Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Giải a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ CHỨA

DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Dạng 1 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : C y = f x ( ) suy ra đồ thị hàm số

1 1

( C ) : y = f x ( )

Ta có: 1 1

0 ( ) :

0

≥



= = 



Nếu Nếu

Do đó đồ thị ( C1) : y1 = f x ( ) có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : C y = f x ( ) nằm phía trên Ox + Phần 2: là phần đồ thị ( ) : C y = f x ( ) nằm phía dưới Ox lấy đối xứng qua Ox

Dạng 2 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : C y = f x ( ) suy ra đồ thị hàm số

2 2

( C ) : y = f x ( ) Nhận xét : ( C2) : y2 = f x ( ) là hàm số chẵn Nên ( C2) : y2 = f x ( ) nhận Oy làm trục đối xứng

( ) : ( )





f x y

f x

Nếu x Nếu x

Do đó đồ thị ( C2) : y2 = f x ( ) có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : C y = f x ( ) nằm phía bên phải Oy ( Do (1) ta có) + Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua Oy vì hàm số chẵn

Dạng 3 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : C y = f x ( ) suy ra đồ thị hàm số

3 3

( C ) : y = f x ( ) Nhận xét : Nếu M x y ( ;0 0) ∈ ( C3) ⇒ M x ( ;0 − y0) ∈ ( C3)

Nên ( C3) : y3 = f x ( )nhận Ox làm trục đối xứng

Ta có: ( C3) : y3 = f x ( ) = y ⇒ y3 = y Nếu y ≥ 0

Do đó đồ thị ( C3) : y3 = f x ( ) có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : C y = f x ( ) nằm phía trên Ox + Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua Ox

Dạng 4 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : C y = f x ( ) = u x v x ( ) ( ) suy ra đồ

thị hàm số ( C4) : y4 = u x v x ( ) ( )

Ta có:

4 4

( ) : ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0





Nếu Nếu

Do đó đồ thị ( C4) : y4 = u x v x ( ) ( ) có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : C y = f x ( ) nằm trên miền u x ( ) ≥ 0

+ Phần 2: là phần đồ thị ( ) : C y = f x ( ) nằm trên miền u x ( ) ≤ 0

lấy đối xứng qua Ox

Ta hay gặp dạng đơn giản sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : C y = f x ( ) = ( x − a v x ) ( )

suy ra đồ thị hàm số ( C4) : y4 = x − a v x a ( ), ∈ ℝ

Ta có:

4 4

( ) ( ) ( ) ( ) : ( )

( ) ( ) ( )





Nếu Nếu

Do đó đồ thị ( C4) : y4 = x − a v x a ( ), ∈ ℝ có 2 phần đồ thị :

+ Phần 1:

là phần đồ thị ( ) : C y = f x ( ) nằm bên phải đường thẳng x = a

+ Phần 2: là phần đồ thị ( ) : C y = f x ( ) nằm bên trái

đường thẳng x = a lấy đối xứng qua Ox

TỔNG QUÁT

Từ 4 dạng đồ thị có chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản trên ta có thể suy ra

nhiều dạng đồ thị có chứa dấu giá trị tuyệt đối khác chẳng hạn:

Dạng 5 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : C y = f x ( ) suy ra đồ thị hàm số

5 5

( C ) : y = f x ( )

Để vẽ ( C5) : y5 = f x ( ) ta làm 2 bước như sau:

+ Bước 1: vẽ y51 = f x ( ) = g x ( ) dựa vào dạng 2 + Bước 2: vẽ y5 = f x ( ) = g x ( ) dựa vào dạng 1

Dạng 6 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : C y = f x ( ) suy ra đồ thị hàm số

6 6

( C ) : y = f x ( ) Để vẽ ( C6) : y6 = f x ( ) ta làm 2 bước như sau:

+ Bước 1: vẽ y61 = f x ( ) = g x ( ) dựa vào dạng 2 + Bước 2: vẽ y6 = g x ( ) dựa vào dạng 3

Dạng 7 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : C y = f x ( ) suy ra đồ thị hàm số

( C ) : y = f x ( )

Để vẽ ( C7) : y7 = f x ( ) ta làm 3 bước như sau:

+ Bước 1: vẽ y71 = f x ( ) = g x ( ) dựa vào dạng 2 + Bước 2: vẽ y72 = f x ( ) = g x ( ) = h x ( ) dựa vào dạng 1 + Bước 3: vẽ ( C7) : y7 = h x ( ) dựa vào dạng 3

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

y = x − x + có đồ thị (C)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C)

với đường thẳng x = −1 3) Tìm tham số m để phương trình 3 2

2 x − 3 x + 2 = m có bốn nghiệm phân biệt

Giải

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

TXĐ: D = R

y'=6x2−6x ; y'=0⇔ x=0hoặcx = 1

HSĐB trên khoảng (−∞;0) ; ( 1; +∞) HSNB trên khoảng ( 0;1 )

Hàm số đạt cực đại tại x=0;yCĐ =1; Hàm số đạt cực tiểu tại x=1;y =0

CT

limx y

→±∞

= ±∞

BBT

x −∞ 0 1 +∞

y’ + 0 – 0 +

1 +∞

y CĐ CT

−∞ 0

y'' 12 = x− 6; y'' = 0 ⇔ x=1/2

x −∞ 1/2 +∞

y ’ – 0 +

ĐTHS Lồi ĐU Lõm

I(1/2;1/2)

2) Viết PTTT của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng x = −1

x = −1 => y = f(−1) = −4 => giao điểm M( −1;−4)

pttt có dạng d: y = f ' ( x0).( x − x0) + y0

0

f x = f − = => pttt d:y = 12( x + 1) − 4 = 12 x + 8

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

x y

P

Q

O

ĐĐB:

P( − 1; − 4) Q(2;5)

y = x − x +

NX: Đồ thị nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng

Hình 1

3) Tìm tham số m để phương trình 3 2

2 x − 3 x + 2 = m có bốn nghiệm phân biệt

2 x − 3 x + 2 = m ⇔ 2 x − 3 x + 1 = m − 1

Đây là PT HĐGĐ của đồ thị (C1): 3 2

y = x − x + và đường thẳng d: y = m−1

T a có(C1):

y



= 



neuá nếu => (C1) có 2 phần đồ thị:

Phần I : Đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (cả điểm nằm trên Oy)

Phần II : Lấy đối xứng đồ thị Phần I qua Oy

vì hàm số y1 là hàm số chẵn

Vẽ (C1)( Hình 2)

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

x

y

Q

O

y = x − x +

Hình 2

Dựa vào (C1) ta có: 0 < m −1 < 1 <=> 1 < m < 2

2

y= x − x + có đồ thị là (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Định m để phương trình : 1 4 2

− + = có 4 nghiệm phân biệt

c) Định m để phương trình : 1 4 2

2

biệt

Giải

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

TXĐ: D = R.Hàm số chẵn

y'=2x3−8x ; y ’= 0 <=> x = 0 hoặc x =±2

Giới hạn : lim

→±∞

= +∞

BBT :

x −∞ –2 0 2 +∞

y ’ – 0 + 0 – 0 +

+∞ 3 +∞

y CT CĐ CT

–5 –5

HSĐB trên khoảng (–2;0) và (2;+∞)

HSNB trên khoảng (−∞;–2) và (0;2)

y = x − ; y'' = 0 ⇔x= ± 2 3 / 3

BXD y ’’

x −∞ – 2 3 / 3 2 3 / 3 +∞

y ’’ + 0 – 0 +

ĐT

(C) Lõm ĐU Lồi ĐU Lõm

(–2 3 / 3;–13/9) (2 3 / 3;–13/9)

Đồ thị:

o NX: đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

o ĐĐB: A(–3; 15/2), B(3;15/2)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

O CĐ

← →

1

4 3 2

y= x − x +

← →

← →

B A

b) Định m để phương trình : 1 4 2

− + = có 4 nghiệm phân biệt

YCBT <=>− 5 < lgm< 3 <=> 5 3 5 3

lg10− < lgm< lg10 ⇔ 10− <m< 10

c) Định m để phương trình : 1 4 2

2

x x m có 8 nghiệm phân biệt

Đây là PT HĐGĐ của đồ thị (C1): 4 2

1

1

2

d: y = m−1

T a có : 1 1

0 ( ) :

0

≥



= = 



Nếu Nếu

Do đó đồ thị ( C1) : y1 = f x ( ) có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : C y = f x ( ) nằm phía trên Ox + Phần 2: là phần đồ thị ( ) : C y = f x ( ) nằm phía dưới Ox lấy đối xứng qua Ox

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

x y

1

1

2

YCBT <=>0 < lgm< 3 <=> 3

lg1 lg < m< lg10 ⇔ 1 <m< 1000

Ví dụ 3. Vẽ đồ thị hàm số

2

1 1

1

=

−

x

x

Ta vẽ đồ thị hàm số

2

( ) :

1

=

−

x

x

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

2

( ) :

1

=

−

x

C y

x

Dựa vào (C) ta có:

2

1 1

1

=

−

x

x có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : C y = f x ( ) nằm bên phải đường thẳng x = 1

+ Phần 2: là phần đồ thị ( ) : C y = f x ( ) nằm bên trái

đường thẳng x = 1 lấy đối xứng qua Ox

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

2

1 1

1

=

−

x

x

Ví dụ 4. Vẽ đồ thị hàm số 1 1

1

1

−

= +

x

x

Ta vẽ đồ thị hàm số ( ) : 1 1

−

= +

x

x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

x

y

1 ( ) :

1

−

= +

x

x

Dựa vào (C) ta có: 1 1

1

1

−

= +

x

x có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : C y = f x ( ) nằm phía trên Ox + Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua Ox

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

x

y

1 1

1 ( ) :

1

−

= +

x

x

Ví dụ 5. Vẽ đồ thị hàm số

2

5 5

1

=

−

x

x

Dựa vào đồ thị hàm số

2

( ) :

1

=

−

x

x ở ví dụ 3 ta có:

2

5 5

1

=

−

x

x có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : C y = f x ( ) nằm phía bên phải Oy + Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua Oy vì hàm số chẵn

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

2

( ) :

1

=

−

x

x

Ví dụ 6. Vẽ đồ thị hàm số

2

6 6

1

=

−

x

x

Dựa vào đồ thị hàm số

2

5 5

1

=

−

x

x ở ví dụ 5 ta có:

2

6 6

1

=

−

x

x có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( C5) nằm phía trên Ox + Phần 2: là phần đồ thị ( C5) nằm phía dưới Ox lấy đối xứng qua Ox

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

2

6 6

( ) :

1

=

−

x

x

Ví dụ 7. Vẽ đồ thị hàm số

2

7 7

1

=

−

x

x

Dựa vào đồ thị hàm số

2

6 6

1

=

−

x

x ở ví dụ 6 ta có:

2

1

=

−

x

x có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( C6) nằm phía trên Ox + Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua Ox

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7

x

y

2

1

=

−

x