Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC TỔ TOÁN - TIN CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Trần Anh Tuấn Vĩnh Phúc, Năm 2009-2010 Mục lục 1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 2 1.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Cực đại và cực tiểu 3 2.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 6 3.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị 11 4.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5 Tiệm cận 12 5.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.1.1 Một số chú ý về giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6 Đồ thị của hàm số mang dấu giá trị tuyệt đối 13 6.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7 Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số 15 7.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 7.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 Khoảng cách 20 9 Họ đường cong 20 10 Tâm đối xứng. Trục đối xứng của đồ thị hàm số. 21 10.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 10.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 11 Phần các đề luyện tập 22 1 2 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 1.1 Tóm tắt lí thuyết 1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b). Ta nói: - Hàm số y = f(x) đồng biế n (tăng) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ (a; b) mà x 1 < x 2 thì f(x 1 ) < f(x 2 ). - Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ (a; b) mà x 1 < x 2 thì f(x 1 ) > f(x 2 ). Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi là đơn điệu trên khoảng đó. 2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu Định lý 1.1 (Định lí Lagrange) Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(b) − f(a) = f  (c)(b − a) hay f  (c) = f(b) − f(a) b −a Định lý 1.2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). a) Nếu f  (x) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng đó. b) Nếu f  (x) < 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng đó. Định lý 1.3 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu f  (x) ≥ 0 hoặc f  (x) ≤ 0) ∀x ∈ (a; b), và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó. Chú ý 1 Trong các hàm số sơ cấp được học (ngoại trừ hàm hằng), ta có kết quả sau: - y = f(x) là hàm số đồng biến trên (a; b) ⇐⇒ f  (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b) - y = f(x) là hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇐⇒ f  (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b) * Các bước xét tính đơn điệu của hàm số: - Tìm các đi ểm tới hạn - Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn. - Lập bảng biế n thiên, từ đó suy ra chiều biến thiên của hàm số. 3. Nhắc lại định lí dấu tam thức bậc hai 1 1.2 Ví dụ và bài tập  1.1 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: 1 Phải nhắc lại định lí thuận và định lí đảo Trần Anh Tuấn 3 a) y = 4x 3 − 3x + 1 b) y = 3 4 x 4 + x 3 − 3x 2 + 1 c) y = x + 1 x −1 d) y = x 2 + 3x + 3 x + 1 e) y = x 4 + 2x 2 − 3 x 2 f) y = x 4 − 3x 2 + 15  1.2 Cho hàm số y = − 1 3 x 3 + (m − 1)x 2 + (m + 3)x − 4. Tìm m để hàm số tăng trên (0; 3)  1.3 Cho hàm số y = 2 x 2 + 2mx + m −1. Tìm m để hàm số tăng trên (−1; +∞)  1.4 Cho hàm số y = x 3 −3mx 2 + 3(2m −1)x + 1. Tìm m để hàm số tăng trên tập xác định  1.5 Cho hàm số y = mx 2 + 6x −2 x + 2 . Tìm m để hàm số giảm trên (1; +∞)  1.6 Cho hàm số y = 1 3 mx 3 − (m −1)x 2 + 3(m −2)x + 1 3 . Tìm m để hàm số tăng trên (2; +∞)  1.7 Cho hàm số y = 2x 2 + (1 −m)x + 1 + m x −m . Tìm m để hàm số tăng trên (1; +∞)  1.8 Cho hàm số y = 1 3 x 3 + mx 2 − mx + 1. Tìm m để hàm số: a) Tăng trên tập xác định b) Tăng trên (−∞; 0)  1.9 Cho hàm số y = x 2 + mx −5 3 − x . Tìm m để hàm số: a) Giảm trên tập xác định b) Giảm trên (−1; 0) c) Tăng trên (−2; 2) 2 Cực đại và cực tiể u 2.1 Tóm tắt lí thuyết 1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Định lý 2.1 (Định lí Fermat) Nếu hàm số y = f(x) có đạo h àm tại x 0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f  (x 0 ) = 0. 2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý 2.2 (Dấu hiệu I) Giả sử hàm số y = f(x) có đạo h àm trên một lân cận của điểm x 0 (có thể trừ điểm x 0 ). i) Nếu f  (x) > 0 trên khoảng (x 0 −δ; x 0 ); f  (x) < 0 trên khoảng (x 0 ; x 0 + δ) thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số y = f (x). ii) Nếu f  (x) < 0 trên khoảng (x 0 −δ; x 0 ); f  (x) > 0 trên khoảng (x 0 ; x 0 + δ) thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) Trần Anh Tuấn 2.2 Ví dụ và bài tập 4 Nói một cách vắn tắt: Nếu khi đi qua x 0 , đạo hàm đổi dấu thì x 0 là một điểm cực trị. Và nếu đổi dấu từ + sang - thì x 0 là điểm cực đại còn nếu đổi dấu từ - sang + thì x 0 là điểm cực tiểu. Quy tắc I - Tìm f  (x) - Tìm các điểm tới hạn - Xét dấu đạo hàm - Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Định lý 2.3 (Dấu hiệu II) Giả sử y = f (x) có đạo hàm tới cấp hai liên tục tại x 0 và f  (x 0 ) = 0, f  (x 0 ) = 0 thì x 0 là một điể m cực trị hàm số, hơn nữa: - Nếu f  (x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu. - Nếu f  (x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại. Quy tắc II - Tìm f  (x). Giải phương trình f  (x) = 0. Gọi x i là các nghiệm - Tính f  (x) - Từ dấu của f  (x i ) suy ra các điểm cực trị. Chú ý 2 - Nếu f  (x 0 ) = f  (x 0 ) = 0 thì không thể khẳng định được x 0 có là điểm cực trị hay không. - Chúng ta dùng dấu hiệu I trong trường hợp tổng quát, còn dấu hiệu II chỉ dùng khi gặp các hàm số dễ tính đạo hàm (như hàm đa thức, hàm lượng giác). 2.2 Ví dụ và bài tập  2.1 Tìm cực trị của các hàm số: a) y = 2x 2 − x 4 b) y = x 2 − x + 1 x 2 + x + 1 c) y = x + √ 3x 2 + 6 d) y = x ln x e) y = e x sin x f) y = 5 √ x 4  2.2 Xác định m để hàm số y = x 2 + mx + 1 x + m đạt cực đại tại x = 2.  2.3 Chứng minh rằng hàm số y = x 2 + 2x + m x 2 + 2 luôn có một cực đại và một cực tiểu.  2.4 Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = 5 3 a 2 x 3 + 2ax 2 − 9x + b đều là những số dương và x 0 = − 5 9 là điểm cực đại.  2.5 Cho hàm số y = x 3 −3mx 2 + 3(m 2 −1)x −(m 2 −1). Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.  2.6 Cho hàm số y = a sin x + 1 3 sin 3x. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x = π 3 .  2.7 Tìm m để hàm số dưới đây đạt cực đại và cực tiểu Trần Anh Tuấn 2.2 Ví dụ và bài tập 5 a) y = 1 3 x 3 + mx 2 + (m + 6)x −1 b) y = x 2 − 2x + m 4 − x  2.8 Cho hàm số y = x 2 + mx + 1 x + m . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.  2.9 Cho hàm số y = x 3 −(m −3)x 2 + (4m −1)x −m. Tìm m để hàm số đạt cực trị t ạ i các điểm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện x 1 < −2 < x 2 .  2.10 Cho hàm số y = x 2 − x + m x + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 b) Tìm m để hàm số có hai cực trị. c) Tìm m để hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu.  2.11 Cho hàm số y = x 2 + (m + 1)x + 1 − m x − m . Tìm m để hàm số có: a) Một cực đại và một cực tiểu. b) Hai cực trị và các giá trị cực trị trái dấu. c) Cực tiểu có hoành độ nhỏ hơn 1.  2.12 Cho hàm số y = mx + 1 1 − x 2 . Tìm m để hàm số có hai cực trị. Trong trường hợp đó chứng minh rằng các điểm cực trị của đồ thị ở cùng một phía đối với trục hoành.  2.13 Cho hàm số y = mx 2 − 2x + m x 2 − x . Tìm m để hàm số: a) Tăng trên từng khoảng xác định. b) Chỉ có một cực trị. c) Đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương.  2.14 Tìm m để hàm số y = −x 3 + 3(m + 1)x 2 − (3m 2 + 7m −1)x + m 2 − 1 đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.  2.15 Tìm m để hàm số sau có ba cực trị y = x 4 + 4mx 3 + 3(m + 1)x 2 + 1  2.16 Cho hàm số y = x 4 + 8mx 3 + 3(1 + 2m)x 2 − 4 Tìm m để hàm số có một cực tiểu mà không có cực đại. Trần Anh Tuấn 6 3 Giá trị lớ n nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3.1 Tóm tắt lí thuyết 1. Phương pháp bất đẳng thức 2 2. Phương pháp hàm số Phương pháp hàm số thường sử dụng khi gặ p bài toán tìm GTLN, GTNN hoặc chứng minh BĐT chỉ có một tham số. Khi đó chúng ta thường tìm điều kiện chặt của tham số. Xét hàm số y = f(x) trên tập X ⊂ D. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên X, ta làm như sau: a. Phương pháp chung: - Lập bảng biến thiên của hàm số trên X - Dựa và bảng biến thiên (chú ý đến sự thay đổi giá trị của hàm số trên X), ta tìm được các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên X. b. Trường hợp đặc biệt: Khi X = [a; b], ta có thể làm như sau: - Giải HPT  y  = 0 hoặc y  không xác định x ∈ (a; b) , giả sử các nghiệm là x 1 , x 2 , , x n - Tính f(x 1 ), f(x 2 ), , f(x n ) và f (a), f(b). - Số lớn nhất trong các số trên là giá trị lớn nhất. - Số nhỏ nhất trong các số trên là giá trị nhỏ nhất. Chú ý 3 Trong trường hợp hàm số có chu kì c húng ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn có độ dài bằng chu kì. 3. Phương pháp sự biến thiên để giải và biện luận phương trình có tham số Phương pháp chung để giải và biện luận phương trình có tham số bằng PP sự biến thiên là: Bước 1 : Đặt ẩn phụ (nếu cần) t = u(x), đặt điều kiện chặt cho t. Bước 2: Từ giả thiết bài toán biến đổi về một trong các dạng sau: f(t) = g(m); f(t) ≥ g( m); f (t) ≤ g(m); f(t) > g(m); f(t) < g(m) Tức là biến đổi để cô lập m về một vế, còn vế kia độc lập với m. Bước 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) trên miền giá trị của t đã tìm được sau bước 1. Bước 4 : Từ bảng biến thiên suy ra miền giá trị của f (t). Sử dụng các kết quả bảng biến thiên, để tìm ra kết luận của bài toán. Chú ý 4 Điều kiện chặt cho t có nghĩa là tìm các giá trị của t để p h ươn g trình t = u(x) có nghiệm. Giả sử f(x) là một hàm liên tục trên miền D và giả thiết rằng tồn tại các giá trị lớn nhât, nhỏ nhất của f(x), xét trên miền D (kí hiệu là: max x∈D f(x), min x∈D f(x)). Khi đó ta có các định lí sau: 2 Làm kĩ về cá ch chứng minh BĐT nhờ BĐT Cauchy Trần Anh Tuấn 3.1 Tóm tắt lí thuyết 7 Định lý 3.1 Giả sử D = [a; b]. Nếu như f( a).f (b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b). Định lý 3.2 Phương trình f (x) = m có nghiệm khi và chỉ khi: min x∈D f(x) ≤ m ≤ max x∈D f(x). Chứng minh. =⇒ Giả sử phương trình đã cho có nghiệm x 0 ∈ D =⇒ f (x 0 ) = m. Ta có: min x∈D f(x) ≤ f (x 0 ) ≤ max x∈D f(x). hay: min x∈D f(x) ≤ m ≤ max x∈D f(x). ⇐= Giả sử min x∈D f(x) ≤ m ≤ max x∈D f(x). Do f(x) liên tục nên nó nhận mọi giá trị từ min x∈D f(x) tới max x∈D f(x) do đó nó nhận g iá trị m, tức là ∃x 0 ∈ D sao cho f(x 0 ) = m. Điều này có nghĩa là phương trình f (x) = m, x ∈ D có nghiệm. Định lý 3.3 a) Bất phương trình f(x) ≥ m, x ∈ D có nghiệm khi và chỉ khi: max x∈D f(x) ≥ m. b) Bất phương trình f (x) ≥ m đúng ∀x ∈ D khi và chỉ khi min x∈D f(x) ≥ m. Chứng minh. a) =⇒/ Giả sử bất phương trình f (x) ≥ m, x ∈ D có nghiệm =⇒ ∃x 0 ∈ D sao cho f(x 0 ) ≥ m. Rõ ràng: max x∈D f(x) ≥ f(x 0 ) ≥ m. ⇐=/ Giả sử max x∈D f(x) ≥ m. Phản chứng rằng bất phương trình đã cho vô nghiệm, tức là f (x) < m, ∀x ∈ D =⇒ max x∈D f(x) < m điều này mâu thuẫn với giả thiết.Từ đó suy ra điều phải chứng minh. b) Chứng minh tương tự như phần a). Định lý 3.4 a) Bấ t phương trình f (x) ≤ m, x ∈ D có nghiệm khi và chỉ khi: min x∈D f(x) ≤ m. b) Bất phương trình f (x) ≤ m đúng ∀x ∈ D khi và chỉ khi max x∈D f(x) ≤ m. Định lý 3.5 Cho phương trình f (x) = g(x) với x ∈ D. Giả sử trên miền D hàm f(x) luôn đồng biến, còn hàm g(x) luôn nghịch biến. Khi đó nếu phương trình trên có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Trần Anh Tuấn 3.2 Ví dụ và bài tập 8 Định lý 3.6 Xét bất phương trình f (x) ≤ g(x) trên miền D. Nếu max x∈D f(x) ≤ min x∈D g(x) thì bất phương trình trên thoả mãn ∀x ∈ D. Chú ý: max x∈D f(x) ≤ min x∈D g(x) chỉ là điều kiện đủ để f (x) ≤ g(x), x ∈ D chứ không phải là điều kiện cần và đủ. Giả sử D = [a; b], α, β ∈ R, α < β. max x∈[a;b] f(x) = β > α = min x∈[a;b] g(x) Nhưng f(x) < g(x), ∀x ∈ D. 3.2 Ví dụ và bài tập  3.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = f(x) = x 2 + x + 1 x (x>0) b) y = f(x) = 1 + 4x − x 2 c) y = f(x) = x 4 − 2x 2 + 5 (x ∈ [−2; 3]) d) y = f(x) = √ x − 2 + √ 4 − x e) y = f(x) = 2x 2 + 4x + 5 x 2 + 1 f) y = sin 5 x + √ 3 cos x  3.2 Tìm x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất y = f(x) = lg 2 x + 1 lg 2 x + 2  3.3 Giả sử x, y là hai số dương thoả mãn điều kiện x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 4 x + 1 4y  3.4 Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 x + 1 y + 1 z = 4 Tìm GTLN của 1 2x + y + z + 1 x + 2y + z + 1 x + y + 2z  3.5 Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz = 1 Tìm GTNN của  1 + x 3 + y 3 xy +  1 + y 3 + z 3 yz + √ 1 + z 3 + x 3 zx  3.6 Tìm GTLN, GTNN của y = ln 2 x x , x ∈ [1; e 3 ].  3.7 Tìm m để phương trình sau có nghiệm m( √ 1 + x 2 − √ 1 − x 2 + 2) = 2 √ 1 − x 4 + √ 1 + x 2 − √ 1 − x 2 Trần Anh Tuấn 3.2 Ví dụ và bài tập 9  3.8 Cho phương trình: log 2 3 x +  log 2 3 x + 1 − 2m −1 = 0 a) Giải phương trình khi m = 2 b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 √ 3 ]  3.9 Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN x x + 1 + y y + 1 + z z + 1  3.10 Với giá trị nào của m bất phương trình sau đúng ∀x ∈ [−5; 1] 4 √ 5−4x−x 2 + 2 1+ √ 5−4x−x 2 ≤ m  3.11 Cho phương trình 9 x − m3 x + 2m = 0 a) Giải phương trình với m = −1 b) Tìm m để phương trình trên có nghiệm.  3.12 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = √ 1 + sin x + √ 1 + cos x  3.13 Cho phương trình cos 6 x + sin 6 x cos 2 x −sin 2 x = m tan 2x a) Giải phương trình khi m = 13 8 b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.  3.14 Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc (0; 1) 4(log 2 √ x) 2 − log 1 2 x + m = 0  3.15 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x 6 + 4(1 −x 2 ) 3 x ∈ [−1; 1]  3.16 Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0; π 2 ] 2(sin 4 x + cos 4 x) + cos 4x + 2 sin 2x + m = 0  3.17 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN (a + 1 a )(b + 1 b )(c + 1 c )  3.18 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 4 x − m.2 x − m + 3 ≤ 0 Trần Anh Tuấn [...]... của hàm số y = a t a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 b) Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) m 11.3 Cho hàm số y = (x − 1)(x2 + mx + m) (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 4 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt 2x − 1 (1) x−1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị. .. để hàm số có cực đại và cực tiểu Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số bằng 10 ie t 1 11.12 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x3 − 2x2 + 3x 3 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành x2 − x + 1 11.13 Cho hàm số y = (1) x−1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số w v b) Dựa vào đồ thị hàm số (1), hãy vẽ đồ thị hàm số. .. 11.35 Cho hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Tìm m để hàm số có ba cực trị ie t 11.36 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + m a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 b) Tìm m để hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ đô w v 1 11.37 Cho hàm số y = x3 − 2x2 + 3x 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Viết... tham số m để điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho ở về hai phía của trục tung a 11.57 Cho hàm số y = x3 + ax + 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = −3 b) Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm ie t m 11.58 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số. .. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 11.21 Cho hàm số y = w w 2 11.22 Cho hàm số y = x3 − mx2 + 1 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành 2x + 4 x+1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luôn cắt đồ thị hàm số tại... 3 2 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng −1 Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M song song với đường thẳng 5x − y = 0 h s 1 11.42 Cho hàm số y = x2 − x + 2; (C) 4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 7 b) Chứng minh rằng từ điểm A( ; 0) có thể vẽ được hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã 2 cho và hai tiếp... trị của hàm số (1) mx2 + x + m (1) x−1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có haònh độ dương h s 11.33 Cho hàm số y = −x2 + 3x − 3 2(x − 1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B sao cho AB = 1 a t 11.34 Cho hàm số y =... điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y = x c o 11.25 Cho hàm số y = t h s 11.26 Cho hàm số y = x3 + mx2 − x − m a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập thành cấp số cộng c) Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m x2 + 2x + 1 x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 b)... A, B Tìm m để AB ngắn nhất 11.23 Cho hàm số y = Trần Anh Tuấn 25 x2 + 1 x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 11.24 Cho hàm số y = m x2 + 1 m2 + 1 = x m x2 + (m + 2)x − m x+1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1 b) Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu c) Tìm m để đường thẳng y = −x − 4 cắt đồ thị hàm số tại hai... 3x2 + m = 0 3x + 2 x+2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Tìm các điểm trên đồ thị hàm số có toạ độ là những số nguyên c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua giao điểm hai tiệm cận w 11.46 Cho hàm số y = w x+3 x+1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C)