Ứng dụng đạo hàm

Tìm cực trị của các hàm số sau: Phương pháp 2: Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền xác định của nó B1... 6 Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị Có

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Vấn đề 1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH

BIẾN CỦA HÀM SỐ

1 Định lí : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b)

Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) là f’(x) ≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0), ∀ x ∈ (a; b), dấu đẳng thức xảy ra tại một số hữu hạn điểm x0 ∈ (a; b) hoặc không xảy ra trên (a; b)

2 Các dạng bài toán thường gặp:

1 Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x)

2 Dạng 2. Tìm tham số m để hàm y = f(x; m) đồng biến, nghịch biến

hoặc không đổi trên các khoảng xác định của nó

+ , ad ≠ 0 thì điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc

nghịch biến) trên các khoảng xác định của nó là y’ ≥ 0, ∀x ∈D)

(hoặc y’ ≤ 0, ∀x ∈ D)

* Nếu f(x) = ax b

cx d

++ thì điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch

biến) trên các khoảng xác định của D là y’> 0, ∀x ∈D (hoặc y’ < 0, ∀x ∈ D)

* Điều kiện để 1 hàm số bất kỳ nào đó là hàm số không đổi trên từng khoảng xác định của nó là: y’ = 0, ∀x ∈ D

B4 Từ điều kiện ở (B3) ta chuyển về bài toán đại số (thường là bài toán tam thức bậc 2) để giải tìm m.

BÀI TẬP Bài 1 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

Bài 2 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

Bài 3 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

2

2 2

x 1

x x 11

Phương pháp làm như bài 1

Bài 4 Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên các khoảng xác định của

Thực hiện theo các bước nêu ở dạng 2

Bài 5 Tìm m để hàm số y= −(m2+5 )m x3+6mx2+6x+1 đồng biến trên R.HD: y’ ≥ 0, x R∀ ∈

Bài 6 Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên các khoảng xác định của

1 Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và có đạo hàm

trên (a; b) ⊂ D (có thể trừ điểm x0)

f' x > 0 trên x ; b thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số

2 Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, có đạo hàm cấp 2 trên

(a; b) ⊂ D và f’(x0) = 0

Khi đó a/ Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số

b/ Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số

3 Các dạng bài toán thường gặp:

1 Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Phương pháp 1:

B1 Tìm TXĐ D

B2 Tìm y’ Tìm các điểm x mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm 0

, tìm giá trị của hàm số tại các điểmx , lập bảng biến thiên của y trên D.0

B3 Dựa vào bảng biến thiên và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT

Phương pháp 2:

Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền xác định của nó

2 Dạng 2: Tìm m để hàm số y = f(x) đạt cực đại hay đạt cực tiểu tại

điểm x = x0 cho trước nào đó

Phương pháp 1: (Sử dụng đối với các hàm có đạo hàm cấp 2 phức tạp)

B1 Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)

B2 Tìm y’

B3 Để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x = x0 điều kiện cần là

y’(x0) = 0 hay y’(x) không tồn tại tại điểm x0, từ điều kiện này ⇒ m.B4 Thử lại ứng với các giá trị vừa tìm của m, ứng với giá trị m nào bài toán thỏa mãn thì nhận giá trị m đó

Phương pháp 2: (Sử dụng đối với hàm số đạo hàm cấp 2 đơn giản)

B1 Tìm y’

B2 Vì dấu của y’ cùng dấu với (1 biểu thức bậc 2) nên để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ đổi dấu đúng hai lần ⇒ (tam thức bậc 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc tập xác định ⇒ m

2 Đối với hàm bậc 4: y = f(x; m) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, a≠ 0

B1 Tìm y’ (y’ là hàm bậc 3)

B3 *Vì y’ là 1 biểu thức bậc 3 nên để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ phải đổi dấu 3 lần

⇒ y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt ⇒ m

* Để hàm số chỉ có cực tiểu không có cực đại thì y’ đổi dấu đúng 1 lần

từ - sang +

⇒ a > 0 ⇒ m

y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc chỉ có 2 nghiệm

* Để hàm số chỉ có cực đại, không có cực tiểu thì y’ chỉ có một lần đổi dấu từ + sang -

⇒ a < 0 ⇒ m

y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc chỉ có 2 nghiệm

4 Dạng 4: Tìm m để hàm số y = f(x) có cực đại hay có cực tiểu với xCĐ, xCT hay yCĐ, yCT thỏa mãn một điều kiện hay một hệ thức cho trước

Phương pháp: Sử dụng đối với hàm số bậc 3, hàm phân thức ;

B1 Tìm TXĐ D

B2 Tìm y’, dấu y’ cùng dấu với một tam thức bậc 2

B3 Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ biểu thức bậc 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện

a ≠ 0

⇔ ∆ > 0 (∆’ > 0) ⇒ tham số m (1)

nghiệm thỏa điều kiện

B4 * Khi đó nếu ∆ hay ∆’ = bình phương một biểu thức thì tìm trực

(bậc 2)

Rồi thay biểu thức tổng, tích ở bước 4 vào hệ thức ở bước 5 ta được 1 phương trình hay bất phương trình đối với m, giải tìm m Kết hợp với điều kiện m ở bước 3 suy ra các giá trị m cần tìm.

Chú ý: Cách tìm yCĐ, yCT của các hàm số thường gặp:

* Phân tích hàm số về dạng y = (Ax + B).y’ + Cx + D

(Bằng cách chia y cho y’, có thương là Ax + B và phần dư là Cx+D)

* Nếu hàm số có cực trị thì yCĐ = CxCĐ + D; yCT = CxCT + D vì tại xCĐ, xCT có y’ = 0

BÀI TẬP Bài 1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

Phương pháp 2:

Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền xác định của nó

B1 Tìm TXĐ D

=

c/ y = x3 - 3mx2 + (m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 (ĐS: m = 1) d/ y = x3 - mx2 +  −23

 m x + 5 đạt cực tiểu tại x =1 (ĐS: m=7

3) e) = 2 + +1

Thực hiện các bước theo dạng 2

Bài 3 Tìm các giá trị của m, n sao cho hàm số:

y y y

HD:

+ Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu: y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1

+ Chứng minh AB= (x B−x A)2+(y B−y A)2 =20, với A, B là điểm cực đại, cực tiểu.

Bài 5 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau đây:

a/ y = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + 1 có cực đại, cực tiểu và tìm tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (ĐS: m ≠1) b/ y = (x + m)3 + (x + 2m)3 - x3 có cực đại, cực tiểu (ĐS: m ≠ 0) c/ 2 ( 2)

x có cực đại, cực tiểu, tìm tọa độ của điểm cực

đại, cực tiểu của đồ thị hàm số Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

(ĐS: m < -1

2, y = 2x + m +2)

Vấn đề 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

B2: Tìm các điểm mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm: x1, x2, ∈ I Tìm giá trị f(x1), f(x2), và tính x alimf x( ),xlimbf x( )

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x 2

4 x− HD: Tìm tập xác định

Sử dụng trường hợp 2

Bài 5 Cho hàm số f(x) = x + 4 x− 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

x

f x a lim

x

→−∞

→+∞

= (hữu hạn)

  (hữu hạn) thì đường thẳng có phương trình

y = ax + b là tiệm cận xiên bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu a ≠ 0 và nếu a = 0 là tiệm cận ngang bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số

Chú ý:

1/ Nếu đường thẳng x = x0 (hay y = y0 hay y = ax + b, a ≠ 0) vừa là tiệm cận đứng (hay ngang hay tiệm cận xiên) bên trái và bên phải của đồ thị hàm số y = f(x) thì gọi chung là tiệm cận đứng (hay ngang hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x)

2/ Đối với hàm số phân thức:

+ Nếu phương trình mẫu số = 0 có nghiệm thì đồ thị của nó có tiệm cận đứng (số tiệm cận đứng = số nghiệm của phương trình mẫu số = 0)

+ Nếu (bậc tử) ≤ (bậc mẫu) thì đồ thị của nó có tiệm cận ngang

+ Nếu (bậc tử) = (bậc mẫu) + 1 thì đồ thị của nó có tiệm cận xiên

* Đối với hàm phân thức để tìm tiệm cận xiên ta thực hiện phép chia tử cho mẫu sau đó dùng định lí 3

3/ Đối với các hàm số vô tỉ hoặc hàm số khác để tìm tiệm cận xiên (nếu

có) ta sử dụng định lí 4

BÀI TẬP Bài 1 Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị của các hàm số sau:

Bài 3 Tìm m để hàm số y mx 1

x

= + có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến tiệm cận xiên của đồ thị bằng 1

2

Vấn đề 5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

+ Nếu ∆ < 0 (∆ = 0): y’ = 0 vô nghiệm (hoặc có nghiệm kép)

Khi đó: * nếu a > 0 thì y’ > 0 (y’ ≥ 0), ∀x ∈ R ⇒ hàm số tăng trên R

* nếu a < 0 thì y’ < 0 (y’ ≤ 0), ∀x ∈ R ⇒ hàm số giảm trên R+ Nếu ∆ > 0

Khi đó y’ = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0

y chiều biến thiên của y

4) Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số:

* Tìm y” = 6ax + 2b

(giả sử x1 < x2)

I(- b

3a;y CD y CT

2

+ ) làm điểm uốn

5) Điểm đặc biệt: x = 0 ⇒ y = d

* Nếu hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên R tìm hai điểm đối xứng qua điểm uốn, thường tìm thêm điểm đối xứng của điểm (0; d) qua điểm uốn

* Nếu hàm số có cực đại, cực tiểu thì tìm thêm hai điểm (x3; y3), (x4; y4) với x3 < x1 < xu < x2 < x4 và x3, x1, xu, x2, x4 tạo thành cấp số cộng)

Nếu a > 0 thì y2 = yCT, y1 = yCĐ

Nếu a < 0 thì y2 = yCĐ, y1 = yCT

6) Đồ thị:

* Vẽ hệ trục (có thể chọn đơn vị trên Ox, Oy không cần bằng nhau)

* Dựng điểm CĐ, CT (nếu có), điểm uốn

* Dựng các điểm đặc biệt

* Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị

Chú ý: Đồ thị hàm số đa thức bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối

xứng nên cần vẽ hình sao cho điểm uốn là tâm của hình vẽ và nếu y' =

0 có nghiệm kép (∆ = 0) thì tiếp tuyến tại điểm uốn // Ox.

→±∞

+∞ >

= −∞ <

3) Sự biến thiên: y' = 4ax3 + 2bx

4) Tìm điểm uốn của đồ thị:

y" = 12ax2 + 2b luôn cùng dấu a

* Đồ thị hàm số không có điểm uốn

5) Điểm đặc biệt:

Cho x = ± 1 ⇒ y = a + b + c

6) Đồ thị: (Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị)

B Trường hợp: *Nếu a, b trái dấu: (a.b < 0)

y' (trái dấu a) 0 (cùng dấu a) 0 (trái dấu a) 0 (cùng dấu a)

4) Tìm điểm uốn của đồ thị:

* y" = 12ax2 + 2b

y" = 0 ⇔ 12ax2 + 2b = 0 ⇒ x b

6a

= ± − ⇒ y = ?Lập bảng xét dấu của y" Tìm điểm uốn của đồ thị

* Đồ thị hàm số có hai điểm uốn

6) Đồ thị: (Dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị)

(Có thể chọn đơn vị trên Ox và Oy không cần bằng nhau)

Chú ý: Hàm số dạng này là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng nên vẽ đồ thị sao cho thỏa mãn tính chất này.

-∞

a c

6) Đồ thị: Vẽ hệ trục - Vẽ đường tiệm cận - Dựng các điểm đặc biệt (sao cho mỗi nhánh của đồ thị phải qua hai điểm) Vẽ đồ thị (vẽ hình sao cho giao điểm 2 đường tiệm cận là tâm của hình vẽ) Phải chọn đơn vị trên Ox,

Định lý 1: Cho hàm số y= f x( )(C)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M x y( ; ) ( )0 0 ∈ C có dạng

Khi đó nghiệm x của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm

Bài toán 1 : Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị hàm số

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với trục hoành

HD: Hoành độ giao điểm của (C) với Ox là nghiệm của phương trình

+ Phương trình tiếp tuyến: y=3(x− +1) 4

Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tung độ

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C) tại điểm có tung độ bằng 5.HD:+ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

2x 3 5

2

x x

Bài toán 2 : Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số

Lập phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số biết rằng:

a.Tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : 2x∆1 − − =y 6 0

b.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) : x 2∆2 − y− =3 0

HD: Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau

Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng -1

Đường thẳng ( ) : 2x∆1 − − =y 6 0có hệ số góc bằng 2

Đường thẳng ( ) : x 2∆2 − y− =3 0có hệ số góc bằng 1

a Tiếp tuyến (d) song song ( ) : 2x∆1 − − =y 6 0suy ra hệ số góc của tiếp tuyến k = 2

b Tiếp tuyến (d) vuông góc( ) : x 2∆2 − y− =3 0 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến k = -2

Bài toán 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua điểm cho trước

Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d)

Chú ý: Số nghiệm phân biệt x của phương trình (1) bằng số tiếp tuyến kẻ

Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d)

Chú ý: Số nghiệm phân biệt x của phương trình (2) bằng số tiếp tuyến kẻ

được từ A tới đồ thị (C)

Bài 7: Cho hàm số 1

1

x y x

+

=

− (H)

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( H) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) qua A (0;1)

HD: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến có dạng y k= x 1+ (d)

(d) là tiếp tuyến (H) ⇔hệ có nghiệm

2

1

x 11

2( 1)

x k x

k x

+

=+ (C)

+

=

− (C) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với trục tung, trục hoành

HD: Hoành độ giao điểm của (C) với Ox là nghiệm của phương trình 2

Suy ra viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M( 2;0) ( )− ∈ C

* Tọa độ giao điểm của (C) với Oy là nghiệm của hệ phương trình:

2

02

10

x

x y

x

y x

c Một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O (0; 0)và điểm A (2; 2) Tìm tọa độ

các giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng OA

HD : b + Điểm uốn I (1;1)

+ (1)y′ = −3

+ Phương trình tiếp tuyến

c + Phương trình đường thẳng OA y = kx, OA qua A(2; 2) nên phương trình OA là y = x

Phương trình hoành độ giao điểm của OA và (C):

b Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A (3; 0)

HD: Kiểm tra thấy A thuộc (C) Áp dụng Bài toán 1 suy ra kết quả

Bài 13 : Cho hàm số y x= −3 3mx2 +4m C3( m), m là tham số

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( C1) của hàm số khi m =1

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) tại điểm có hoành độ x = 1

HD: Có x = 1 Thay vào (C1) Tìm y Áp dụng Bài toán 1 ta được kết quả

Bài 14: Cho hàm số 4 2

2x

y x= − (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với trục hoành

HD: Giải pt y = 0 suy ra x Áp dụng Bài toán 1 để suy ra kết quả

Bài 15: Cho hàm số 2x - 1

1

y x

Bài 16: Cho hàm số y= − +x3 3x2+3mx+3m−4 (C m), m là tham số

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( C1) của hàm số khi m = 0

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) biết tiếp tuyến đó đi qua A (-1; -4)

HD: Kiểm tra thấy A không thuộc (C) Chọn một trong 2 cách của bài toán

3 để giải

Bài 17:Cho hàm số y x= +3 3x2+1 (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số

b Từ gốc tọa độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C)

HD: Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O(0;0) với hệ số góc k có phương

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Biện luận theo k số nghiệm của phương trình 3

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k = -3

b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3

Số nghiệm của phương trình x3−3x 3− =m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Dùng đồ thị (C) biện luận số giao điểm của 2 đồ thị hàm số 4

HD: − −x3 3x2+2m+ = ⇔5 0 x3+3x2− =4 2m+1 Pt có 3 nghiệm phân biệt khi (C) và đường thẳng d: y = 2m + 1 cắt nhau tại 3 điểm

Bài 5: Cho hàm số y x= −3 mx m+ +2 (Cm), m là tham số

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số khi m = 3

b Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Dựa vào đồ thị (C) xác định m để phương trình x4 −2x2+ =m 0có 4 nghiệm phân biệt

f x g x a

5 / log ( ) log ( )

0 ( ) ( )1

1/ Phương pháp 1: Biến đổi về cùng cơ số và dạng cơ bản.

+Bước 1: Tìm điều kiện của ẩn đã cho (nếu có)

+Bước 2: Biến đổi tương đương về các phương trình , bất phương trình cơ bản để giải

*Chú ý: Phương pháp này sử dụng đối với phương trình, bất phương trình mũ chỉ có 1 cơ số và chỉ có 2 số hạng

2/ Phương pháp 2: Lôgarit hóa.

Lấy lôgarit cả hai vế của phương trình , bất phương trình theo một cơ số thích hợp nào đó để khử mũ

*Chú ý: Phương pháp này sử dụng đối với các phương trình , bất phương trình có hai vế chỉ chứa tích, thương của hàm mũ (không chứa tổng và hiệu)

3/ Phương pháp 3: Phân tích phương trình , bất phương trình về dạng:

( ) ( ) ( ) 0( , , , )

f x g x h x = ≥ > ≤ <

Với f(x),g(x),h(x) là các biểu thức mũ đơn giản

*Chú ý: Phương pháp này sử dụng đối với các phương trình , bất phương trình có chứa các hàm mũ dạng a f x( ),b f x( ),( )ab f x( )

4/ Phương pháp 4: Biến đổi về cùng cơ số và đặt ẩn phụ

*Chú ý: Khi đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện của ẩn phụ tương ứng với điều kiện của ẩn ban đầu

4.1 Dạng: F a( f x( )) 0( , , , )= < > ≤ ≥

.Đặt t a= f x( ) Tìm điều kiện của t

.Đưa về phương trình, bất phương trình theo t

= Tìm điều kiện của t

.Chuyển về phương trình , bất phương trình theo t

.Biến đổi về phương trình, bất phương trình theo t

4.4 Dạng: A x a( ) 2 ( )f x +B x a( ) f x( )+C x( ) 0( , , , )= > ≥ < ≤ với

[ ( )]B x 4 ( ) ( ) [ ( )]A x C x g x

.Đặt t a= f x( ) Tìm điều kiện của t theo điều kiện của x

.Biến đổi về phương trình , bất phương trình đối với t (vẫn còn chứa ẩn x) Giải t theo x đưa về các phương trình, bất phương trình theo x đơn giản hơn

5 Phương pháp 5: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

*Chú ý: 1/ Khi gặp các phương trình và bất phương trình có chứa hàm

mũ và các loại hàm khác không phải hàm mũ ta thường biến đổi đưa

về dạng 5.1

2/ Khi gặp các phương trình và bất phương trình có chứa từ hai cơ số trở lên mà không thể biến đổi về cùng một cơ số ta thường đưa về dạng 5.2

6.Phương pháp 6: Sử dụng đồ thị

IV MỘT SỐ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT THƯỜNG GẶP.

• Chú ý: Khi giải phương trình, bất phương trình lôgarit thì đầu tiênphải chú ý là đặt điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghĩa.+Nếu cơ số chứa ẩn thì ĐK là: cơ số dương và khác 1

+Biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương

1 Phương pháp 1: Biến đổi đưa về cùng cơ số.

Biến đổi đưa về cùng một cơ số, thường cơ số là hằng số sau đó biến đổi về phương trình , bất phương trình cơ bản để giải

Thường đặt ẩn phụ theo hàm lôgarit

3 Phương pháp 3: Nhóm vế trái thành tích, vế phải bằng 0.

.Đặt ĐK của t theo ĐK của x

.Biến đổi về phương trình, bất phương trình bậc hai theo t (với các hệ số vẫn chứa x).Giải tìm t theo x

.Giải tiếp phương trình, bất phương trình theo x , so sánh với ĐK tìm nghiệm theo x

5 Phương pháp 5: Sử dụng tính đơn điệu.

Nhẩm nghiệm và dùng phương pháp đánh giá để tìm nghiệm duy nhất của phương trình hoặc tìm miền nghiệm của bất phương trình.

5.1 Dạng: loga f x( )=g x( )( , , , )≥ > < ≤

Với g(x) không phải là hàm lôgarit

5.2 Dạng phương trình ,bất phương trình có chứa nhiều cơ số mà không thể nào đưa về cùng một cơ số

c, log2(x2-3)-log2(6x-10)+1=0 d, log2(2x+1-5)=x

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a, 2log2x=log(x2+75) b, (

25

1)x+1=1252x

c, log(x+10)+

2

1logx2=2-log4 d, (0,5)2+3x=( 2 )-x.Baì 6: Giải các phương trình sau:

a, 4x+1-6.2x+1+8=0 b, 31+x+31-x=10

c, 34x+8-4.32x+5+27=0 d, 3.25x+2.49x=5.35x

Bài 7: Giải các phương trình sau:

a, 32x+4+45.6x-9.22x+2=0 b, 8x+1+8.(0,5)3x+3.2x+324.(0,5)x

=125-Bài 8: Giải các phương trình lôgarit sau:

a, logx+logx2=log9x b, logx4+log4x=2logx3

c, log4[(x+2)(x+3)]+log4 3

2+

−

x

x

=2 d, log 3(x-2)log5x=2log3(x-2)Bài 9: Giải các phương trình lôgarit sau:

a, log2(2x+1).log2(2x+1+2)=2 b, xlog9+9logx=6

c, x3log 3 x-3

2logx=100

310 d, 1+2logx+25=log5(x+2).Bài 10: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:

log1log

3

x

x x

x

+

+

=+

c, log5x4-log2x3-2=-6log2xlog5x

Baì 14: Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:

a, 25x+1-5x+2+m=0 b, (

9

1)x-m(

3

1)x+2m+1=0.Bài 15: Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a, 16x+1+4x-1-5m=0 b, 2log2(x+4)=log2(mx)

Baì 16: Giải các phương trình sau:

a, 57 x= 75 x b, 5x.8x 1 x− =500

c, 53-log 5 x=25x d, x-6.3-log

x=3-5.Baì 17: Giải các phương trình sau:

a, 9xlog

9 =x2 b, x4.53=5log

x Bài 18: Giải các phương trình sau:

a, 2x 2 -4=3x-2, b, 4log

0,5(sin 2 x+5sinxcosx+2)=

9

1.Bài 19: Giải các phương trình sau:

a, 3x=5-2x b, (

5

4)x=-2x2+4x-9 c, log

2

1

x=5x-2

3.Bài 20: Giải các phương trình sau:

1 x+2x- 

1 x

=-2x+6.Bài 21: Giải các phương trình sau:

log(x2+2x+1)=logx b, log3(3x2).log2x3=1

Baì 23: Giải các phương trình sau:

a, x+log(3x-1) = xlog

3

10+log6 b, x+log5(125-5x)=25

Bài 24: tùy theo m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình:

2

π

k

)

Baì 28: Giải các phương trình sau:

2

6)2

3

2)3

2

2)2

3( =0

g, 8+2 3 −x+ 1−4 3 −x +2 3 −x+ 1=5 h, 3x+ 6x +3.4x =3.2x

Bài 32: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y= ( 12)log ( 2)

2 1

2 +x− x+

1

11

1(log2

+

−+

x

1 log(− x +3x+ − +6 x 6).Bài 33: Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x

a) y=

)32(log

12

3 x − x+ m . b) y = log5(x2-mx+m+2)

x x

dx

x C x

cotsin

1

2

2

11

0

11

u u

II Các phương pháp tính nguyên hàm:

1 Phương pháp đổi biến số: Cần đưa nguyên hàm về dạng

B3: Tính nguyên hàm của ∫u x v x dx'( ) ( ) và kết luận

Chú ý:

a/Khi tính nguyên hàm theo phương pháp từng phần đặt u, v sao cho vdu∫

dễ tính hơn udv∫ nếu khó hơn phải tìm cách đặt khác

b/Khi gặp nguyên hàm dạng :( P(x) là một đa thức )

B Một số dạng toán và phương pháp giải:

I Dùng công thức các nguyên hàm cơ bản:

Bài 1: Tính các nguyên hàm sau:

+ Nếu n m≥ : Chia P(x) cho Q(x)

+ Nếu n m< : Tách mẫu số đưa về tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc 2

B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho

B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C, thay

vào họ nguyên hàm ⇒ nguyên hàm cần tìm

Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =1+ sin3x biết

2 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e1-2x , biết F(1) 0=

2

3 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =

3 2 2

*Chú ý HS khi có hằng số tự do thì đặt luôn vào biểu thức vì (C)’=0

Dạng 2: ∫ f(sin ).cosx xdx Đặt u=sinx