Phương pháp giải nhanh phương trình lượng giác bằng phương pháp đạo hàm

CHƯƠNG IX: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯ N G GIÁ C I GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ Bà i 173: ⎧2 cos x − = (1) ⎪ Giaû i hệ phương trình: ⎨ ( 2) ⎪sin 2x = ⎩ Ta coù : (1) ⇔ cos x = ⇔x=± π + k2π ( k ∈ Z ) π + k 2π thay vaø o (2), ta đượ c 3 ⎛ 2π ⎞ sin 2x = sin ⎜ + k4π ⎟ = ⎝ ⎠ π Vớ i x = − + k2π thay o (2), ta đượ c 3 ⎛ 2π ⎞ sin 2x = sin ⎜ − + k4 π ⎟ = − ≠ (loaï i ) 2 ⎝ ⎠ π Do nghiệ m hệ laø : x = + k 2π, k ∈ Vớ i Bà i 174: Cá c h 1: x= ⎧sin x + sin y = ⎪ Giaû i hệ phương trình: ⎨ π ⎪x + y = ⎩ x+y x−y ⎧ ⎪2 sin cos = ⎪ Hệ cho ⇔ ⎨ ⎪x + y = π ⎪ ⎩ π x−y x−y ⎧ ⎧ ⎪2.sin cos = ⎪cos = ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪x + y = π ⎪x + y = π ⎪ ⎪ 3 ⎩ ⎩ π ⎧ ⎧x− y x = + k 2π = k 2π ⎧ x − y = 4k π ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ (k ∈ Z ) π ⇔⎨ π π x+ y = ⎪x + y = ⎪ ⎪ y = − k 2π ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ Caù c h 2: Hệ cho π π ⎧ ⎧ ⎪y = − x ⎪y = − x ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪sin x + sin ⎛ π − x ⎞ = ⎪ cos x + sin x = ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝3 ⎠ ⎩ 2 ⎩ π ⎧ π ⎧ ⎪y = − x ⎪y = − x ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎛ ⎞ ⎪sin ⎜ π + x ⎟ = ⎪ π + x = π + k 2π ⎪3 ⎪ ⎝3 ⎩ ⎠ ⎩ π ⎧ ⎪ x = + k 2π ⎪ k∈ ⇔⎨ ⎪ y = π − k 2π ⎪ ⎩ Bà i 175: Giả i hệ phương trình: Cá c h 1: ⎧sin x + sin y = (1) ⎪ ⎨ ⎪cos x + cos y = (2) ⎩ x+y x−y ⎧ ⎪2 sin cos = (1) ⎪ ⇔⎨ Hệ cho ⎪2 cos x + y cos x − y = (2) ⎪ ⎩ 2 Laá y (1) chia cho (2) ta đượ c : x−y ⎛x+ y⎞ = khô n g nghiệ m củ a (1) (2) ) tg ⎜ ⎟ = ( cos ⎝ ⎠ x+ y π ⇔ = + kπ π π ⇔ x + y = + k 2π ⇔ y = − x + k 2π 2 ⎛π ⎞ thay o (1) ta đượ c : sin x + sin ⎜ − x + k2π ⎟ = ⎝2 ⎠ ⇔ sin x + cos x = π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ π ⇔ x − = h 2π, h ∈ π ⎧ ⎪ x = + h2π, h ∈ ⎪ Do : hệ cho ⇔ ⎨ ⎪ y = π + ( k − h ) 2π, k , h ∈ ⎪ ⎩ ⎧A = B ⎧A + C = B + D Cá c h 2: Ta có ⎨ ⇔⎨ ⎩C = D ⎩A − C = B − D Hệ cho ⎧( sin x − cos x ) + ( sin y − cos y ) = ⎪ ⇔⎨ ⎪( sin x + cos x ) + ( sin y − cos y ) = 2 ⎩ ⎧ ⎛ ⎪ sin ⎜ x − ⎪ ⎝ ⇔⎨ ⎪ sin ⎛ x + ⎜ ⎪ ⎝ ⎩ π⎞ π⎞ ⎛ ⎟ + sin ⎜ y − ⎟ = 4⎠ 4⎠ ⎝ π⎞ π⎞ ⎛ ⎟ + sin ⎜ y + ⎟ = 2 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎧ ⎛ π⎞ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ x − ⎟ + sin ⎜ y − ⎟ = ⎧ ⎛ π⎞ π⎞ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎪ ⎝ ⎪sin ⎜ x − ⎟ + sin ⎜ y − ⎟ = ⎪ ⎛ π⎞ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⇔ ⎨sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ ⎪sin ⎛ x + π ⎞ + sin ⎛ y + π ⎞ = ⎪ ⎝ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎛ 4⎠ 4⎠ π⎞ ⎝ ⎩ ⎝ ⎪sin ⎜ y + ⎟ = 4⎠ ⎩ ⎝ ⎧ π π ⎪ x + = + k 2π ⎪ π π ⎪ ⇔ ⎨ y + = + h 2π ⎪ ⎪ ⎛ π⎞ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ x − ⎟ + sin ⎜ y − ⎟ = ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎝ π ⎧ ⎪ x = + k2π ⎪ ⇔⎨ ⎪ y = π + h2π, h, k ∈ Z ⎪ ⎩ Baø i 176: ⎧ tgx − tgy − tgxtgy = ⎪ Giả i hệ phương trình: ⎨ ⎪cos 2y + cos 2x = −1 ⎩ (1) (2) Ta coù : tgx − tgy = + tgxtgy ⎧1 + tgxtgy = ⎧tg ( x − y ) = ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨ ⎨tgx − tgy = ⎪1 + tgxtgy ≠ ⎪ ⎩ ⎩1 + tg x = (VN) π π vớ i x, y ≠ + kπ ⇔ x − y = + kπ ( k ∈ Z ) , π π vớ i x, y ≠ + kπ ⇔ x = y + + kπ, π ⎛ ⎞ Thay vaø o (2) ta đượ c : cos 2y + cos ⎜ 2y + + k2π ⎟ = −1 ⎝ ⎠ ⇔ cos y − s in2 y = −1 1 π⎞ ⎛ s in2 y − cos y = ⇔ sin ⎜ y − ⎟ = 2 6⎠ ⎝ π π π 5π ⇔ y − = + h 2π hay y − = + h 2π ( h ∈ Z ) 6 6 π π ⇔ y = + hπ, h ∈ hay y = + hπ, h ∈ ( lọai) Do : 5π ⎧ + ( k + h) π x= ⎪ ⎪ ⇔⎨ Hệ cho ( h, k ∈ Z ) π ⎪ y = + hπ ⎪ ⎩ ⇔ Baø i 177: ⎧cos3 x − cos x + sin y = (1) ⎪ Giả i hệ phương trình ⎨ ⎪sin x − sin y + cos x = (2) ⎩ Laáy (1) + (2) ta đượ c : sin x + cos3 x = ⇔ sin x = − cos3 x ⇔ tg x = −1 ⇔ tgx = −1 π ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z) Thay o (1) ta đượ c : sin y = cos x − cos3 x = cos x (1 − cos2 x ) sin 2x sin x ⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π = sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ − + kπ ⎟ ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎛ π ⎞ = − sin ⎜ − + kπ ⎟ ⎝ ⎠ = cos x sin x = ⎧ (neáu k chẵn) ⎪ ⎪ =⎨ ⎪− (nếu k lẻ) ⎪ ⎩ Đặt sin α = (vớ i < α < 2π ) π ⎧ ⎪ x = − + 2mπ, m ∈ ⎪ Vậ y nghiệ m hệ ⎨ y = α + h2π, h ∈ ⎪⎡ ⎢ y = π − α + h2π, h ∈ ⎪⎣ ⎩ π ⎧ ⎪ x = − + ( 2m + 1) π, m ∈ ⎪ ∨⎨ y = −α + 2hπ, h ∈ ⎪⎡ ⎢ y = π + α + h2π, h ∈ ⎪⎣ ⎩ II GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG Baø i 178: ⎧ ⎪sin x.cos y = − Giả i hệ phương trình: ⎨ ⎪tgx.cotgy = ⎩ Điề u kiệ n : (1 ) ( 2) cos x.sin y ≠ ⎧1 ⎣ ⎦ ⎪ ⎡sin ( x + y ) + sin ( x − y ) ⎤ = − ⎪ Caù c h 1: Hệ cho ⇔ ⎨ ⎪ sin x.cos y − = ⎪ cos x.sin y ⎩ ⎧sin ( x + y ) + sin ( x − y ) = −1 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin x cos y − sin y cos x = ⎩ ⎧sin ( x + y ) + sin ( x − y ) = −1 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin ( x − y ) = ⎩ ⎧sin ( x + y ) = −1 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin ( x − y ) = ⎩ π ⎧ ⎪ x + y = − + k2π, k ∈ ⇔⎨ ⎪ x − y = hπ, h ∈ ⎩ π π ⎧ ⎪ x = − + ( 2k + h ) , k, h ∈ ⎪ ⇔⎨ ⎪ y = − π + ( 2k − h ) π , k, h ∈ ⎪ ⎩ (nhaän sin y cos x ≠ 0) Caù c h 2: ( 2) ⇔ sin x cos y = ⇔ sin x cos y = cos x sin y cos x sin y Thế (1) vào ( ) ta được: ⎧ ⎪sin x cos y = − ⎪ ⎨ ⎪cos x sin y = − ⎪ ⎩ ⎧sin ( x + y ) = −1 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin ( x − y ) = ⎩ ( 3) ( 4) π ⎧ ⎪ x + y = − + k 2π, k ∈ ⇔⎨ ⎪ x − y = hπ, h ∈ ⎩ π π ⎧ ⎪ x = − + ( 2k + h ) ⎪ ⇔⎨ ⎪ y = − π + ( 2k − h ) π ⎪ ⎩ ( 3) + ( ) ( 3) − ( ) ( h, k ∈ Z ) III GIẢ I HỆ BẰN G Ẩ N PHỤ Bà i 179: Đặt Giả i hệ phương trình: ⎧ ⎪tgx + tgy = ⎪ ⎨ ⎪cotgx + cotgy = −2 ⎪ ⎩ (1) ( 2) X = tgx, Y = tgy ⎧ ⎧ 3 ⎪X + Y = ⎪X + Y = ⎪ ⎪ 3 Hệ cho n h: ⎨ ⇔⎨ ⎪1 + = −2 ⎪Y + X = − ⎪X Y ⎪ YX 3 ⎩ ⎩ ⎧ ⎧ ⎪X + Y = ⎪X + Y = ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ XY = −1 ⎪X − X − = ⎩ ⎪ ⎩ ⎧X = ⎧ ⎪ ⎪X = − ⇔⎨ 3∨⎨ Y=− ⎪ ⎪Y = 3 ⎩ ⎩ Do : ⎧tgx = ⎧ ⎪ ⎪tgx = − Hệ cho : ⇔ ⎨ 3∨⎨ ⎪tgy = − ⎪tgy = 3 ⎩ ⎩ π π ⎧ ⎧ ⎪ x = + k π, k ∈ ⎪ x = − + k π, k ∈ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = − π + hπ, h ∈ ⎪ y = π + hπ, h ∈ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ Baø i 180: ⎧ ⎪sin x + sin y = Cho hệ phương trình: ⎨ ⎪cos 2x + cos 2y = m ⎩ a/ Giả i hệ phương trình m = − b/ Tìm m để hệ có nghiệ m Hệ cho ⎧ ⎪sin x + sin y = ⇔⎨ ⎪(1 − sin x ) + (1 − sin2 y ) = m ⎩ ⎧ ⎪sin x + sin y = ⎪ ⇔⎨ ⎪sin2 x + sin y = − m ⎪ ⎩ ⎧ ⎪sin x + sin y = ⎪ ⇔⎨ ⎪( sin x + sin y )2 − sin x sin y = − m ⎪ ⎩ ⎧ ⎪sin x + sin y = ⎪ ⇔⎨ ⎪ − sin x sin y = − m ⎪4 ⎩ ⎧ ⎪sin x + sin y = ⎪ ⇔⎨ ⎪sin x sin y = − + m ⎪ ⎩ Đặt X = sin x, Y = sin y với X , Y ≤ X, Y nghiệ m củ a hệ phương trình m t2 − t + − = ( *) a/ Khi m = − ( *) thaønh : 1 t− =0 2 ⇔ 2t − t − = t2 − ⇔ t =1∨ t = − ⎧sin x = ⎧ ⎪ ⎪sin x = − Vậ y hệ cho ⇔ ⎨ 1∨⎨ sin y = − ⎪ ⎪sin y = ⎩ ⎩ π ⎧ ⎧ h π ⎪ x = + k 2π, k ∈ ⎪ x = −(−1) + hπ, h ∈ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = −(−1) h π + hπ, h ∈ ⎪ y = π + k 2π, k ∈ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ m b/ Ta coù : ( *) ⇔ = −t + t + Xeù t y = − t + t + ( C ) treân D = [ −1,1] thì: y ' = −2t + y' = ⇔ t = Hệ cho có nghiệ m ⇔ ( *) có nghiệm [ -1,1] ⇔ (d ) y = m cắ t (C) tạ i điể m tiếp xúc treân [ -1,1] m ≤ ≤ 16 ⇔− ≤m≤ Caù c h khaù c ycbt ⇔ f (t ) = 8t − 4t − + 2m = có nghiệ m t , t thoû a ⇔ −1 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ⇔− ⎧ Δ / = 28 − 16m ≥ ⎪ ⎪ af (1) = + 2m ≥ ⎪ ⇔ ⎨ af (−1) = + 2m ≥ ⇔ − ≤ m ≤ ⎪ S ⎪ −1 ≤ = ≤ ⎪ ⎩ Bà i 181: Cho hệ phương trình: a/ b/ ⎧sin x + mtgy = m ⎪ ⎨ ⎪ tg y + m sin x = m ⎩ Giả i hệ m = -4 Vớ i giá trị nà o củ a m hệ có nghiệ m Đặt X = sin x vớ i X ≤ Y = tgy ⎧ X + mY = m (1 ) ⎪ Hệ nh: ⎨ ( 2) ⎪ Y + mX = m ⎩ Lấy (1) – (2) ta đượ c : X − Y + m ( Y − X ) = ⇔ ( X − Y )( X + Y − m ) = ⇔ X = Y∨Y =m−X ⎧Y = m − X ⎧X = Y ⎪ Hệ nh hay ⎨ ⎨ ⎪X + m(m − X ) = m ⎩ X + mX = m ⎩ ⎧X = Y ⎧Y = m − X ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ 2 ⎪ X + mX − m = ( * ) ⎪ X − mX + m − m = ⎩ ⎩ a/Khi m = -4 ta đượ c hệ ⎧ Y = −4 − X ⎧X = Y ⎪ ∨⎨ ⎨ ⎩ X − 4X + = ⎪ X + 4X + 20 = ( vô nghiệm ) ⎩ ⎧ X = ( loaïi X ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ ⎪Y = ⎩ Vậ y hệ cho vô nghiệ m m = b/ Ta coù (*) ⇔ X + mX − m = với X ≤ ⇔ X = m (1 − X ) X2 ⇔ = m ( m không nghiệm *) 1−X X2 − X + 2X treân [ −1,1) ⇒ Z ' = ; Xeù t Z = 1− X (1 − X ) Z' = ⇔ X = ∨ X = ( * *) ⎧ X = Y ( X ≤ 1) ⎪ có nghiệ m ⇔ m ≥ ⎨ ⎪ X + mX − m = ⎩ Xeù t (**): X − mX + m − m = Ta coù Δ = m − ( m − m ) = −3m + 4m Do hệ Kế t luậ n : Khi m ≥ (I) có nghiệ m nê n hệ cho có nghiệ m Khi m < (I) vô nghiệ m mà (**) cù n g vô nghiệ m (do Δ < 0) nê n hệ cho vô nghiệ m Do : Hệ có nghiệ m ⇔ m ≥ Cá c h c Hệ có nghiệ m ⇔ f (X) = X + mX − m = (*)hay Δ≥0⇔0≤m≤ g(X) = X − mX + m2 − m = (**) có nghiệ m trê n [-1,1] ⎧Δ1 = m + 4m ≥ ⎪ ⎪af (1) ≥ ⎪ ⇔ f ( −1) f (1) ≤ hay ⎨af (−1) ≥ ⎪ ⎪−1 ≤ S = − m ≤ ⎪ ⎩ 2 ⎧Δ = −3m + 4m ≥ ⎪ ⎪ag (−1) = m + ≥ ⎪ hay g (−1) g (1) ≤ hay ⎨ag ( 1) = (m − 1) ≥ ⎪ ⎪−1≤ S = m ≤ ⎪ ⎩ 2 ⎧Δ1 = m + 4m ≥ ⎪ ⇔ − 2m ≤ hay ⎨1 − 2m ≥ hay m = hay ≤ m ≤ ⎪−2 ≤ m ≤ ⎩ ⇔m≥0 IV HEÄ KHÔNG MẪU MỰC Bà i 182: ⎧ π⎞ ⎛ ⎪tgx + cotgx = 2sin ⎜ y + ⎟ (1) ⎪ ⎝ ⎠ Giả i hệ phương trình: ⎨ ⎪ tgy + cotgy = 2sin ⎛ x - π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪ 4⎠ ⎝ ⎩ Caù c h 1: sinα cos α sin2 α + cos2 α + = = cosα sin α sin α cos α sin 2α ⎧ π⎞ ⎛ ⎪ sin 2x = sin ⎜ y + ⎟ (1) ⎝ ⎠ ⎪ Vậ y hệ cho ⇔ ⎨ ⎪ = sin ⎛ x − π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪ sin 2y 4⎠ ⎝ ⎩ Ta coù : tgα + cotgα= Ta coù : ⎧ π⎞ ⎛ ⎪1 = sin 2x sin ⎜ y + ⎟ (1) ⎪ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪1 = sin 2y sin ⎛ x − π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪ 4⎠ ⎝ ⎩ ⎧sin 2x = ⎧sin 2x = −1 ⎪ ⎪ (1) ⇔ ⎨ ∨⎨ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪sin ⎜ y + ⎟ = ⎪sin ⎜ y + ⎟ = −1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ π π ⎧ ⎧ ⎪ x = + kπ, k ∈ ⎪ x = − + kπ, k ∈ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = π + h2π, h ∈ ⎪ y = − 3π + h2π, h ∈ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 4 π ⎧ ⎪ x = + kπ, k ∈ ⎪ Thay ⎨ o (2) ta đượ c π ⎪ y = + h2π, h ∈ ⎪ ⎩ π⎞ π ⎛ sin 2y.sin ⎜ x − ⎟ = sin sin kπ = ≠ (loaï i ) 4⎠ ⎝ −π ⎧ + kπ, k ∈ x= ⎪ ⎪ Thay ⎨ o (2) ta đượ c 3π ⎪y = − + h2π, h ∈ ⎪ ⎩ π⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 3π ⎞ ⎛ π sin 2y sin ⎜ x − ⎟ = sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ − + kπ ⎟ 4⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ( k lẻ) ⎛ π ⎞ ⎧1 = sin ⎜ − + kπ ⎟ = ⎨ ( k chẵn) ⎝ ⎠ ⎩−1 Do hệ có nghiệ m π ⎧ ⎪ x = − + ( 2m + 1) π ⎪ ⎨ ⎪ y = − 3π + h2π ⎪ ⎩ ( m, h ∈ Z) • Cá c h 2: Do bấ t đẳ n g thứ c Cauchy tgx + cotgx ≥ dấ u = xả y ⇔ tgx = cotgx ⇔ tgx= ⇔ tgx = ±1 tgx Do : π⎞ ⎛ tgx+cotgx ≥ ≥ sin ⎜ y + ⎟ 4⎠ ⎝ Daá u = tạ i (1) xả y ⎧tgx = ⎧tgx = −1 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪sin ⎜ y + ⎟ = ⎪sin ⎜ y + ⎟ = −1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ π π ⎧ ⎧ ⎪ x = + kπ, k ∈ ⎪ x = − + kπ, k ∈ ⎪ ⎪ (I) ∨ ⎨ ⇔⎨ ⎪ y = π + h2π, h ∈ ⎪ y = − 3π + h2π, h ∈ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 4 ⎛ π⎞ thay (I) vaø o (2): tgy + cotgy=2sin ⎜ x - ⎟ ⎝ 4⎠ ta thaá y = 2sin kπ = khô n g thỏ a ⎛ π ⎞ thay (II) o (2) ta thấ y = sin ⎜ − + k π ⎟ ⎝ ⎠ chæ thỏ a k lẻ π ⎧ ⎪ x = − + ( 2m + 1) π ⎪ Vaä y : hệ cho ⇔ ⎨ , m, h ∈ 3π ⎪y = − + 2hπ ⎪ ⎩ Bà i 183: (II) Cho hệ phương trình: (1) ⎧ ⎪x − y = m ⎨ ⎪2 ( cos 2x + cos 2y ) − − cos m = (2) ⎩ Tìm m để hệ phương trình có nghiệ m ⎧x − y = m ⎪ Hệ cho ⇔ ⎨ ⎪4 cos ( x + y ) cos ( x − y ) = + cos m ⎩ ⎧x − y = m ⎪ ⇔⎨ ⎪−4 cos ( x + y ) cos m + cos m + = ⎩ ⎧x − y = m ⎪ ⇔⎨ 2 ⎪[2 cos m − cos ( x + y )] + − cos ( x + y ) = ⎩ ⎧x − y = m ⎪ ⇔⎨ 2 ⎪[2 cos m − cos ( x + y )] + sin ( x + y ) = ⎩ ⎧x − y = m ⎪ ⇔ ⎨cos ( x + y ) = cos m ⎪ ⎩sin ( x + y ) = ⎧x − y = m ⎪ ⇔ ⎨ x + y = kπ , k ∈ ⎪cos(kπ) = cos m ⎩ Do hệ có nghiệ m ⇔ m = ± π 2π + h2π ∨ m = ± + h2π, h ∈ 3 BÀI TẬP Giả i cá c hệ phương trình sau: ⎧sin x + sin y = a/ ⎨ 2 ⎩sin x + sin y = ⎧ ⎪sin x sin y = − ⎪ b/⎨ ⎪cos x cos y = ⎪ ⎩ ⎧ cos x = + cos y ⎪ c/⎨ ⎪ sin x = sin y ⎩ ⎧ ⎪sin x cos y = d/⎨ ⎪3tgx = tgy ⎩ ⎧tgx + tgy + tgxtgy = f /⎨ ⎩3sin 2y − = cos 4x ⎧ ⎪sin x − sin 2y = ⎪ g/⎨ ⎪cos x + cos 2y = ⎪ ⎩ ⎧cos ( x + y ) = cos ( x − y ) ⎪ h/⎨ ⎪cos x.cos y = ⎩ ⎧sin x = cos y k/⎨ ⎩5 sin y = cos x − ⎧tgx + tgy = ⎪ l/⎨ x y ⎪tg + tg = ⎩ cos x cos y = m + ⎧ 2.Cho hệ phương trình: ⎨ ⎩sin x sin y = 4m + 2m a/ Giả i hệ m = − ⎧sin x = cos x cos y ⎪ e/ ⎨ ⎪cos x = sin x sin y ⎩ ⎛ ⎞ b/ Tìm m để hệ có nghiệ m ⎜ ĐS − ≤ m ≤ − hay m=0 ⎟ 4 ⎝ ⎠ Tìm a để hệ sau đâ y có nghiệ m nhấ t : ⎧ y + tg x = ⎪ ⎨ ( ÑS a= 2) ⎪ y + = ax + a + sin x ⎩ Tìm m để cá c hệ sau đâ y có nghiệ m ⎧ ⎧sin x cos y = m ⎪cos x = m cos y a/⎨ b/⎨ ⎪sin x = m cos y ⎩sin y cos x = m ⎩ ⎛ 1- 1+ ⎞ ≤m≤ ( ÑS ≤ m ≤ 2) ⎜ ÑS ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi đại học Vĩnh Viễn ... ⎪ ∨⎨ y = −α + 2hπ, h ∈ ⎪⎡ ⎢ y = π + α + h2π, h ∈ ⎪⎣ ⎩ II GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG Baø i 178: ⎧ ⎪sin x.cos y = − Giả i hệ phương trình: ⎨ ⎪tgx.cotgy = ⎩ Điề u kiệ n : (1 ) ( 2) cos x.sin... h ∈ ⎪ y = π + hπ, h ∈ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ Baø i 180: ⎧ ⎪sin x + sin y = Cho hệ phương trình: ⎨ ⎪cos 2x + cos 2y = m ⎩ a/ Giả i hệ phương trình m = − b/ Tìm m để hệ có nghiệ m Hệ cho ⎧ ⎪sin x + sin y = ⇔⎨... m, h ∈ 3π ⎪y = − + 2hπ ⎪ ⎩ Bà i 183: (II) Cho hệ phương trình: (1) ⎧ ⎪x − y = m ⎨ ⎪2 ( cos 2x + cos 2y ) − − cos m = (2) ⎩ Tìm m để hệ phương trình có nghiệ m ⎧x − y = m ⎪ Hệ cho ⇔ ⎨ ⎪4 cos