Công thức cơ bản của hàm số lượng giác

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.. Phương trình bậc 2 với một hàm số lượng giác.. Phương trình bậc 3 với một hàm số lượng giác.. Phương trình đẳn

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I HỆ THỨC CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 sin x2  cos x2  1,

sin x2   (1 cosx)(1 cosx) 

cos x2   (1 sin x)(1 sin x) 

2 sinx

tanx = ,(x k )

cosx 2



   ,

cosx

cotx = (x k )

tanx.cotx=1(x )

2



1

tanx =

cotx ,

1 cotx =

tanx

2

1

1 tan x,(x k )

2 cos x



2

1

2

2

1

tan x 1,(x k )

2 cos x



2

1

sin x

2 2

2

tan x sin x

1 tan x



2 2

2

cot x cos x

1 cot x



 ; 2



2



II CÔNG THỨC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT

Hai góc đối nhau: Hai góc bù nhau Hai góc phụ nhau

sin(-α) = -sin α

cos(-α) = cosα

tan(-α) = -tan α

cot(-α) = -cot α

sin(π – α) = sinα

cos(π – α) = -cosα

tan(π – α) = -tanα

cot(π – α) = -cotα

sin( ) cos 2

   

cos( ) sin 2

   

tan( ) cot 2

   

cot( ) tan 2

   

www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867

Hai góc hơn kém

2



Hai góc hơn kém nhau π (bỏ thay bởi II.1)

sin( ) cos

2

cos( ) sin

2

tan( ) cot

2

cot( ) tan

2

  

  

  

sin( π + α) = -sin α cos(π + α) = -cosα

tan(π + α) = tan α

cot(π + α) = cot α

| |

| |

sin( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) tan cot

sin ,

tan ( ) cot

k

k k k

k

Z

k k











III CÔNG THỨC CỘNG

1 cos(xy) = cosx.cosy sinx.siny

2 sin(xy) = sinx.cosy  siny.cosx

t an(x y) =

1 tanx.tany





cot(x y) =

cotx coty





IV CÔNG THỨC NHÂN:

A CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

1.cos2x=cos x sin x 1 2sin x2  2   2  2cos x 12 

2 sin2x = 2sinx.cosx = (sinx + cosx)2 - 1 = 1 - (sinx - cosx)2

3

2

2 t anx tan 2x

1- tan x



B CÔNG THỨC NHÂN BA

1 sin 3x  3sinx-4sin x3

2 cos3x = 4cos x 3cosx3 

3

3 2

3t anx - tan x tan 3x

1 3tan x





C CÔNG THỨC HẠ BẬC

2

2

2

1 cos2x

1 cos x

2

1 cos2x

2 sin x

2

1 cos2x

1+cos2x













3

3

3

4 cos x

4 3sin x sin 3x

5 sin x

4 3sin x sin 3x















D CÔNG THỨC sin , cos , tan , cotx x x x theo: t = tanx

2:

2 2 2

2 2

2t

1 s inx =

1+t 1- t

2 cosx =

1 t 2t

3 tanx =

1- t 1- t

4 cotx =

2t



V Công thức biến đổi tích thành tổng:

1 cosx.cosy= cos(x+y)+cos(x-y)

2

1

s inx.siny= - cos(x+y)-cos(x-y)

2

1

s inx.cosy= sin(x+y)+sin(x-y)

2

1 cosx.siny= sin(x+y)-sin(x-y)

2

VI Công thức biến đổi tổng thành tích:

x+y x-y

sin(x y)

cosx.cosy



sin(x y) cotx cot y

sinx.siny



VII Một số công thức hay dùng trong giải phương trình lượng giác

1.sin os (sin os ) 2sin os 1 sin 2

2

x c x x c x  xc x  x

2.sin os (sin os ) 3sin os (sin os ) 1 sin 2

4

x c x x c x  xc x x c x   x

3 sin cos 2 cos( )

4

, cos sin 2 sin( )

4

x x x

4 cos2x=cos x sin x 1 2sin x2  2   2  2cos x 12 

5 sin2x = 2sinx.cosx = (sinx + cosx)2 - 1 = 1 - (sinx - cosx)2

Bảng giá trị các hàm số lượng giác của các góc đặc biệt:

x

HS

LG

0

6



4



3



2

3



3 4

6

0o 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150o 180 o

sinx 0 1

2

2

3 2

2 2

1

cosx 1

3

2

1

-1

-2

-3

tanx 0

3

3

3

-1 - 3 ||

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình lượng giác cơ bản

a sinx = m

sinx = m vô nghiệm khi |m|>1 & có nghiệm khi m     1 1 m 1

2

2



 



Nếu m không nằm trong các giá trị lượng giác đặc biệt:

arcsin 2

arcsin 2







Chú ý:

+ sinx = ±1  x = ±

2

 + k2π

+ sinx = 0  x = kπ

sin u sin v









b cosx = m

cosx = m vô nghiệm khi |m|>1 & có nghiệm khi m     1 1 m 1

2

2

 



Nếu m không nằm trong các giá trị lượng giác đặc biệt:

arccos 2

arccos 2







Chú ý:

+ cosx = 1  x = k2π

+ cosx = -1  x= π +k2π

+ cosx = 0  x=

2



+ kπ

+cosu=cosv     u v k2 

+ cos sin cos cos( )

2

u v u  v

+ cos sin cos cos( )

2

u  v u  v

+cosu=cosv     u v k2 

c tanx = m (ĐK:

2

x  k

)

tanx m tan   x  k, (kZ)

tanx m tan  x arctanm k , (kZ)

tan u  tan v     u v k

Chú ý:

+ tanx0 xk

4

   

4

x     x  k

d cotx = m ( ĐK: xk )

cotx m cot   x  k, (kZ)

cotx m cot x arccotm k , (kZ)

Chú ý:

+ cot 0

2

x x k

4

x   x  k

4

     

2 Phương trình bậc 2 với một hàm số lượng giác

Các dạng phương trình cơ bản

a asin2 u(x) + bsinu(x) + c = 0

b acos2 u(x) + bcosu(x) + c = 0

c atan2u(x) + btanu(x) + c = 0

d acot2u(x) + bcotu(x) + c = 0

Cách giải:

Đặt t = sinu(x) (t 1)

Phương trình trở thành: at2 + bt + c = 0

Ta giải phương trình bậc 2 với ẩn t

3 Phương trình bậc 3 với một hàm số lượng giác

Các dạng phương trình cơ bản

a asin3 u(x) + bsin2 u(x) + csinu(x) + d = 0

b acos3 u(x) + bcos2 u(x) + ccosu(x) + d = 0

c atan3u(x) + btan2u(x) + ctanu(x) + d = 0

d acot3u(x) + bcot2u(x) + c cotu(x) + d = 0

Cách giải:

Đặt t = sinu(x) (t 1)

Phương trình trở thành: at3+ bt2+ ct + d = 0

Ta giải phương trình bậc 3 với ẩn t

Bài 4 Phương trình đẳng cấp bậc nhất với sinx, cosx

Tóm tắt lý thuyết:

1 Dạng phương trình: asinx + bcosx = c (1) với a2 + b2 > 0

2 Phương pháp giải

Cách 1: Phương pháp góc phụ của sin, cos

asinx + bcosx = c 

2a 2 s inx 2b 2 cosx 2c 2

Vì

2 2

2 2

a b

    nên có thể chọn 1 trong 2 cách

* Nếu đặt

2a 2 cos ; 2b 2 sin

a b





* Nếu đặt

2a 2 sin ; 2b 2 cos



 

 Cách 2: Đặt ẩn phụ theo t = tan x

2 Sử dụng công thức phân đôi biểu diễn sin , cosx x theo t.(Cách này không phổ biến)

Chú ý: Điều kiện tồn tại nghiệm:

(1) có nghiệm  2 2 2

2c 2 1 c a b

a b



5 Phương trình đẳng cấp bậc 2 với sinx, cosx

a Dạng phương trình: a.sin2x b sin x cosx c c os2x d 0 (1)

b Phương pháp giải:

- Bước 1: Xét cosx = 0, (1)  a d 0

TH1: Nếu a d 0 thì

2

x  k

  là nghiệm của phương trình (1)

TH2: Nếu a d 0 thì chuyển sang Bước 2

- Bước 2: Chia cả hai vế của (1) cho cos2x0 ta nhận được phương trình

a.tan x b tan x c d(1 tan x)0 Đặt t = tanx

Phương trình (1) trở thành (a + d).t2 + b.t + (c + d) = 0 (2)

- Bước 3: Giải phương trình (2) tìm nghiệm to = tan x

2  nghiệm x

6: Phương trình đẳng cấp bậc 3 với sinx, cosx

a Phương trình đẳng cấp bậc 3 với sinx, cosx

a.sin x b sin x cosx c sin x osc x dc os x0

a.sin x b sin x cosx c sin x osc x dc os x( s inxm ncos )x 0

b Phương pháp giải:

- Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm hay không

- Bước 2: Giả sử cosx = 0 không là nghiệm của phương trình

Chia cả hai vế của phương trình cho cos3x  0 và sử dụng các công thức:

(1 tan ); tan (1 tan )

Biến đổi phương trình ta nhận được 1 phương trình bậc 3 ẩn tanx

- Bước 3: Nhẩm nghiệm để giải phương trình bậc 3 ẩn tanx Từ nghiệm tanx ta sẽ tìm được nghiệm x

7 Phương trình đối xứng và nửa đối xứng với sinx, cosx

a Phương trình đối xứng với sinx, cosx

* Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (1)

* Phương pháp:

2, 2

2 sin( )

4

1 sin os

2 os( )

2 4

t x

t

xc x

c x











(1)  at + b (t

2

-1

2 ) + c = 0  2at + b(t2 - 1) + 2c = 0  f(t) = bt2 + 2at + (2c - b) = 0

Giải biện luận f(t) = 0  Nghiệm t  2, 2  Nghiệm x

b Phương trình nửa đối xứng với sinx, cosx

* Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (2)

* Phương pháp:

2, 2

2 sin( )

4

1 sin os

2 os( )

2 4

t x

t

xc x

c x











(2)  at + b (

2

1 2

t



) + c = 0  2at + b(1- t2 ) + 2c = 0  g(t) = bt2 - 2at - (2c + b) = 0

Giải biện luận g(t) = 0  Nghiệm t  2, 2  Nghiệm x

8 Phương trình lượng giác đối xứng với tan, cot

a.Dạng phương trình: a(tan2xcot2x)b(tanxcot )x  c 0 (1)

a(tan4xcot4 x)b(tan2 xcot2x) c 0(2)

b Phương pháp giải: Điều kiện

2

k

x 



tan cot (| | 2) tan cot 2

sin 2

x

(1)  2

g t at   bt c a

Giải biện luận g(t) = 0  Nghiệm t Nghiệm x

9 Phương trình lượng giác đối xứng với sin 2N x, cos 2N x

10 Phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc

11 Phương trình lượng giác dạng phân thức

Phương pháp chung:

Xét phương trình: (sin, os, tan, cot)

(sin, os, tan, cot)

G c =0 (1)

- Bước 1: Đặt điều kiện mẫu thức G(sin, cos, tan, cot) 0 (2)

- Bước 2: Biến đổi (1) và tìm nghiệm x

+ Biến đổi hệ quả: Sau khi tìm x phải thử điều kiện (2)

+ Biến đổi tương đương: Vừa biến đổi vừa kiểm tra điều kiện (2)

- Bước 3: Nếu biến đổi hệ quả thì thử điều kiện (2) để nhận nghiệm (1)

+ Thử điều kiện dạng thô: Thử bằng hàm số lượng giác

+ Thử điều kiện dạng tinh: Thử bằng kết quả của x

+ Phương pháp hình học: Biểu diễn nghiệm và (2) trên đường tròn đơn vị

+ Phương pháp đại số: Giải phương trình nghiệm nguyên dạng vô định

12 Phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối

Xét phương trình cơ bản

(sin, os, tan, cot) (sin, os, tan, cot)

a Phương pháp 1: Xét dấu của biểu thức f

0

0

f

f g

f g

f

f g

  







   

 





b Phương pháp 2: Bình phương 2 vế

2

f g

f g









c Phương pháp 3: Xét tính tuần hoàn của tập nghiệm

+ Tìm nghiệm trên 1 chu kỳ cơ sở T > 0 để phá dấu giá trị tuyệt đối

+ Ứng với nghiệm xo T ta có nghiệm trên R là xo + n T

13 Phương trình lượng giác dạng vô tỷ

Biến đổi cơ bản: f = g  g 02

f g





 

14 Phương trình lượng giác sinm x c osn x1

a Dạng phương trình :sin os 1 2, 2

0, 2

x c x



b Phương pháp: Sử dụng 0 s inx , cos ,sinx 2x c, os2x1để đánh giá sinm x, cosn x từ đó so

sánh với đẳng thức : 2 2

sin x c os x1

15 Phương pháp lượng giác giải phương trình đại số

Các dạng biến đổi lượng giác

Dạng 1: Nếu x2 + y2 = 1 thì đặt sin  

0, 2 os

x

y c











 

Dạng 2: Nếu x2 + y2 = a2 (a > 0) thì đặt sin  

0, 2 os

x a

y ac











 

Dạng 3: Nếu | |x m thì đặt

 

2 2

x m

x mc

 





Đặc biệt, với m=1 đặt

 

2 2

x

x c

 





Dạng 4: Nếu | |x m hoặc biểu thức x2m2 thì đặt x =

cos

m

 với

3

   

    Đặc biệt, với m=1 đặt x = 1

cos với

3

   

    Dạng 5: Nếu không ràng buộc điều kiện cho biến số và toán có chứa biểu thức

2 2

x m thì đặt x = m tan  với ;

2 2

 

  

Đặc biệt, với m=1 đặt x =tan với ;

2 2

 

  