Phương pháp giải phương trình lượng giác bằng bất đẳng thức

CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC I... Biết GI vuông góc với đường phân giác trong của BCA... R và r lần lượt là bán kính đừơng tròn ngoại tiếp và nội tiếp ΔABC.. Cho ΔABC có ba gó

CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

I ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN

Cho ΔABC có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của A, B, C, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC, S là diện tích ΔABC thì

A C

Bài 184 Cho ΔABC Chứng minh:

2 2

A 2B= ⇔a = b +bc

Ta có: a2 = b2 +bc ⇔ 4R sin A 4R sin B 4R sin B.sinC2 2 = 2 2 + 2

sin A sin B sin B sin C

1 1 cos 2A 1 1 cos 2B sin B sin C

cos 2B cos 2A 2 sin B sin C

2 sin B A sin B A 2 sin B sin C sin B A sin A B sin B sin C sin A B sin B do sin A B sin C 0

A 2B

Cách khác:

sin A sin B sin B sin C

(s in A sin B) (s in A sin B) sin B sin C

A 2B

Bài 185: Cho ΔABC Chứng minh: ( ) 2 2

2

=

Ta có a2 −2b2 = 4R sin A 4R sin B2 2 2 − 2 2 2

−

−

+ = >

2

1 1 cos 2A 1 1 cos 2B

2 sin A B sin B A cos 2B cos 2A

sin A B sin A B sin A B

sin C sin C

do sin A B sin C 0

Bài 186: Cho ΔABC biết rằng tgA tgB 1

2 ⋅ 2 = ⋅3

Ta có : tgA ⋅tgB 1= ⇔3sin sinA B =cos cosA B

do cos 0,cos 0

( )

2sin sin cos cos sin sin

B

Mặt khác: a b 2R sin A sin B+ = ( + )

( )

=

=

4R sin cos

4R sin A B 4R sin C 2c

Cách khác:

+ =

a b 2c

+ −

C 2

cos cos sin sin 2 cos cos 2 sin sin

3sin sin cos cos

B 2

⇔ tgA ⋅tgB 1=

Bài 187: Cho ΔABC, chứng minh nếu cotgA,cotgB,cotgCtạo một cấp số cộng thì

2 2 2

a , b ,c cũng là cấp số cộng

Ta có: cot gA, cot gB, cot gC là cấp số cộng⇔ cot gA cot gC 2 cot gB *+ = ( )

Cách 1:

( )

2

2

sin A sin C sin B

1

2 1

2 2sin B sin A sin C

+

2 2 2

2 2 2

a , b ,c là câùp số cộng

Cách 2:

( )

=

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

Ta có: a b c 2ab cos A

1

a b c 4 bc sin A cotgA

2

a b c 4S cot gA

Do đó cotgA

4S

Tương tự cotgB , cotgC

Bài 188: Cho ΔABC có sin B sin C 2sin A2 + 2 = 2

( )

2 2 2

Ta có: sin B sin C 2sin A

A

Do định lý hàm cosin nên ta có

2 2 2

a = b +c −2bc cos

+

≤

2 2 2 2

2 2 2

2 2

0

Vạây : BAC 60

Cách khác:

định lý hàm cosin cho

Do đó

(*) a bc cos A a

a b c cos A ( do Cauchy)

bc bc

+

1

Bài 189: Cho ΔABC Chứng minh :

( 2 2 2)

cotgA+cotgB+cotgC

abc

=

=

=

2 2 2

2 2 2

4S

4R

R abc

2

Bài 190: Cho ΔABC có 3 góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 2 Giả sử A < B < C

Chứng minh: =1 1 1+

Do A, B, C là cấp số nhân có q = 2 nên B = 2A, C = 2B = 4A

Cách 1:

=

π

=

Ta có:

b c 2R sin B 2R sin C

2R sin sin

sin sin

2R sin sin

3

2 sin cos

1 2 7 37 dosin4 sin3

cos

R 2 sin cos 2R sin A

1 a

Cách 2:

+

a b c sin A sin B sin C

sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A

1 2 sin 3A.cos A 2 cos A 2 cos A

sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A

do : sin 3A sin sin sin 4A

Bài 191: Tính các góc của ΔABCnếu

sin A = sin B = sin C =

a b c

a

2

⎧ =

⎪

=

⎪⎩

( )

( )

2

2 2

2 2 2

0

0

Vạây ABC vuông tạiC

Thay sin C 1 vào * ta được

1 sin A

2 3 sin B

2

A 30

B 60

Δ

=

⎪⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

⎧ =

⎪

⇔ ⎨

=

⎪⎩

2

Ghi chú:

Trong tam giác ABC ta có

a b = ⇔ = ⇔ A B sin A sin B = ⇔ cos A cos B =

II ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

Cho UABC có trung tuyến AM thì:

2

2

a

a

2

Bài 192: Cho UABC có AM trung tuyến, AMB = α, AC = b, AB = c, S là diện tích UABC Với 0 < < α 90 0

a/ Chứng minh: cotg b2 −c2

4S

α = b/ Giả sử α =450, chứng minh: cotgC – cotgB = 2

−

( )

2AH AH

Mặt khác: b2 c2 (a2 c2 2ac cosB) c

Đặt BC = a

2 2

−

Từ (1) và (2) ta được : cotg b2 c2

4S

−

α = Cách khác:

Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH

Aùp dụng định lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có:

1

2

cotg

2

2

cotg

Lấy (3) – (4) ta có :

−

α = b2 c2

cotg

4S ( vì S1=S2 =

S

2)

−

AH

= 2MH 2cotg= α = 2 cotg 450 =2 AH

Cách khác:

Aùp dụng định lý hàm cos trong tam giác ABM và ACM ta có:

1

cotg B

4S

2

(5)

2

cotg C

4S

2

(6) Lấy (6) – (5) ta có :

−

2S α=2 ( vì S1=S2 =

S

2 và câu a )

Bài 193 Cho UABC có trung tuyến phát xuất từ B và C là m ,mb c thỏa

b

c

m

b = m ≠ Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC

Ta có: 2 2b

2 2 c

m

c

( )

)

2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 4 4

2 2 2

c

1

2 1

2

c

b

Thay b2 +c2 = a2 +2bc cos A vào (1), ta có (1) thành

a2 =2bc cos A

+

cos A

2bc 2 2R sin B 2R sin C

sin B C

2

sin A sin B sin C sin B sin C

+

⇔2 cotgA = sinBcosC sinCcosB = cotgC cotgB+

sin B sin C

Bài 194: Chứng minh nếu UABC có trung tuyến AA’ vuông góc với trung tuyến

BB’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB)

UGAB vuông tại G có GC’ trung tuyến nên AB = 2GC’

Vậy AB 2C

c

2

2 2 2

c

2

2 2

2

2

2c ab cosC

2 2R sin C 2R sin A 2R sin B cosC

⇔ =

2

2 sin C sin A sin B cos C

sin A sin B sin C

( + )

cotgC sin A sin B

+

2 sin A cos B sin B cos A

cotgC sin A sin B

III DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Gọi S: diện tích UABC

R: bán kính đường tròn ngoại tiếp UABC r: bán kính đường tròn nội tiếp UABC p: nửa chu vi của UABC

thì

abc S

4R

S pr

=

=

Bài 195: Cho UABC chứng minh: sin 2A sin 2B sin 2C 2S2

R

Ta có:

sin2A+ sin2B + sin2C

= sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C)

= 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C)

= 2sinA[cosA + cos(B - C)]

= 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)]

= 2sinA.[2sinB.sinC]

Bài 196 Cho UABC Chứng minh :

S = Diện tích (UABC) = 1 a sin2B b sin2A( 2 2 )

Ta có : S = dt ABC( ) 1absin C

2

= ab sin A B1 ( + )

2 = ab sin A cos B sinB cos A1 [ + ]

2

+

= ab sin B cos B sin A cos A (do đl hàm sin)

1

= a sin B cos B+ b sin A cos A

2

1

= a sin 2B b sin 2A

4

Bài 197: Cho ΔABC có trọng tâm G vàGAB = α,GBC = β,GCA = γ

cotg + cotg +cotg =

4S

Gọi M là trung điểm BC, vẽ MH ⊥ AB

AH

AM

Ta có: AB = HA + HB

( )

a

c AM cos cos B

2

cos c cos B 1

Mặt khác do áp dụng định lý hàm sin vào ΔAMB ta có :

Lấy (1) chia cho (2) ta được :

a

2 cotg =

2

R 4c 2a cos B

4S R

Chứng minh tương tự :

2 2

2 2

cotg

4S

cotg

4S

β =

γ =

2

2

Do đó:

2 2 2

=

4S

2

Cách khác : Ta có 2 2 2 ( 2 2 2)

3

4

Δ

2

2 2

a

a ABM

a

4

Tương tự cotg 4a2 4m2b b2(b),cotg 4b2 4m2c c2 (c)

Cộng (a), (b), (c) và kết hợp (*) ta có:

2 2 2

cotg cotg cotg

4S

IV BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN

Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC

và r bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC thì

=

R

2 sin A 4S S

r p

Bài 198: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

a/ r 4R sin sin sin

b/ IA.IB.IC 4Rr

=

=

2

B

BH rcotg

2

Tương tự HC r cotg= C

2

Mà : BH + CH = BC

nên

+

⇔ =

B C

r sin

sin sin

r 4R sin sin sin (do cos >0)

IA

Α

2

r

sin 2

B sin 2

; IC= r

C sin 2

sin sin sin

=

2

r3 4Rr (do kết quả câu a)2

r 4R

Bài 199: Cho ΔABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh ΔABC tại A’, B’, C’ ΔA 'B'C'có các cạnh là a’, b’, c’ và diện tích S’ Chứng minh:

⎛ ⎞

=

b/ 2 sin sin sin

a/ Ta có : C'A 'B' 1C'IB' 1( A) 1(B C)

Áp dụng định lý hình sin vào ΔA 'B'C'

sin A ' = (r: bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC)

a ' 2r sin A ' 2r sin (1)

2

+

ABC

Δ có : a BC BA ' A 'C= = +

a r cot g r cot g

B C sin 2

a r B C (2) sin sin

+

⇒ =

Lấy (1)

(2) ta được a

B 2sin sin

′

2

Tương tự b' 2sin sinA C

b/ Ta có: A 'C'B' 1.B'IA ' 1( C) 1(A B)

Vậy sin C' sinA B cosC

+

1 a'b'sinC'

dt A 'B'C'

1

2

Δ

Δ

⇒ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅

2

S ' a ' b ' sin C '

C cos

= 2 sin sin sin

Bài 200: Cho ΔABC có trọng tâm G và tâm đường tròn nội tiếp I Biết GI vuông góc với đường phân giác trong của BCA Chứng minh:

+ Vẽ GH AC,GK⊥ ⊥ BC,ID AC⊥

IG cắt AC tại L và cắt BC tại N

Ta có: Dt( CLN) 2Dt( LIC)Δ = Δ

=ID.LC = r.LC (1) Mặt khác:

Dt( CLN) Dt( GLC) Dt( GCN)

1 GH.LC GK.CN (2)

2

Do ΔCLN cân nên LC = CN

Từ (1) và (2) ta được:

1

2 2r GH GK

Gọi h , ha b là hai đường cao ΔABC phát xuất từ A, B

Ta có:

a

h = MA = 3 và b

GH 1

h = 3

1 2r h h (3) 3

Mà: ( ) a b

a

b

=

Từ (3) ta có: 2r 2pr 1 1

+

+ +

+

a b c a b 3

b

Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)

BÀI TẬP

1 Cho ΔABC có ba cạnh là a, b, c R và r lần lượt là bán kính đừơng tròn ngoại tiếp và nội tiếp ΔABC Chứng minh:

a/ (a b cotg) C (b c cotg) A (c a cotg) B 0

R

c/ Nếu Acotg ,cotg ,cotgB

C

2 là cấp số cộng thì a, b, c cũng là cấp số cộng d/ Diện tích ΔABC R r sin A sin B sin C= ( + + )

e/ Nếu : a4 = b4 +c4 thì ΔABC có 3 góc nhọn và 2sin A tgB.tgC2 =

2 Nếu diện tích (ΔABC) = (c + a -b)(c + b -a) thì tgC 8

15

=

3 Cho ΔABC có ba góc nhọn Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao vẽ từ A, B,

C Gọi S, R, r lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ABC

Δ Gọi S’, R’, r’ lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của ΔA 'B'C' Chứng minh:

a/ S’ = 2ScosA.cosB.cosC

2

=

c/ r’ = 2RcosA.cosB.cosC

4 ΔABC có ba cạnh a, b, c tạo một cấp số cộng Với a < b < c

Chứng minh :

a/ ac = 6Rr

c/ Công sai d 3r tgC tgA

5 Cho ΔABC có ba góc A, B, C theo thứ tự tạo 1 cấp số nhân có công bội q = 2 Chứng minh:

a = b c+

b/ cos A cos B cos C2 2 2 5

4