 2 a a Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích 2  Công thức biến đổi Tổng thành tích cos cos 2cos cos 22 cos cos 2sin sin 22 sin sin 2sin cos 22 sin sin 2cos sin 22 a b a b ab a b a b ab a b a b ab a b a b ab Tích thành tổng 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 1 cos .sin sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b BÀI TẬP Bài 1. Thu gọn biểu thức lượng giác: 1/ cot cos cos tan xx A xx 2/ 22 sin (1 cot ) cos (1 tan )B x x x x 3/ 1 tan 1 cos2 Cx x 4/ 1 cos cos2 sin2 sin xx D xx Bài 2. Chứng minh đẳng thức lượng giác 2 1 cos2 tan 1 cos2 a a a 2 1 cos2 cot 1 cos2 a a a Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích 3 1/ 2sin2 sin4 tan2 .cos 2.(cos3 cos ) aa aa aa 2/ sin5 sin 2sin cos4 cos2 xx x xx 3/ sin5 2sin (cos2 cos4 ) sinx x x x x 4/ sin sin 2 tan 1 cos cos2 xx x xx 5/ 2 1 cos cos2 cos3 2cos 2cos cos 1 x x x x xx 6/ 3 (tan cot ) cos cos sinx x x x x Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích 4 HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC VÀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC VẤN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC DẠNG 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: Phương pháp. tanyu TXĐ: cos 0u cotyu TXĐ: sin 0u () () Ax y Bx TXĐ: ( ) 0Bx ()y A x TXĐ: ( ) 0Ax Bài tập. Tìm tập xác định của hàm số sau a) tan 4 yx b) tan coty x x c) 3 sin3 tan x y x d) cos( 2) sin2 1 x y x DẠNG 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Phƣơng pháp: 1 sin 1u 1 cos 1u Bài tập. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) 4sin 5yx b) 7 3cosyx c) 7cos3 1yx d) 2 3sin 6 yx VẤN ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN DẠNG 1: Giải phƣơng trình sin ( 1 1)u a a Phƣơng pháp +) Nếu a là giá trị đặc biệt, đưa sinav 2 sin sin ( ) 2 u v k u v k u v k Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích 5 +) Nếu a không phải là giá trị đặc biệt arcsin 2 sin ( ) arcsin 2 u a k u a k u a k +) sin 0 ;u u k k . +) sin 1 2 ; 2 u u k k . +) sin 1 2 ; 2 u u k k . Bài tập. Giải phương trình a) sin2 sin 3 2 xx b) 3 sin 2 x c) 3 sin 2 4 x d) 1 sin( 60 ) 2 x DẠNG 2: Giải phƣơng trình cos ( 1 1)u a a Phƣơng pháp +) Nếu a là giá trị đặc biệt, đưa cosav 2 cos cos ( ). 2 u v k u v k u v k +) Nếu a không phải là giá trị đặc biệt +) cos 0 ; 2 u u k k . +) cos 1 2 ;u u k k . +) cos 1 2 ;u u k k . Bài tập. Giải phương trình a) cos 3 cos 64 x arccos 2 cos ( ) arccos 2 u a k u a k u a k Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích 6 b) cos cos2 0 2 xx c) 1 cos( 2) 3 x d) 2 1 cos 2 4 x DẠNG 3: Giải phƣơng trình tanua Phƣơng pháp: TXĐ: \, 2 D k k +) Nếu a là giá trị đặc biệt, đưa tanav tan tan ;u v u v k k +) Nếu a không phải là giá trị đặc biệt tan arctan ; ( )u a u a k k Bài tập. Giải phương trình a) tan 1x b) tan(2 45 ) 1 0x c) tan 5 1 0 6 x d) 3.tan 3 6 0 6 x DẠNG 4: Giải phƣơng trình cotua TXĐ: \,D k k +) Nếu a là giá trị đặc biệt, đưa cotav cot cot ;u v u v k k +) Nếu a không phải là giá trị đặc biệt cot arccot ; ( )u a u a k k Bài tập. Giải phƣơng trình a) 3 cot2 0x b) cot( 60 ) 1x c) 3.cot 2 3 4 x Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích 7 d) 2 3.cot 1 0 3 x DẠNG 5: Giải phƣơng trình lƣợng giác gần cơ bản Phƣơng pháp: cos cos cos cos( )u v u v sin sin sin sin( )u v u v tan tan tan tan( )u v u v cot cot cot cot( )u v u v sin cos sin sin 2 u v u v tan cot tan tan 2 u v u v cos sin cos cos 2 u v u v sin cos sin sin 2 u v u v Nhắc lại: ( ) 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 Ax A x B x Bx Bài tập. Giải phương trình a) (2 cos )(3cos3 1) 0xx b) cos2 .tan 0xx c) cos3 sin2xx d) cos3 sin 2 0xx e) sin3 sin5 0xx f) 2 cot3 tan 5 x BÀI TẬP BỔ SUNG Bài 1. Giải phương trình a) tan 3 tan2 0 4 xx b) tan 2 .tan 2 1 34 xx Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích 8 c) 22 tan 4 tan 2 4 xx d) tan 3 cot 2 0 54 xx Bài 2. Giải phương trình a) sin sin2 sin3 cos cos2 cos3x x x x x x b) 1 2sin .cos2 sin 2cos2x x x x c) cos7 sin8 cos3 sin 2x x x x d) cos (cos2 sin3 ) sin .cos3 sin2 .sinx x x x x x x VẤN ĐỀ 3: PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC DẠNG 1: Phƣơng trình bậc hai đối với hàm số sin 2 sin sin 0a u b u c Phƣơng pháp Đặt sintu ( 1 1)t . Khi đó ta có: 2 0at bt c Bài tập. Giải phương trình a) 2 3 3.sin sin 0 2 xx b) 2 sin 5sin 6 0xx c) 2 sin 2sin 3 0 22 xx DẠNG 2: Phƣơng trình bậc hai đối với hàm số cos 2 cos cos 0a u b u c Phƣơng pháp Đặt costu ( 1 1)t . Khi đó ta có: 2 0at bt c Bài tập. Giải phương trình a) 2 2cos 3cos 1 0xx b) 2 2cos 2 3cos2 2 0xx c) 2 22 7cos 2cos 1 0 33 xx DẠNG 3: Phƣơng trình bậc hai đối với hàm tan và cot 2 tan tan 0a u b u c (hoặc 2 cot cot 0a u b u c ) Phƣơng pháp Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích 9 Đặt tantu (hoặc cottu ) . Khi đó ta có: 2 0at bt c Bài tập. Giải phương trình a) 2 2tan 7tan 6 0xx b) 2 3.tan 2 4tan2 3 0xx c) 2 cot 4cot 3 0xx d) 2 cot 2 cot2 6 0xx BÀI TẬP BỔ SUNG Bài 1. Giải phương trình a) cos2 3sin 2xx b) 32 tan 3tan 2tan 4 0x x x c) 1 cos cos2 0xx d) cos2 5sin 3 0xx Bài 2. Giải phương trình a) tan tan 2 4 xx b) 2 3 tan 9 cos x x c) 22 3 sin 2 2cos 2 4 xx d) 2 cos2 3cos 4cos 2 x xx VẤN ĐỀ 4: PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS DẠNG: Phƣơng trình bậc nhất sin cosa u b u c Phƣơng pháp: Điều kiện phương trình có nghiệm: 2 2 2 a b c Chia 2 vế của phương trình cho 22 ab , ta được: 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos a b c uu a b a b a b Công thức: cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b hoặc Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích 10 2 2 2 2 2 2 cos sin sin cos a b c uu a b a b a b Công thức: sin( ) sin .cos cos .sina b a b a b Bài tập Bài 1. Giải phương trình a) sin cos 2xx b) sin cos 1xx c) sin2 3.cos2 1xx d) cos3 3.sin3 2xx e) 3sin 4cos 5 22 xx f) 3.sin2 cos2 2xx Bài 2. Giải phương trình a) 6 sin cos 2 xx b) sin( ) 1 cosxx c) cos 3sin 2cos3x x x d) sin9 3.cos7 sin7 3.cos9x x x x VẤN ĐỀ 5: PHƢƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI DẠNG. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai 2 sin sin .cos cosa u b u u c u d (*) Phƣơng pháp TH1. 2 cos 0 sin 1uu . Thay vào phương trình (*) +) (*) đúng thì 2 uk là nghiệm phương trình. +) (*) sai thì 2 uk không là nghiệm phương trình. TH2. cos 0u . Chia 2 vế phương trình (*) cho 2 cos u Ta được phương trình: 22 tan tan (1 tan )a u b u c d u Bài tập Bài 1. Giải phương trình [...]... các phần tử của X nếu số đó a) Là số gồm năm chữ số đôi một khác nhau? b) Là số lẻ gồm ba chữ số khác nhau? c) Là số gồm bốn chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 7? d) Là số gồm năm chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 1 và 2? Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích 18 e) Là số có ba chữ số đôi một khác nhau lớn hơn 300 và nhỏ hơn 600? Bài 9 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... chữ số khác nhau từng đôi một? c) Số tự nhiên lẻ gồm bốn chữ số khác nhau từng đôi một? d) Số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số khác nhau từng đôi một? e) Gồm bốn chữ số trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau? Bài 3 Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai đều là số chẵn? Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích 15 Bài 4 Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số. .. các chữ số 1, 2, 4, 5, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a) Gồm ba chữ số? b) Gồm ba chữ số đôi một khác nhau? c) Gồm ba chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5? c) Số tự nhiên chẵn gồm ba chữ số? d) Số tự nhiên lẻ gồm ba chữ số đôi một khác nhau? e) Gồm ba chữ số mà chữ số nào cũng chẵn? f) Gồm ba chữ số, trong đó có đúng một chữ số 3? Bài 2 Có bao nhiêu số tự nhiên a) Gồm bốn chữ số? b)... bởi chữ số 2? f) Trường THPT Bà Điểm 17 GV: Lê Thị Ngọc Bích b) Không bắt đầu bởi chữ số 2? c) Bắt đầu bởi 13? d) Không bắt đàu bởi 13 e) Là số lẻ? f) Là số chẵn? Bài 2 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a) Là số lẻ gồm bảy chữ số khác nhau từng đôi một? b) Là số chẵn gồm saú chữ số khác nhau từng đôi một? c) Có bốn chữ số khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 5 Bài... 0, 1, 3, 6, 9 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên a) Gồm bốn chữ số khác nhau? b) Là số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau? c) Gồm bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 3? Bài 7 Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau sao cho a) Bắt đầu bởi chữ số 7? b) Tận cùng bởi số 45? c) Luôn có mặt chữ số 9? d) Có tổng bốn chữ số là 12? 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Có bao nhiêu số tự nhiên Bài 8 Cho tập hợp... 2 x x cos 3 cos x 2 2 2 VẤN ĐỀ 7: CÁC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÁC Phƣơng pháp Biến đổi phương trình về các dạng đã học ở trên hoặc đưa về dạng phương trình tích Bài tập Bài 1 Giải các phương trình sau a) cos 7 x.sin 6 x cos5 x.sin 8 x b) sin x sin 2 x sin 3 x cos x cos 2 x cos3 x c) sin x 2 sin 5 x cos x d) sin 2 x cos x 1 2sin x Bài 2 Giải các phương trình sau e) sin a) sin 2 4 x sin 2 3x sin 2 2... giống nhau? Bài 5 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 a) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có năm chữ số đôi một khác nhau? b) Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 400 và có ba chữ số đôi một khác nhau? Bài 6 Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau đôi một n a1a2 a3a4 a5a6 sao cho a1 a6 a2 a5 a3 a4 10 Bài 7 Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C Hỏi có mấy cách đi bằng... dạng phương trình cơ bản Bài tập Bài 1 Giải phương trình x! x 1 ! 1 a) x 1! 6 b) P2 x 2 P3 x 8 P Pn 1 1 c) n Pn 1 6 d) Pn Pn 1 4Pn 2 Bài 2 Giải phương trình 3 a) An 20n 2 b) An A1 n 2 c) A2n 2 2 An 50 0 2 3 An 2 2 An 2 A2n 42 0 50 2 A2n d) e) 3 Pn 2 210 n 4 An 1 P3 DẠNG 3 Bài toán Bài tập Bài 1 Xét các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Hỏi trong đó có bao nhiêu số. .. bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau, trong đó chữ số 1 và 3 luôn đúng cạnh nhau? Bài 10 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và không chia hết cho 3? VẤN ĐỀ 4 TỔ HỢP Bài 1 Rút gọn biểu thức 4!.(n 1) (n 1)!n a) A (n 2)! (n 1)(n 2 n) b) B (n 4)!.(n3 n!.(n 3 5n 3n 2 2n).(n 2)! 2n 24).(n 2)! 2 0 2 c) C 1.Cn 2.C1 3.Cn n Bài 2 Giảỉ phương trình (n... Thay vào phương trình ta được phương trình bậc hai theo t Bài tập Bài 1 Giải phương trình a) sin x cos x 4sin x.cos x 1 0 b) 2(sin x cos x) sin 2 x 1 0 c) sin x cos x 1 sin 2 x d) 3(sin x cos x) 2sin 2 x 3 0 e) cos x sin x 3sin 2 x 1 0 Bài 2 Giải phương trình 2 a) sin3 x cos3 x 2 b) 1 2 1 sin x cos x sin 2 x Trường THPT Bà Điểm c) d) 2 sin x 1 sin x 3sin x.cos x 1 4 1 cos x GV: Lê Thị Ngọc Bích 12 0 . Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích 4 HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC VÀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC VẤN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC DẠNG 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: Phương pháp. tanyu TXĐ: cos 0u . đúng thì 2 uk là nghiệm phương trình. +) (*) sai thì 2 uk không là nghiệm phương trình. TH2. cos 0u . Chia 2 vế phương trình (*) cho 2 cos u Ta được phương trình: 22 tan tan (1 tan. VẤN ĐỀ 7: CÁC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÁC Phƣơng pháp. Biến đổi phương trình về các dạng đã học ở trên hoặc đưa về dạng phương trình tích Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau a) cos7