Phương pháp giải phương trình lượng giác

Phương pháp giải phương trình lượng giác

S GIÁO DO TNH YÊN BÁI TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRẦN NHẬT DUẬT MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC H và tên: Hồ Hải Hà Chc v: Giáo viên T chuyên môn: Toán – Tin : THPT Trần Nhật Duật NC 2012 - 2013 MỤC LỤC Trang PHẦN I MỞ ĐẦU 1 1. Lý do ch tài 1 2. Mu 1 3. ng nghiên cu 1 4. Gii hn và phm vi nghiên cu 1 5. Nhim v nghiên cu 2 6. u 2 7. Thi gian nghiên cu 2 PHẦN II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TI 3   lí lun c tài 3 1.       3 2.        3  Thc trng c tài 4  Gii quyt v 5 A MT S  GII NG GIÁC 6 B BÀI TP GING GIÁC  THI TUYI HC 21 C BÀI TP T LUYN 31 D KT QU CA QUÁ TRÌNH VN DNG 32 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 34 PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài THPT, ng giác là m          . Trong các kì thi tuyn sinh i hc ng thì    luôn luôn  cp ti, chim trong m ca bài thi,   i quen thuc trong nhiu sách tham kho b môn toán bc trung hc ph   ôn và luyn thi. Vi mong mun mang kin thc mt cách có h thng và sâu sc v bài toán " Gii ng giác" n vi hgiúp các em hc sinh có mt  và chc chn, giúp hc sinh t c vào các kì thi tuyn sinh t thành tích cao tôi la ch tài: " MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC " 2. Mục đích nghiên cứu  Nghiên cu mt s kin thn ni dung c tài.  Nghiên cu mt s ng giác ng gp.  Nghiên cu mt s ng pháp ging giác s dng trong  c n, nâng cao và  mt s kì thi tuyi hc khi A; B; D.  Thông qua vic nghiên cu nhm nâng cao nghip v chuyên môn và rút kinh nghim trong quá trình ging dng dn hc sinh gii quyt bài toán này mt cách rõ ràng và chc chn v kin thng thi nhm nâng cao chng hiu qu ca quá trình ging dy và hc tp ca hc sinh lp 11, 12 m rng kin thc cho hc sinh nhm phát huy tinh thn t giác hc tp c o trong hc tp ca h các em t tin t thành tích cao trong các kì thi tuyn sinh. 3. Đối tƣợng nghiên cứu:  Bài toán Ging giác.  Hc sinh khi 11, 12, hi hc.  Nán THPT. 4. Giới hạn phạm vi và nội dung nghiên cứu  Các bài báo và các tài liu n bài toán Ging giác. Sách giáo khoa môn Toán bc PTTH và bi s và Gii tích - Lp 10i tích lp 11. Sách    n và nâng cao lp 10. Sách gin lp 11. Tài liu ôn thi . Sách tham kho b môn Toán lp 10;11.  Ni dung nghiên cu: Tp trung nghiên c lý lun và thc ti rút kinh nghing dy và trình bày bài toán Gi ng giác  c sinh nm vng các khái ni  nh lí, các           ng gp t t phân tích và s dng chúng trong tng ng hp c th mt cách linh hot sáng to. Giúp các em nâng cao nhn thc lp sáng to, kiên trì trong hc tp nói chung và môn  khác i sng sinh hot.  Áp d tài: Khi 11, hc sinh ôn thi tuyn si hc - ng THPT Trn Nht Dut. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu:  Trình bày mt s ng giác.  Trình bày mt s   ng giác  kì thi tuyng , i hc khi A; B; D.  Trình bày mt s kin th  n ni dung c              . 6. Phƣơng pháp nghiên cứu  u lý thuyt.  , tng hp. 7. Thời gian nghiên cứu và kế hoạch thực hiện  Thi gian nghiên c c phân công ging dy ban KHTN và ln A bc THPT t n nay.  K hoch thc hi tài: 1) Thu thc hi kinh nghim t tài liu và t ng nghip. 2) Hè 2011 c 2011- 2012, trình bày lý thuyt tng quan v bài toán ging giác. 3) Trình bày mt s bài toán ging giác vn dng trong  c nâng cao và  mt s kì thi tuyi hc khi A; B; D.   ánh giá và rút kinh nghi  tài sau quá trình vn dng. Áp dng trong nhc tip theo. PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1. Cơ sở pháp lý i my hc th ch hóa trong lut giáo dc c th hóa trong các ch th ca B giáo d tn công nghip hóa hii hóa vi mc t nam t mc nông nghip v n tr thành mt c công nghip, hi nhp vi cng quc t. Nhân t quynh thng li ca công cuc công nghip hóa hic là hi nhi, là ngun lc phát trin v s ng và chng toàn ding nhu cu y mi giáo viên phi xây dng và hình thành mt nn tng kin th n và trên chun. c mà th ng chính ph tip tng công cuc vng " Mi thy giáo, cô giáo là mt tc t hc và sáng to", " Xây dng hc thân thin, hc sinh tích c ng ng và thc hin cuc v Toán-ng THPT Trn Nht Dun  gng vn dng và áp dng công ngh o trong vic xây dng và thc hin k hoch làm dng c hc tng dn hc sinh cùng tham gia làm dng c hc tp, làm tiu lun. Giúp hc sinh gi môn Toán, to s t tin chin thc b môn. 2. Cơ sở thực tiễn Trong thc t thi tuyi hc luôn có bài toán ging giác và nó chim ca bài thi. Mc dù kin th gic trang b  1 ci s và Gii tích lp 11 ri hc sinh thì không phi là bài toán d bài thì   không phi là nh dng trc tip ng g     ,                     .                  . Nguyên nhân có th c s có cái nhìn tng quan và bn cht ca vic gia th trình bày lý thuyt và thi gian vn dng gii quyt bài toán này theo phân ph không nhiu. i quyt nó cn nhi. Qua thc t kho sát kt qu thi, và qua quá trình dy hc tôi thy hnh, phân lo cho v nh có cách gii vào mc tiêu và nhim v giáo dc, nhm nâng cao hiu qu ca vic dy và hc, rèn luyn kin th hc kt qu cao nha ch trình bày  tài này. CHƢƠNG 2: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI u tài liu trình bày n tài này trong các sách tham kho b môn Toán, và tài liu ôn luyn thi môn toán cùng vi các n i vi các em hc sinh lp 11, 12 c bit hc sinh không phi lp chn ca nhà ng thì vic tìm tài liu và xây dng cho mình kin thc v n  c thu kin khác. Ngay t nh p và trang b tài liu cho mình và mt b phn hc sinh có nim say mê có s  cho vic h ng dn các em tng hp và trình bày tiu lun v   o sát và nm bt nhng v  các em gp phi, cùng vi nhng v mà các em hc sinh ng mc khi hc  t  này. Lúc mng dn thì có ít em hc sinh gii quyt tri bài toán nàyc bi    ng có tâm lí ngi c nên b quang dn thì nhng hc sinh có lc hc b môn Toán t Trung bình tr i và gii quyc  thi mt cách nhanh chóng và d i s hc sinh còn lt phân loi và có li gii tt. C th: Khi kho sát       " "                    45       2010-2011; 2011- 2012 kt qu  sau: m kho sát            ca hc sinh   2010-2011 Bảng 1 m kho sát            ca hc sinh   2011-2012 Bảng 2  Gii Khá TB Yu Kém TB ↑ Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % 217 7 3,2 15 6,9 51 23,5 95 43,8 49 22,6 73 33,6  Gii Khá TB Yu Kém TB ↑ Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % 205 5 2,4 15 7,3 56 27,3 86 42,0 43 21 76 37,1 CHƢƠNG 3: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Xut phát t thc t, hng quên kin th b qua bài toán khi gp các bài toán l                  mà không ch  thành bài toán quen   t cách làm.        .Tôi thy cn phng dng, giúp các em làm ch kin thc t  tin vào kh c tp ca mình. T   gii quyt các yêu cu và hoàn thành mc tiêu hc tp ca bn thân.  thc hi c hic: c 1: - Thu thp và nghiên cu tài liu, tham kho ý kin cng nghip. - Kho sát chng hc sinh. - Trang b tài ling dn hc sinh làm tiu lun v ni dung c tài. c 2: - Thc hin ni dung nghiên cu - Trang b mt s kin thc chun b cho ni dung c tài mà h c hc t  (1). - Trang b mt s          ,          , ph             (2). -  c hc          (      ). - Vn dng các ng ng ng gp trong thc hành gii toán. c 3: - Kho sát kt qu vn dng ca hc sinh. - Rút kinh nghim cho nh A. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC  gii m   u ki nh.   mt trong các d có các gii, và tin hành git.  So sánh các nghi  c v u ki    loi b   nghim ngoi lai.                   .             .               -   tan           : ;. 2 x k k      -   cot           : ;.x k k   Ngoài mt s d  ng giác              pháp t gii tt c các dng giác vì chúng rng li chung là s dng các phép bi      c gi v vic gii mt hay mt s   ng giác  n hoc dng quen thuc.Vi mng giác c th ta phi tìm  nhng cách bii thích hc nh các công thng giác và kh i thành tho các công th               t vai trò quan trng trong khi gii ng giác. Ngoài ra chúng ta còn s dt n ph  gi ng giác.   t s     gi  ng giác và mt s ví d minh ha. 1. Phƣơng pháp dùng các phép biến đổi             . Ví dụ 1. Gi cos3 sin2 sin4x x x (3.1) Giải cos3 sin2 sin4x x x cos3 sin2 sin4 0 cos3 2cos3 sin 0 x x x x x x        cos3 (1 2sin ) 0xx   63 cos3 0 63 2 ;( ). 1 5 6 sin 2 2 5 6 2 6 xk x xk x k k x xk xk                                         V (3.1) có nghim: 63 xk   ; 5 2 6 xk    ; k  .                             b                . Ví dụ 2. Gi: sin5 cos3 sin6 cos2 0x x x x (3.2) Giải: S dng công thc bii tích thành tng chúng ta có 11 sin5 cos3 sin6 cos2 0 (sin8 sin2 ) (sin8 sin4 ) 0 22 x x x x x x x x       sin4 sin2 0 sin4 sin2 ; 63 xk x x x x k xk                 Vm: ;; 63 x k x k k                                                    .                              ,                                  i     . : Ví dụ 3. Gi 1 sin cos3 cos sin2 cos2x x x x x     (3.3) Giải: Chúng ta có: 1 sin cos3 cos sin2 cos2x x x x x     1 sin cos3 cos sin2 cos2 0x x x x x       sin (1 cos2 ) (cos3 cos ) sin2 0x x x x x       2 sin 2sin 2sin2 sin sin2 0x x x x x     sin (1 2sin ) 2sin2 (2sin 1) 0x x x x     sin (1 2sin )(1 2cos ) 0x x x    sin 0 2 6 1 sin ; . 7 2 2 6 1 cos 2 2 3 xk x xk xk xk x xk                                          V (3.3) có nghim: 7 ; 2 ; ; 2 ( ) 6 6 3 x k x k x k x k k                  Ví dụ 4. Gi 2 2 2 cos 2 cos cos 3 1x x x   (3.4) Giải: S dng công thc h b   (3.4)   vi 2 cos2 cos4 2cos 3 0 2cos3 (cos cos3 ) 0 2 cos 0 4cos cos2 cos3 0 cos2 0 ( ). 42 cos3 0 63 x x x x x x xk x x x x x x k k x xk                                      V (3.4) có nghim: ; ; ; . 2 4 2 6 3 x k x k x k k              Ví dụ 5. Gi: 33 cos3 cos sin3 sin 0x x x x (3.5) Giải: S dng công thc góc nhân ba chúng ta có: 3 cos3 3cos 3sin sin3 cos ;sin3 44 x x x x xx    3 (3.3) cos3 (cos3 3cos ) sin3 (3sin sin3 ) 0 3(cos3 cos sin3 sin ) cos6 0 3cos2 cos6 0 4cos 2 0 cos2 0 , . 2 x x x x x x x x x x x x x x x x k k                       V (3.5) có nghim: , 2 x k k      Ví dụ 6. Tìm tt c các giá tr c m   6 6 4 4 sin cos sin cosx x a x x   (3.6) [...]... ̀ cos x  1  Lưu ý: Đối với những phương trình lượng giác chứa các cung và góc lượng giác mang tính chất phức tạp chúng ta có thể dùng phương pháp biến đổi để giải phương trình lượng giác nhưng quá trình biến đổi này dễ gặp sai sót Để tránh những sai sót đáng tiếc chúng ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến để biế n đổ i phương trình ban đầu về phương trình chứa các cung t;2t;3t; ; kt rồi... các nghiệm của phương trình trung gian (*), việc giải phương trình lượng giác đã cho sẽ quy về việc giải các phương trình cơ bản hoặc phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx dạng hay sin x  cos x  t (Xem thêm ở mục 2.3 và 2.5 Phụ lục 2) Sau đây là một số ví dụ minh họa cho phương pháp này: Ví dụ 9: Giải phƣơng trình sau: sin 2 x(tan x  1)  3sin x(cos x  sin x)  3 (3.9) Giải: Điều kiện... trong quá trình biến đổi, thu gọn phương trình lượng giác Trong các phầ n sau cách biế n đổ i này sẽ còn được minh hoạ thêm qua một số ví dụ nữa Vâ ̣y phƣơng trinh (*) có nghiệm: x  ̀ 3.2 Phƣơng pháp đổi biến Bằng cách đưa ra một ẩn t  f ( x) thích hợp nào đó chúng ta có thể đưa việc giải một phương trình lượng giác về giải một phương trình đại số ẩn t (gọi là phương trình trung... 3  k ; k  Chú ý: Trong phương trình (3.9), sau khi biến đổi thành phương trình chỉ chứa một hàm lượng giác( hàm tan x) chúng ta có thể đặt t = tan x,để chuyển thành phương trình f(t) = 0, chúng ta cũng có thể coi đây là phương trình ẩn là tan x mà không cần phải đặt t như đã trình bày ở trên x Ví dụ 10: Giải phƣơng trình sau: 2cos2 (2  sin x )  sin x  0 (3.10) 2 Giải: x Chúng ta có : 2cos 2... 4 3.3 Phƣơng pháp đánh giá Trong phương pháp này chú ng ta sẽ sử dụng các bấ t đ ẳng thức đại số hay lượng giác , hoặc tính chấ t c ủa hàm số để so sánh , đánh giá hai vế của phương trình và đi đến kết luận phương trình chỉ đúng khi và chỉ khi dấ u đẳ ng thưccủa các ́ bấ t đẳ ng thưc xảy ra ́ Phương pháp này được áp dụng khi giải một số phương trình lượng giác thuộc loại... 4 Trên đây là 3 phương pháp thường sử dụng trong viê ̣c giải phương trì nh lượng giác với 26 ví dụ minh hoạ cho các phương pháp này Thông qua các ví dụ người học và làm toán sẽ đúc rút được các kĩ năng kĩ thuật giải phương trình lượng giác cho riêng mình Bên cạnh đó tôi cũng đã cố gắ ng trình bày một số ví dụ để thấy được rằng phương trình lượng giác không hề tách... "không mẫu mực" Chúng ta đánh giá phương trình dựa trên các dạng:  Tính chất của các hàm số và biểu thức  Phương trình lượng giác dạng Pitago  Sử dụng bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân  Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski … Chúng ta sẽ minh họa phương pháp này thông qua một số ví dụ sau: Ví dụ 17: Giải phƣơng trình: cos7 x  sin 4 x  1 Giải: Chúng ta có: sinx  1  sin 4... nội dung của đề tài  Nghiên cứu và trình bày có hệ thống đầy đủ kiến thức để giải quyết bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác qua đó có phân tích và nêu những sai lầm hay mắc phải để học sinh khắc sâu kiến thức và phân loại tốt các dạng toán  Nghiên cứu một số bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác vận dụng trong chƣơng trình ở cấp độ cao vâ ̣ du ̣ng giải toán thi tuyển sinh đại học  Thông qua... 6 Giải phƣơng trình: 2 2(sin x  cos x)cos x  3  cos2 x (4.6) Giải (4.6)  2 2 sin x cos x  2 2 cos 2 x  3  cos 2 x  2 sin 2 x  ( 2  1)cos 2 x  3  2 Đây là phƣơng trình có dạng: a sin 2 x  b cos2 x  c với a  2; b  2  1; c  3  2 Vì a 2  b2  5  2 2  c 2  7  6 2 nên phƣơng trình (4.6) vô nghiệm     Bài 7 Giải phƣơng trình: 1  3 sin x  1  3 cos x  2 (4.7) Giải sin x  0... nghiệm: x  k 2 ; x     k 2 ; k  2 Khi sử dụng phép biế n đổ i để giải phương trình lượng giác thực chấ t là chúng ta đã sử dụng các phép biến đổi đại số kết hợp với công thức lượng giác , vì thế cách giải nhiề u phương trình lượng giác giố ng với các h giải của phương trình và hệ phương trình đại số Chúng ta xem xét Ví dụ 6 và bài toán: Bài toán 1 Tìm tấ t cả các . BÁI TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRẦN NHẬT DUẬT MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC H và tên: Hồ Hải Hà Chc v: Giáo viên T chuyên. thi tuyn sinh t thành tích cao tôi la ch tài: " MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC " 2. Mục đích nghiên cứu  Nghiên cu mt s kin thn. sinh. - Rút kinh nghim cho nh A. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC  gii m  