SÁNG KIẾN GIẢI MỘT VÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ

Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng của lượng giác trong chương trình THPT. Nhưng nó cũng là một trong những vấn đề mà phần lớn các em học sinh thấy khó tiếp thu và vận dụng. Không thể phủ nhận cách lượng giác hóa một phương trình đại số nhiều lúc khiến cho quá trình giải bài toán trở nên thuận lợi hơn. Tuy nhiên nói về phương trình và hệ phương trình đại số như phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc hai hai ẩn,…là những kiến thức mà các em học sinh đã được học ở THCS và một phần ở lớp 10. Vậy nên, nếu ta chuyển những bài toán giải phương trình lượng giác về giải phương trình hoặc hệ phương trình đại số bằng cách đặt ẩn phụ nhiều khi sẽ phù hợp với đa số các em học sinh hơn bởi ở đây ta tuân thủ nguyên tắc “quy lạ về quen” để giải một bài toán. Bên cạnh đó, việc giải một số phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ hay còn gọi là đại số hóa một phương trình lượng giác cũng được xem như là một trong những cách nhìn khác nhau về giải phương trình lượng giác, thỏa mãn được tính sáng tạo, không bằng lòng với những cách giải đã có khác của các em học sinh. Nó giúp cho các em học sinh thấy được mối quan hệ giữa lượng giác và đại số. Từ đó các em học sinh có thêm hứng thú trong việc học tập môn lượng giác nói chung và phương trình lượng giác nói riêng. Đó là những lí do để tôi viết chuyên đề “Giải một vài phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ”, với chuyên đề này tôi còn mong nó giúp cho các em học sinh có một tài liệu học tập và ôn tập tốt hơn về chủ đề giải phương trình lượng giác.

GIẢI MỘT VÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng của lượnggiác trong chương trình THPT Nhưng nó cũng là một trong những vấn đề màphần lớn các em học sinh thấy khó tiếp thu và vận dụng Không thể phủ nhậncách lượng giác hóa một phương trình đại số nhiều lúc khiến cho quá trình giảibài toán trở nên thuận lợi hơn Tuy nhiên nói về phương trình và hệ phươngtrình đại số như phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, hệphương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc hai hai ẩn,…là những kiếnthức mà các em học sinh đã được học ở THCS và một phần ở lớp 10 Vậy nên,nếu ta chuyển những bài toán giải phương trình lượng giác về giải phương trìnhhoặc hệ phương trình đại số bằng cách đặt ẩn phụ nhiều khi sẽ phù hợp với đa sốcác em học sinh hơn bởi ở đây ta tuân thủ nguyên tắc “quy lạ về quen” để giảimột bài toán Bên cạnh đó, việc giải một số phương trình lượng giác bằng cáchđặt ẩn phụ hay còn gọi là đại số hóa một phương trình lượng giác cũng đượcxem như là một trong những cách nhìn khác nhau về giải phương trình lượnggiác, thỏa mãn được tính sáng tạo, không bằng lòng với những cách giải đã cókhác của các em học sinh Nó giúp cho các em học sinh thấy được mối quan hệgiữa lượng giác và đại số Từ đó các em học sinh có thêm hứng thú trong việchọc tập môn lượng giác nói chung và phương trình lượng giác nói riêng Đó lànhững lí do để tôi viết chuyên đề “Giải một vài phương trình lượng giác bằngcách đặt ẩn phụ”, với chuyên đề này tôi còn mong nó giúp cho các em học sinh

có một tài liệu học tập và ôn tập tốt hơn về chủ đề giải phương trình lượng giác

II KIẾN THỨC CHUẨN BỊ:

Càng nắm được nhiều công thức lượng giác, các tính chất của hàm sốlượng giác và cách biến đổi lượng giác các em học sinh càng có thể sử dụng mộtcách có hiệu quả cách đặt ẩn phụ để giải một phương trình lượng giác Ở đây tôiquan tâm tới việc sử dụng ít nhất các công thức lượng giác, ít phép biến đổilượng giác nhất và đưa về phương trình hoặc hệ phương trình đại số một cáchnhanh nhất và có tính khả thi nhất trong việc giải ra đáp số của bài toán

Để vận dụng được chuyên đề này một cách hiệu quả trước tiên các emhọc sinh cần nắm vững một số kiến thức:

- Biết giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn.

- Giải và biện luận hệ phương trình

- Nắm vững một số định lí như Cauchy, Lagrange, Roll,…

III NỘI DUNG ĐỀ TÀI :

1 Cơ sở lý luận :

Biểu thức lượng giác và biểu thức đại số có nhiều mối quan hệ biệnchứng với nhau, ta có thể thấy mối quan hệ đó qua bảng tóm tắt vàiđiều dễ thấy như sau:

Công thức lượng giác Đặt ẩn phụ Điều kiện Biểu thức đại số

x

cos2x = 2cos2x - 1 t=cosx - £ £1 t 1 cos2x = 2t2 - 1

cos2x = 1 – 2sin2x t=sinx - £ £1 t 1 cos2x = 1 - 2t2

3

sin3x=3sinx- 4sin x t=sinx - £ £1 t 1 sin3x= -3t 4t3

cos3x = 4cos3x - 3cosx t=cosx - £ £1 t 1 cos3x = 4t3 – 3t

2 2

t x

t

2

2

1cos

1

=+

x

t

2

tansin cos

t x

1+

t t

2 2

1os2

1 t

-=+

t

c x

tan tantan( )

a b

x y xy

=

t t³ 1 tan2α = t2 - 1

Chú ý: Ta cần xét cos x=0 trước khi đặt ẩn phụ t=tanx để tránh làm mất

nghiệm của phương trình

2 Nội dung thực hiện các phương pháp của đề tài :

2.1) Dạng phương trình bậc nhất, phương trình đưa về phương trình bậc

nhất đối với một hàm số lượng giác:

Ở đây tôi chỉ nói đến những phương trình bậc nhất và phương trình đưa

về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ở dạng đơn giản Các

dạng này không nên đặt ẩn phụ mà nên đưa về dạng phương trình lượng giác cơ

bản để giải(tránh phức tạp hóa bài toán)

2.2) Dạng phương trình bậc hai, phương trình đưa về phương trình bậc hai

đối với một hàm số lượng giác:

A) Dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

Bảng tóm tắt cách giải:

TT Phương trình ban đầu Đặt ẩn phụ Điều kiện Phương trình mới

1 asin2x + bsinx + c = 0(a¹ 0) sinx = t t £1 at2+ + =bt c 0

2 acos2x + bcosx + c = 0(a¹ 0) cosx = t t £1 at2+ + =bt c 0

3 atan2x + btanx + c = 0(a¹ 0) tanx = t ,

2

p p

x k k at2+ + =bt c 0

4 acot2x + bcotx + c = 0(a¹ 0) cotx = t x¹ k k p, Î ¢ at2+ + =bt c 0

Ví dụ 1 Giải phương trình cos2 2cos 3 0

ê ëVới t = 1 ta được osx 1 x 2

ê

t t

Nhận xét: Đây là một trong những dạng toán giải phương trình lượng giác đơn

giản Cách đặt ẩn phụ để giải bài toán dạng này đôi khi làm phức tạp hóa vấn đềngoại trừ những bài toán có chứa tham số như ví dụ 3 Tương tự như trên tahoàn toàn có thể định nghĩa và đưa ra cách giải phương trình bậc ba, bậc bốn đốivới một hàm số lượng giác( loại phương trình có cách giải đặc biệt)

Bài tập vận dụng:

Giải phương trình :

1) 2sin2 x- 5sinx- 7=0

2) 5cos2 2 7cos2 2 0

3x- 3x+ =3) tan2 tan 6 0

2x- 2x- =4) cot2x- 5cot 6+ =0

9) Xác định m để phương trình sau có nghiệm sin2x+msinx m- + =1 0

B) Dạng phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số

lượng giác

Đây là dạng bài toán rất đa dạng, phong phú Sau đây là một số loại

phương trình thường gặp:

1) Dạng phương trình lượng giác đơn giản áp dụng công thức lượng giác cơ

bản hoặc công thức nhân

TT Phương trình ban đầu Đặt ẩn phụ Điều kiện Phương trình mới

1 asin2x + bcosx + c = 0, a¹ 0 cosx = t t £1 a(1- t2)+ + =bt c 0

2 acos2x + bsinx + c = 0, a¹ 0 sinx = t t £1 a(1- t2)+ + =bt c 0

3 acos2x + bsinx + c = 0, a¹ 0 sinx = t t £1 a(1 2 )- t2 + + =bt c 0

4 acos2x + bcosx + c = 0, a¹ 0 cosx = t t £1 a t(2 2- 1)+ + =bt c 0

5 atanx + bcotx + c = 0, a¹ 0 tanx = t t¹ 0 at+b1+ =c 0

p

p p

p

é

ê = +ê

ê = +ê

ê=-t

t t

4

p p

Với t=- Þ2 tanx= Û =-2 x arctan(-2)+k k p, Î ¢

Vậy nghiệm của phương trình là

4

p p

= +

x k , x=arctan(-2)+k k p, Î ¢

Ví dụ 4 Giải phương trình 4tan 2x +21/ osc 2x- 80=0

ê ëVới t= Þ8 2tan 2x = =8 23 Û tan2x=3

3

p p

ê =ë

ê êë

1'( ) -

f t

t

2 2

Dựa vào bảng biến thiên của y= f t trên đoạn ( ) [- 1;1] suy ra phương trình đã

cho có nghiệm khi chỉ khi m£ - 2 hoặc m³ 2

Vậy m ³ 2thì phương trình đã cho có nghiệm.

Nhận xét: Cách giải và biện luận phương trình bằng cách sử dụng đồ thị rất

thuận lợi cho việc giải bài toán dạng này Tuy nhiên, ta cần lưu ý với học sinh xét trường hợp hệ số của m bằng 0(ở ví dụ trên là xét t = 0) trước khi đưa ra được phương trình m= f t ( vì trường hợp này học sinh rất hay quên) Với ví ( )

dụ trên nếu học sinh không xét trường hợp t = 0 cũng không ảnh hưởng đến kết quả bài toán nhưng nếu là bài toán khác học sinh rất dễ lầm và dẫn đến mất nghiệm của bài toán Ví dụ như với bài toán trên ta thay phương trình đã cho

thành cos2x+sin2x+mcosx- + =1 m 0 thì các em dễ làm mất nghiệm của bài toán.

Cách 2: Cách giải ứng dụng tam thức bậc hai đã được giảm tải trong chương

trình sách giáo khoa hiện nay Tuy vậy, ta vẫn có thể đưa ra cách giải theohướng này để các em học sinh khá, giỏi có điều kiện tham khảo làm phong phúcách giải quyết vấn đề, thỏa mãn được tính linh động và sáng tạo của các em

2

m m m m

Vậy phương trình có nghiệm khi m ³ 2

Chú ý: Không phải lúc nào gặp dạng bài toán có chứa tham số như trên ta cũng

dùng các cách giải đã nói mà phải linh hoạt ở từng bài toán, chẳng hạn như ví dụ

3) [ĐHY_97] cos4x+sin6x=cos2x

4) [CĐSP HN_97] cos 2x+sin2x+2sinx+ =1 0

5) sin3x- 18sin 2x+5sinx=0

6) [ĐHDL Phương Đông_96] sin4 x+ -(1 sin )x 4 =17

7) [ĐHAN Khối D_99] 9sin 2x+9cos 2x =10

8) [HVBCVT II_97] cos6x+sin2x=1

+

=-

2) Dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Ví dụ: Giải phương trình sin3 x- 3 cos3x= 3

Cách 2: Đặt sin

cos

ì =ïï

íï =ïî

au bv c

u v ( Với 1- £u v, £1)

So với cách giải ở trên, cách giải đưa về hệ phương trình có nhược điểm là phứctạp hơn, học sinh thường gặp khó khăn ở khâu kết luận nghiệm của phương trìnhnếu các em không nắm vững cách sử dụng đường tròn lượng giác(bảng kê số)nhưng có ưu điểm là giúp các em có thêm cách nhìn nhận về hướng giải quyếtvấn đề và giúp học sinh không hay quên làm mất nghiệm(chẳng hạn cách giải ở

ví dụ 1 trên các em hay quên xét os3x 0

ìïï =ïïïíï

ï ïïïî

=-u v

12

1) [ĐH Huế Khối D-CPB-99] 3sin 2x+cos2x= 2

2) [ĐHGT_00] 2 2(sinx+cos )cosx x= +3 cos2x

3) [ĐHKTCN TPHCM_00] cos2x- 3 sin 2x= +1 sin2x

4) [CĐHQ-CPB-96] 4sin3x- =1 3sinx- 3 cos3x

5) [ĐHSP QN_98] sinx+ 3 cosx+ sinx+ 3 cosx =2

6) [ĐHMTCN HN_1996] cos7 cos5 - 3sin 2x x x=1- sin 7 sin 5x x

3) Dạng phương trình đẳng cấp, phương trình đưa về phương trình đẳng cấp

Dạng asin 2x + sin cosb x x c+ cos2x+ =d 0

x k k là nghiệm của phương trình

- Xét osxc ¹ 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được phương trình

t x

t ,

2

2

1cos

1

=+

10

ïï

ïï =íï

ï =ïïî

a d u v

Chú ý: - Nếu v = 0 không thỏa hệ, ta có

p

éê

êê

Hoặc giải theo cách sau:

Vì cosx=0không thỏa phương trình nên cosx¹ 0, đặt t=tanx ta được

éê

êê

4 tan 3 3tan (1 tan ) tan x 0

= +

3

p p

cos x¹ 0 ta được 3 4 tan- 2x+tan4x=0

Đặt t=tan ,2x t³ 0 Phương trên trở thành

2 2

p p p p

é

ê =± +ê

ê

ê =± +ê

cos

x

3) [ĐHNT_96] cos3x- 4sin3x- 3cos sinx 2x+sinx=0

4) [ĐH Huế_98] cos3x+sin - 3sinx 2xcosx=0

5) [CĐSPTW1_01] 4cos3x+2sin3x- 3sinx=0

6) [ĐHD TPHCM_97] sin sin 2x x+sin 3x=6cos3x

7) [HVKTQS_96] 2cos3x=sin 3x

8) [ĐHY HN_99] sinx+cos - 4sinx 3x=0

9) [ĐHQGHN_96] 1 3sin 2+ x=2 tanx

10) sin4x- 3sin2xcos2x+2cos4x=0

11) [ĐHTS Nha Trang Đợt I_00] cos2x- sin cos - 2sinx x 2x m- =0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m =1

b) Giải và biện luận (1) theo m

12) [ĐHKTCN TPHCM_98] Cho phương trình

sin x+(2m- 2)sin cos - (x x m+1)cos x=m

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Giải phương trình khi m = -2

4) Dạng (sin a x ± cos ) x + sin cosb x x c+ =0(Dạng

(sin ±cos ,sin cos )

at b c , - 2£ £t 2

Cách 2:

<-ëVới t = 1 ta được

22

sinx + cosx 1 2 sin( ) 1 sin( )

é =ê

ê = +ê

Nếu m = 0: (2) có nghiệm t = 0 thỏa điều kiện bài toán

- Nếu m¹ 0: y= f x liên tục trên ( ) [- 1;1] và ( 1) (1)f - f =2.( 2)- =- <4 0nên (2) có ít nhất 1 nghiệm thuộc (- 1;1)Ì -êéë 2; 2ùúû.

Vậy với mọi giá trị của m phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm

Bài tập vận dụng

Giải phương trình

1) [ĐHAN_98] (1 cos )(1 sin )+ x + x =2

2) [ĐHGT CS TPHCM_99] 1 sin3 cos3 3sin 2

2

3) [ĐH Huế_D00] sin cosx x+2sinx+2cosx=2

4) [ĐHNN HN_97] cotx- tanx=sinx+cosx

5) [ĐH Công Đoàn_97] 2(sinx+cos )x =tanx+cotx

6) [ĐHM_99] 1 tan+ x=2 2 sinx

7) [ĐHCSND_Khối A_00] cos3x+sin3x=sin 2x+sinx+cosx

8) [ĐHTH TPHCM_Khối A,B_94] Tìm tất cả các giá trị của m để phương

trình sin - cosx x +4sin 2x=m có nghiệm.

9) [ĐHL, ĐHSP TPHCM_01] Cho phương trình

2cos2x+sin xcosx+sin cosx x=m(sinx+cos )x

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm trong 0;

5) Dạng F(sin 2 ,sin , os )2 x 2x c 2x hoặc F c( os 2 ,sin , os )2 x 2x c 2x

Sử dụng công thức lượng giác cơ bản, công thức nhân đôi, đưa phươngtrình đã cho về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ 1 Giải phương trình sin23 sin 32 3

2

p p

Chú ý: Tương tự như phép thế ở trang 11-12, với cách làm này học sinh thường

hay quên xét trường hợp cosx=0 xem nó có thỏa phương trình đã cho hay không? Sau đó xét cosx¹ 0 mới tiến hành bước đặt ẩn phụ t = tanx Vậy ta cần lưu ý với học sinh ở điểm này

Ví dụ 1: [TSĐH A_2003] Giải phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là ,

4

p p

Ví dụ 1 [ĐHQG HN_Khối A_99] Giải phương trình 8cos (3 ) cos3

p p p

2.4) Một số dạng phương trình lượng giác khác

Đây cũng là những dạng toán khá đa dạng, phong phú, phức tạp và hay có

trong các kỳ thi tuyển sinh cao đẳng, đại học hoặc thi tuyển học sinh giỏi Muốngiải được các dạng phương trình lượng giác này thường phải kết hợp linh hoạtcác cách giải ở trên và nhiều cách giải đặc biệt khác tùy thuộc vào từng bài toán

t loại

é ê

=-Û ê

ê êVới t = -2 ta được

êê

êë1

éê

p p

ìï =

íï =ïî

13

Điều kiện để (II) có nghiệm là đường thẳng (d1): u+ =- +v 1 2m+3 cắtcung ACB của đường tròn (C): u2+ =v2 2, với A(-1; 1), B(1; 1) Điều nàytương đương với:

Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm khi 1- £ m£ 3.

Ví dụ 7 Giải phương trình(1 cos+ x) (2 4+ cosx)=3.4cosx

Đây là phương trình bậc 2 đối với ẩn 4y nên có không quá 2 nghiệm phân biệt

Do đó theo định lí Rô-lơ(Rolle) phương trình f(y) = 0 có không quá 3 nghiệmphân biệt

1) [ĐHDL Phương Đông_97] cos 3 sin 3 - 3

4) 6cos 22 x- 7cos2xcos 2x+2cos4x=0

5) 3 tanx+1(sinx+2cos )x =5(sinx+3cos )x

6) [ĐHYD TPHCM_1993] 2log (cot )3 x =log (cos )2 x

7) Xác định a để phương trình sau có nghiệm:

2 2

10) [ĐHQG TPHCM, ĐH Luật_96] ( )tan tan

3 2 2+ x+ -(3 2 2) x =m

a) Giải phương trình khi m = 6

b) Tìm m để để phương trình có đúng 2 nghiệm trong ;

10) (1 sin+ x) (2 4+ sinx)=3.4sinx

11) [Olympic 30/4] log (cos2 x+ =1) 2cosx

IV KẾT QUẢ :

 Kết quả khi chưa vận dụng chuyên đề:

V BÀI HỌC KINH NGHIỆM :

- Nói chung phương trình lượng giác là một phần khó đối với các em họcsinh Có thể nói đối với học sinh của trường đóng ở vùng núi, đa phần mặt bằngkiến thức còn thấp, các em học sinh gặp khó khăn ngay cả khi giải phương trìnhbậc nhất hoặc phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với một hàm sốlượng giác kinh nghiệm của tôi là cho học sinh thực hiện được một trong hainội dung, một là các em phải nắm được bảng kê số, hai là các em biết sử dụngthành thạo máy tính cầm tay của mình để hỗ trợ các em giải các phương trìnhlượng giác cơ bản

- Phương trình lượng giác còn áp dụng một khối lượng công thức biến đổikhá lớn khiến nhiều em học sinh bị “choáng” và cảm giác lo sợ khi học bộ mônlượng giác nói chung và phương trình lượng giác nói riêng Bởi vậy bản thân tôichỉ cho các em nhớ những công thức cần thiết nhất và từ đó có thể suy luậnthêm những công thức khác liên quan, chẳng hạn nhớ công thức cộng, công thứclượng giác cơ bản có thể suy ra công thức nhân đôi, nhớ công thức nhân đôi từ

đó có thể suy ra công thức hạ bậc,

- Nếu các em học sinh đã nắm vững toàn bộ công thức lượng giác và biếtvận dụng biến đổi linh hoạt thì tất nhiên các em chỉ cần đại số hóa khi cần thiết

và thậm chí không cần đại số hóa vẫn có thể giải quyết được, ở mức độ này các

em học sinh khá trở lên mới làm được, còn đối với các em học sinh yếu để vậndụng tốt chuyên đề này cần yêu cầu các em phải nắm được các công thức lượnggiác cơ bản, cách giải các phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phươngtrình đại số bậc một, bậc hai, hệ phương trình đại số đã học là các em có thể làmtốt được các bài tập theo yêu cầu của sách giáo khoa

- Có nhiều bài toán trong chuyên đề này khi đặt ẩn phụ lại phức tạp hơn lànhững cách giải thông thường nhưng tôi vẫn trình bày theo cách đặt ẩn phụ vớiquan điểm đưa ra một cách giải quyết vấn đề nhằm kích thích và phát huy hơnnữa óc sáng tạo của các em học sinh Giải phương trình lượng giác bằng cáchđặt ẩn phụ chỉ thật sự có ý nghĩa khi các cách thông thường khác khó hoặckhông giải quyết được ví dụ như khi gặp những bài toán tìm điều kiện của tham

số để phương trình lượng giác thỏa mãn một tính chất nào đó(những bài toán cóchứa tham số)

- Để giải phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ được thuận lợi thìviệc đưa ra điều kiện của ẩn phụ là hết sức quan trọng, vì vậy giáo viên cần lưu

ý với học sinh ở điểm này

VI KẾT LUẬN :

- Việc giải phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ như là một trongnhững cách đơn giản để tìm hiểu và giải quyết các bài toán về giải và biện luậnphương trình lượng giác Nhưng dù sao vẫn không thể phủ nhận vai trò của cácphương trình lượng giác cơ bản cũng như công thức lượng giác Càng nắm vữngcác công thức lượng giác, các cách biến đổi biểu thức lượng giác các em họcsinh càng biết cách đặt ẩn phụ phù hợp đưa phương trình lượng giác về nhữngbài toán đại số thông thường đã học

- Có nhiều trường hợp khi giải phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩnphụ chỉ làm phức tạp hóa bài toán Do vậy không nên lạm dụng cách giải này

mà chỉ nên áp dụng nó cho một số bài toán thích hợp, sao cho khi đại số hóaphương trình lượng giác rồi thì việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản vàthuận lợi hơn

- Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót

do nhận định có thể mang tính chủ quan, trình độ có hạn Vậy nên tôi rất mongđược sự góp ý của quý thầy, cô giáo và hội đồng bộ môn Xin chân thành cảmơn

Người thực hiện

Nguyễn Anh Tuấn