phương pháp giải phương trình lượng giác 3

CHƯƠNGV PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x = c (1) Cá c h giả i Đặt t = sin x + cos x với điều kiện t ≤ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ Thì t = sin ⎜ x + ⎟ = cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ Ta coù : t = + sin x cos x nên (1) thành b t −1 = c ⇔ bt + 2at − b − 2c = Giả i (2) tìm t, rồ i so vớ i điề u kiệ n t ≤ at + ( ) π⎞ ⎛ sin ⎜ x + ⎟ = t ta tìm đượ c x 4⎠ ⎝ Bà i 106 : Giả i phương trình sin x + sin2 x + cos3 x = ( *) giả i phương trình ( ) (*) ⇔ sin x (1 + sin x ) + cos x − sin2 x = ⇔ (1 + sin x ) = hay sin x + cos x (1 − sin x ) = ⎡sin x = −1 (1 ) ⇔⎢ ⎢sin x + cos x − sin x cos x = ( ) ⎣ π • (1) ⇔ x = − + k2π ( k ∈ Z ) π⎞ ⎛ •Xét ( ) : đặt t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ điều kiện t ≤ t = + sin x cos x t2 − Vaä y (2) thaø n h t − =0 ⇔ t − 2t − = ⎡t = − ⇔⎢ ⎢ t = + ( loaïi ) ⎣ π⎞ ⎛ Do ( ) ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = − 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = − = cos ϕ với < ϕ < 2π 4⎠ ⎝ π = ±ϕ + h2π, h ∈ , với cos ϕ = −1 π ⇔ x = ± ϕ + h2π, h ∈ , với cos ϕ = −1 ⇔ x− sin 2x ( *) ( *) ⇔ −1 + ( sin x + cos x )(1 − sin x cos x ) = sin 2x π⎞ ⎛ Đặt t = sin x + cos x = sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Bà i 107 : Giả i phương trình −1 + sin x + cos3 x = Thì t2 = + 2sin x cos x ⎛ t2 − ⎞ Vậ y (*) n h : −1 + t ⎜ − t −1 ⎟= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ( ) ( ⇔ −2 + t − t = t − ) ) ⇔ t + 3t − 3t − = ( ) ⇔ ( t − 1) t + 4t + = ⇔ t = ∨ t = −2 + ∨ t = −2 − ( loaïi ) π⎞ π ⎛ với t = sin ⎜ x + ⎟ = = sin 4⎠ ⎝ π π π 3π ⇔ x + = = k2π ∨ x + = + k2π, k ∈ 4 4 π ⇔ x = k2π ∨ x = + k2π , k ∈ π⎞ 3−2 ⎛ = sin ϕ vớ i t = − sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ ⎝ ⇔ x+ π π 3−2 = ϕ + m2π ∨ x + = π − ϕ + m2π, m ∈ , với = sin ϕ 4 ⇔ x =ϕ− π 3π + m2π ∨ x = − ϕ + m2π, m ∈ , với 4 Bà i 108 :Giả i phương trình 3−2 2 ( sin x + cos x ) = tgx + cot gx ( *) ⎧sin x ≠ Điề u kiệ n ⎨ ⇔ sin 2x ≠ ⎩cos x ≠ sin x cos x Lú c (*) ⇔ ( sin x + cos x ) = + cos x sin x = sin ϕ sin2 x + cos2 x ⇔ ( sin x + cos x ) = = sin x cos x sin x cos x π⎞ ⎛ Đặt t = sin x + cos x = sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin x cos x với t ≤ t ≠ t −1 ⇔ 2t − 2t − = (Hiể n nhiê n t = ±1 khô n g nghiệ m ) (*) thàn h ( ⇔ t− 2t = )( ) 2t + 2t + = ⎡t = ⇔⎢ ⎢ t + 2t + = ( vô nghiệm ) ⎣ π⎞ ⎛ Vậ y ( *) ⇔ sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ ⇔ sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ ⎝ π π ⇔ x + = + k2π, k ∈ π ⇔ x = + k2π, k ∈ Bà i 109 : Giả i phương trình ( cot gx − cos x ) − ( tgx − sin x ) = ( *) Vớ i điề u kiệ n sin 2x ≠ , nhâ n vế phương trình cho sinxcosx ≠ : ( *) ⇔ cos2 x (1 − sin x ) − sin2 x (1 − cos x ) = sin x cos x ⇔ cos2 x (1 − sin x ) − sin2 x (1 − cos x ) = sin x cos x − sin x cos x ⇔ cos x ⎡cos x (1 − sin x ) + sin x ⎤ − sin x ⎡sin x (1 − cos x ) + cos x ⎤ = ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⇔ cos x ( cos x − sin x cos x + sin x ) − sin x ( sin x − sin x cos x + cos x ) = ⎡sin x + cos x − sin x cos x = (1) ⇔⎢ ( 2) ⎢3 cos x − sin x = ⎣ ( Ghi chuù : A.B + A.C = A.D ⇔ A = hay B + C = D ) π⎞ ⎛ Giả i (1) Đặ t t = sin x + cos x = sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Thì t2 = + 2sin x cos x vớ i điề u kiệ n : t ≤ vaø t ≠ ±1 (1) thaøn h : t − t2 − = ⇔ t − 2t − = ( ) ⎡ t = + loaïi t ≤ ⇔⎢ ⎢ t = − ( nhận so với điều kiện ) ⎣ π⎞ 1− ⎛ Vậ y sin ⎜ x + ⎟ = = sin α ( < α < 2π ) 4⎠ ⎝ π π ⎡ ⎡ x + = α + k2π x = α − + k2π ⎢ ⎢ 4 ⇔⎢ ⇔⎢ π 3π ⎢ x + = π − α + k2π, k ∈ ⎢x = − α + k2π, k ∈ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ 4 ( 2) ⇔ tgx = = tgβ ⇔ x = β + hπ, h ∈ ( với < β < π ) Bà i 110 : Giả i phương trình 3tg3 x − tgx + (1 + sin x ) cos x ⎛π x⎞ = cos2 ⎜ − ⎟ ( *) ⎝4 2⎠ Điề u kiệ n : cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 ⎡ ⎛π ⎞⎤ Lú c : (*) ⇔ tgx 3tg x − + (1 + sin x ) + tg x = ⎢1 + cos ⎜ − x ⎟ ⎥ ⎝2 ⎠⎦ ⎣ = (1 + sin x ) ( ) ( ) ⇔ tgx ( 3tg2 x − 1) + (1 + sin x ) ⎡3 (1 + tg2 x ) − ⎤ = ⎣ ⎦ ⇔ ( 3tg x − 1) ( tgx + + sin x ) = ⇔ ( 3tg x − 1) ( sin x + cos x + sin x cos x ) = ⎡3tg x = (1) ⇔⎢ ⎢sin x + cos x + sin x cos x = ⎣ (2) π ⇔ tgx = ± ⇔ x = ± + kπ 3 π⎞ ⎛ • Giải ( ) đặt t = sin x + cos x = sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ t ≠ ±1 •(1) ⇔ tg x = Thì t = + sin x cos x t2 −1 (2) thaøn h : t + = ⇔ t + 2t − = ⎡ t = −1 − loại điều kiện t ≤ ⇔⎢ ⎢ t = −1 + ( nhận so với điều kiện ) ⎣ ( ) −1 π⎞ ⎛ Vaä y sin ⎜ x + ⎟ = = sin ϕ 4⎠ ⎝ π π ⎡ ⎡ ⎢ x + = ϕ + k2π, k ∈ ¢ ⎢ x = ϕ − + k2 π, k ∈ ¢ ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢ x + π = π − ϕ + k2π, k ∈ ¢ ⎢ x = 3π − ϕ + k2 π, k ∈ ¢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ Bà i 111 : Giả i phương trình 2sin x − sin x = cos3 x − cos x + cos2x ( *) (*) ⇔ ( sin x − cos3 x ) − ( sin x − cos x ) + sin x − cos2 x = ⇔ sin x − cos x = hay (1 + sin x cos x ) − + ( sin x + cos x ) = ⎡sin x − cos x = (1) ⇔⎢ ⎢sin x + cos x + sin 2x + = ( ) ⎣ • (1) ⇔ tgx = ⇔x= π + kπ, k ∈ ¢ π⎞ ⎛ t = sin x + cos x = cos x ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n : t ≤ •xét ( ) đặt t = + sin 2x Vaäy ( ) thaønh t + ( t − 1) + = ⇔ t ( t + 1) = ⇔ t = ∨ t = −1 π⎞ ⎛ Khi t = cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ π π ⇔ x − = ( 2k + 1) , k ∈ ¢ 3π ⇔x= + kπ, k ∈ ¢ π⎞ 3π ⎛ Khi t = −1 cos ⎜ x − ⎟ = − = cos 4⎠ ⎝ π 3π ⇔ x− =± + k2 π, k ∈ ¢ 4 π ⇔ x = π + k2 π hay x = − + k2 π, k ∈ ¢ Bà i 112 : Giả i phương trình sin x + sin x + sin3 x + sin x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x ( *) Ta coù : (*) ⇔ ( sin x − cos x ) + ( sin x − cos2 x ) + ( sin x − cos3 x ) + ( sin x − cos4 x ) = ⇔ ( sin x − cos x ) = hay + ( sin x + cos x ) + (1 + sin x.cos x ) + ( sin x + cos x ) = ⎡sin x − cos x = (1) ⇔⎢ ⎢2 ( sin x + cos x ) + sin x cos x + = ( ) ⎣ Ta coù : (1) ⇔ tgx = π ⇔ x = + kπ, k ∈ ¢ π⎞ ⎛ Xé t (2) : đặ t t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Thì t = + sin x cos x t2 −1 +2 = (2) thaø n h 2t + ⇔ t + 4t + = ⇔ t = −1 ∨ t = −3 ( loaïi ) π⎞ 3π ⎛ t = -1 cos ⎜ x − ⎟ = − = cos 4⎠ ⎝ π 3π ⎡ + k2 π, k ∈ ¢ x− = ⎢ 4 ⇔⎢ ⎢ x − π = − 3π + k2 π, k ∈ ¢ ⎢ 4 ⎣ ⎡ x = π + k2 π, k ∈ ¢ ⇔⎢ ⎢ x = − π + k2 π, k ∈ ¢ ⎣ ( ) Bà i 113 : Giả i phương trình tg x − sin x + cos3 x − = ( *) Điề u kiệ n : cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 sin x Lú c (*) ⇔ (1 − sin3 x ) + cos3 x − = cos x ⇔ (1 − cos x )(1 − sin x ) − (1 − cos3 x )(1 − sin x ) = ⇔ (1 − cos x )(1 − sin x ) = hay (1 + cos x ) (1 + sin x + sin x ) − (1 + cos x + cos2 x ) (1 + sin x ) = ⎡ cos x = ( nhận điều kiện ) ⎢ ⇔ ⎢sin x = ( loại điều kieän ) ⎢ 2 2 ⎢sin x + sin x cos x − cos x − sin x cos x = ⎣ ⎡ cos x = ⇔⎢ 2 ⎣sin x − cos x + sin x cos x ( sin x − cos x ) = ⎡ cos x = ⇔⎢ ⎣sin x − cos x = hay sin x + cos x + sin x cos x = ⎡ cos x = ∨ tgx = ⇔⎢ ⎣sin x + cos x + sin x cos x = ⎡ x = k2 π, k ∈ ¢ ⎢ π ⇔ ⎢ x = + kπ, k ∈ ¢ ⎢ ⎢sin x + cos x + sin x cos x = ⎣ xeù t pt sin x + cos x + sin x cos x = đặ t π⎞ ⎛ t = sin x + cos x = cos x ⎜ x − ⎟ điều kiện t ≤ vaø t ≠ ±1 4⎠ ⎝ ⇒ t = + sin x cos x t2 − Ta đượ c phương trình t + = ⇔ t + 2t − = ⎡ t = −1 − ( loaïi ) ⇔⎢ ⎢ t = − + ( nhận so với đk ) ⎣ π⎞ −1 ⎛ = cos ϕ Vaä y cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ π π ⇔ x − = ±ϕ + k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = ± ϕ + k2 π, k ∈ ¢ 4 ( ) Bà i 114 : Cho phương trình m ( sin x + cos x + 1) = + sin 2x ( *) ⎡ π⎤ Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạ n ⎢ 0, ⎥ ⎣ 2⎦ π⎞ ⎛ Đặ t t = sin x + cos x = sin ⎜ x − ⎟ , điề u kiệ n t ≤ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin x Vậ y (*) thaø n h : m ( t + 1) = t π π π 3π ≤ x + ≤ 4 π⎞ ⎛ ≤ sin ⎜ x + ⎟ ≤ Do 4⎠ ⎝ ⇔1≤ t ≤ ta coù m ( t + 1) = t Neá u ≤ x ≤ t2 (do t = -1 khoâ n g nghiệ m củ a phương trình) t +1 t2 Xé t y = ⎡1, ⎤ ⎣ ⎦ t +1 t + 2t Thì y ' = > ∀t ∈ ⎡1, ⎤ ⎣ ⎦ ( t + 1) ⇔m= Vậ y y tă n g treâ n ⎡1, ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ π⎤ Vậ y (*) có nghiệ m trê n ⎢1, ⎥ ⇔ y (1) ≤ m ≤ y ⎣ 2⎦ ⇔ ≤ m ≤ 2 −1 ( ) ( 2) Bà i 115 : Cho phương trình cos3 x + sin x = m sin x cos x ( *) a/ Giả i phương trình m = b/ Tìm m để (*) có nghiệ m Ta coù : (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = m sin x cos x π⎞ ⎛ Đặ t t = sin x + cos x = cos x ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ ( ) Thì t = + sin x cos x ⎛ t2 − ⎞ ⎛ t2 − ⎞ = m⎜ Vậ y (*) n h t ⎜ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⇔ t ( − t ) = m ( t − 1) a/ Khi m = ta coù phương trình t ( − t ) = ( t − 1) ( ) ⇔ t + 2t − 3t − = ( )( ) ⇔ t − t + 2t + = ⇔ t = hay t = − + hay t = − − 1( loaïi ) π⎞ π π ⎛ Vậ y • cos x ⎜ x − ⎟ = ⇔ x − = k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = + k2 π, k ∈ ¢ 4⎠ 4 ⎝ π ⎞ 1− ⎛ • cos ⎜ x − ⎟ = = cos α 4⎠ ⎝ π π ⇔ x − = ±α + k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = ± α + k2π, k ∈ ¢ 4 2 b/ Xé t phương trình t ( − t ) = k ( t − 1) ( **) Do t = ±1 khô n g nghiệ m củ a (**) neâ n 3t − t * *) ⇔ m = ( t −1 3t − t Xeù t y = ( C ) treân ⎡− 2, ⎤ \ {±1} ⎣ ⎦ t −1 −t − < 0∀t = ±1 Ta coù y ' = t − 1) ( suy y giảm ( −1,1 ) lim y = + ∞ , lim− y = − ∞ x → − 1+ x→ Do ( − 1,1 ) ⊂ ⎡ − 2, ⎤ \ {±1} ta coù ⎣ ⎦ 3t − t với ∀m ∈ R (d) y = m caét (C) y = t −1 Vậ y (*) có nghiệ m ∀m ∈ R Bà i 116 : Cho phương trình 1⎛ 1 ⎞ m ( sin x + cos x ) + + ⎜ tgx + cot gx + + = ( *) 2⎝ sin x cos x ⎟ ⎠ a/ Giả i phương trình m = ⎛ π⎞ b/ Tìm m để (*) có nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ Với đ iều kiện sin 2x ≠ ta có ⎛ sin x cos x 1 ⎞ (*) ⇔ m ( sin x + cos x ) + + ⎜ + + + =0 ⎝ cos x sin x sin x cos x ⎟ ⎠ ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + (1 + cos x + sin x ) = ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + + cos x + sin x = ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = ⎡sin x + cos x = (1) ⇔⎢ ⎢ m sin 2x + sin x + cos x + = ( ) ⎣ π⎞ ⎛ Xé t (2) đặ t t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin x Do sin 2x ≠ neân t ≤ t = ±1 ⎡t = Vậ y (*) thaø n h : ⎢ ⎢ m ( t − 1) + t + = ⎣ ⎡ t = ( nhận so điều kiện ) ⇔⎢ ( t ≠ −1) ⎢ m ( t − 1) + = ⎣ a/ Khi m = ta đượ c : ⎡t = ⎢ ⎢ t = − ( loaïi điều kiện ) ⎣ Vậ y sinx + cosx = ⇔ tgx = −1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ ¢ π π π π b/ Ta coù : < x < ⇔ − < x − < 4 Luù c ñoù π⎞ ⎛ < cos ⎜ x − ⎟ ≤ ⇒ < t ≤ 2 4⎠ ⎝ Do t = ∉ 1, ⎤ ⎦ ( Nê n ta xé t phươn g trình : m ( t − 1) + = ( **) (**) ⇔ mt = m − 1 (do m = (**) vô nghiệ m ) m Do : yê u cầ u bà i toaùn ⇔ < − ≤ m ⎧ ⎧m < ⎪− m > ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪1 − ≤ ⎪m ≤ − = − − ⎩ ⎪ m ⎩ ⇔ t = 1− ⇔ m ≤ − −1 Baø i 117 : Cho f ( x ) = cos2 2x + ( sin x + cos x ) − 3sin 2x + m a/ Giả i phương trình f(x) = m = -3 b/ Tính theo m giá trị lớ n nhấ t giá trị nhỏ f(x) Tìm m cho ⎡ f ( x ) ⎤ ≤ 36 ∀x ∈ R ⎣ ⎦ ( π⎞ ⎛ Đặ t t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ điều kiện t ≤ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin x Vaø cos2 2x = − sin 2x = − ( t − 1) = −t + 2t 2 Vaä y f ( x ) thaønh g ( t ) = − t + 2t + 2t − ( t − 1) + m a/ Khi m = -3 g(t) = ⇔ −t t − 2t + = ( ) ⇔ t = 0∨ t =1 m = -3 f( x) = π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = hay cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ π π π π ⇔ x − = ( 2k + 1) hay x − = ± + k2π, k ∈ ¢ 4 3π π ⇔x= + kπ hay x = + k2 π ∨ x = k2 π, k ∈ ¢ b/ Ta có g ' ( t ) = −4t + 6t − 2t = −2t ( 2t − 3t + 1) ⎧g ' ( t ) = ⎪ Vaä y ⎨ ⇔ t = ∨ t = 1∨ t = ⎪t ∈ ⎡ − 2, ⎤ ⎦ ⎩ ⎣ ⎛ ⎞ 47 Ta coù : g ( ) = + m = g (1) , g⎜ ⎟ = +m ⎝ ⎠ 16 g ( 2) = − + m, g ( 2) = m −3−4 ) Vaä y : Maxf ( x ) = Max g ( t ) = m + t∈ ⎡ − , ⎤ ⎣ ⎦ x∈ ¡ Minf ( x ) = x∈ R Min g ( t ) = m − − t ∈ ⎡− , ⎤ ⎣ ⎦ Do : ⎡ f ( x ) ⎤ ≤ 36, ∀x ∈ R ⇔ −6 ≤ f ( x ) ≤ 6, ∀x ∈ R ⎣ ⎦ ⎧Max f ( x ) ≤ ⎪ ⇔⎨ R ⎪Min f ( x ) ≥ − ⎩ R ⎧m + ≤ ⎪ ⇔⎨ ⎪m − − ≥ −6 ⎩ ⇔ −3 ≤ m ≤ ( ) Caù c h c : Ta có g ( t ) = −t t − 2t + + + m = − ⎡ t ( t − 1) ⎤ + + m ⎣ ⎦ Đặ t u = t − t ⎡ ⎤ Khi t ∈ ⎡ − 2, ⎤ u ∈ ⎢ − ,2 + ⎥ = D ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Vaä y g ( t ) = h ( u ) = − u + + m Max f ( x ) = R Min f ( x ) = R Max g ( t ) = Max h ( u ) = m + u∈D t ∈ ⎡− , ⎤ ⎣ ⎦ Min ⎡ ⎤ t ∈ ⎣− , ⎦ g ( t ) = Min h ( u ) = m − − u∈D Chú ý : Phương trình giả đố i xứ n g a ( sin x − cos x ) + b ( sin x cos x ) = ñaë t t = sinx – cosx π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ t = sin ⎜ x − ⎟ = − cos ⎜ x + ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ vớ i điề u kiệ n t ≤ t = − sin x cos x Bà i 118 : Giả i phương trình 2sin x + cot gx = 2sin 2x + ( *) Điề u kiệ n : sin x ≠ ⇔ cos x = ±1 cos x Luù c ñoù (*) ⇔ sin x + = sin x cos x + sin x ⇔ sin2 x + cos x = sin2 x cos x + sin x ( ) ⇔ sin2 x − sin x − cos x sin2 x − = ⇔ sin x ( sin x − 1) − cos x ( sin x − 1) ( sin x + 1) = ⇔ sin x − = hay sin x − cos x ( sin x + 1) = ⎡2 sin x − = ⇔⎢ ⎢sin x − cos x − sin 2x = ⎣ (1 ) ( 2) • Ta có (1) ⇔ sin x = ⇔x= ( nhaän sin x ≠ 0) π 5π + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ 6 • Xét ( ) Đặt t = sin x − cos x = π⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ t ≠ ± Thì t2 = − sin 2x Vậ y (2) thaø n h : t − − t = ( ) ⇔ t2 + t − = −1 + −1 − ⇔t= ∨t= ( loaïi ) 2 π ⎞ −1 + ⎛ Do : sin ⎜ x − ⎟ = nhận t ≤ t ≠ ±1 4⎠ ⎝ π⎞ −1 ⎛ ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin ϕ 4⎠ 2 ⎝ π ⎡ ⎢ x − = ϕ + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x − π = π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢ ⎣ π ⎡ ⎢ x = ϕ + + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x = 5π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢ ⎣ ( ) Baø i 119 : Giả i phương trình cos 2x + = ( − cos x )( sin x − cos x )( *) ( ) Ta coù : ( *) ⇔ cos2 x − sin2 x + = ( − cos x )( sin x − cos x ) ⇔ ( sin x − cos x ) ⎡ ( − cos x ) + ( sin x + cos x ) ⎤ − = ⎣ ⎦ ⇔ ( sin x − cos x ) [sin x − cos x + 4] − = π⎞ ⎛ Đặ t t = sin x − cos x = sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ (*) thaøn h : t ( t + ) − = ⇔ t + 4t − = ⇔ t = ∨ t = −5 ( loaïi ) π⎞ π ⎛ Vaä y ( *) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin 4⎠ ⎝ π π π 3π = + k2π ∨ x − = + k2π, k ∈ 4 4 π ⇔ x = + k2π ∨ x = π + k2π, k ∈ ⇔ x− Bà i 120 : Giả i phương trình cos3 x + sin x = cos 2x ( *) Ta coù (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = cos2 x − sin2 x ⇔ cos x + sin x = hay − sin x cos x = cosx − sin x ⎡sin x + cos x = ⇔⎢ ⎢sin x − cos x − sin x cos x + = ⎣ Ta coù : (1) ⇔ tgx = −1 ⇔x=− (1 ) ( 2) π + kπ, k ∈ π⎞ ⎛ Xé t (2) đặ t t = sin x − cos x = sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Thì t2 = − 2sin x cos x − t2 (2) thaøn h t − + = ⇔ t + 2t + = ⇔ t = −1 π⎞ ⎛ ⎛ π⎞ vaä y (2) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = − = sin ⎜ − ⎟ 4⎠ ⎝ ⎝ 4⎠ π π ⎡ x − = − + k2π, k ∈ ⎡ x = k2π, k ∈ ⎢ 4 ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢ x = 3π + k2π, k ∈ π 5π ⎢x − = + k2π, k ∈ ⎣ ⎢ ⎣ 4 Baø i 121 : Cho phương trình cos3 x − sin x = m (1 ) a/ Giả i phương trình (1) m = bằ n g cá c h đặ t ẩ n phụ t = cos x − sin x ⎡ π π⎤ b/ Tìm m cho (1) có đú n g hai nghiệ m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4⎦ Ta coù (1) ⇔ ( cos x − sin x )(1 + sin x cos x ) = m π⎞ ⎛ Đặ t t = cos x − sin x = cos ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Thì t2 = − 2sin x cos x ⎛ − t2 ⎞ Vaä y (1) thaø n h : t ⎜ + ⎟=m ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ⇔ t − t = 2m ( 2) a/ Khi m = (2) nh t3 − 3t + = ⇔ ( t − 1) t + t − = ( ) ⇔ t = ∨ t = −2 ( loaïi ) π⎞ π π ⎛ Vaä y cos ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = ± + k2π, k ∈ 4⎠ 4 ⎝ π ⇔ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈ π π π π⎤ ⎡ b/ Neá u x ∈ ⎢ − , ⎥ ≤ x + ≤ ⎣ 4⎦ π⎞ ⎛ neâ n ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ ⇔ ≤ t = cos ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ nhaä n xé t rằ n g vớ i t tìm đượ c trê n ⎡0, ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ π π⎤ ta tìm nhấ t mộ t x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4⎦ xeù t f ( t ) = −t + 3t treân ⎡0, ⎤ ⎣ ⎦ ⇒ f ' ( t ) = −3t + ⎡ π π⎤ vaä y (1) có đú n g hai nghiệ m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4⎦ ⇔ ( d ) y = 2m caét ( C ) y = −t + 3t ⎡0, ⎤ tạ i điể m phâ n biệ t ⎣ ⎦ ⇔ ≤ 2m < 2 ⇔ ≤ m