b Với cách đặt ẩn phụ như trên, trong trường hợp tổng quát, ta có: t+... Phương trình dạng.[r]
(1)Giải số phương trình vô tỉ phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp đặt ẩn phụ đưa giải phương trình: Dạng phương trình af(x )+b √ f (x )+ c=0 (I) Trong đó a, b, c cho trước và a.b Phương pháp giải: Điều kiện xác định: f(x) Đặt √ f (x )=t (t ≥ 0)⇒ f (x )=t (*), ta có phương trình ẩn t: at + bt +c=0 (1) Giải phương trình (1), tìm nghiệm t Thay t vào (*) tìm x Trả lời nghiệm: Nghiệm phương trình (I) là giá trị x tìm bước thỏa mãn điều kiện bước Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) x+ √ x −2=0 Lời giải: a) Điều kiện: x ≥ Đặt √ x=t(t ≥ 0) ⇒ x=t , ta có phương trình t +t −2=0 (a+ b+c=0) ⇒t 1=1(t /m),t 2=− (loại) t =1⇒ √ x=1 ⇒ x=1 Phương trình có nghiệm x = b) x −7 √ x − 2+ 8=0 Lời giải: x −2 ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ √2 ¿ x ≤− √2 Điều kiện: ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 Ta có: x −7 √ x − 2+ 8=0 ⇔ x −2 −7 √ x − 2+ 10=0 Đặt √ x2 −2=t (t ≥0)⇒ x − 2=t , ta có phương trình ẩn t: t −7 t +10=0 7+3 −3 −7 ¿ − 10=9 ⇒ √ Δ=3 ⇒ t 1= =5 (t /m); t 2= =2(t /m) 2 Δ=¿ 2 Với t1 =5⇒ √ x −2=5 ⇒ x =27 ⇒ x 1=− √ 27=− √3 (t /m) , x 2=√ 27=3 √3 (t/m) Với t2 =2⇒ √ x − 2=2 ⇒ x 2=6 ⇒ x 3=− √ 6(t /m) , x =√ 6(t /m) Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt: x 1=−3 √ , x 2=3 √ , x3 =− √ , x 4=√ (2) c) x −2 x +3=2 √ x −4 x+3 Lời giải: Ta có: Đặt x − 1¿ 2+1 ≥ x −4 x+3=2 ¿ nên tập xác định PT là R √ x − x +3=t( t ≥ √1=1) ⇒2 x − x+3=t ⇒ x −2 x= Phương trình x −2 x +3=2 √ x −4 x+3 t −3 trở thành: t −3 + 3=2 t ⇔ t −4 t+3=0 ⇒ t 1=1(t /m), t 2=3 (t /m) Với t1 = 1, ta có 2x2 - 4x + = <=> 2(x-1)2 = <=> x = Với t2 = 3, ta có 2x2 - 4x + = <=> 2(x2 - 2x - 3) = Vậy phương trình có ba nghiệm: x1 = 1, x2 = -1, x3 = d) ⇔ x=−1 ¿ x=3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x −3 x+ 10=3 √ x3 +8 Lời giải: ĐKXĐ: Khi đó: x + 8≥ ⇔ x ≥− 2 2 x −3 x+ 10=3 √ x3 +8 ⇔2 x −3 x +10=3 √(x+2)(x − x +4 ) ⇔ 2( x −2 x+ 4)+( x +2)− √ (x+ 2)(x −2 x + 4)=0 Do x2- 2x + = (x-1)2 + > với x, nên chia hai vế phương trình (1) cho x2 - 2x + 4, ta được: Đặt Với 2+ x +2 x +2 −3 =0 x −2 x+ x − x +4 √ x +2 =t (t ≥ 0) , phương trình đã cho trở x − 2x+4 ⇔ t=1 ¿ t=2 t2 - 3t + = ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x +2 t =1⇒ =1 ⇔ x −2 x +4=x +2 x − x +4 ⇔ x − x+2=0 ⇔ x=1 ¿ x =2 (t/m) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ √ √ thành: (3) x +2 =2 ⇔ x2 −9 x +14=0 (*) x − x +4 Δ=9 − 14=−143<0 ⇒ phương trình (*) Với t=2⇒ √ vô nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1, x2 = *Nhận xét: Phương trình trên là phương trình dạng af(x )+ bg (x)=c √ f (x) g (x) (*) Xét f(x) = 0, xem giá trị x tạ đây có phải là nghiệm phương trình (*) không Xét f(x) Chia hai vế phương trình (*) cho f(x), ta có a+b g(x ) g ( x) =c f ( x) f (x ) √ Đây là trường hợp phương trình dạng (I) Dạng phương trình ax n+ bx +(cx+ d) √ a, x n +b, +m=0 (II) Trong đó a, b, c, d, a’, b’, m, n là các số cho trước, a.a’ 0, n Phương pháp giải: Điều kiện xác định Đặt √ a, x n +b ,=t (t ≥ 0)⇒ a, x n +b ,=t2 Ta có: ax n= , N❑ (*) , a ab a ab (a , x n+ b, )− , = , t − , , a a a a Phương trình (II) trở thành a ab, t +(cx+ d)t+ bx +m− , =0 a, a (1) Giải phương trình (1), tìm nghiệm t theo x (Chú ý t 0) Thay t vào (*) để tìm các giá trị x Trả lời nghiệm phương trình (II) ý kiến: Đối với n thì việc giải phương trình dễ dàng Đối với n > thì việc đề cần chú ý chọn các hệ số a, b, c, d, a’, b’, m cho bước phân tích thành nhân tử Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) x 2+3 x +1=( x+ 3) √ x2 +1 Lời giải: ĐKXĐ: ∀ x ∈ R Đặt √ x2 +1=t(t ≥1)⇒ x 2=t2 −1 Phương trình đã cho trở thành: (4) t −(x+ 3) t+ x=0 x −3 ¿ ≥ ⇒ ¿ t=x ¿ t=3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x +3 ¿ − 12 x=¿ ¿ Δ=¿ t=x ⇒ √ x +1=x ( x ≥ 1)⇒ x +1=x ⇒ x2 +1=0 Với vô nghiệm 2 Với t=3 ⇒ √ x +1=3⇒ x +1=9⇒ x =8 ⇒ x=± √ 8=± √2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1=2 √2 , x2 =−2 √2 b) x − x − 2( x − 3) √ x − 20=12 Lời giải: ĐKXĐ: x −20 ≥ ⇔ x ≥ √3 20 Ta có: x − x − 2( x − 3)√ x − 20=12 ⇔ x − 20 −2( x −3) √ x − 20− x +8=0 Đặt √ x3 −20=t (t ≥ 0) , phương trình đã cho trở thành: t2 - 2(x-3)t - 4x + = x −1 ¿2 ⇒ √ Δ, =|x −1|=x −1(Do x ≥ √ 20) ¿ x −3 ¿ −(− x +8)=x − x +1=¿ ¿ ' Δ =¿ 2 x +2 ¿ −20=0 ⇔ x − x − x − 24=0 Với t =2 x +2 ⇒ x −20=2 x +2 ⇔ x − ¿ √ ⇔ x − x +2 x − 12 x +4 x −24=0 ⇔( x − 6)( x 2+ x +4 )=0 ⇔ x=6( Do x 2+ x +4 ≥ 3) Với t=4 ⇒ √ x −20=4 ⇔ x 3=84 ⇔ x =√3 84 Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy hai giá trị x thỏa mãn Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1=6 , x2 =√3 84 Dạng phương trình √ a+cx ± √ b − cx+d √(a+cx)(b − cx)=m Phương pháp giải: ĐKXĐ Đăt √ a+cx ± √ b − cx=t ⇒t 2=a+ b ±2 √(a+ cx)(b − cx) Ta có phương trình t − a −b t±d =m (*) Giải phương trình (*) tìm nghiệm x thỏa mãn ĐKXĐ Trả lời nghiệm (IV) (5) Ví dụ: Cho phương trình: √ x+1+ √ − x + √(x +1)( 3− x)=k a) Giải phương trình k = b) Tìm điều kiện k để phương trình có nghiệm Lời giải: a) Khi a = ta có phương trình √ x+1+ √ − x + √(x +1)( 3− x)=2 ĐK: −1 ≤ x ≤3 t −4 Đặt √ 1+ x + √ − x=t (t >0)⇒ t =4+2 √(1+ x )(3 − x) ⇔ √(1+ x )(3 − x )= 2 t −4 =2⇔ t +2 t −8=0 ⇔ t=2(t /m) ¿ Ta có phương trình: t=− (Loai ) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ =0 ⇔ √(1+ x)( 3− x)= − x +1=0 ¿ − x=0 ¿ x =−1 Với t = thì (t/m) ¿ x=3 ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ t+ Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -1, x2 = b) Với cách đặt ẩn phụ trên, trường hợp tổng quát, ta có: t+ t 2− =k ⇔ t 2+2 t − k − 4=0 xét Δ' = + 2k + = 2k + 5 ' Nếu Δ ≥ ⇔2 k +5 ≥ ⇔k ≥− Phương trình có hai nghiệm: x 1=−1+ √ k +5 , x 2=− 1− √ 2k + Do t > nên t2 không thỏa mãn Mặt khác, √ 1+ x + √ − x=1 √1+ x +1 √ − x ≤ √ 2(1+ x+ 3− x)=2 √ (Bunhi) Như 0<t ≤ √ Do đó 0<− 1+ √2 k +5 ≤ √2 ⇔1< √ k +5 ≤2 √ 2+1 ⇔− 4< k ≤ +4 √2 ⇔− 2<k ≤ 2+ √ Vậy với −2< k ≤ 2+2 √2 thì phương trình có nghiệm Phương pháp đặt ẩn phụ đưa giải hệ: (6) n Phương trình dạng f ( x)¿ +b ¿ f ( x)¿n +d ¿ c¿ a¿ m √¿ Trong đó a, b, c, d, t, m, n,p là số và a.m.p.c , n ∈ N❑ Phương pháp giải: n Tìm điều kiện xác định: f ( x)¿ +b ≥ ¿ f ( x)¿n +d ≥0 ¿ ⇔ ¿ ¿ a¿ n Đặt ẩn phụ: f ( x) ¿ +b ¿ (u ≥0) ¿ n f ( x )¿ +d ¿ (v ≥ 0) ¿ ⇔ ¿ f ( x) ¿n +b ¿ f ( x )¿ n +d ¿ ⇔ ¿ f (x) ¿n +bc(1) ¿ a¿ ¿ u= √¿ Trừ vế theo vế (1) và (2), ta có phương trình cu2 - av2 = bc - ad (3) Thay u, v vào (I) kết hợp (3), ta có hệ: (7) ¿ mu + pv+t=0 cu − av 2=bc − ad ⇔ mu+t ¿ v=− p mu+t cu − a − =bc − ad (4) p ¿{ ¿ ( ) Giải phương trình (4), chọn nghiệm u cho v Thay u v vào (1) tìm x thỏa mãn điều kiện Trả lời nghiệm Ví dụ : Giải các phương trình sau: a) √ x +1+ √ x −3 − 4=0 (1) Lời giải: Điều kiện: ¿ ¿ x +1 ≥ x − ≥0 ⇔ ¿ x≥− x ≥3 ⇔ x≥3 ¿{ ¿ √ x+1=u √ x − 3=v Đặt (0 ≤u , v ≤ )⇒ ¿ x+1=u2 x −3=v2 2 ⇒ u −2 v =7 ¿{ ¿ (2) Thay u, v vào (1), kết hợp (2), ta có hệ: u+v −4=0 u2 − v 2=7 ⇔ ¿ ¿ u=4 − v (3) − v ¿2 −2 v 2=7 (4 ) ¿ ¿{ ¿ Giải phương trình (4): (4) <=> v2 + 8v - = => v = (thỏa mãn) v = -9 (loại) (8) ¿ √ x − 3=1 +1=3 v =1 => u = (thỏa mãn), đó √ 2⇔xx=4 ¿{ ¿ Vậy phương trình có nghiệm x = b) √ 25− x − √10 − x 2=3 Lời giải: ¿ 25 − x ≥ − x2 ≥ ĐKXĐ: 10 ⇔− √10 ≤ x ≤ √10 ¿{ ¿ 25− x =u(u ≥ 0), √ 10− x 2=v (v ≥0)⇒ u2 −v =15 ⇔(u+ v )(u− v )=15 Đặt √ ¿ u − v=3 (u+ v)(u − v )=15 ⇔ ¿ u− v =3 u+v =5 hệ: (t/m) ⇔ ¿ u=4 v=1 ¿{ ¿ √ 25− x 2=4 √10 − x 2=1 ⇔ ¿ x2 =9 x 2=9 ⇔ Suy (t/m) x=3 ¿ ¿ x =−3 ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿¿ Ta có Vậy phường trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 = 3, x2=-3 c) √ x − x+5+ √ x − x − 1− 7=0 Lời giải: (9) ¿ x − x+5 ≥ ≥0 ĐKXĐ: x ⇔−6∀ xx +11 ∈R ¿{ ¿ Đặt √ x −3 x+ 5=u (u≥ 0) , √2 x − x +11=v (v ≥0) ⇒2 u2 − v 2=− u+v =7 2 2u − v =−1 ⇔ ¿ v=7 −2 u ¿ Ta có hệ: −2 u ¿ +1=0 (2) ¿ ¿ ¿ 2u2 −¿ (2) <=> -2u2 + 28u - 48 = <=> u2 - 14u + 24 = Δ ' =72 − 24=25 ⇒ √ Δ' =5 ⇒u 1=7+5=12(t /m) ,u 2=7 −5=2(t /m) Tại u = 12 => v = - 2.12 = -17 < (không thỏa mãn) Tại u = => v = - 2.2 = (thỏa mãn) Với u = ⇒ √ x −3 x +5=2 ⇔ x −3 x+ 1=0 ⇔ 3+ x= √ ¿ − √5 x= ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm Phương trình dạng √ ax + bx+ c+ √ ax +b x 1= 3+ √ − √5 , x 2= 2 x +c 1+ √ b x +c 2=√ c +c − c a ≠ , b1=b+ b2 Trong đó Phương pháp giải: ĐKXĐ Đặt √ ax2 + bx+ c=u(u ≥ 0)⇒ u2=ax + bx+c √ ax +b 2 x +c 1=v (v ≥ 0)⇒ v =ax + b1 x +c √ b2 x +c 2=t (t ≥0)⇒ t 2=b2 x+ c Suy u2 − v +t 2=( b −b1 +b 2) x+ c − c1 + c2=c+ c − c1 (Dob+ b2=b 1) (II) (10) 2 u − v +t =c +c − c u+v +t= √c +c −c u+v +t ¿2 Ta có hệ: ¿ ¿ ¿{ ⇒u2 − v 2+t 2=¿ ⇔ 2(v 2+ uv + vt+ tu)=0 ⇔(u+ v )(v +t)=0 ⇔ u+ v=0 ¿ v+ t=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Do u ≥0 , v ≥ , t ≥ nên u = v = v = t = Trả lời nghiệm: Nghiệm phương trình (II) là nghiệm chung hai phương trình u = v = v = t = Ví dụ: Giải các phương trình: a) √ x − x −5+ √2 x 2+ x −60+ √ 11 x − 30=5 Lời giải: (1) ¿ x − x −5 ≥ x +2 x −60 ≥ 11 x −30 ≥ ⇔ x≥5 ¿{{ ¿ √ x − x −5=u(u ≥ 0)⇒ u2=2 x − x −5 √ x +2 x −60=v (v ≥ 0) ⇒v 2=2 x +2 x −60 ĐK: Đặt √ 11 x −30=t( t ≥ 0)⇒ t 2=11 x − 30 Suy Ta có Do u2 − v +t 2=25 2 u − v +t =25 u+v +t =5 u+v +t ¿ hệ: ¿ ¿ ¿{ 2 ⇒ u − v +t =¿ ⇔ 2(v 2+ uv + vt+ tu)=0 ⇔(u+ v )(v +t)=0 ⇔ u+ v=0 ¿ v+ t=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ u ≥0 , v ≥ , t ≥ nên (*) xẫy u = (*) v = v = t = (11) Với u = v = 0, ta có Với v = t = 0, ta có ¿ x − x −5=0 x2 +2 x − 60=0 ⇔ ¿( x −5)(2 x+1)=0 2(x −5)(x+ 6)=0 ⇔ x=5 (t/m) ¿{ ¿ 11 x −30=0 x +2 x −60=0 ⇔ 11 x −30=0 Vô ¿ ¿ 2( x − 5)( x+6)=0 ¿ ¿¿ nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm x = b) √3 x − x+ 2010− √3 x −7 x+ 2011− √3 x −2012=√3 2011 Lời giải: ĐKXĐ: ∀ x ∈ R Đặt √3 x − x+ 2010=u ⇒u3 =3 x2 − x +2010 − √ x −7 x +2011=v ⇒ v3 =−3 x 2+7 x −2011 − √3 x − 2012=t ⇒ t 3=− x+ 2012 Suy u +v +t =2011 3 u +v +t =2011 u+ v +t=√ 2011 u+v +t ¿ Ta có hệ: ¿ ¿ ¿{ ⇒u 3+ v +t =¿ u2 v +u2 t+ v u+ v t +t u+t v +2 uvt ¿ ⇔ u (v +t)+ vt( v+ t)+uv (v+ t)+ut (v +t)=0 ¿ ¿=0 ⇔(u+ v )(v +t )( t+u)=0 ⇔ ¿ u=− v ¿ v=− t ¿ t=−u ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔u3 +v +t 3=u3 + v +t +3 ¿ Với u = -v, ta có √3 x − x+2010=¿ √3 x −7 x+ 2011 3 (2) (12) <=> 3x2 - x + 2010 = 3x2 -7x + 2011 <=> 6x - = <=> x = Với v = - t, ta có − √3 x −7 x +2011=¿ √3 x −2012 <=> -3x2 + x + = , Δ = 1+ 12 = 13 1+ 13 1− 13 Phương trình có hai nghiệm x 1= 6√ , x 2= 6√ Với t = -u, ta có: − √3 x − 2012=− √3 x − x +2010 <=> 3x2 - 7x + 4022 = Δ=49 − 4022=− 48215 < phương trình vô nghiệm Vậy phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt 1+ 13 1− √13 x 1= √ , x 2= , x3 = 6 Phương trình dạng f (x) ¿n +a ¿ f (x) ¿n +b ¿ −¿ ¿ √¿ (III) Trong đó a, b, c là số cho trước, n nguyên dương Phương pháp giải: Nếu c = thì Nếu c thì: f (x) ¿n +a ¿ f (x) ¿3 +b ¿ −¿ ¿ √¿ n f (x)¿ +a ¿ Đặt f (x)¿n +a ¿ √¿ f (x)¿n +b ¿ f (x)¿n +b −¿ √¿ (*) Suy u3 + v3 = a + b Ta có hệ: (13) ¿ u+v =c u +v 3=a −b ⇔ ¿ u+v =c ¿ (u+ v)(u − uv+ v )=a − b ¿ ⇔ ¿ v=c − u a −b c −u ¿ 2= (**) c ¿ ¿ ¿ u −u (c − u)+ ¿ Giải phương trình (**) tìm nghiệm u Thay u vào (*) để tìm x Trả lời nghiệm phương trình (III) Ví dụ 1: Cho phương trình ẩn x: √3 1− x + √3 1+ x=a (1) a) Giải phương trình (1) a = b) Tìm các giá trị a để phương trình (1) có nghiệm Lời giải: a) Khi m = 1, ta có phương trình √3 1− x + √3 1+ x=1 Đặt √3 1− x =u⇒ u3=1 − x , √3 1+ x=v ⇒ v 3=1+ x Suy u3 + v3 = Ta có hệ: u+v =1 u3 +v 3=2 ⇔ ¿ ¿ u+ v=1 (u+ v)(u − uv+ v )=2 ⇔ ¿ v=1 −u −u ¿2=2( **) ¿ ¿{ u2 −u(1 −u)+¿ (**) <=> 3u2 - 3u + = <=> 3u2 - 3u -1 = ⇔ 3+ 21 u= √ ¿ − √ 21 u= ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ (14) Với Với 3+ 21 3+ √ 21 21 u= √ ⇒1 − x= ⇔ x=− √ 6 3 − √ 21 3− √ 21 21 u= ⇒ − x= ⇔ x= √ 6 ( ( ) ) Vậy a =1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x 1=− √21 21 , x 2= √ 9 b) Trong trường hợp tổng quát, ta có: u+v =a u3 + v3 =2 ⇔ ¿ ¿ u+ v=a (u+ v)(u − uv +v )=2 ⇔ ¿ v=a −u u − u( a− u)+ ¿=2(**) ¿ ¿{ a¿ Với a = phương trình (**) vô nghiệm Với a , (**) <=> 3au2 - 3a2u + a3 - = Xét Δ = (-3a2)2 - 4.3a(a3 - 2) = -3a4 + 24a = -3a(a - 2)(a2 + 2a+ 4) Δ <=> -3a(a - 2) ( Do a2 + 2a+ > 0) <=> < a (do a 0) Vậy phương trình (1) có nghiêm và < a Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a) √3 x +5 x −1 − √3 x 2+5 x +3 −84=0 (2) Lời giải: Đặt √3 x +5 x −1=u ⇒u3=3 x +5 x −1 , √3 x +5 x+3=v ⇒ v 3=3 x 2+5 x +3 Suy u3 - v3 = -4 Ta có hệ: u −v =− u3 − v 3=84 ⇔ ¿ ¿ u − v=− (u − v)(u2 + uv+ v )=84 ⇔ ¿ v=− −u − −u ¿2=− 21(**) ¿ ¿{ u2 +u(− − u)+ ¿ (15) (**) Với ⇔ u=1 ¿ u=− <=> u + 4u - = ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ u=1 ⇒ x 2+ x −1=1 ⇔ x +5 x −2=0 ⇔ − 5+ √ 49 x= = ¿ − 5− √ 49 x= =− ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 u=− ⇒3 x +5 x − 1=−5 ⇔ x +5 x+ 4=0 Với Vô nghiệm Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x 1= , x2 =−2 b) √3 − x − √3 2+ x 3=2 Lời giải: Đặt √3 3− x3 =u ⇒ u3=3 − x , √3 2+ x 3=v ⇒ v 3=2+ x Suy 8u3 - v3 = 26 Ta có hệ: ¿2 u+ v=2 u3 +v 3=26 ⇔ ¿2 u+ v=2 ¿ (2 u+v )(4 u − uv+ v 2)=26 ¿ ⇔ ¿ v =2− 2u −2 u ¿2=13 (**) ¿ ¿ ¿ u2 − 2u (2− 2u)+¿ (**) <=> 12u2 - 12u - = <=> 4u2 - 4u - = Với 3 −3 3 27 √ u= ⇒ 3− x = ⇔ x = ⇔ x=− 8 ⇔ u= ¿ u=− ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ (16) Với 1 25 3 25 √ u=− ⇒ − x =− ⇔ x = ⇔ x= 8 Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 3 25 x 1=− √ , x 2= √ 2 Một số phương trình khác Ví dụ: Giải các phương trình: a) ( x+ 3) √( − x )(12+ x)+ x=28 Lời giải: ĐK: (4 - x)(12 + x) ⇔ −12 ≤ x ≤ Đặt ¿ x+ 3=u , √ (4 − x )(12+ x )=v (v ≥ 0)⇒ u2=x 2+ x+ v 2=− x − x + 48 ¿ ⇒u2 + v 2=2(28 − x )+ ¿{ ¿ Ta có hệ: uv =28− x u 2+v 2=2(28 − x)+1 u− v ¿2=1 ⇔ ¿ v=u+ ¿ v=u −1 ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿ 2 ⇒ u + v =2u v +1 ⇔ ¿ v =u+1⇒ √(4 − x)(12+ x )=x +4 ⇔ −4≤ x≤4 Với − x − x+ 48=x +8 x +16 ¿{ ⇔ −4 ≤ x ≤ ⇔ x=− +4 √2 x 2+ x −16=0 ¿{ v =u− 1⇒ √ (4 − x)(12+ x )=x +2 ⇔ −2 ≤ x ≤ Với − x −8 x +48=x 2+ x +4 ¿{ ⇔ −4 ≤x≤ ⇔ x=− 3+ √ 31 x 2+6 x −22=0 ¿{ (17) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm b) √ x +1− √ x =x −1 Lời giải: ĐK: x x 1=− 4+ √ , √ x +1=u , √ x =v (u , v ≥ 0)⇒ u 2=2 x +1 v 2=3 x ⇒ v −u2=x −1 ¿{ Đặt Ta có hệ: u − v=x − v −u2 =x −1 ⇒ v2 −u 2=u −v ⇔ (u − v)(u+ v +1)=0 ⇔ u=v ¿ u=−v −1 ¿ ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿¿ Do u, v >= nên u = - v - không thỏa mãn Với v =u⇒ √3 x= √2 x+1 ⇔ x =1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = c) x − x −2 √1+16 x=2 (3) Lời giải: ĐK: x ≥ − 16 Khi đó (3) ⇔ x − x=2( √ 1+16 x+1) Đặt √ 1+16 x +1=2 y ( y ≥ )⇒ √ 1+16 x=2 y − ⇒1+16 x=4 y − y+1 ⇔ y − y =4 x ¿ x2 − x=2 y =4 y y − y=4 x Ta có hệ: ⇒ x − x − y + y=4 y − x ⇔ (x − y )( x+ y +3)=0 ⇔ x= y ¿{ ¿ 1 ( Do x ≥ − 16 và y ≥ nên x + y + > 0) ⇒ √ 1+ 16 x=2 x −1 ⇔ x≥ Với x = y x − 20 x=0 ⇔ x=5 ¿{ x 2=−3+ √31 (18) Vậy phương trình (3) có nghiệm x = (19)