SKKN phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp

Việc học phần phương trình lượng giác của lớp 11 gây khó khăn không nhỏ cho học sinh vì họcsinh không nắm chắc công thức lượng giác nên khả năng vận dụng linh hoạt công thứclượng giác củ

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu:

Toán học 11 tiếp nối chương trình Toán 10 bắt đầu từ phần “Lượng giác” Việc học

phần phương trình lượng giác của lớp 11 gây khó khăn không nhỏ cho học sinh vì họcsinh không nắm chắc công thức lượng giác nên khả năng vận dụng linh hoạt công thứclượng giác của học sinh còn yếu và đặc biệt khả năng nhận dạng các phương trìnhlượng giác của học sinh còn hạn chế đó là một trong những lí do tôi chọn sáng kiến

kinh nghiệm này

2 Tên sáng kiến: Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Nguyễn Thanh Nhàn

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Thị trấn Lập Thạch - Lập Thạch - Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0948028536 E_mail: nguyenthanhnhan@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đại số và giải tích

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 28/9/ 2018

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

- Về nội dung của sáng kiến:

Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ

Cơ sở lý luận:

- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của ngành giáo dục ở bậc phổ thông trung học

- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học tập bộ môn Đại số và giải tích 11

- Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tài liệu

- Cách giải phương trình lượng giác cơ bản và thường gặp đã nêu trong sách giáokhoa lớp 11(cơ bản và nâng cao)

- Chuẩn kiến thức kỹ năng trong chương trình toán 11.

Cơ sở thực tiễn

- Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Đại số và giải tích

và nhất là phần phương trình lượng giác

Mục đích nghiên cứu:

- Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

- `Nhằm tạo ra tư liệu cho học sinh tự rèn luyện và ôn thi

a Kết quả khảo sát đầu năm học

b Nguyên nhân

* Nguyên nhân khách quan

- Sau ba tháng nghỉ hè kiến thức cũ của học sinh mai một nhiều

- Phân phối chương trình Toán 11 không có tiết ôn tập đầu năm số tiết học Toán giảmnhiều so với chương trình cũ

* Nguyên nhân chủ quan

- Đa số các em học sinh chưa có động cơ học tập đúng đắn

- Chưa phát huy được tính tự học, tự rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc họctoán nói riêng và học tập nói chung

- Chưa có phương pháp học để khắc sâu kiến thức để từ đó vận dụng kiến thức mộtcách linh hoạt vào việc giải toán, kĩ năng tính toán, kĩ năng giải phương trình lượnggiác còn yếu

c Các giải pháp thực hiện

Để đạt được kết quả cao trong việc học toán nhất là chủ đề “Lượng giác” đòi hỏi học

sinh cần nắm vững kiến thức từ thấp đến cao, phải học toán thường xuyên liên tục,biết quan sát bài toán và định hướng được phương pháp giải, biết vận dụng và kết nốicác chuỗi kiến thức đã học để từ đó tiếp thu dể dàng hơn, thuận lợi hơn trong quá trìnhgiải toán góp phần triệt để đổi mới chương trình môn Toán trung học phổ thông

với phương châm “lấy học sinh làm trung tâm” kết hợp với kết quả khảo sát đầu năm học trong chuyên đề này tôi đưa ra giải pháp chính là: hệ thống lại “Các công thức lượng giác liên quan, công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và phương pháp giải các phương trình lượng giác thường gặp đồng thời nêu lên hướng

mở rộng, nâng cao” đảm bảo cho tính liên tục và tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh

trong việc học, rèn luyện và ôn tập

Phần II NỘI DUNG

A CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN:

 Công thức cộng:

 cos(a  b) = cosa cosb + sina sinb  cos(a + b) = cosa cosb  sina sinb

 sin(a  b) = sina cosb  cosa sinb  sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb

 Công thức nhân đôi:

 cos2a = cos2a  sin2a = 2cos2a  1 = 1  2sin2a

 

 Một số cung liên quan đặc biệt

 Phương trình lượng giác cơ bản:

B MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM

SỐ LƯỢNG GIÁC.

1.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình

có dạng (1) trong đó a,b là các hằng số và t là một trong các hàm số

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: (Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác)

Giải

1.2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình

hàm số lượng giác

Cách giải: Biến đổi đưa phương trình (2) về các phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ 3:

Giải

Với t=1, ta được

Đặt , điều kiện Phương trình (2) trở thành:

Các câu còn lại giải tương tự

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:

Giải

*) Giải phương trình:

*) Giải phương trình:

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là

DẠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx và cosx

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có

C¸ch gi¶i:

Ta cã thÓ lùa chän 1 trong 2 c¸ch sau:

C¸ch 1: Chia hai vế phương trình cho ta được:

giải phương trình lượng giác cơ bản

Chú ý: Phương trình trong đó và có nghiệm khi

Chú ý: Tùy từng bài có thể đặt theo lý thuyết nhưng có một số bài lại không nên dập

khuôn quá máy móc nên tìm cách giải phù hợp đối với từng loại bài

Bài tập trắc nghiệm:

DẠNG 3 : MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIẢI ĐƯA VỀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

DẠNG 3 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sinx và cosx

a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c (1)

 Cách giải : Đặt t = sinx + cosx =

Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn

Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = để tìm x

2) Phương trình chứa hiệu và tíc h ( còn gọi là phương trình phản xứng)

 Dạng phương trình :

a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c (2)

 Cách giải : Đặt t = sinx - cosx =

Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn

Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- để tìm x

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

c Điều kiện : Khi đó phương trình (c)trở thành :

Thỏa mãn điều kiện

Khi đó :

Trường hợp :

Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

Bài tập 2: Giải các phương trình sau :

 Cách giải 2 (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)

Kiểm tra cĩ là nghiệm khơng, nếu cĩ thì nhận nghiệm này

Ví dụ: Giải phương trình

d cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3 (4)

GI

Ả I a.(1)

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

Phương trình thuần nhất bậc cao theo sin và côsin

cùng một cung

Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)

Giải cách 1:

+cosx = 0 khơng nghiệm đúng PT (vì ; vơ lý)

+cosx 0, chia hai vế (*) cho cos3x được :

+ cosx = 0 thì sinx = không nghiệm đúng ptrình Vậy cosx

+ Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:

Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:

cũng là nghiệm PT Kết hợp nghiệm thì được x = phù hợp với mọi

Bài tập tương tự:

3)

2) Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)

3) Giải phương trình sinx – 4sin3x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)

Câu 1: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2 x là:

Bài tập 1: Giải các phương trình:

a) cosxcos7x = cos3xcos5x (1) b) sin2x + sin4x = sin6x (2)

Chú ý: Dùng các công thức biến đổi tích về tổng, tổng về tích, công thức nhân đôi,

công thức hạ bậc và sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác

Giải:

a)

Câu 2 , 3 , 4 giải tương tự

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

Giải tương tự như bài tập 1

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

Cách giải: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi

Bài tâp 4: Giải các phương trình sau:

Chú ý: Với dạng bài tập 4 cần phải có điều kiện

Bài tập 5: Giải các phương trình sau:

Lưu ý: câu a là dạng của pt bậc nhất theo sin x và cos x

Câu b và c đặt nhân tử chung hoặc đưa về pt bậc 3 theo sin x

Phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán lớp

11 nói riêng và bậc THPT nói chung Vì vậy, bản thân tôi rất chú trọng khi dạy phầnnày cho học sinh

Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân khi dạy phương trình lượng giác chohọc sinh Tuy bản thân rất cố gắng tìm tòi học hỏi, nhưng chắc hẳn bài viết còn nhiềuhạn chế, mong các thầy cô chân tình góp ý và bố sung

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao - Nhà xuất bản Giáo dục.

2) Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục.

3) Các đề thi Đại học - Cao đẳng – THPT QG các năm

4) Giải toán Đại số và lượng giác 11 – Võ Anh Dũng - Nhà xuất bản Giáo dục.

- Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Sáng kiến có thể sử dụng làm giáo án giảng

dạy cho giáo viên và tài liệu học tập cho học sinh trong nhà trường

8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Trình độ chuyên môn: Nắm vững các kiến thức cơ bản của phần lượng giác và cóphương pháp truyền đạt phù hợp với từng đối tượng học sinh

Cơ sở vật chất: Lớp học có đầy đủ các trang thiết bị cần thiết cho quá trình học tập

10 Kết quả đạt được :

Sáng kiến đã nêu lên các dạng phương trình lượng giác thường gặp và các phương

pháp giải phù hợp Sau khi áp dụng sáng kiến với các lớp trực tiếp giảng dạy tôi thuđược kết quả cụ thể như sau:

Lập Thạch, ngày tháng năm 2018

Thủ trưởng đơn vị Lập Thạch, ngày 25 tháng 10 năm 2018Tác giả sáng kiến

Nguyễn Thanh Nhàn