Phương pháp lượng giác hóa trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình khó Đại học

Dạng 1 : Nếu x2 + y2 =1 thì đặt với Dạng 2 : Nếu x2 + y2 =a2(a>0) thì đặt với Dạng 3 : Nếu thì đặt Dạng 4 : Nếu thì đặt Dạng 5 :Nếu hoặc bài toán có chứa thì đặt x= với Dạng 6 :Nếu hoặc bài toán có chứa thì đặt x = với Dạng 7 :Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức thì đặt x = tan với Dạng 8 : Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức thì đặt x = m tan với I. Giải phương trình, bất phương trình :Bài 1: Giải bất phương trình : Giải :Điều kiện : Đặt x=cost , t Khi đó bất phương trình đã cho trở thành : Vậy phương trình này có nghiệm .Bài 2 : Giải phương trình : Giải :Điều kiện : 1x2 0 đặt x = sint với t . Khi đó phương trình đã cho có dạng : vậy phương trình có nghiệm và x=1.Bài 3 : Với , giải bất phương trình Giải :Đặt , . Khi đó bất phương trình có dạng : Vậy nghiệm của bất phương trình là Bài 4 : Giải phương trình : Giải :Điều kiện : .Đặt x= , Khi đó phương trình có dạng : Đặt sint + cost = u , ta có .Khi đó phương trình đã cho có dạng : . So sánh điều kiện ta có : Vậy nghiệm của phương trình là . Bài 5 : Giải phương trình :8x(2x21)(8x48x2+1)=1 (1) Giải:Ta có các trường hợp sau :Với x 1, suy ra VT(1)>1, do đó phương trình vô nghiệm .Với x 1, suy ra VT(1) 0 ta có bất đẳng thức:  (1)Giải:Vì a > 0, b > 0, > 0 nên bất đẳng thức (1) tương đương với  1 (2)Nhận xét rằng = 1Nên đặt = cosu , = sinu với 0  u  Ta cũng thấy = 1Nên đặt = cosv , = sinv với 0  v  .Khi đó (2) có thể viết thành + = cosv sinu + cosusinv  1 (3)Bởi vì cosusinv + sinucosv = sin(u + v)  1 nên (3) luôn luôn đúng có nghĩa là (1) đúng. Bài 7: Chứng minh rằng: 4  Giải:Điều kiện: 1 – a2  0  a  1Đặt a = cos, với   0; Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng: 4 3(cos )   4(cos3 sin3) – 3 (cos sin)   (4cos3 3cos) + (3sin 4sin3) cos3 + sin3  cos (3 ) 1, luôn đúng.Bài 8: Chứng minh rằng:  2aGiải:Điều kiện: a2 – 1  0  a  1.Đặt a = , với   0 ; ).Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:  sin + cos  2  sin + cos  1 sin ( + )  1, luôn đúng. Bài 9: Cho x2 + y2 = 1 ; u2 + v2 = 1. Chứng minha) xu + yv 1.b) xv + yu 1.c) –2  (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v)  2.d) –2  (x + y) (u + v) – (x – y) (u – v)  2.Giải:Áp dụng Dạng 4 : Nếu thì đặt Đặt x = cosa ; y = sina ; u = cosb ; v = sinb và 0  a, b  2. Khi đóa) xu + yv=cos(a – b) 1.b) xv + yu=sin(a + b) 1.c) (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) = (cos a – sin a) (cos b + sin b) + + (cos a + sin a) (cos b – sin b) = = sin sin + cos cos = 2cos (a + b)Rõ ràng –2  2cos (a + b)  2. (đpcm) Bài 10: Chứng minh:a) (a + b)4  8(a4 + b4)b) 32(a6 + b6)  (a + b)6c) (a + b)8  64(a8 + b8)Giải:a) Với a = 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu a  0 chia hai vế cho a và đặt tgx = với < x < .Bất đẳng thức đã cho tương đương với: (1 + tgx)4  8(1 + tg4x)  (cos x + sin x)4  8(cos4x + sin4 x) (1)Vì sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 – 2sin2x cos2x == 1 (sin x + cosx)4 = (1 + sin2x)2 = (1)  8(cos4x + sin4x) – (sin x + cos x)4 = cos4x – 2sin2x  0.Điều này hiển nhiên vì cos4x  1 và sin2x  2.b) c) Làm tương tự như a). Bài 11: Cho các số thực x, y không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng (1)Với các giá trị của x, y như thế nào thì dấu đẳng thức xảy ra.Giải:1) Nếu x = 0 , y  0 thì Nếu x  0, y = 0 thì = 0 bất đẳng thức cũng đúng.Giả sử x  0, y  0 thì (1) tương đương với (2)Đặt = tga thì (2) trở thành: 2  2 2  2 2  cos2a 4tga – 4  2 2 (3)Vì cos2a4tga – 4 = 4sinacosa – 4cos2a = 2sin2a – 2(1 + cos2a) = 2(sin2a – cos2a – 1) =2  nên (3) đúng, nghĩa là bất đẳng thức (1) đúng.2) Từ các phép biến đổi trên đây cho thấy: = 2 2 khi sin = 1 với tga = Vì < a <  < 2a < nên sin = 1  2a =  a =  = 1  x + 2y( 1) = 0Tương tự như trên: = 2 2 khi sin = 1 a =  = tg = =  x – 2y( + 1) = 0Bài 13: Cho các số thực x, y thoả mãnx2 + y2 = x + y Chứng minh: 3x + 4y  5Giải:Điều kiện xác định: 1 – y2  0, 1 – x2  0 tương đương –1  x, y  1Nếu x 1; 0 hoặc y  1; 0 hoặc x = 0, y = 1 hoặc x = 1, y = 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Ta chỉ cần xét 0 < x < 1 và 0 < y < 1.Đặt x = cos , y = sin với <  < ; 0 <  < .Từ x2 + y2 = x + y Ta có: cos2 + sin2 = cos cos + sin sin = cos( )  1  cos2  cos2 hoặc sin2  sin2a) Nếu 0 0, cos > 0.cos2  cos2  cos  cos3x + 4y = 3cos + 4sin  2cos + 4sin = 5 = 5cos( )  5 trong đó cos = .b) Nếu 0 <  < , <  <  ta có sin > 0 , sin > 0 thì sin2  sin2  sin  sin3x + 4y = 3cos + 4sin  3cos + 4sin = 5cos( )  5c) Nếu <  < 0 , <  <  thì sin  < 0 , sin > 0.sin2  sin2  sin  sin3x + 4y = 3cos + 4sin  3cos 4sin = 5cos( + )  5.¬ III. Một số bài tập đề nghịBài 1: Cho x2 + y2 = 1 chứng minh  x6 + y6  1Bài 2: Cho ab + bc + ca = 1 , chứng minh rằng:4abc = a(1 b2)(1 – c2) + b(1 – c2)(1 – a2) + c(1 – a2)(1 – b2)Bài 3: Cho 0  ai  1 , i = 1, 2, …, n. Chứng minh (1 + a12)(1 + a22)… (1 + an2) + (1 – a12) (1 – a22)… (1 – an2)  22Bài 4: Cho 4 số dương a1, a2, a3, a4 phân biệt. Chứng minh rằng có thể chọn được ít nhất 2 trong 4 số đó sao cho: 0  < 2 Bài 5: Cho x, y thoả mãn 2x + 5y = 7. Chứng minh rằng: x2 + y2  Bài 6: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, x và y thoả mãn ax + by = c. Chứng minh rằng: x2 + y2  Bài 7: Cho 4a2 + 9b2 = 25. Chứng minh 6a + 12b  25Bài 8: Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh16 (x5 + y5) – 20 (x3 + y3) + 5(x + y)  Bài 9: Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh Bài 10: Cho a  1. Chứng minh –2   2.

Một vài phương pháp lượng giác hóa ứng dụng đại số -Một số trường hợp thường gặp  x = sin α với α ∈ [ 0; 2π ]  y = cosα Dạng : Nếu x2 + y2 =1 đặt   x = a sin α với α ∈ [ 0; 2π ]  y = acosα Dạng : Nếu x2 + y2 =a2(a>0) đặt    −π π   x = sin α , α ∈  ;    Dạng : Nếu x ≤ đặt   x = cosα , α ∈ [ 0; π ]   −π π   x = m sin α , α ∈  ;    Dạng : Nếu x ≤ m đặt   x = mcosα , α ∈ [ 0; π ] Dạng :Nếu x ≥ toán có chứa x2 −1 đặt x= với cosα  π   3π  α ∈ 0; ÷∪ π ; ÷  2   Dạng :Nếu x ≥ m toán có chứa x − m2 đặt x = m với cosα  π   3π  α ∈ 0; ÷∪ π ; ÷  2   Dạng :Nếu toán không ràng buộc điều kiện biến số có biểu thức x +  −π π  đặt x = tan α với α ∈  ; ÷  2 Dạng : Nếu toán không ràng buộc điều kiện biến số có biểu thức x + m  −π π  đặt x = m tan α với α ∈  ; ÷  2 I Giải phương trình, bất phương trình : Bài 1: Giải bất phương trình : 1+ x − 1− x ≤ x Giải : Điều kiện : 1 + x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤  1 − x ≥ Đặt x=cost , t ∈ [ 0, π ] Khi bất phương trình cho trở thành : + cos t − − cos t ≤ cos t ⇔ + cos t − 2cos t ≤ cos t t t t t ⇔ 2(cos − sin ) ≤ cos − sin 2 2 t t t t ⇔ (cos − sin )(cos + sin − 2) ≥ 2 2 t π t π ⇔ 2cos( + )[ 2cos( − ) − 2] ≥ 4 t π t π ⇔ cos( + )[cos( − ) − 1] ≥ 4 t π ⇔ cos( + ) ≤ ⇔ π t π ≤ + ≤π 2 ⇔ π 3π ≤t ≤ 2 ⇔ −1 ≤ cos t ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Vậy phương trình có nghiệm −1 ≤ x ≤ Bài : Giải phương trình : + − x = x(1 + − x ) Giải : Điều kiện : 1-x2 ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ t  cos =  −π π  ⇔ đặt x = sint với t ∈  ;  Khi phương trình cho có dạng :  2 sin 3t =  + − sin t = sin t (1 + − sin t ) ⇔ + cos t = sin t (1 + cos t ) ⇔ 2cos t t 3t t = sin t + sin 2t ⇔ 2cos = 2sin cos 2 2 t   π cos =   t = x= t 3t  ⇔ ⇔ ⇔ 2cos (1 − sin ) = ⇔   π 2  3t  x = t=  sin =  2 phương trình có nghiệm x = x=1 Bài : Với a ≠ , giải bất phương trình x + a2 ≤ x + 2a x + a2 Giải :  −π π  Đặt x = a tan t , t ∈  ; ÷ Khi bất phương trình có dạng :  2 a 2a cos t −1 ≤ a tan t + ≤ sin t ≤ ⇔ ≤ sin t + 2cos t ⇔ 2sin t - sint -1 ≤ ⇔ cos t a ⇔ tan t ≥ −1 −a ⇔x≥ 3 Vậy nghiệm bất phương trình x ≥ −a Bài : Giải phương trình : x+ x 1− x2 =2 Giải : Điều kiện : x −1 > ⇔ x >  x > Đặt x=  π , t ∈  0, ÷ cos t  2 Khi phương trình có dạng : + cos t 1 cos t = 2 ⇔ + = 2 ⇔ sin t + cos t = 2 sin t.cos t cos t sin t −1 cos t ( ) u2 −1 Đặt sint + cost = u ≤ u ≤ , ta có sin t.cos t = Khi phương trình cho có dạng : u = 2(u − 1) u =  ⇔ 2u − u − = ⇔  −1 u= ( l)  2 π π π π u = ⇔ sin t + cos t = ⇔ sin(t + ) = ⇔ sin(t + ) = ⇔ t + = + 2kπ 4 ⇔t= π π + 2kπ So sánh điều kiện ta có : t = ⇔ x = 4 Vậy nghiệm phương trình x = Bài : Giải phương trình : 8x(2x2-1)(8x4-8x2+1)=1 (1) Giải: Ta có trường hợp sau : Với x ≥ 1, suy VT(1)>1, phương trình vô nghiệm Với x ≤ -1, suy VT(1) cos x Vậy với 0 Do   2n  cos 2n t t t t  + sin n  < 2n  cos + sin  = 2n 2 2  Vậy bất đẳng thức (3), có nghĩa bất đẳng thức (1) chứng minh Bài 3: Chứng minh từ số thực cho trước ta luôn chọn hai số x, y số cho: 0≤ x−y ≤ (1) + xy Giải: Giả sử số thực cho trước a ≤ b ≤ c ≤ d Đặt a = tgy1, b = tgy2, c = tgy3, d = tgy4 với - y1 y2 y3 y4 y5 π π < y ≤ y2 ≤ y3 ≤ y4 < < y5 = π + y1 2 Các điểm y1, y2, y3 chia đoạn [y1; y1 + π] thành đoạn [y1; y2], [y2; y3], [y3; y4] , [y4; y5] Trong số đoạn phải có đoạn có độ dài không lớn π π Giả sử ≤ y2 – y1 ≤ Thế thì: 4 ≤ tg (y2 – y1) ≤ ⇔ ≤ tgy − tgy1 b−a = ≤ 1 + tgy tgy1 + ab Đặt x = b, y = a ta điều cần chứng minh Bài 4: Cho x, y > x + y = Chứng minh:     17 x +  + y +  ≥ x   y   Giải: Ta có: x + y = ≤ 2π để ( x ) + ( y) x = cosa = 1, theo mệnh đề IV có số a với 0≤a y = sina Bất đẳng thức cho viết thành:    cos a + + cos a   Ta có: cos4a +  sin a +  17  ≥ sin a   1   4 1+ 4 + sin a + = (cos a + sin a)   cos a sin a  sin a cos a  16     sin 2a  + 1− 1+ = (1 – 2sin acos a)  =       sin 2a   sin a cos a   2 sin 2a Vì < sin 2a ≤ nên ≥ 2 1+ 16 ≥ 17 Từ suy điều cần chứng minh sin 2a 10 Bài 5: Chứng minh với cặp số thực x, y ta có: x2 + (x – y)2 ≥ ( x + y ) sin2 π 10 Giải: Theo cách tính giá trị biểu thức lượng giác không dùng bảng ta có: 4sin2 π π 3−  = 1 − cos  = 10 5  Bất đẳng thức cho viết: 3−      x2 + (x – y)2 ≥ (x2 + y2)  (1) Nếu y = bất đẳng thức (1) hiển nhiên Nếu y ≠ Chia hai vế (1) cho y2 đặt đẳng thức có dạng: tg2a + (tga – 1)2 ≥ x −π π = tga với c > ta có bất đẳng thức: c ( a − c) + c ( b − c) ≤ ab (1) Giải: Vì a > 0, b > 0, ab > nên bất đẳng thức (1) tương đương với c( a − c) c ( b − c) ≤1 + ab ab (2)  c  a−c  +  =1 Nhận xét     a a     Nên đặt c = cosu , a π a −c = sinu với ≤ u ≤ a  c   b − c Ta thấy   +   =1 b   b  Nên đặt c = cosv , b π b−c = sinv với ≤ v ≤ b Khi (2) viết thành c a −c + b a c b−c = cosv sinu + cosusinv ≤ (3) a b Bởi cosusinv + sinucosv = sin(u + v) ≤ nên (3) luôn có nghĩa (1) 12 Bài 7: Chứng minh rằng: [ ] ( ) 4 a − (1 − a ) − a − − a ≤ Giải: Điều kiện: – a2 ≥ ⇔ a ≤ Đặt a = cosα, với α ∈ [0; π] Khi bất đẳng thức biến đổi dạng: [ ] 4 cos α − (1 − cos α) - 3(cosα - − cos α ) ≤ ⇔ 4(cos3α - sin3α) – (cosα - sinα) ≤ ⇔ (4cos3α - 3cosα) + (3sinα - 4sin3α)≤ ⇔ cos (3α - 2 ⇔cos3α + sin3α≤ π )≤ 1, Bài 8: Chứng minh rằng: a − + ≤ 2a Giải: Điều kiện: a2 – ≥ ⇔ a ≥ Đặt a = π , với α ∈ [0 ; ) cos α Khi bất đẳng thức biến đổi dạng: 2 − + ≤ ⇔ tg α + ≤ cos α cos α cos α ⇔ sinα + cosα ≤ ⇔ ⇔ sin (α + sinα + cosα ≤ 2 π ) ≤ 1, 13 Bài 9: Cho x2 + y2 = ; u2 + v2 = Chứng minh a) xu + yv≤ b) xv + yu≤ c) –2 ≤ (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) ≤ d) –2 ≤ (x + y) (u + v) – (x – y) (u – v) ≤ Giải:   −π π   x = m sin α , α ∈  ;    Áp dụng Dạng : Nếu x ≤ m đặt   x = mcosα , α ∈ [ 0; π ] Đặt x = cosa ; y = sina ; u = cosb ; v = sinb ≤ a, b ≤ 2π Khi a) xu + yv=cos(a – b)≤ b) xv + yu=sin(a + b)≤ c) (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) = (cos a – sin a) (cos b + sin b) + + (cos a + sin a) (cos b – sin b) = = π  sin  − a  sin 4   π + b  + 4  π  cos  − a  cos 4   π + b   4  = 2cos (a + b) Rõ ràng –2 ≤ 2cos (a + b) ≤ (đpcm) 14 Bài 10: Chứng minh: a) (a + b)4 ≤ 8(a4 + b4) b) 32(a6 + b6) ≥ (a + b)6 c) (a + b)8 ≤ 64(a8 + b8) Giải: a) Với a = bất đẳng thức hiển nhiên Nếu a ≠ chia hai vế cho a đặt tgx = b π π với , sinβ > 2 sin2β ≤ sin2α ⇔ sinβ ≤ sinα 3x + 4y = 3cosα + 4sinβ ≤ 3cosα + 4sinα = 5cos(α - ϕ) ≤ c) Nếu - π π < α < , < β < π sin α < , sinβ > 2 sin2β ≤ sin2α ⇔ sinβ ≤ -sinα 3x + 4y = 3cosα + 4sinβ ≤ 3cosα - 4sinα = 5cos(α + ϕ) ≤ 18 III Một số tập đề nghị Bài 1: Cho x2 + y2 = chứng minh ≤ x6 + y ≤ Bài 2: Cho ab + bc + ca = , chứng minh rằng: 4abc = a(1- b2)(1 – c2) + b(1 – c2)(1 – a2) + c(1 – a2)(1 – b2) Bài 3: Cho ≤ ≤ , i = 1, 2, …, n Chứng minh (1 + a12)(1 + a22)… (1 + an2) + (1 – a12) (1 – a22)… (1 – an2) ≤ 22 Bài 4: Cho số dương a1, a2, a3, a4 phân biệt Chứng minh chọn số cho: 0≤ − a j + a i + a j + 2a i a j [...]... ( x 2 + y 2 ) sin2 π 10 Giải: Theo cách tính giá trị biểu thức lượng giác không dùng bảng ta có: 4sin2 π π 3− 5  = 2 1 − cos  = 10 5 2  Bất đẳng thức đã cho có thể viết: 3− 5    2   x2 + (x – y)2 ≥ (x2 + y2)  (1) Nếu y = 0 bất đẳng thức (1) hiển nhiên đúng Nếu y ≠ 0 Chia hai vế (1) cho y2 và đặt đẳng thức có dạng: tg2a + (tga – 1)2 ≥ x −π π = tga với c > 0 ta có bất đẳng thức: c ( a − c) + c ( b − c) ≤ ab (1) Giải: Vì a > 0, b > 0, ab > 0 nên bất đẳng thức (1) tương đương với c( a − c) c ( b − c) ≤1 + ab... 3 − 3 a − 1 − a 2 ≤ 2 Giải: Điều kiện: 1 – a2 ≥ 0 ⇔ a ≤ 1 Đặt a = cosα, với α ∈ [0; π] Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng: [ ] 4 cos 3 α − (1 − cos 2 α) 3 - 3(cosα - 1 − cos 2 α ) ≤ ⇔ 4(cos3α - sin3α) – 3 (cosα - sinα) ≤ 2 ⇔ (4cos3α - 3cosα) + (3sinα - 4sin3α)≤ ⇔ cos (3α - 2 2 ⇔cos3α + sin3α≤ 2 π )≤ 1, luôn đúng 2 Bài 8: Chứng minh rằng: a 2 − 1 + 3 ≤ 2a Giải: Điều kiện: a2 –... (a + b) Rõ ràng –2 ≤ 2cos (a + b) ≤ 2 (đpcm) 14 Bài 10: Chứng minh: a) (a + b)4 ≤ 8(a4 + b4) b) 32(a6 + b6) ≥ (a + b)6 c) (a + b)8 ≤ 64(a8 + b8) Giải: a) Với a = 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng Nếu a ≠ 0 chia hai vế cho a và đặt tgx = b π π với 0 , sinβ > 0 thì 2 2 sin2β ≤ sin2α ⇔ sinβ ≤ sinα 3x + 4y = 3cosα + 4sinβ ≤ 3cosα + 4sinα = 5cos(α - ϕ) ≤ 5 c) Nếu - π π < α < 0 , < β < π... [4tga – 4] ≤ 2 2 - 2 (3) Vì cos2a[4tga – 4] = 4sinacosa – 4cos2a = 2sin2a – 2(1 + cos2a)     π 4   [ = 2(sin2a – cos2a – 1) =2  2 sin  2a −  − 1 ∈ − 2 2 − 2; 2 2 − 2 ] nên (3) đúng, nghĩa là bất đẳng thức (1) đúng 2) Từ các phép biến đổi trên đây cho thấy: x 2 − ( x − 4 y) 2 x  2a − π  = -2 2 khi sin = -1 với tga =   2 2y x 2 + 4y 2 4  Vì - π π π − 5π π 3π 