SKKN phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Toán học 11 tiếp nối chương trình Tốn 10 phần “Lượng giác” Việc học phần phương trình lượng giác lớp 11 gây khó khăn khơng nhỏ cho học sinh học sinh không nắm công thức lượng giác nên khả vận dụng linh hoạt công thức lượng giác học sinh yếu đặc biệt khả nhận dạng phương trình lượng giác học sinh hạn chế lí tơi chọn sáng kiến kinh nghiệm Tên sáng kiến: Phương pháp giải số phương trình lượng giác thường gặp Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thanh Nhàn - Địa tác giả sáng kiến: Thị trấn Lập Thạch - Lập Thạch - Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0948028536 E_mail: nguyenthanhnhan@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đại số giải tích Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 28/9/ 2018 Mô tả chất sáng kiến: - Về nội dung sáng kiến: Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận: - Căn vào yêu cầu mục tiêu ngành giáo dục bậc phổ thơng trung học - Căn vào tình hình học tập học sinh hệ phổ thơng trung học việc học tập môn Đại số giải tích 11 - Kinh nghiệm giảng dạy số nhà Tốn học trình bày tài liệu - Cách giải phương trình lượng giác thường gặp nêu sách giáo khoa lớp 11(cơ nâng cao) Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP - Chuẩn kiến thức kỹ chương trình tốn 11 Cơ sở thực tiễn - Những thuận lợi khó khăn q trình giảng dạy mơn Đại số giải tích phần phương trình lượng giác Mục đích nghiên cứu: - Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn rút kinh nghiệm trình giảng dạy - `Nhằm tạo tư liệu cho học sinh tự rèn luyện ôn thi a Kết khảo sát đầu năm học Giỏi SL % 11A1 36 03 8,3 11A3 31 b Nguyên nhân Lớp Sĩ số Khá SL % 06 16,7 03 9,6 Trung Bình SL % 17 47,2 16 51,6 Yếu SL % 06 16,7 06 19,4 Kém SL % 04 11,1 06 19,4 * Nguyên nhân khách quan - Sau ba tháng nghỉ hè kiến thức cũ học sinh mai nhiều - Phân phối chương trình Tốn 11 khơng có tiết ơn tập đầu năm số tiết học Tốn giảm nhiều so với chương trình cũ * Nguyên nhân chủ quan - Đa số em học sinh chưa có động học tập đắn - Chưa phát huy tính tự học, tự rèn luyện khả tư sáng tạo việc học toán nói riêng học tập nói chung - Chưa có phương pháp học để khắc sâu kiến thức để từ vận dụng kiến thức cách linh hoạt vào việc giải tốn, kĩ tính tốn, kĩ giải phương trình lượng giác yếu c Các giải pháp thực Để đạt kết cao việc học tốn chủ đề “Lượng giác” đòi hỏi học sinh cần nắm vững kiến thức từ thấp đến cao, phải học toán thường xuyên liên tục, biết quan sát toán định hướng phương pháp giải, biết vận dụng kết nối chuỗi kiến thức học để từ tiếp thu dể dàng hơn, thuận lợi q trình giải tốn góp phần triệt để đổi chương trình mơn Tốn trung học phổ thơng Trong u cầu đổi chương trình phương pháp giảng dạy Toán trường THPT Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP với phương châm “lấy học sinh làm trung tâm” kết hợp với kết khảo sát đầu năm học chuyên đề tơi đưa giải pháp là: hệ thống lại “Các công thức lượng giác liên quan, công thức nghiệm phương trình lượng giác phương pháp giải phương trình lượng giác thường gặp đồng thời nêu lên hướng mở rộng, nâng cao” đảm bảo cho tính liên tục tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh việc học, rèn luyện ôn tập Phần II NỘI DUNG A CÁC KIẾN THỨC CĨ LIÊN QUAN:  Cơng thức cộng:  cos(a − b) = cosa cosb + sina sinb  cos(a + b) = cosa cosb − sina sinb  sin(a −b) = sina cosb − cosa sinb  sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb  tan(a − b) = tana − tanb 1+ tantanb  tan(a + b) = tana + tanb 1− tanatanb  Công thức nhân đôi:  cos2a = cos2a −sin2a = 2cos2a −1 = − 2sin2a  tan 2a =  sin2a = 2sinacosa tan a − tan a  Công thức hạ bậc:  cos a = + cos 2a  sin a = − cos 2a  Cơng thức biến đổi tích thành tổng:  cosa.cosb = cos ( a + b ) + cos ( a − b )   sina.sinb = − [cos ( a + b ) − cos(a − b)] 2  sin a.cos b = sin ( a + b ) + sin ( a − b )   Công thức biến đổi tổng thành tích:  cosa + cos b = 2cos a+b a −b cos 2 Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn  cos a − cos b = −2sin a+b a −b sin 2 Trang PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP  sina + sinb = 2sin a+b a −b cos 2  sina − sinb = 2cos a+b a −b sin 2  Một số cung liên quan đặc biệt Cung đối:(cos đối) * /  sin(− x) = − sin x * /  tan( − x) = − tan x * /  cos( − x) = cos x * /  cot( − x) = − cot x Cung phụ:(phụ chéo) π π − x) = sin x π * /  cot( − x) = tan x  Phương trình lượng giác bản: * /  sin( − x) = cos x π * /  tan( − x) = cot x * /  cos( Cung bù: (sin bù) * /  sin(π − x) = sin x * /  cos(π − x) = − cos x * /  tan(π − x) = − tan x * /  cot(π − x) = − cot x Cung khác π : (khác π tang côtang) * /  sin( x ± π ) = − sin x * /  tan( x ± π ) = tan x * /  cos( x ± π ) = − cos x * /  cot( x ± π ) = cot x a Phương trình sin x = a ⊕ a > : Phương trình vơ nghiệm ⊕ a ≤1  x = α + k 2π ( k ∈¢)  x = π − α + k 2π • sin x = sin α ⇔   x = β + k 3600 ( k Â) sin x = sin 0  x = 180 − β + k 360  x = arc sin a + k 2π ( k ∈¢)  x = π − arc sin a + k 2π • sin x = a ⇔   f ( x ) = g ( x ) + k 2π Tổng quát: sin f ( x ) = sin g ( x ) ⇔   f ( x ) = π − g ( x ) + k 2π ( k ∈¢) * Các trường hợp đặc biệt π + k 2π ( k ∈ ¢ ) π ⊕ sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π ( k ∈ ¢ ) ⊕ sin x = ⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ ) ⊕ sin x = ⇔ x = b.Phương trình cos x = a ⊕ a > : Phương trình vơ nghiệm ⊕ a ≤1 • cosx = cosα ⇔ x = ±α + k 2π ( k ∈ ¢ ) • cosx = cosβ ⇔ x = ± β + k 3600 ( k  ) cosx = a ⇔ x = ± arccosa + k 2π ( k ∈ ¢ ) Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Tổng quát: cosf ( x ) = cosg ( x ) ⇔ f ( x ) = ± g ( x ) + k 2π ( k ∈ ¢ ) * Các trường hợp đặc biệt ( k ∈¢) cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π ( k ∈ ¢ ) ⊕ cosx = ⇔ x = k 2π ⊕ ⊕ cosx = ⇔ x = π + kπ ( k ∈¢) c Phương trình tan x = a ( k ∈¢) ⊕ tan x = t anβ ⇔ x =β + k1800 ( k ∈ ¢ ) ⊕ tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ ( k ∈ ¢ ) Tổng quát: tan f ( x ) = tan g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k ∈ ¢ ) ⊕ tan x = t anα ⇔ x = α + kπ d Phương trình cot x = a ( k ∈¢) ⊕ cot x = cot β ⇔ x = β + k1800 ( k ∈ ¢ ) ⊕ cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ ( k ∈ ¢ ) Tổng quát: cotf ( x ) = cotg ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k ∈ ¢ ) ⊕ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ B MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1.1 Phương trình bậc hàm số lượng giác Định nghĩa: phương trình bậc hàm số lượng giác phương trình có dạng at + b = (1) a,b số ( a ≠ ) t hàm số lượng giác Phương pháp giải: Biến đổi đưa phương trình (1) phương trình lượng giác Ví dụ 1: Giải phương trình sau a )2sin x − = 0; b)cos2 x + = 0; c)3 tan x − = 0; d ) cot x + = Giải a) π  x = + k 2π  π 2sin x − = ⇔ sin x = ⇔ sin x = sin ⇔  ( k ∈¢)  x = 5π + k 2π  Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP −1 2π 2π = ⇔ cos2 x = ⇔ cos2 x = cos ⇔ 2x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) 2 3 π ⇔ x = ± + kπ ( k ∈ ¢ ) 1 c) tan x − = ⇔ tan x = ⇔ x = arctan + kπ ( k ∈ £ ) 3 −1 2π 2π d) cot x + = ⇔ cot x = ⇔ cot x = cot ⇔x= + kπ ( k ∈ ¢ ) 3 Ví dụ 2: Giải phương trình sau: cos x − sin x = (Phương trình đưa phương trình b) cos2 x + bậc hàm số lượng giác) cos x − sin x = ⇔ cos x − 2sin x cos x = ⇔ cos x ( − 2sin x ) = Giải π   x = + kπ  cos x = cos x = π  ⇔ ⇔ ⇔  x = + lπ ( k , l ∈ ¢ )  sin x = 1 − 2sin x =    x = 5π + lπ  1.2 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: Định nghĩa: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình có dạng at + bt + c = (2), a, b, c số ( a ≠ ) t hàm số lượng giác Cách giải: Biến đổi đưa phương trình (2) phương trình lượng giác Ví dụ 3: a) 2sin x + sin x − = phương trình bậc hai sin x b) cos x + 3cosx − = phương trình bậc hai cos2 x c) tan x − tan x − = phương trình bậc hai tan x d) 3cot x − cot x + = phương trình bậc hai cot 3x Giải a ) 2sin x + sin x − = 0(1) Đặt t = sin x , điều kiện t ≤ Phương trình (1) trở thành: t = ( nhân ) 2t + t − = ⇔  t = ( loai )  Với t=1, ta sin x = ⇔ x = k 2π ( k ∈ ¢ ) b) cos x + 3cosx − = ( ) Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Đặt t = cosx , điều kiện t ≤ Phương trình (2) trở thành:  −3 + 13 ( nhân ) t = 2 t + 3t − = ⇔   −3 − 13 ( loai ) t =  −3 + 13 −3 + 13 −3 + 13 ⇔ x = ± arccos + k 2π ( k ∈ ¢ ) Với t = ta cosx = 2 Các câu lại giải tương tự Ví dụ 4: Giải phương trình sau: b)7 tan x − cot x = 12 a )3sin 22 x + cos x − = Giải ( ) a )3sin 2 x + cos x − = ⇔ − cos 2 x + cos x − = ⇔ 3cos 2 x − cos x = ⇔ cos x ( 3cos x − ) = cos x = ⇔ 3cos x − = π π π + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ ) *) Giải phương trình: 3cos x − = ⇔ cos x = Vì > nên phương trình 3cos x − = vô nghiệm π π Kết luận: nghiệm phương trình cho x = + k , ( k ∈ ¢ ) b)7 tan x − cot x = 12 ( 1) *) Giải phương trình: cos x = ⇔ x = Điều kiện: sin x ≠ cos x ≠ Khi đó: − 12 = ⇔ tan x − 12 tan x − = tan x t = tan x Đặt , ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t − 4t − 12 = ( 1) ⇔ tan x − Bài tập tương tự Bài tập Giải phương trình sau: a) cos x − = b) tan x − = Bài tập Giải phương trình sau: a) 2cos2 x − 3cos x + 1= b) cos2 x + sin x + 1= d) 2sin x + 5sinx – = h) tan x + cot x − = π  c) 2sin  3x + ÷− =  6 c) 2cos2x − 4cos x = π π  2 tan x − (1 + 3) tan x =0 g) sin   x − ÷+ 2cos   x − ÷ = 3 3   4 i) cot x − cot x + = k) sin x − cos x = cos x − e) Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Bài tập trắc nghiệm: Câu Phương trình sau vơ nghiệm? A cos x + = B sin x − = C tan x + = D cot x + = Câu Tìm tất nghiệm phương trình: cos x − cos x + = C x = π + k 2π D x = − π + k 2π x = k 2π B x = kπ A 2 Câu3.Tìm tất nghiệm phương trình: cot(2 x − 30 ) − = kπ ,k ∈ Z D x = 60 + k 90 , k ∈ Z B x = 30 + A x = 30 + k180 , k ∈ Z C x = 30 + k 90 , k ∈ Z Câu Tìm tập nghiệm T phương trình π  + k 2π ; arcsin(−3) + k 2π , k ∈ Z     B T = ± π  + k 2π , k ∈ Z     D T = ± π  + k 2π ; π − arcsin(−3) + k 2π , k ∈ Z     A T = ± π  + k 2π , k ∈ Z     C T = ± DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx cosx asinx + bcosx = c Định nghĩa: Phương trình bậc sin x cos x phương trình có dạng a sin x + b cos x = c a, b, c ∈ ¡ a + b Cách giải: Ta lựa chọn c¸ch sau: C¸ch 1: Chia hai vế phương trình cho a + b ta được: a a + b2 • Nếu • Nếu b sin x + c a + b2 c a +b 2 a + b2 cos x = c a + b2 > : Phương trình vơ nghiệm ≤ đặt cosα = (hoặc sin α = a a + b2 ⇒ cosα = a a +b b 2 ⇒ sin α = a + b2 Đưa phương trình dạng: sin ( x + α ) = b a + b2 ) c a2 + b2 (hoặc cos ( x − α ) = c a2 + b2 ) sau giải phương trình lượng giác Chú ý: Phương trình a sin x + b cos x = c a, b, c ∈ ¡ a + b ≠ có nghiệm c2 ≤ a2 + b2 Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP C¸ch 2: Thùc hiƯn theo c¸c bíc x Bíc 1: Víi cos = ⇔ x = + k (k  ) thử vào phơng trình (1) xem có nghiệm hay không? x Bíc 2: Víi cos ≠ ⇔ x ≠ π + k 2π ( k ∈ Z ) x 2t t2 Đặt t = tan suy sin x = , cos x = 1+ t2 1+ t2 Khi phơng trình (1) có dạng 2t 1− t2 a +b = c ⇔ (c + b)t − 2at + c − b = (2) 2 1+ t 1+ t Bớc 3: Giải phơng trình (2) theo t , sau giải tìm x * Dạng đặc biệt: sin x + cos x = ⇔ x = − + kπ ( k ∈ ¢ ) π sin x − cos x = ⇔ x = + kπ (k  ) Chú ý: Từ cách ta cã kÕt qu¶ sau − a + b ≤ a sin x + b cos x ≤ a + b từ kết ta áp dụng tìm GTLN GTNN hàm số có dạng y = a sin x + b cos x , a sin x + b cos x y= phơng pháp đánh giá cho số phơng trình lc sin x + d cos x ợng giác Ví dụ: Giải phơng trình: sin x 3cos x = (1) Giải : Cách 1: Chia hai vế phơng trình (1) cho 12 + 32 = 10 ta đợc 3 sin x − cos x = 10 10 10 = sin α , = cos α Lúc phơng trình (1) viết đợc dới Đặt 10 10 d¹ng cos α sin x − sin α cos x = sin α ⇔ sin(2 x − α ) = sin x  x = α + kπ  x − α = α + k 2π ⇔ ⇔ π  x = + kπ  x − α = π − α + k Vậy phơng trình có nghiệm Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn k ∈¢ Trang PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Cách 2:Ta nhận thấy cos x = nghiệm phơng trình -Với cos x x + k , k  Đặt t = tan x ,ta cã 2t 1− t2 sin x = , cos x = 1+ t2 1+ t2 Phơng trình (1) có dạng 2t 1− t2 − = ⇔ 2t − 3(1 − t ) = 3(1 + t ) ⇔ t = 2 1+ t 1+ t Hay tan x = = tan α ⇔ x = + k , k  Vậy phơng trình có họ nghiệm Cách 3: Biến đổi phơng trình dạng sin x = 3(1 + cos x) ⇔ 2sin x.cos x = 6cos x  cos x =  tan x = = tan α ⇔ (sin x − 3cos x)cos x = ⇔  ⇔ sin x − 3cos x = cos x =  x = α + kπ ⇔ ,k ∈¢  x = π + k Vậy phơng trình có hai họ nghiệm Bài tập tương tự: Bài tập 1: Giải phương trình sau: a) sin x + cos x = 1; b) 3cos x − 4sin x = 1; Bài tập 2: Giải phương trình sau: a) 2sin x − 2cos x = b) 3sin x + 4cos x = 5c) 3sin( x + 1) + 4cos( x + 1) = d) 3cos x + 4sin x = −5 e) 2sin x − cos x = g) 5sin x − cos x = 13;(*)  π 4 h) sin x + cos  x + ÷ = (*) i) sin x = 3cos x 4  Chú ý: Tùy đặt theo lý thuyết có số lại khơng nên dập khn q máy móc nên tìm cách giải phù hợp loại Bài tập trắc nghiệm: ( sin x + cos x ) = cos x là: 2π π B − + kπ , k ∈ Z C + k 2π , k ∈ Z Câu Các nghiệm phương trình A 3π + k 2π , k ∈ Z Câu 2: Phương trình sau vơ nghiệm: A sin x − cos x = C sin x = cos π Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn D − π + kπ , k ∈ Z B 3sin x − cos x = D sin x − cos x = −3 Trang 10 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Câu 3: Phương trình: 3.sin 3x + cos 3x = −1 tương đương với phương trình sau đây: π π π π π     A sin  3x − ÷ = − B sin  3x + ÷ = − C sin  3x + ÷ = − D sin  3x + ÷ =  6 6 6  m Câu 4: Tìm m để pt sin2x + cos2x = có nghiệm là: A − ≤ m ≤ + B − ≤ m ≤ + C − ≤ m ≤ + 2   6 D ≤ m ≤ Câu 5: Nghiệm dương nhỏ pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin x là: A x = π B x = 5π C x = π D π 12 Câu 6: Tìm m để pt 2sin2x + m.sin2x = 2m vô nghiệm: A < m < B ≤ m ≤ 4 C m ≤ 0; m ≥ D m < ; m ≥ DẠNG : MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIẢI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sinx cosx a (s inx ± cos x) + bsinx cosx = c Định nghĩa: Phương trình đối xứng sinx cosx phương trình có dạng a(s inx ± cos x) + bsinx cosx = c Cách giải 1) Phương trình chứa tổng tích (còn gọi phương trình đối xứng theo sin cơsin) • Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = (a,b,c ∈ R) (1) π  • Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = sin x +  ⇒ t ≤  4 ⇒ t = + 2sin x cos x t −1 (*) t −1 + c = ⇔ bt + 2at + 2c − b = (1.1) (1) ⇔ at + b ⇒ sin x cos x = Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t ≤ Thay giá trị t0 vào PT (*) giải PT sin2x = t 02 − để tìm x 2) Phương trình chứa hiệu tích ( gọi phương trình phản xứng) • Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = (a,b,c ∈ R) (2) π  • Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = sin x −  ⇒ t ≤  Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn 4 Trang 11 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP ⇒ t = − 2sin x cos x 1− t2 ⇒ sin x cos x = (**) 1− t2 ⇔ at + b +c = (1) ⇔ bt − 2at − 2c − b = (2.1) Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t ≤ Thay giá trị t0 vào PT (**) giải PT sin2x = 1- t 02 để tìm x Ví dụ : Giải phương trình sau : a s inx+sin x + cos3 x = 2 ( s inx+cosx ) = t anx+cotx b sin x + cos3 x − = sin x c d ( cot x − cosx ) − ( t anx-sinx ) = Giải a s inx+sin x + cos x = ⇔ s inx+sin x + cos x = ⇔ s inx ( + s inx ) + cosx ( − sin x ) = ⇔ ( + s inx ) ( s inx+cosx ( 1-sinx ) ) π  x = + k 2π s inx=1  =0⇔  ⇔ 2 sinx+cosx-sinxcosx=0 t + 2t − =  t = −1 − < − ( l ) π π −1   ⇔ ⇔ sin  x + ÷ = − ⇔ sin  x + ÷ = = sin α 4 4   t = − π   x = α − + k 2π ( k ∈Z) Do :   x = 3π − α + k 2π  sin x + cos3 x − = sin x b (1) ⇔ ( s inx+cosx ) ( − s inxcosx ) − = 3sin xcosx  t −1   t −1   − t  + ( t − 1) Đặt : t = s inx+cosx; t ≤ ⇒ ( 1) ⇔ t 1 − ÷= + 3 ÷⇔ t  ÷=       t = −1  ⇔ t + 3t − 3t − = ⇔ ( t + 1) ( t + 4t + 1) = ⇔ t = −2 − < − ( l )  t = −2 + Do phương trình : Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 12 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP   π  π  π  x = k 2π ∨ x = + k 2π sin  x + ÷ =  sin  x + ÷ =      ⇔ ⇔ ⇔    π π 3−2   x = α − π + k 2π ∨ x = 3π − α + k 2π = sin α sin  x + ÷ =  sin  x + ÷ = −  4 4 4     s inx ≠ π ⇒ x ≠ k ( *) Khi phương trình (c) c ( s inx+cosx ) = t anx+cotx Điều kiện :  cosx ≠ sinx cosx + = ⇔ ( s inx+cosx ) s inxcosx=1 trở thành : ⇔ ( s inx+cosx ) = cosx sinx s inx.cosx t = s inx+cosx ↔ t ≤  Đặt :  Thay vào phương trình ta : t2 −1 s inxcosx=  2  t −1  3 ⇔ 2t  ÷ = ⇔ 2t − 2t − = ⇔ t − t − = ⇔ t − t + 2t + =   ( )( ) π π π   ⇒ t = ⇔ sin  x + ÷ = ⇔ sin  x + ÷ = ⇒ x = + k 2π ( k ∈ Z ) 4 4   Thỏa mãn điều kiện s inx ≠ π ⇒ x ≠ k ( *) cosx ≠ d ( cot x − cosx ) − ( t anx-sinx ) = Điều kiện :      − + s inx-cosx ÷ = + 2sin x  − 1÷ Khi : ⇒   s inx cosx   cosx  cos x sin x   cosx+ s inx   − cosx   ⇔ ( cosx-sinx )  − 1÷ = s inx  ÷+ 1  s inxcosx   cosx     s inx+cosx-sinxcosx  = 2 ÷ cosx    cosx+ s inx-sinxcosx   s inx+cosx-sinxcosx  ⇔ ( cosx-sinx )  ÷−  ÷= s inxcosx cosx     ( cosx+sinx-sinxcosx )  ( cosx-sinx ) −  = ⇔  ÷ cosx sinx   cosx+sinx-sinxcosx=0 ⇔ 3 ( cosx-sinx ) = π Trường hợp : cosx-sinx=0 ⇔ tanx=1 ⇒ x= + kπ ( k ∈ Z ) Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 t = s inx+cosx ↔ t ≤  Đặt :  Cho nên phương trình : t2 −1 s inxcosx=  Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 13 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP ⇔t+ t = −1 − < − ( l ) t −1 = ⇔ t + 2t − = ⇔  t = − π  ⇔ sin  x + ÷ = − 4  π  x = α − + k 2π  π −1  ⇔ sin  x + ÷ = = sin α ⇒  ( k ∈Z) 4   x = 3π − α + k 2π  Bài tập tương tự: Bài tập 1: Giải phương trình sau: a ) ( sin x + cos x ) + 2sin x + = b) sin x − cos x + 4sin x cos x + = c) sin x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = d ) sin x + cos3 x = Bài tập 2: Giải phương trình sau : d ( cot x − cosx ) − ( t anx-sinx ) = b sin x + cos3 x − = sin x a s inx+sin x + cos3 x = c ( s inx+cosx ) = t anx+cotx DẠNG 3.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI sinx cosx a sin x + b sin x.cosx + ccos x = d Định nghĩa: Phương trình bậc hai sin x cos x phương 2 trình có dạng a.sin x + b.sin x cos x + c.cos x = d ( a, b, c ≠ ) Cách giải: • Cách giải 1: (Dùng cơng thức hạ bậc đưa PT bậc theo sin côsin cung) − cos x b + cos x + sin x + c +d =0 2 ⇔ b sin x + (c − a) cos x = −(2d + a + c) (1) ⇔ a • Cách giải (Đưa PT bậc hai hàm tanx) ⊕ Kiểm tra cos x = có nghiệm khơng, có nhận nghiệm ⊕ cos x ≠ chia hai vế cho cos x đưa phương trình bậc hai theo tan x : ( a − d ) tan x + b tan x + c − d = Ví dụ: Giải phương trình a cos2x - sin2x = + sin2x b 4sin2x – 3sinxcosx + ( + ) cos2x = c 10 cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn (1) (2) (3) Trang 14 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP d cos2x + sinxcosx + 3sin2x = GIẢI 2 a.(1) ⇔ ( cos x − sin x ) − sin x = ⇔ cos x − sin x = (4) π π  cos x − sin x = ⇔ cos x +  = cos 2 3  b +Xét cosx = sin x = nghiệm phương trình (2) π Vậy (2) có nghiệm x = + kπ ⇔ +Xét cos x ≠ Chia hai vế PT(2) cho cos x thay = + tan x đặt ăn cos x phụ t = tanx : π π ⇔ tan x = tan ⇔ x = + kπ 6 π π Vậy PT (2) có hai họ nghiệm : x = + kπ ; x = + kπ ; k ∈ Z c (3) ⇔ 5(1 + cos x) − sin x + (1 − cos x) = 2 ⇔ cos x − sin x = −7 d +Xét cosx = sin x = nghiệm phương trình (2) π Vậy (2) có nghiệm x = + kπ = + tan x đặt ẩn +Xét cos x ≠ Chia hai vế PT(2) cho cos x thay cos x Ta có : 4t − 3t + + = 4(1 + t ) ⇔ t = phụ t = tanx : Ta có : + t + 3t = 3(1 + t ) ⇔ t = ⇔ tan x = ⇔ x = arctan + kπ Bài tập tương tự: Bài tập 1: Giải phương trình sau: ( ) a ) 3sin x + 8sin x cos x + − cos x = c) sin x + sin x − 2cos x = b) 4sin x + 3 sin x − 2cos x = ( ) d ) 2sin x + + sin x cos x + ( ) − cos x = − Phương trình bậc cao theo sin côsin cung Ví dụ 1: Giải phương trình: tan x = sin x cos x − cos x (1) Giải cách 1: π + mπ +(1) ⇔ sin x = sin x cos x − cos x (*) +ĐK: x ≠ (đẳng cấp bậc 3) +cosx = khơng nghiệm PT (vì ± = ; vô lý) Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 15 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP +cosx ≠ 0, chia hai vế (*) cho cos3x : tan x (1 + tan x) = tan x − ⇔ t = −1 ⇔ t = −1 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − Giải cách 2: (*) ⇔ sin x(1 − cos x) = − cos x ⇔ sin x = − cos x tan x = −1 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ π + kπ (t = tanx) (**) Chú ý:Theo cách giải nêu biến đổi PT tích nên tơi minh họa lại sau: (**) ⇔ sin x + cos x = ⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) = ⇔ (sin x + cos x)(2 − sin x) = ⇔ sin x + cos x = ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ Ví dụ : Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = (4) (đẳng cấp bậc 4) Giải cách 1: + cosx = sinx = ± khơng nghiệm ptrình Vậy cosx ≠ + Chia hai vế (2) cho cos4x đặt ẩn phụ t = tan2 x được: t − 4t + = ⇔ t = ∨ t = Giải cách 2: (4) ⇔ (3 cos x − sin x cos x) − (sin x cos x − sin x) = ⇔ cos x(cos x − sin x) − sin x(cos x − sin x) = cos x = ⇔ cos x (3 cos x − sin x ) = ⇔   tan x = ± Ví dụ 3: Giải phương trình : sin x + cos x = cos 2 x − sin x cos x (5) Giải cách 1: Nếu biến đổi : sin x + cos x = (sin x + cos x)(sin x + cos x − sin x cos x) = sin x + cos x − sin x cos x Và biến đổi : cos 2 x = (cos x − sin x) = cos x + sin x − sin x cos x Thì PT (5) ⇔ sin x cos x + sin x cos x = (*) Khi PT (*) giải cách giải cách giải nêu đơn giản + Nếu từ PT: sin x + cos x = (cos x − sin x) − sin x cos x (đẳng cấp bậc 6) Làm theo cách giải (1) sau bước thu gọn ta phương trình: t = (Với t = tanx ) t + t + 2t + t + t = ⇔  t + t + 2t + t + = (5.1) 1    1 Khi PT (5.1) ⇔ t + t + + + = ⇔  t +  +  t +  + = (5.2) t t t   t  PT (5.2) đặt ẩn phụ u = t + PT bậc hai u + u = ⇔ u = ∨ u = −1 t Trở lại với ẩn t PT vô nghiệm + Với t = ⇔ tan x = ⇔ x = kπ Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 16 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Chú ý: Khi xét cosx = nghiệm PT đẳng cấp bậc nên: x= π kπ + kπ nghiệm PT Kết hợp nghiệm x = phù hợp với 2 cách giải Bài tập tương tự: 1) Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3) 2) Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = (đẳng cấp bậc 3) 3) Giải phương trình sinx – 4sin3x + cosx = (đẳng cấp bậc 3) 3 4) Giaûi phương trình : sin x − cos x = sinx + cosx (đẳng cấp bậc 3) 5) Giải phương trình : (sin 3x − cos x) = cos 3x + sin x (đẳng cấp bậc 3) 6) Giải phương trình : (cos 3x + sin x) = sin 3x − cos x (đẳng cấp bậc 3) 3 7) Giải phương trình : sin x + cos x = sinx − cosx (đẳng cấp bậc 3) 4 8) Giải phương trình : (sin x + cos x) + sin x = (đẳng cấp bậc 4) 6 9) Giải phương trình : 8( sin x + cos x ) − 3 sin x = (đẳng cấp bậc 6) 6 10) Giải phương trình : sin x + cos x = 2cos x − (đẳng cấp bậc 6) Bài tập trắc nghiệm : Câu 1: Nghiệm dương nhỏ pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là: sin 3x = thuộc đoạn [ 2π ; 4π ] là: cos x + A B C D Câu Phương trình 2sin x − 2sin x cos x + cos x = có nghiệm là: Câu 2: Số nghiệm phương trình π + k 2π ∨ x = kπ B x = kπ ∨ x = k 2π π π C x = + k π ∨ x = k D Đáp án khác Câu Phương trình 6sin x + sin x − 8cos x = có nghiệm là: π π π 3π     x = + k π x = + k π x = + k π x = + kπ     A  B  C  D  π π π  x = + kπ  x = + kπ  x = + kπ  x = 2π + kπ    12  3 A x = Câu Phương trình sin4x + cos4x = 2cos2x - π π + k 2π B) x = π + k 2π C) x = kπ D) x = + kπ 2 Câu Phương trình sin8 x − cos6 x = ( sin x + cos8 x ) có họ nghiệm là: A) x = Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 17 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP π  x = + kπ  A  x = π + k π  12 π  x = + kπ  B  x = π + k π  π  x = + kπ  C  x = π + k π  π  x = + kπ  D  x = π + k π  DẠNG 4: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Cách giải + Dùng cơng thức biến đổi phương trình biết + Đưa phương trình tích + Áp dụng số tính chất đặc biệt biến đổi đại số A = B = 2 + Áp dụng tính chất: A + B = ⇔   A ≥ M ( hay A ≤ M )  A = M + Áp dụng tính chất:  B ≥ N ( hay B ≤ N ) ⇔  B = N A + B = M + N  A ≥ M A = M  + Áp dụng tính chất:  B ≤ M ⇔  B = M A = B  Bài 1: Giải phương trình sin x + sin x + cos x − = Giải : (1) ⇔ (1 − cos x)(sin x + cos x + sin x cos x − 1) = (1)  x = k 2π cos x = ⇔ ⇔  x = kπ sin x + cos x + sin x cos x − =  Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Giải phương trình: a) cosxcos7x = cos3xcos5x (1) c) sin x + sin 3x = sin 2 x + sin x b) sin2x + sin4x = sin6x (3) d) sin x + cos3 x = cos x (2) (4) Chú ý: Dùng công thức biến đổi tích tổng, tổng tích, cơng thức nhân đôi, công thức hạ bậc sử dụng đẳng thức lượng giác Giải: a) 2 ( 1) ⇔ ( cos8 x + cos6 x ) = ( cos8 x + cos x ) Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn ⇔ cos6 x = cos x ⇔ x=k π (k∈Z) Trang 18 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Câu , , giải tương tự Bài tập 2: Giải phương trình sau: a ) cos5 x cos x = cos3 x cos x b) sin x + sin x + sin x = cos x + cos x + cos3 x c) sin x + sin x + sin x = d ) tan x + tan x = tan x Giải tương tự tập Bài tập 3: Giải phương trình sau: a ) sin x + sin 2 x + sin x + sin x = b) sin x + cos x = − cos x c) cos x + sin10 x = Cách giải: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi Bài tâp 4: Giải phương trình sau: a ) ( + sin x ) ( − tan x ) = + tan x b) tan x + tan x = sin x cos x c) tan x + cot x = 2cot x Chú ý: Với dạng tập cần phải có điều kiện Bài tập 5: Giải phương trình sau: b) + 2sin x sin x = 3cos x a ) sin x = sin x − cos x c) 2sin x cos x − + 2cos x − sin x = Lưu ý: câu a dạng pt bậc theo sin x cos x Câu b c đặt nhân tử chung đưa pt bậc theo sin x Bài tập trắc nghiệm: Câu Nghiệm phương trình sin ( π cos x ) = là: A x = ± π π π + k 2π , k ∈ Z B x = ± + kπ , k ∈ Z C x = ± + k 2π , k ∈ Z Câu Phương trình cos x π + kπ , k ∈ Z = 3tan x + có nghiệm là: π π + k π , x = − + kπ π C x = kπ , x = + kπ A x = D x = π π + k 2π , x = + kπ −π π + k π , x = − + kπ D x = B x = Câu Cho phương trình cos5 x cos x = cos x cos x + 3cos x + Các nghiệm thuộc khoảng ( −π ; π ) phương trình là: Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 19 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP A − 2π π , 3 B − π 2π , 3 Câu Số nghiệm phương trình C − π π , D − π π , 2 sin 3x = thuộc đoạn [ 2π ; 4π ] là: cos x + D A B C Câu 5: Nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ pt sin4x + cos5x = theo thứ tự là: A x = − π π ;x = 18 B x = − π 2π ;x = 18 C x = − π π ;x = 18 D x = − π π ;x = 18 DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC – THPTQG KD-2002: Tìm x ∈ [ 0;14] nghiệm pt: cos3 x − 4cos2 x + 3cos x − = KB-2002: sin x − cos x = sin x − cos x   KA-2002: Tìm nghiệm thuộc ( 0;2π ) pt:  sinx + cos3x + sin x  ÷ = cos2 x + + 2sin x  x x π − ÷tan x − cos = 2 4 KB-2003: cotx − t anx + 4sin x = sin x cos2 x + sin x − sin x KA-2003: cotx − = + t anx KD-2004: ( 2cos x − 1) ( 2sinx + cos x ) = sin x − sinx KD-2003: sin  KB-2004: 5sin x − = ( − sinx ) tan x KA-2004: Không hỏi giải pt LG (thay hệ thức lượng tam giác) π π   ÷.sin  x − ÷− = 4 4   KB-2005: + sinx + cos x + sin x + cos2 x = KA-2005: cos x.cos2 x − cos x = KD-2006: cos3 x + cos2 x − cos x − = x  KB-2006: cotx + sinx 1 + t anx.tan ÷ = 2  4 KD-2005: cos x + sin x + cos  x − KA-2006: ( cos6 x + sin x ) − sin x cos x − 2sinx =0 x x  KD-2007:  sin + cos ÷ + cos x = 2 2  KB-2007: 2sin 2 x + sin x − = sin x Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 20 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP ( ) ( ) 2 KA-2007: + sin x cos x + + cos x sin x = + sin x CĐ-2008: cos3 x − cos3 x = 2sin x KD-2008: 2sin ( + cos x ) + sin x = + 2cos x KB-2008: sin x − cos3 x = sin x.cos x − sin x.cos x + KA-2008: sin x  7π  = 4sin  − 4÷ 3π     sin  x − ÷   CĐ-2009: ( + 2sin x ) cos x = + sin x + cos x KD-2009: cos5 x − 2sin 3x.cos x − sin x = ( KB-2009: sin x + cos x.sin x + cos3 x = cos x + sin x KA-2009: ( − 2sin x ) cos x ( + 2sin x ) ( − sin x ) ) = KD-2010: sin x − cos x + 3sin x − cos x − = KB-2010: ( sin x + cos x ) cos x + 2cos x − sin x = KA-2010: ( + sin x + cos x ) sin  x +  π ÷ 4 = cos x + tan x sin x + 2cos x − sin x − =0 KD-2011: tan x + KB-2011: sin x.cos x + sin x.cos x = cos x + sin x + cos x + sin x + cos x = sin x.sin x KA-2011: + cot x KD-2012: sin x + cos3 x − sin x + cos x = cos x ( ) KB-2012: cos x + sin x cos x = cos x − sin x + KA-2012: sin x + cos x = 2cos x −   π KA-2013: + tan x = 2 sin  x + ÷ KB- 2013: sin x + cos x = KD-2013: sin x + cos x − sin x = π  CĐ – 2013: cos  − x ÷+ sin x =    KA- 2014 : sinx + 4cosx = + sin2x THPTQG-2015 Tính giá trị biểu thức P = ( − cos 2α )( + cos 2α ) biết sin α = THPT QG - 2016 Giải phương trình: sin x + sin x − = Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 21 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Phần III KẾT LUẬN Phương trình lượng giác nội dung quan trọng chương trình mơn Tốn lớp 11 nói riêng bậc THPT nói chung Vì vậy, thân trọng dạy phần cho học sinh Trên số kinh nghiệm thân dạy phương trình lượng giác cho học sinh Tuy thân cố gắng tìm tòi học hỏi, hẳn viết nhiều hạn chế, mong thầy chân tình góp ý bố sung TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) 2) 3) 4) Sách giáo khoa Đại số giải tích 11 nâng cao - Nhà xuất Giáo dục Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất Giáo dục Các đề thi Đại học - Cao đẳng – THPT QG năm Giải toán Đại số lượng giác 11 – Võ Anh Dũng - Nhà xuất Giáo dục - Về khả áp dụng sáng kiến: Sáng kiến sử dụng làm giáo án giảng dạy cho giáo viên tài liệu học tập cho học sinh nhà trường Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Khơng Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Trình độ chuyên môn: Nắm vững kiến thức phần lượng giác có phương pháp truyền đạt phù hợp với đối tượng học sinh Cơ sở vật chất: Lớp học có đầy đủ trang thiết bị cần thiết cho trình học tập 10 Kết đạt : Sáng kiến nêu lên dạng phương trình lượng giác thường gặp phương pháp giải phù hợp Sau áp dụng sáng kiến với lớp trực tiếp giảng dạy thu kết cụ thể sau: Giỏi Khá Trung Bình Yếu Kém Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % SL % 11A1 36 03 8,3 06 16,7 21 58,3 04 11,1 02 5,6 11A3 31 03 9,7 20 64,5 05 16,1 03 9,7 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu : TT Tên tổ chức/cá nhân Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Địa Phạm vi/Lĩnh vực Trang 22 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP áp dụng sáng kiến l 11A1 11A3 Trường THPT Triệu TháiĐại số giải tích – Vĩnh Phúc Lập Thạch, ngày tháng năm 2018 Thủ trưởng đơn vị Lập Thạch, ngày 25 tháng 10 năm 2018 Tác giả sáng kiến Nguyễn Thanh Nhàn Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 23 ... B MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1.1 Phương trình bậc hàm số lượng giác Định nghĩa: phương trình bậc hàm số lượng giác. .. số lượng giác phương trình có dạng at + b = (1) a,b số ( a ≠ ) t hàm số lượng giác Phương pháp giải: Biến đổi đưa phương trình (1) phương trình lượng giác Ví dụ 1: Giải phương trình sau a )2sin... QG - 2016 Giải phương trình: sin x + sin x − = Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 21 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Phần III KẾT LUẬN Phương trình lượng giác nội