Phương trình bất phương trình hệ phương trình lượng giác

1 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. Biểu diễn cung – góc lượng giác Nếu cung (hoặc góc) lượng giác q AM có số đo là k2 n π α+ (hoặc 0 k.360 a n + D ) với k ∈ ] , n + ∈ ` thì có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách đều nhau. Ví dụ 1. Nếu sđ q AM k2 3 π =+π thì có 1 điểm M tại vị trí 3 π (ta chọn k = 0). Ví dụ 2. Nếu sđ q AM k 6 π =+π thì có 2 điểm M tại các vị trí 6 π và 7 6 π (ta chọn k = 0, k = 1). Ví dụ 3. Nếu sđ q 2 AM k 43 ππ =+ thì có 3 điểm M tại các vị trí 4 π , 11 12 π và 19 12 π (ta chọn k = 0, k = 1 và k = 2). Ví dụ 4. Nếu sđ q k.360 AM 45 k.90 45 4 =+ =+ D DDD thì có 4 điểm M tại các vị trí 45 0 , 135 0 , 225 0 và 315 0 (ta chọn k = 0, 1, 2, 3). Ví dụ 5. Tổng hợp hai cung xk 6 π =− + π và xk 3 π =+π. Giải Biểu diễn 2 cung xk 6 π =− + π và xk 3 π =+π trên đường tròn lượng giác ta được 4 điểm 6 π − , 3 π , 5 6 π và 4 3 π cách đều nhau. Vậy cung tổng hợp là: xk 32 ππ =+ . 2 B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Hàm số lượng giác 1. Hàm số y = cosx 1) Miền xác định D = \ . 2) Miền giá trị G = [–1; 1]. 3) Hàm số y = cosx là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T2=π. 4) (cosx) / = – sinx. 5) Đồ thị hàm số y = cosx đối xứng qua trục tung Oy. 2. Hàm số y = sinx 1) Miền xác định D = \ . 2) Miền giá trị G = [–1; 1]. 3) Hàm số y = sinx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T2=π. 4) (sinx) / = cosx. 5) Đồ thị hàm số y = sinx đối xứng qua gốc tọa độ O. 3. Hàm số y = tgx 1) Miền xác định {} D\ k, k 2 π =+π∈\] . 2) Miền giá trị G = \ . 3) Hàm số y = tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T =π. 4) (tgx) / = 1 + tg 2 x = 2 1 cos x . 5) Đồ thị hàm số y = tgx đối xứng qua gốc tọa độ O. 3 4. Hàm số y = cotgx 1) Miền xác định {} D\k, k=π∈\]. 2) Miền giá trị G = \ . 3) Hàm số y = cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T =π. 4) (cotgx) / = – (1 + cotg 2 x) = 2 1 sin x − . 5) Đồ thị hàm số y = cotgx đối xứng qua gốc tọa độ O. 5. Chu kỳ của hàm số lượng giác 5.1. Định nghĩa Hàm số y = f(x) có chu kỳ T > 0 nếu T là số dương nhỏ nhất và thỏa f(x + T) = f(x). 4 Ví dụ 1. Hàm số y = sin5x có chu kỳ 2 T 5 π = vì: () 2 sin 5 x sin(5x 2 ) sin 5x 5 π += +π= . Hơn nữa, 2 T 5 π = là số nhỏ nhất do hàm số y = sint, t = 5x có chu kỳ 2π . 5.2. Phương pháp giải toán 5.2.1. Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx) Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx), n + ∈ ] có chu kỳ 2 T n π = . Ví dụ 2. Hàm số y = cos7x có chu kỳ 2 T 7 π = . 5.2.2. Hàm số x ysin n = và x ycos n = Hàm số x ysin n = và x ycos n = , n + ∈ ] có chu kỳ Tn2=π. Ví dụ 3. Hàm số x ysin 3 = có chu kỳ T6=π. 5.2.3. Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx) Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx), n + ∈ ] có chu kỳ T n π = . Ví dụ 4. Hàm số y = cotg6x có chu kỳ T 6 π = . 5.2.4. Hàm số x ytg n = và x ycotg n = Hàm số x ytg n = và x ycotg n = , n + ∈ ] có chu kỳ Tn=π. Ví dụ 5. Hàm số x ytg 3 = có chu kỳ T3=π. 5.2.5. Hàm số y f(x) g(x)=± Cho hàm số y = f(x), y = g(x) có chu kỳ lần lượt là 1 m T n =π và 2 p T k =π . Để tìm chu kỳ của hàm số y f(x) g(x)=± ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Quy đồng mmk nnk = , pnp knk = và tìm bội số chung nhỏ nhất A của mk, np. Bước 2. Chu kỳ của y f(x) g(x)=± là A T nk =π . 5 Ví dụ 6. Tìm chu kỳ của hàm số x ycos3xtg 3 =− . Giải Hàm số y = cos3x, x ytg 3 = có chu kỳ lần lượt là 2 3 π và 3π. Ta có: 22 BCNN(2; 9) 33 T6 9 3 3 3 ππ ⎧ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⇒= π=π ⎨ ⎪ π ⎪ π= ⎪ ⎪ ⎩ . Vậy chu kỳ của hàm số x ycos3xtg 3 =− là T6=π. II. Phương trình lượng giác cơ bản 1) cos x cos=α xk2 , k xk2 =α+ π ⎡ ⎢ ⇔∈ ⎢ =−α+ π ⎢ ⎣ Z 2) sin x sin=α⇔ xk2 , k x+k2 =α+ π ⎡ ⎢ ∈ ⎢ =π−α π ⎢ ⎣ Z 3) tgx tg x k , k=α⇔=α+π ∈Z 4) cotgx cotg x k , k=α⇔=α+π∈Z Phương trình cơ bản đặc biệt cần nhớ 1) cos x 0 x k , k 2 π =⇔=+π ∈Z 2) cos x 1 x k2 , k=⇔ = π ∈Z 3) cos x 1 x k2 , k=− ⇔ =π+ π ∈Z 4) sin x 0 x k , k=⇔=π ∈Z 5) sin x 1 x k2 , k 2 π =⇔ = + π ∈Z 6) sin x 1 x k2 , k 2 π =− ⇔ =− + π ∈Z Ví dụ 1. Xét số nghiệm của phương trình x cos x 0+= π . Giải Ta có xx cos x 0 cos x+=⇔ =− ππ (1). Suy ra (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cosx và x y =− π (đi qua điểm ( π ; – 1)). 6 Dựa vào đồ thị, ta suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Ví dụ 2. Giải phương trình: (cos x 1)(2 cos x 1)(tgx 3) 0 2cosx 1 +−− = + (2). Giải Điều kiện: 2 2cosx 1 0 x k2 3 π +≠ ⇔ ≠± + π . Ta có: cos x 1 xk2 1 (2) cos x x k2 23 tgx 3 xk 3 ⎡ =− ⎡ =π+ π ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ π ⎢ ⎢ ⇔=⇔=±+π ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ π ⎢ = ⎢ =+π ⎣ ⎢ ⎣ . So với điều kiện và tổng hợp nghiệm (hình vẽ), phương trình (2) có họ nghiệm là: 2 xk, k 33 ππ =+ ∈ ] . Chú ý: Các họ nghiệm 2 xk 33 ππ =− + và 2 xk 3 π =π+ cũng là các họ nghiệm của (2). III. Các dạng phương trình lượng giác 1. Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác 1) acos 2 x + bcosx + c = 0 2) asin 2 x + bsinx + c = 0 3) atg 2 x + btgx + c = 0 4) acotg 2 x + bcotgx + c = 0 7 Phương pháp giải toán Bước 1. Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện của t (nếu có). Bước 2. Đưa phương trình về dạng at 2 + bt + c = 0. Chú ý: Nếu 1 phương trình lượng giác được biến đổi thành 2 phương trình cơ bản trở lên thì sau khi giải xong, ta phải dựa vào đường tròn lượng giác để tổng hợp nghiệm (nếu có). Ví dụ 1. Giải phương trình 2 2 sin x sinx 2 0+−= (1). Giải Đặt t = sinx, 1t1−≤ ≤ ta có: 2 (1) 2t t 2 0⇔+−= 1 tt2 2 ⇔= ∨=− (loại) sin x sin 4 π ⇔= 3 xk2x k2 44 ππ ⇔=+π∨= +π . Vậy (1) có các họ nghiệm xk2 4 , k 3 xk2 4 π ⎡ =+π ⎢ ⎢ ∈ ⎢ π ⎢ =+π ⎣ ] . Ví dụ 2. Giải phương trình 44 5(1 cos x) 2 sin x cos x+=+− (2). Giải Ta có: 22 2 (2) 3 5cos x sin x cos x 2cos x 5 cos x 2 0⇔+ = − ⇔ + +=. Đặt t = cosx, 1t1−≤ ≤ ta suy ra: 2 (2) 2t 5t 2 0⇔++= 1 tt2 2 ⇔=−∨=− (loại) 2 cos x cos 3 π ⇔= 2 xk2 3 π ⇔=± +π . Vậy (2) có các họ nghiệm 2 xk2, k 3 π =± + π ∈ ] . Ví dụ 3. Giải phương trình 2 3 23tgx 6 0 cos x +−= (3). Giải Điều kiện xk 2 π ≠+π, ta có: 22 (3) 3(1 tg x) 2 3tgx 6 0 3tg x 2tgx 3 0⇔+ + −=⇔ + −=. Đặt t = tgx, ta suy ra: 2 (3) 3t 2t 3 0⇔+−= 1 tt3 3 ⇔= ∨= 8 () tgx tg xk 6 6 xk tgx tg 3 3 π π ⎡ ⎡ = =+π ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔⇔ π π ⎢ ⎢ =− + π =− ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ (thỏa điều kiện). Biểu diễn 2 họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được 4 điểm cách đều nhau. Vậy (3) có họ nghiệm là xk, k 62 ππ =+ ∈] . Ví dụ 4. Tìm m để phương trình 2 sin x sin x m 0−+= (4) có nghiệm thuộc đoạn 7 ; 66 ππ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ . Giải Với 71 x; sinx1 66 2 ππ ⎡⎤ ∈⇒−≤≤ ⎢⎥ ⎣⎦ . Đặt t = sinx, ta suy ra: 2 1 (4) m t t, t 1 2 ⇔=−+−≤≤ . Xét hàm số 2 ytt=− + , ta có bảng biến thiên: t –1/2 1/2 1 y 1/4 –3/4 0 Suy ra (4) có nghiệm 73 1 x; m 66 4 4 ππ ⎡⎤ ∈⇔−≤≤ ⎢⎥ ⎣⎦ . Cách khác: () 2 2 11 (4) t t m m t 42 ⇔−=−⇔−=− . Do () 2 1111 t1 1t 0 t 1 2222 −≤≤⇔−≤− ≤ ⇔ ≤ − ≤ nên: 131 0m1 m 444 ≤− ≤⇔−≤ ≤ . Ví dụ 5. Tìm m để phương trình tgx mcotgx 2−= (5) có nghiệm. Giải Cách giải sai: Đặt ttgx t0=⇒≠, ta suy ra: () 2 2 m (5) t 2 m t 2t m t 1 1 1 t ⇔− = ⇔ = − ⇔ = − −≥− (a). Mặt khác: t0 m0≠⇒ ≠ (b). Từ (a) và (b) ta suy ra (5) có nghiệm 1m 0⇔− ≤ ≠ (sai). 9 Cách giải đúng: Đặt ttgx t0=⇒≠, ta suy ra: 2 m (5) t 2 m t 2t t ⇔− = ⇔ = − . Xét hàm số 2 yt2t=−, ta có bảng biến thiên: t −∞ 0 1 +∞ y +∞ +∞ 0 –1 Vậy (5) có nghiệm m1⇔≥−. 2. Dạng bậc nhất theo sinx và cosx asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0) Phương pháp giải toán Cách 1 Bước 1. Chia hai vế (*) cho a và đặt b tg a =α . Bước 2. (*) cc sin x tg cos x sin(x ) cos aa ⇔+α=⇔ +α=α . Cách 2 Bước 1. Chia hai vế (*) cho 22 ab+ và đặt: 22 22 ab cos , sin ab ab =α =α ++ . Bước 2. (*) 22 c sin x cos cos x sin ab ⇔α+α= + 22 c sin(x ) ab ⇔+α= + . Chú ý: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a 2 + b 2 ≥ c 2 Ví dụ 1. Giải phương trình 3sinx cosx 2−= (1). Giải Cách 1 12 2 (1) sin x cos x sin x tg cos x 6 33 3 π ⇔− =⇔− = () () 2 sin x cos sin x 1 66 6 3 ππ π ⇔−= ⇔−= 2 xk2xk2, k 62 3 ππ π ⇔−=+π⇔= +π ∈ ] . 10 Cách 2 () 31 (1) sin x cos x 1 sin x 1 22 6 π ⇔−=⇔−= 2 xk2xk2, k 62 3 ππ π ⇔−=+π⇔= +π ∈ ] . Vậy (1) có họ nghiệm 2 xk2, k 3 π =+π∈ ] . Ví dụ 2. Giải phương trình sin 5x 3 cos5x 2 sin 7x+= (2). Cách 1 (2) sin 5x tg cos 5x 2 sin 7x 3 π ⇔+ = () sin 5x 2 cos sin 7x 33 ππ ⇔+= () 7x 5x k2 3 sin 5x sin 7x 2 3 7x 5x k2 3 π ⎡ =++π ⎢ π ⎢ ⇔+=⇔ ⎢ π ⎢ =−+π ⎣ xk 6 , k xk 18 6 π ⎡ =+π ⎢ ⎢ ⇔∈ ππ ⎢ =+ ⎢ ⎣ ] . Cách 2 () 13 (2) sin 5x cos5x sin 7x sin 7x sin 5x 22 3 π ⇔+ =⇔=+ 7x 5x k2 3 2 7x 5x k2 3 π ⎡ =++π ⎢ ⎢ ⇔ ⎢ π ⎢ =−+π ⎣ xk 6 , k xk 18 6 π ⎡ =+π ⎢ ⎢ ⇔∈ ππ ⎢ =+ ⎢ ⎣ ] . Vậy (2) có các họ nghiệm xk 6 , k xk 18 6 π ⎡ =+π ⎢ ⎢ ∈ ππ ⎢ =+ ⎢ ⎣ ] . Ví dụ 3. Giải phương trình 3 sin2x 3 cos2x 4−=− (3). Giải Do 222 3(3)(4)+− <− nên phương trình (3) vô nghiệm. Ví dụ 4. Tìm m để phương trình: 2 2m cos x 2(m 1)sin x cos x 3m 1 0−− −−= (4) có nghiệm. [...]... ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm x = kπ, k ∈ 23 Chú ý: Khi giải hệ phương trình lượng giác 1 ẩn ta nên vẽ đường tròn lượng giác để giao nghiệm 2 Hệ phương trình 2 ẩn Phương pháp giải Không có cách giải tổng quát, tùy vào hệ phương trình cụ thể ta dùng phương pháp thế hoặc cộng và trừ hai phương trình rồi dùng công thức biến đổi ⎧ sin x + cos y = 1 (1) ⎪ ⎪ Ví dụ 1 Giải hệ phương trình ⎪ ⎨ ⎪x... Giải hệ bất phương trình ⎪ 1 ⎨ ⎪ − < sin x ≤ 2 ⎪ ⎪ ⎩ 2 2 Giải Ta có: ⎧ cos x < 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 ⎪ − < sin x ≤ 2 ⎪ ⎪ 2 2 ⎩ ⎧π ⎪ + k2π ≤ x ≤ 3π + k2π ⎪ ⎪2 2 ⎪ ⎪ π π ⎪⎡ ⇔ ⎨ ⎢ − + k2π < x ≤ + k2π 4 ⎪⎢ 6 ⎪ ⎪ ⎢ 3π 7π ⎪ ⎪ ⎪ ⎣⎢ 4 + k2π ≤ x < 6 + k2π ⎪ ⎩ 3π 7π ⇔ + k2π ≤ x < + k2π 4 6 II Hệ phương trình lượng giác 1 Hệ phương trình 1 ẩn Phương pháp giải Cách 1 Giải 1 phương trình và thế nghiệm vào phương trình. .. 4 Ví dụ 2 Giải phương trình sin2x + sin4x = sin6x (2) Giải (2) ⇔ 2 sin 3x cos x = 2 sin 3x cos 3x ⇔ sin 3x(cos 3x − cos x) = 0 π ⎡ ⎡ 3x = kπ ⎡ sin 3x = 0 ⎢x = k 3 ⇔ ⎢⎢ ⇔ ⎢⎢ ⇔ ⎢ π ⎢ cos 3x = cos x ⎢⎣ 3x = ±x + k2π x=k ⎣ ⎢ 2 ⎣ π π Vậy (2) có họ nghiệm là x = k , x = k (k ∈ ) 2 3 15 C BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I Bất phương trình lượng giác cơ bản 1 Bất phương trình cơ bản của cosx... k∈ ⎣ 3 6 3 ) Ví dụ 4 Giải bất phương trình sin x ≥ sin x ≥ 2 2 Giải 2 π 3π π ⇔ sin x ≥ sin ⇔ + k2π ≤ x ≤ + k2π, k ∈ 2 4 4 4 3 2 Giải Ví dụ 5 Giải bất phương trình cos x < − 18 3 5π 5π 7π ⇔ + k2π < x < + k2π, k ∈ ⇔ cos x < cos 6 6 2 6 cos x < − Ví dụ 6 Giải bất phương trình tgx > – 1 Giải π π π tgx > −1 ⇔ tgx > tg − ⇔ + kπ < x < + kπ, k ∈ 4 2 4 ( ) Ví dụ 7 Giải bất phương trình cotgx ≤ 3 Giải π π... ⎪ x = π + kπ ⎪ ⎪ 3 ⎩ π Vậy hệ phương trình có nghiệm x = + k2π, k ∈ 3 ⎧ cotgx = 1 ⎪ ⎪ Ví dụ 2 Giải hệ phương trình ⎪ ⎨ ⎪ sin x = 2 ⎪ ⎪ ⎩ 2 Giải Ta có điều kiện x ≠ kπ ⎧ ⎪ x = π + kπ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎧ cotgx = 1 ⎪ ⎪ ⎪ π π ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 2 ⇔ ⎨ x = 4 + k2π ⇔ x = 4 + k2π ⎪ sin x = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎩ 3π ⎪ ⎪x = + k2π ⎪ ⎪ ⎩ 4 π Vậy hệ phương trình có nghiệm x = + k2π, k ∈ 4 Ví dụ 3 Giải phương trình 2cos2x – 3sin25x = 2... giống nhau 3.2 Đẳng cấp bậc cao Phương pháp giải toán Cách 1 π Bước 1 Kiểm tra x = + kπ có là nghiệm của phương trình không 2 π Bước 2 Với x ≠ + kπ , chia hai vế cho cosnx (n là bậc cao nhất của cosx) ta 2 đưa về phương trình bậc n theo tgx Cách 2 Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa về phương trình bậc cao theo sin2x hoặc cos2x hoặc phương trình tích Ví dụ 3 Giải phương trình 2(cos5x + sin5x) = cos3x... − + kπ < x < α + kπ, k ∈ 2 1) tgx ≥ tgα ⇔ α + kπ ≤ x < 4 Bất phương trình cơ bản của cotgx 1) 2) 3) 4) cotgx cotgx cotgx cotgx ≥ > ≤ < cotgα cotgα cotgα cotgα ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ kπ < x ≤ α + kπ, k ∈ (hình vẽ) kπ < x < α + kπ, k ∈ α + kπ ≤ x < π + kπ, k ∈ α + kπ < x < π + kπ, k ∈ 17 Chú ý: Khi giải bất phương trình lượng giác ta nên vẽ đường tròn lượng giác để chọn nghiệm Ví dụ 1 Tìm miền xác định của hàm số y... ⎪ + k2π > 0 4 ⎪ ⎪ ⎪4 ⎩ π ⇔ x > + kπ, k ≥ 0, k ∈ (*) 2 3π Nhận thấy x = không thỏa bất phương trình 2 ( ) Ví dụ 9 Giải bất phương trình − 3 1 ≤ cos x ≤ 2 2 Giải Ta có: 19 3 1 ≤ cos x ≤ 2 2 5π π ⇔ cos ≤ cos x ≤ cos 6 3 5π ⎡π ⎢ 3 + k2π ≤ x ≤ 6 + k2π ⇔ ⎢⎢ ⎢ 7π + k2π ≤ x ≤ 5π + k2π ⎢⎣ 6 3 − 1 2 Ví dụ 10 Giải bất phương trình − ≤ sin x < 2 2 Giải Ta có: 1 2 − ≤ sin x < 2 2 π π ⇔ sin − ≤ sin x < sin 6... giác 1 Hệ phương trình 1 ẩn Phương pháp giải Cách 1 Giải 1 phương trình và thế nghiệm vào phương trình còn lại Cách 2 Bước 1 Giải cả hai phương trình độc lập với nhau Bước 2 Nghiệm chung là nghiệm của hệ phương trình ⎧ 2 cos x = 1 (1) ⎪ ⎪ Ví dụ 1 Giải hệ phương trình ⎪ ⎨ ⎪ sin 2x = 3 (2) ⎪ ⎪ 2 ⎩ Giải Cách 1 π π (1) ⇔ x = + k2π ∨ x = − + k2π 3 3 π + Thay x = + k2π vào (2) ta được: 3 22 sin + Thay... sinx và cosx a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*) Phương pháp giải toán Bước 1 Đặt t = sinx + cosx = ( 2 sin x + π 4 ) t2 − 1 2 Bước 2 Thay vào (*) rồi ta giải phương trình bậc hai theo t ⇒− 2≤t≤ 2 và sin x cos x = Chú ý: Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách giải tương tự bằng cách đặt t = sinx – cosx Ví dụ 1 Giải phương trình: ( 2 + 1)(sinx + cosx) + sin2x + Giải 2 + 1 =