Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos Phươ ng pháp: Ta thường dùng các biến đổi cơ bản sau sin c o s 2 sin 2 cos 4 4 a a a a                    . sin 3 cos 2sin 2cos 3 6 a a a a                    . 3 sin c o s 2sin 2cos 6 3 a a a a                    . Ví dụ 1: Giải phương trình sau   sin 3 cos 3 sinx os3 2 3 sinx x x c x     1 Giải Phương trình     2 1 sin 3 cos os3 sin 3 1 2sin 0 sin 2 3 os2 0 x x c x x x x c x         2sin 2 0 2 3 3 6 2 k x x k x                     , k   . Vậy nghiệm của phương trình là : 6 2 k x      , k   . Ví dụ 2: Giải phương trình sau 4 4 4 sin os 3 sin 2 4 2 2 x x c x                        2 Giải Phương trình   2 2 2 2 1 4 1 2sin os 3 sin 2 4 4 1 sin 3 sin 2 4 2 2 2 x x c x x x                                 3 1 4 os2 3 sin 2 4 3 sin 2 os2 1 2sin(2 ) 1 4 4 6 c x x x c x x                    2 2 1 6 6 sin(2 ) , . 2 7 6 2 2 2 3 6 6 x k x k x k x k x k                                       Vậy nghiệm của phương trình là : 2 3 x k x k           , k   . Ví dụ 3: Giải phương trình sau 2 2 2cos 2 3 os4 4cos 1 4 x c x x              3 Giải Phương trình   3 1 os 4 2 c x            2 2 3 os4 4cos 1 sin 4 3 os4 4cos 2 c x x x c x x       4 2 2 1 3 6 sin 4 os4 os2 os 4 os2 2 2 6 4 2 2 6 x x k x c x c x c x c x x x k                               12 36 3 x k k x                Vậy nghiệm của phương trình là : 12 , . 36 3 x k k k x                 Ví dụ 4: Giải phương trình sau 2 2 3 os 2sin 3 cos sin 4 3 1 3 sinx cos c x x x x x        4 Giải Điều kiện: 3 sinx cos 0 sin 0 6 x x             . Khi đó phương trình   4  2 2 3 os 2sin 3 cos sin 4 3 3 sinx cos c x x x x x         2 3 2cos 1 sin 4 sin 2 sin 4 3 sinx cos x x x x x        2 2 3 6 3 os2 sin 2 3 sinx cos sin 2 sin 3 6 2 2 3 6 x x k c x x x x x x x k                                             2 6 2 6 3 x k k x                 , k   , kết hợp điều kiện t a có 2 6 3 k x     v ớ i 1 3 k n   , n   . Vậy nghiệm của phương trình là : 2 6 3 k x     v ớ i 1 3 k n   , n   , k   . Bài tập: Giải các phương trình sau 1. sin 3 sin 5 3 sin 2 1 os3 cos5 x x x c x x    Đáp số: x k   ; 3 x k      , k   . 2. 2 2 cos (sinx cos ) os2 3 x x c x    Đáp số: Phương trình vô nghiệm. 3. 3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0 x x x x    Đáp số: 2 ; 18 3 6 2 k k x x          , k   . 4. 3 2sin15 3 os5 os 5 2 x c x c x           Đáp số: ; 15 10 30 5 k k x x          , k   . 5.      1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x     Đáp số: 2 18 3 k x      , k   . 6. 2 4 2sin sin sin 2 3 cos cos os 1 3 3 3 3 x x x x x c x                                   HD: sin 3 3 os3 2 x c x    . Đáp số: 2 18 3 k x     , k   . 7. 2 2 2 3 sin( ) os( ) 2cos ( ) 3 4 sin os( )sin( ) 8 8 8 3 6 x c x x x c x x                     HD: 7 3 os 2 12 2 c x           . Đáp số: 5 24 x k     , 3 8 x k     , k   . 8. 2 3 2 os( ) 6 sin( ) 2sin( ) 2sin( ) 5 12 5 12 5 3 5 6 x x x x c            Đáp số: 5 5 4 x k     , 5 5 12 x k      , 5 5 3 x k      , k   . Dạng 2: Đưa về phương trình chỉ chứa một hàm lượng giác Phươ ng pháp: Dùng các phép biến đổi cơ bản đưa phương trình dạng phức tạp về phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác. Ví dụ 1: Giải phương trình sau   2 cos 2sin 3 2 2cos 1 1 1 sin 2 x x x x        2 Giải Điều kiện: sin 2 1 x   . Phương trình   2   2 cos 2sin 3 2 2cos 1 sin 2 1 x x x x       2 2cos 3 2 cos 2 0 x x     cos 2 2 cos 2 x x         2 cos 2 2 4 x x k         .Kết hợp kiện 2 4 x k      , k   . Vậy nghiệm của phương trình là: 2 4 x k     , k   . Ví dụ 2: Giải phương trình sau   2 os2 3 sin 2 3 sinx 3 cos c x x x       1 Giải Phương trình   1 1 3 1 3 2 2 os2 sin 2 6 sin os 2 2 2 2 c x x x c x                  1 os 2 3cos 3 6 c x x                    2 cos 0 6 2cos 3cos 0 6 6 3 cos 6 2 x x x x                                             Với : cos 0 6 x           2 6 2 3 x k x k            , k   . Với : 3 cos 6 2 x           v ô n g h i ệ m . Vậy nghiệm của phương trình là: 2 3 x k     , k   . Ví dụ 3: Giải phương trình sau 2 tan 5sin 1 4 x x             3 Giải Điều kiện: os 0 4 c x          . Khi đó phương trình   3 2 2 1 tan 6 tan 1 1 tan 1 tan x x x x                2 2 1 tan 1 tan 1 tan 1 6 tan x x x x        2 tanx 7 tan 5tan 2 0 tan 0 x x x       x k    , k   (thỏa mãn điều kiện). Vậy nghiệm của phương trình là: x k   , k   . Bài tập: Giải các phương trình sau 1.   3 sin 2 sinx os2 c o s 2 x c x x     HD: Đưa phương trình về dạng: 2 2sin sin 0 6 6 x x                   . Đáp số: 2 x k     , 6 x k     , 2 3 x k     , k   . 2.     2 2sin 1 4 sinx 1 os 2 sin 2 4 4 x c x x                      HD: Đưa phương trình về dạng:   2 sin 2 1 sinx 2 0 x     . Đáp số: 2 2 x k     , k   . 3. 2 17 sin 2 16 3 sin 2 20sin 2 2 12 x x x                    HD:Đưa phương trình về dạng: 2 2cos 5cos 2 0 6 6 x x                    . Đáp số: 2 2 x k     , 5 2 6 x k      , k   . 4. os2 3 sin 2 3 sinx cos 4 0 c x x x      HD:Đưa phương trình về dạng: 2 sin sin 3 0 6 6 x x                    . Đáp số: 2 3 x k     , k   . 5.   6 6 2 sin os si n x cos 0 2 2sin x c x x x     HD:Đưa phương trình về dạng: 2 3sin 2 sin 2 4 0 x x    . Đáp số: 5 2 4 x k     , k   . 6.   2 5sin 2 3 1 sinx tan x x    HD:Đưa phương trình về dạng: 2 2sin 3sin 2 0 x x    . Đáp số: 2 6 x k     , 5 2 6 x k     , k   . 7.     cos c o s 2sin 3sin sinx 2 1 sin 2 1 x x x x x      HD:Đưa phương trình về dạng: 2 2sin 3 2 sin 2 0 x x    . Đáp số: 2 4 x k      , k   . 8. 2 2 2 1 sin sin 1 cos 3 3 2 x x x                    HD:Đưa phương trình về dạng: 2 2 os os 1 0 c x c x    . Đáp số: 2 3 x k      , 2 x k     k   . Dạng 3: Đưa về phương trình tích Phươ ng phá p: Đưa phương trình về dạng tích điều quan trong nhất là làm sao phát hiện được nhân tử chung một cách nhanh nhất. Ngoài phương pháp sử dụng công thức biến đổi lượng giác: biến tích thành tổng, tổng thành tích, công thức hạ bậc Ta thường dùng các biến đổi cơ bản sau đây:     2 sin 1 cos 1 cos a a a    ;     2 os 1 sina 1 sina c a      2 1 sin 2 sin cos a a a    ;   2 1 sin 2 sin c o s a a a        os2 cos s in cos sin c a a a a a    ;   1 os2 sin 2 2cos sin cos c a a a a a     . Ví dụ 1: Giải phương trình sau 1 sinx os3 cos sin 2 os2 c x x x c x        1 Giải Phương trình   1     1 os2 os3 cos sinx sin 2 0 c x c x x x        2 2sin 2sin 2 sin sinx 2sin cos 0 x x x x x        sinx 2sin 2sin 2 1 2cos 0 x x x          sinx 2sin 1 2cos 1 2cos 0 x x x              sinx 1 2cos 2sin 1 0 x x     sinx 0 1 cos 2 1 sinx=- 2 x            2 3 2 6 7 2 6 x k x k x k x k                            , k   . Vậy nghiệm của phương trình là: 2 3 2 6 7 2 6 x k x k x k x k                           , k   . Ví dụ 2: Giải phương trình sau 9 os2 3sin 2 5 2 sin 3 4 c x x x              2 Giải Phương trình       2 os2 3 1 sin 2 5 sin cos 0 c x x x x              2 sinx cos cos sinx 3 sinx cos 5 sinx cos 0 x x x x            sinx cos 0 sinx cos 4sin 2cos 5 0 4sin 2cos 5 0 x x x x x x                sinx cos 0 x   , tan 1 4 x x k          k   . Vì 2 2 2 4 2 5   n ê n 4sin 2cos 5 0 x x    v ô n g h i ệ m Vậy nghiệm của phương trình là: 4 x k      , k   . Ví dụ 3: Giải phương trình sau os2 3sin 2 6cos 9sin 8 0 c x x x x        3 Giải Phương trình   3 2 1 2sin 6sin cos 6cos 9sin 8 0 x x x x x                2 2sin 9sin 7 6cos 1 sinx 0 1 sinx 2sin 7 6cos 1 sinx 0 x x x x x                  1 sinx 6cos 2sin 7 0 x x     1 sinx 0 sinx 1 2 6cos 2sin 7 0 2 x k x x                 , k   vì 2 2 2 6 2 7   n ê n 6cos 2sin 7 0 x x    v ô n g h i ệ m . Vậy nghiệm của phương trình là: 2 2 x k     , k   . Bài tập: Giải các phương trình sau 1.   2sin 1 os2 s i n 2 2cos 1 x c x x x     HD: Đưa phương trình về dạng:     2cos 1 2sin cos 1 0 x x x    . Đáp số: 2 2 3 x k      , 4 x k     , k   . 2. 2 2 2 sin tan os 0 2 4 2 x x x c           HD: Đưa phương trình về dạng:     cos 1 sin cos 0 x x x    . Đáp số: 2 x k     , 4 x k      , k   . 3. 2 sin 2 sin 4 4 2 x x                   HD: Đưa phương trình về dạng:   sin 2cos 1 0 4 x x           . Đáp số: 4 x k     , 2 3 x k      , k   . 4. 3 3 sin os sin 2 sinx cos x c x x x     HD: Đưa phương trình về dạng:   sin x cos 2 sinx c o s 0 x x    . Đáp số: 2 k x   k   . 5. 3 2 os os 2sin 2 0 c x c x x     HD: Đưa phương trình về dạng:     1 s inx sinx cos sin x cos 1 0 x x      . Đáp số: 2 x k   , 2 2 x k     , k   . 6.     4 2 sinx 3 sin sinx 3 sin 1 0 2 2 x x      HD: Đưa phương trình về dạng:    2 1 sinx sinx 2 0    . Đáp số: 2 2 x k     , k   . 7. 3 2cos os2 sin 0 x c x x    HD: Đưa phương trình về dạng:       1 sinx sinx 2 sinx co s 2 0 x      . Đáp số: 2 2 x k     , 2 4 x k      , k   . 8. 4 6 os os2 2sin 0 c x c x x    HD: Đưa phương trình về dạng:   4 2 sin 2sin 1 0 x x   . Đáp số: x k   , k   . 9. 2 2 1 sin sinx os sin 2cos 2 2 4 2 x x x c x            HD: Đưa phương trình về dạng: 2 sinx sin 1 2sin 2sin 1 2 2 2 x x x             .Đáp số: , x k   k   . 10. 2sin 2 os2 7sin 2cos 4 x c x x x     HD: Đưa phương trình về dạng:     2sin 1 2cos sinx 3 0 x x     .Đáp số: 5 2 6 x k     , 2 , 6 x k     k   . Dạng 4: Phương pháp đặt ẩn phụ Phươ ng pháp: Đặt ẩn phụ là phương pháp thường dùng trong giải phương trình lượng giác. Trong chuyên đề này ta xét hai loại đó là đặt ẩn phụ chuyển phương trình về dạng đại số và đặt ẩn phụ để chuyển phương trình lượng g iác thành phương trình lượng giác ẩn mới đơn giản hơn. Trong phương pháp này ta cần chú ý đến điều kiện của ẩn phụ. Ví dụ 1: Giải phương trình sau [...]...  sin 3t Đáp số: x   k 2 , x   k 2 10 2 5 5 5 k  7 2  s inx  cos x   tanx+cotx HD: Đưa phương trình về dạng: 2  s inx  cos x    2 Đáp số: x   k 2 , k  sin 2 x 4 8 3 tan 2 x  4 tan x  4 cot x  cot 2 x  2  0 2 HD: Đưa phương trình về dạng:  tanx+cotx   4  tanx+cotx   4  0 Đáp số: x     k , 4 k  Dạng 5: Tuyển tập các bài phương trình lượng giác trong các... từ năm 2002 đến nay Dưới đây là các câu phương trình lượng giác trong đề thi ĐH (kèm đáp số) các khối A, B, D từ năm 2002 đến nay Giải các phương trình sau cos3x  sin 3 x   1 (TSĐH khối A_2002)  s inx    cos2 x  3 với x   0, 2  1  2 sin 2 x    5 Đáp số: x  , x  3 3 2 (TSĐH khối B_2002) sin 2 3x  cos 2 4 x  sin 2 5 x  cos 2 6 x 13 Đáp số: x  k , x  k , k  9 3 (TSĐH khối... , k  4 Vậy nghiệm của phương trình là: x    k , k  4 Bài tập: Giải các phương trình sau 1 sin 3 x  cos 3 x  cos2 x HD: Đưa phương trình về dạng t  sin x  cos x Đáp số: x    sin x  cos x  s inx  cos x  sin x cos x  1  0 ,Đặt  3  k , x  2 k , x   k 2 , k  4 2 2 tanx+2sin2x=3 HD: Đặt t  tan x  sin 2 x   2t  t 3  3t 2  5t  3  0 Đáp số: x   k , k  2 1... 1 2   cos t   cos2t   3 t     k   4  2  3   x  k   Vậy nghiệm của phương trình là: x   2  k , x    k 2 , x  k , k  6 3 11 Ví dụ 3: Giải phương trình sau tan x  tan 2 x  tan3 x  cot x  cot 2 x  cot 3 x  6  3  Giải Điều kiện sin x cos x  0  sin 2 x  0 Khi đó phương trình  3  (tan 3 x  cot 3 x)  (tan 2 x  cot 2 x )  (tan x  cot x)  6 3 2   tanx+cotx...    1     4   x    5  k 2 x    k 2    4 4    x   2  k 2 , k  Vậy nghiệm của phương trình là:   x    k 2 Ví dụ 2: Giải phương trình sau  8cos3 ( x  )  cos3x  2  3 Giải Đặt t  x    x  t   3 x  3t    cos3 x  cos3t 3 3 , khi đó phương  trình   2  8 cos3 t  cos3t  8 cos3 t  3cos t  4cos 3t  12 cos 3 t  3cos t  0  3cos t 4 cos 2 t ... HD: Đưa phương trình t  sin x  cos x Đáp số: x  về dạng 1  s inx  s inx+ cos x  sin x cos x  1  0   k 2 , x  2k , k  2     4 sin  3 x    sin 2 x sin  x   4 4   12 ,Đặt HD: Đặt t  x      sin 3t  cos2t sin t Đáp số: x   k , x    k , k  4 4 4   5 3cot 2 x  2 2 sin 2 x  2  3 2 cos x HD: Chia 2 vế phương trình cho sin 2 x rồi đặt t  Đáp số: x ...3 1  sin 3 x  cos3 x  sin 2 x 1 2 Giải Phương trình 1  1  (sin x  cosx) 3  3sin x cos x  s inx  cos x   Đặt t  s inx  cos x , với t  2 3 sin 2 x 2 t2 1 , thay vào phương trình ta có  sin x cos x  2  t 2 1  3 2 3 2 2 1  t  3t    t  1  t  3t  3t  5  0   t  1 t  2t  5  0  t... sin 2 x  s inx Đáp số: x     k , x    k 2 , k  4 3 2 9 (TSĐH khối A_2005) cos 3x cos 2 x  cos 2 x  0 k Đáp số: x  , k  2 10 (TSĐH khối B_2005) 1  s inx  cos x  sin 2 x  cos2 x  0  2 Đáp số: x    k , x    k 2 , k  4 3    3  11 (TSĐH khối D_2005) sin 4 x  cos 4 x  cos  x   sin  3x     0 4  4 2   Đáp số: x   k , k  4 Đáp số: x   12 (TSĐH... sin x sin 2 x 1  cot 2 x   Đáp số: x   k 2 , x   k 2 , k  2 4 28 (TSĐH khối B_2011) sin 2 x cos x  sin x cos x  cos2 x  s inx  cos x 2 k 2 Đáp số: x   k 2 , x  , k  3 3 sin 2 x  2 cos x  s inx  1 0 29 (TSĐH khối D_2011) t anx  3  Đáp số: x   k 2 , k  3 Đáp số: x  30 (TSĐH khối A,A1_2012) 3 sin 2 x  cos2 x  2 cos x  1  2 Đáp số: x  k 2 , x   k , x   k... B_2007) 2sin 2 x  sin 7 x  1  s inx  k 5 k 2  k 2 Đáp số: x   ,x  ,, x   , k  8 4 18 3 18 3 Đáp số: x  k 2 , x   2 x x  17 (TSĐH khối D_2007)  sin  cos   3 cos x  2 2 2    Đáp số: x   k , x    k 2 , k  2 6 1 1  7  18 (TSĐH khối A_2008)   4sin   x 3  sin x   4  sin  x   2     5 Đáp số: x    k , x    k , x   k , k  4 8 8 19 (TSĐH . về phương trình chỉ chứa một hàm lượng giác Phươ ng pháp: Dùng các phép biến đổi cơ bản đưa phương trình dạng phức tạp về phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác. . MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos Phươ ng pháp: Ta thường dùng các biến đổi cơ bản. đó là đặt ẩn phụ chuyển phương trình về dạng đại số và đặt ẩn phụ để chuyển phương trình lượng g iác thành phương trình lượng giác ẩn mới đơn giản hơn. Trong phương pháp này ta cần chú ý đến