Ứng dụng đạo hàm

Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Vấn đề 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1. Định lí : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b) Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) là f’(x) ≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0), ∀ x ∈ (a; b), dấu đẳng thức xảy ra tại một số hữu hạn điểm x 0 ∈ (a; b) hoặc không xảy ra trên (a; b). 2. Các dạng bài toán thường gặp: 1. Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó. Phương pháp: B1. Tìm tập xác định D của f(x) B2. Tìm y’. Tìm các điểm 0 x mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm. Xét dấu y’. Lập bảng biến thiên của y trên D B3. Dựa vào bảng biến thiên suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số theo định lí ở phần tóm tắt. 2. Dạng 2. Tìm tham số m để hàm y = f(x; m) đồng biến, nghịch biến hoặc không đổi trên các khoảng xác định của nó. Phương pháp: B1. Tìm TXĐ D của hàm số y = f(x; m) B2. Tìm y’ = f’(x; m) theo x. B3. * Nếu f(x) là hàm số đa thức bậc 3, 4 hoặc hàm số dạng f(x) = 2 ax bx c dx e + + + , ad ≠ 0 thì điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các khoảng xác định của nó là y’ ≥ 0, ∀x ∈D) (hoặc y’ ≤ 0, ∀x ∈ D). * Nếu f(x) = ax b cx d + + thì điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các khoảng xác định của D là y’> 0, ∀x ∈D (hoặc y’ < 0, ∀x ∈ D) * Điều kiện để 1 hàm số bất kỳ nào đó là hàm số không đổi trên từng khoảng xác định của nó là: y’ = 0, ∀x ∈ D. Năm học 2012 - 2013 1 Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài B4. Từ điều kiện ở (B 3 ) ta chuyển về bài toán đại số (thường là bài toán tam thức bậc 2) để giải tìm m. BÀI TẬP Bài 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số: 3 2 3 2 2 2 4 2 a / y x 3x 2 ; b / y x 3x 2 c / y x (4 x ) ; d / y x 2x 3 = − − + = − + = − = − + Phương pháp: B1. Tìm tập xác định D của f(x) B2. Tìm y’. Tìm các điểm 0 x mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm. Xét dấu y’. Lập bảng biến thiên của y trên D B3. Dựa vào bảng biến thiên suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số theo định lí ở phần tóm tắt. Bài 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số: 2 2 2x 1 x 4 a / y ; b / y x 2 x 2 x x 2 x 4 c / y ; d / y 2 x x − + = = − − − − + + = = − Phương pháp làm như bài 1. Bài 3. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số: 2 2 2 x 1 a / y 4 3x x ; b / y x x 1 1 c / y ; d / y | x 3x 4 | x 1 + = − − = − + = = − − + Phương pháp làm như bài 1. Bài 4. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên các khoảng xác định của nó: a/ y = 4x 3 + (m + 3)x 2 + mx (ĐS: m = 3) b/ 3 2 mx y mx 4x 1 3 = − + − (ĐS: 0 ≤ m ≤ 4) c/ mx 1 y x m + = + (ĐS: m < - 1 ∨ m > 1) d/ 2 x mx 1 y x 1 + − = − (ĐS: -5 ≤ m ≤ 1 3 ) Năm học 2012 - 2013 2 Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài Thực hiện theo các bước nêu ở dạng 2 Bài 5. Tìm m để hàm số 2 3 2 ( 5 ) 6 6 1y m m x mx x= − + + + + đồng biến trên R. HD: y’ ≥ 0, x R∀ ∈ Bài 6. Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. a/ y = mx 3 + 3x 2 + 3mx (ĐS: m ≤ -1) b/ y = mx 1 x m + + (ĐS: -1 < m < 1) c/ 2 2 x 2mx 3m y x 2m − + = − + (ĐS: m = 0) Thực hiện theo các bước nêu ở dạng 2 Vấn đề 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và có đạo hàm trên (a; b) ⊂ D (có thể trừ điểm x 0 ) * Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0      f' x > 0 trên a; x f' x < 0 trên x ; b thì x 0 là điểm cực đại của hàm số * Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0      f' x < 0 trên a; x f' x > 0 trên x ; b thì x 0 là điểm cực tiểu của hàm số 2. Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, có đạo hàm cấp 2 trên (a; b) ⊂ D và f’(x 0 ) = 0 Khi đó a/ Nếu f”(x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại của hàm số b/ Nếu f”(x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu của hàm số 3. Các dạng bài toán thường gặp: 1. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x) Phương pháp 1: B1. Tìm TXĐ D. B2. Tìm y’. Tìm các điểm 0 x mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm , tìm giá trị của hàm số tại các điểm 0 x , lập bảng biến thiên của y trên D. B3. Dựa vào bảng biến thiên và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT. Phương pháp 2: Năm học 2012 - 2013 3 Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền xác định của nó B1. Tìm TXĐ D. B2. Tìm y’, y” B3. Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm x 1 , x 2 và tìm y”(x 1 ), y”(x 2 ) … * Nếu y”(x i ) < 0 (hoặc y”(x i ) > 0) thì hàm số đạt cực đại (hoặc đạt cực tiểu) tại x i , i = 1, 2, 2. Dạng 2: Tìm m để hàm số y = f(x) đạt cực đại hay đạt cực tiểu tại điểm x = x 0 cho trước nào đó. Phương pháp 1: (Sử dụng đối với các hàm có đạo hàm cấp 2 phức tạp) B1. Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) B2. Tìm y’ B3. Để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x = x 0 điều kiện cần là y’(x 0 ) = 0 hay y’(x) không tồn tại tại điểm x 0 , từ điều kiện này ⇒ m. B4. Thử lại ứng với các giá trị vừa tìm của m, ứng với giá trị m nào bài toán thỏa mãn thì nhận giá trị m đó. Phương pháp 2: (Sử dụng đối với hàm số đạo hàm cấp 2 đơn giản) B1. Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) B2. Tìm y’, y” B3. Dựa vào các điều kiện sau, tìm được 1 hệ phương trình đối với m, giải tìm m. * y đạt cực đại tại x = x 0 ( ) ( ) 0 0 0 0  =  ⇔  <   y' x y" x * y đạt cực tiểu tại x = x 0 ( ) ( ) 0 0 0 0  =  ⇔  >   y' x y" x 3. Dạng 3: Tìm m để hàm số y = f(x) luôn luôn có cực đại hay có cực tiểu. Phương pháp: 1. Đối với hàm bậc 3 : y = f(x; m) = ax 3 +bx 2 + cx+d, a ≠ 0 Hay hàm: ( ) + + = = + 2 ax bx c y f x; m dx e , ad ≠ 0 Năm học 2012 - 2013 4 Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài B1. Tìm y’ B2. Vì dấu của y’ cùng dấu với (1 biểu thức bậc 2) nên để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ đổi dấu đúng hai lần ⇒ (tam thức bậc 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc tập xác định ⇒ m. 2. Đối với hàm bậc 4: y = f(x; m) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e, a≠ 0 B1. Tìm y’ (y’ là hàm bậc 3) B3. *Vì y’ là 1 biểu thức bậc 3 nên để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ phải đổi dấu 3 lần. ⇒ y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt ⇒ m * Để hàm số chỉ có cực tiểu không có cực đại thì y’ đổi dấu đúng 1 lần từ - sang +. ⇒ a > 0 ⇒ m y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc chỉ có 2 nghiệm * Để hàm số chỉ có cực đại, không có cực tiểu thì y’ chỉ có một lần đổi dấu từ + sang - ⇒ a < 0 ⇒ m y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc chỉ có 2 nghiệm. 4. Dạng 4: Tìm m để hàm số y = f(x) có cực đại hay có cực tiểu với x CĐ , x CT hay y CĐ , y CT thỏa mãn một điều kiện hay một hệ thức cho trước. Phương pháp: Sử dụng đối với hàm số bậc 3, hàm phân thức ; B1. Tìm TXĐ D. B2. Tìm y’, dấu y’ cùng dấu với một tam thức bậc 2. B3. Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ biểu thức bậc 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa điều kiện. a ≠ 0 ⇔ ∆ > 0 (∆’ > 0) ⇒ tham số m (1) nghiệm thỏa điều kiện B4. * Khi đó nếu ∆ hay ∆’ = bình phương một biểu thức thì tìm trực tiếp x CĐ, x CT . * Nếu ∆ không như trên thì sử dụng định lí Viet tìm { 1 2 1 2 x x x .x + B5. Biến đổi hệ thức đã cho về hệ thức chỉ chứa tổng tích của x 1 , x 2 . Năm học 2012 - 2013 5 (bậc 2) (bậc 1) (bậc 2) (bậc 2) Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài Rồi thay biểu thức tổng, tích ở bước 4 vào hệ thức ở bước 5 ta được 1 phương trình hay bất phương trình đối với m, giải tìm m. Kết hợp với điều kiện m ở bước 3 suy ra các giá trị m cần tìm. Chú ý: Cách tìm y CĐ, y CT của các hàm số thường gặp: a/ Đối với hàm số dạng: ( ) ( ) u x y v x = nếu có cực trị thì y CĐ = ( ) ( ) ( ) ( ) = CD CT CT CD CT u' x u' x ; y v' x v' x Vì tại x CĐ , x CT có 2 0 0 0 u' v uv ' u' u y' u'v uv' v' v v − = ⇒ = ⇒ − = ⇒ = b/ Đối với hàm số bậc 3: y = f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, a ≠ 0 Nếu x CĐ , x CT đơn giản thì thay x CĐ , x CT vào y = f(x) để tìm y CĐ , y CT . Nếu x CĐ , x CT phức tạp hoặc không tính cụ thể x CĐ , x CT để tìm y CĐ , y CT như sau: * Phân tích hàm số về dạng y = (Ax + B).y’ + Cx + D (Bằng cách chia y cho y’, có thương là Ax + B và phần dư là Cx+D) * Nếu hàm số có cực trị thì y CĐ = Cx CĐ + D; y CT = Cx CT + D vì tại x CĐ , x CT có y’ = 0. BÀI TẬP Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 3 2 4 2 4 2 3 2 3 12 5 4 5 2 2 3 4 1 = − − + = − − + − + = − + = − = = − x a / y x x x ; b / y x x x x x c / y x ; d / y x e / y x.e ; f / y lnx x Phương pháp 1: B1. Tìm TXĐ D. B2. Tìm y’. Tìm các điểm 0 x mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm, tìm giá trị của hàm số tại các điểm 0 x , lập bảng biến thiên của y trên D. B3. Dựa vào bảng biến thiên và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT. Phương pháp 2: Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền xác định của nó B1. Tìm TXĐ D. Năm học 2012 - 2013 6 T Toỏn Tin Trng THPT Phan Thnh Ti B2. Tỡm y, y B3. Gii phng trỡnh y = 0 tỡm cỏc nghim x 1 , x 2 v tỡm y(x 1 ), y(x 2 ) * Nu y(x i ) < 0 (hoc y(x i ) > 0) thỡ hm s t cc i (hoc t cc tiu) ti x i , i = 1, 2, Bi 2. Tỡm m hm s sau: a/ y =x 3 + 2mx 2 + mx + 1 t cc i ti x = -1 (S: m =1) b/ y = -3x 4 + mx 2 - 1 t cc i ti 3 3 =x (S: m = 2) c/ y = x 3 - 3mx 2 + (m - 1)x + 2 t cc tiu ti x = 2 (S: m = 1) d/ y = x 3 - mx 2 + 2 3 ữ m x + 5 t cc tiu ti x =1 (S: m= 7 3 ) e) 2 1+ + = + x mx y x m t cc i ti x = 2 (S: m = -3) 2 3 2 = mx mx f / y x t cc tiu ti x = 1 (S: khụng cú m) g/ 2 2 2 2 2 + + = + x x m y x x t cc i ti x = 2 (S: m = 2) Thc hin cỏc bc theo dng 2 Bi 3. Tỡm cỏc giỏ tr ca m, n sao cho hm s: ( ) 1 = = + + + n y f x x m x t cc i ti x = -2 v cú f(-2) = -2. HD: '( 2) 0 ''( 2) 0 ( 2) 2 y y y = < = Bi 4. Cho haỡm sọỳ ( ) 2 1 1 1 x m x m y x + + + + = + Chổùng minh rũng m R õọử thở haỡm sọỳ luọn coù cổỷc õaỷi, cổỷc tióứu vaỡ khoaớng caùch giổợa hai õióứm õoù bũng 20 . HD: + Xỏc nh m hm s cú cc i, cc tiu: y = 0 cú 2 nghim phõn bit khỏc -1. Nm hc 2012 - 2013 7 Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài + Chứng minh 2 2 ( ) ( ) 20 B A B A AB x x y y= − + − = , với A, B là điểm cực đại, cực tiểu. Bài 5. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau đây: a/ y = x 3 - 3mx 2 + 3(2m - 1)x + 1 có cực đại, cực tiểu và tìm tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. (ĐS: m ≠1) b/ y = (x + m) 3 + (x + 2m) 3 - x 3 có cực đại, cực tiểu (ĐS: m ≠ 0) c/ ( ) 2 2 1 + + − = + x m x m y x có cực đại, cực tiểu, tìm tọa độ của điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. (ĐS: m < - 1 2 , y = 2x + m +2) Vấn đề 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. Tóm tắt lý thuyết: 1. Số M gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên tập I. ( ) ( ) 0 0 f x M, x I x I:f x M  ≤ ∀ ∈ ⇔  ∃ ∈ =  (Kí hiệu : M = Max f(x)) I 2. Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập I. ( ) ( ) 0 0 f x m, x I x I:f x m  ≥ ∀ ∈ ⇔  ∃ ∈ =  (Kí hiệu : m = Min f(x)) B. Các dạng toán thường gặp: Ứng dụng của đạo hàm để tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = f(x) trên I. Trường hợp 1: Tập I đã cho là 1 khoảng (a; b) hoặc nửa khoảng (a; b]; [a; b) với a, b có thể là ± ∞ Phương pháp: B 1 : Tìm y’ Năm học 2012 - 2013 8 Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài B 2 : Tìm các điểm mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm: x 1 , x 2 , ∈ I. Tìm giá trị f(x 1 ), f(x 2 ), và tính ( ) ( ) x a x b , lim limf x f x + − → → B 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập I. Dựa vào bảng biến thiên suy ra ( ) ( ) II , Max Minf x f x Trường hợp 2: Tập I đã cho là đoạn [a; b]. Phương pháp: B 1 : Tìm y’ B 2 : Tìm các điểm thuộc (a; b) mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm: x 1 , x 2 ∈ I (nếu có) và tìm các giá trị f(x 1 ), f(x 2 ), , f(a), f(b). B 3 : So sánh các giá trị: f(x 1 ), f(x 2 ), , f(a), f(b) suy ra [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 x I Max f x ,f x , ,f a ,f b Max f x ∈ = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 x I Min f x ,f x , ,f a ,f b Minf x ∈ = Trường hợp 3: Không cho biết tập I, tức là tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên tập xác định D của hàm số: (Tức là I ≡ D). B 1 : Tìm tập xác định D của hàm số. B 2 : Chuyển bài tập về trường hợp 1 hoặc 2. BÀI TẬP Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 3 4 ( ) 4 3f x x x= − . HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp 1 Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 4 2 ( ) 2 3 3f x x x= + − . HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp 1 Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a. ] 3 2 ( ) 6 9 , 0;4f x x x x x  = − + ∈  b. ] 3 2 ( ) 6 9 , 2;4f x x x x x  = − + ∈  c. ] 4 2 ( ) 2 3, 0;2f x x x x  = − + ∈  d. ] 4 2 ( ) 2 3, 2;3f x x x x  = − + ∈ −  HD: Sử dụng trường hợp 2 Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x 2 4 x − . HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp 2 Năm học 2012 - 2013 9 Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài Bài 5. Cho hàm số f(x) = x + 2 4 x − . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp 2 Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a. ( ) sinx os2f x c x= + HD: Đặt t = sinx b. ( ) 2 osx os2f x c c x= + HD: Đặt t = cosx Vấn đề 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương pháp tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số y = f(x) (B 1 ): Tìm tập xác định của hàm số đã cho. (B 2 ): Dựa vào các định nghĩa và định lí sau để tìm các đường tiệm cận (B 3 ): Kết luận 1. Tiệm cận đứng : (⊥ Ox) Nếu ∃x 0 (hữu hạn) sao cho ( ) 0 x x lim f x + → = ±∞ (hoặc ( ) 0 x x lim f x − → = ±∞ ) thì đường thẳng có phương trình x = x 0 là tiệm cận đứng bên phải (hoặc bên trái) của đồ thị hàm số. 2. Tiệm cận ngang: (⊥ Oy) Nếu ( ) ( ) 0 x x f x y lim →−∞ →+∞ = (hữu hạn) thì đường thẳng có phương trình y = y 0 là tiệm cận ngang bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số. 3. Tiệm cận xiên: Nếu tồn tại đường thẳng có phương trình y = ax + b với a ≠ 0 sao cho ( ) ( ) ( ) x x f x ax b 0 lim →−∞ →+∞   − + =   thì đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x). 4. Nếu ( ) ( ) x x f x a lim x →−∞ →+∞ = (hữu hạn) Năm học 2012 - 2013 10 [...]... bên phải) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu a ≠ 0 và nếu a = 0 là tiệm cận ngang bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số Chú ý: 1/ Nếu đường thẳng x = x0 (hay y = y0 hay y = ax + b, a ≠ 0) vừa là tiệm cận ứng (hay ngang hay tiệm cận xiên) bên trái và bên phải của đồ thị hàm số y = f(x) thì gọi chung là tiệm cận ứng (hay ngang hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) 2/ Đối với hàm số phân thức:... nguyên hàm: 1 Phương pháp đổi biến số: Cần đưa nguyên hàm về dạng I = ∫ f [ u ( x) ] u '( x ) dx B1: Đặt u = u(x) B2: Tính vi phân: du = u’(x) dx B3: Thay nguyên hàm về ẩn mới và tính nguyên hàm : I = ∫ f (u ) du = F(u) +C ( với F(u) là 1 nguyên hàm của f(u)) B4: Thay u = u(x) và trả về ẩn x : I = F [ (u ( x) ] + C 2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần: Đặt u = u(x) và v = v(x) Cần đưa nguyên hàm về... với trục hoành HD: Giải pt y = 0 suy ra x Áp dụng Bài toán 1 để suy ra kết quả 2x - 1 Bài 15: Cho hàm số y = (C) x −1 a Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số b Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A (2;3) HD: Sử dụng Bài toán 1 3 2 Bài 16: Cho hàm số y = − x + 3 x + 3mx + 3m − 4 (Cm ) , m là tham số a Khảo sát và vẽ đồ thị ( C1) của hàm số khi m = 0 Năm học 2012 - 2013 23 Tổ Toán... Thành Tài NGUYÊN HÀM A Tóm tắt lý thuyết I Các định nghĩa, tính chất và công thức 1 Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x thuộc khoảng (a;b) ta có: F'(x) = f(x) 2 Các tính chất của nguyên hàm: 2.1 ( ∫ f ( x) dx ) ' = f ( x) ∫ kf ( x) dx = k ∫ f ( x) dx (k ≠ 0) 2.3 ∫ [ f ( x) ± g ( x) ] dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx 2.2 2.4 Mọi hàm số liên tục... x) dx = k ∫ f ( x) dx (k ≠ 0) 2.3 ∫ [ f ( x) ± g ( x) ] dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx 2.2 2.4 Mọi hàm số liên tục trên khoảng K đều có nguyên hàm trên K 3 Các nguyên hàm cơ bản: Nguyên hàm của các hàm số thường gặp Năm học 2012 - 2013 34 Nguyên hàm của các hàm số hợp u = u(x) Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài ∫ 0dx = C ∫ dx = ∫ 1dx = x + C ∫x α dx = ∫ du = u + C α+1 x +C α +1 (α ≠ −1) ∫ 1 ∫... có tiệm cận ứng (số tiệm cận ứng = số nghiệm của phương trình mẫu số = 0) + Nếu (bậc tử) ≤ (bậc mẫu) thì đồ thị của nó có tiệm cận ngang + Nếu (bậc tử) = (bậc mẫu) + 1 thì đồ thị của nó có tiệm cận xiên * Đối với hàm phân thức để tìm tiệm cận xiên ta thực hiện phép chia tử cho mẫu sau đó dùng định lí 3 3/ Đối với các hàm số vô tỉ hoặc hàm số khác để tìm tiệm cận xiên (nếu có) ta sử dụng định lí 4... biệt * Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị Chú ý: Đồ thị hàm số đa thức bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng nên cần vẽ hình sao cho điểm uốn là tâm của hình vẽ và nếu y' = 0 có nghiệm kép (∆ = 0) thì tiếp tuyến tại điểm uốn // Ox * * * II KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG: y = ax4 + bx2 + c với a ≠ 0 Phương pháp: 1) Tập xác định: D = R Hàm số đã cho là hàm số chẵn { +∞ neu a > 0 2) Giới hạn: lim y = −∞ neu... điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng y = m +1 4 Bài 3: Cho hàm số y = (C) 2− x a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 4 b Dùng đồ thị (C) biện luận số giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = và 2− x y = k+1 HD: Dựa vào đồ thị (C) ta có kết quả Bài 4 : Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 − 4 (C) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b Xác định m để phương trình − x 3 − 3x 2 + 2m + 5 =... Tìm điểm uốn của đồ thị * Đồ thị hàm số có hai điểm uốn 5) Điểm đặc biệt: x = 0 y=c⇒  b x = ± −  a  6) Đồ thị: (Dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị) (Có thể chọn đơn vị trên Ox và Oy không cần bằng nhau) Chú ý: Hàm số dạng này là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng nên vẽ đồ thị sao cho thỏa mãn tính chất này * * * III KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ DẠNG: y= ax + b , c ≠ 0, ad... 3 = 0 Bài 11: Cho hàm số y = ( x + 1)3 (C) a Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số b Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) và trục tung Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A HD: A (0; 1), y ′( x A ) = 3 1 3 2 Bài 12: Cho hàm số y = x − x (C) 3 a Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số b Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A (3; 0) HD: Kiểm tra thấy A thuộc (C) Áp dụng Bài toán 1 suy