Các chuyên đề toán 12 sưu tầm và biên soạn doquanCHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHUYÊN ĐỀ :TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DẠNG 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM
Trang 1Các chuyên đề toán 12 sưu tầm và biên soạn doquan
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ :TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DẠNG 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Quy tắc:
1.Tìm TXĐ của hàm số
2.Tính đạo hàm f’(x) Tìm các điểm x i mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
3.Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập BBT
4.Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài 1 Xét chiều biến thiên các hàm số sau:
1) y = 2x + 3x + 2
2) y = 1 3 2
3 x x x
3) y = x - 2x + x
4) y =
2 2 5
1
x
5) y = x +
6) y =x3 3 x2 3 x 2
7)y 2x + 3x + 1 3 2
8) y = x -
9) y =1 3 1 2
2 2
3 x 2 x x
10) y = x - 2x - 5 11) y =2 x3 3 x2 1 12) y =x4 2 x2 5
13)
2
y
x 1
y
x 1
15)y = x4 2x2 3
Bài 2 Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
3 2
x 100
Bài 3 Chứng minh rằng:
a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = 4 x 2 nghịch biến trên đoạn 0; 2
b) Hàm số y x 1 x 2 đồng biến trên khoảng 1
1;
2
và nghịch biến trên khoảng
1
;1 2
c) Hàm số y x2 x 20 nghịch biến trên khoảng ; 4 và đồng biến trên khoảng 5;
Bài 4 Chứng minh rằng:
a) f x x3 x cos x 4 đồng biến trên R
b) f x cos2x 2x 3 nghịch biến trên R
c) f x x cos x2 đồng biến trên R
Bài 5 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
6 6
DẠNG 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K
Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây:
1 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K
Nếu f '(x) 0, x K thì f(x) đồng biến trên K.
Nếu f '(x) 0, x K thì f(x) nghịch biến trên K.
2 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức b2 4ac Ta có:
f (x) 0, x R
0
Trang 2Các chuyên đề toán 12 sưu tầm và biên soạn doquan
f (x) 0, x R
0
3 Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K” Ta thực hiện theo các bước sau:
B1 Tính đạo hàm f’(x,m)
B2 Lý luận:
Hàm số đồng biến trên K f '(x,m) 0, x K m g(x), x K m g(x)
B3 Lập BBT của hàm số g(x) trên K Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m
Cách khác: (Phương pháp tam thức bậc 2)
Ta chuyển yêu cầu bài toán so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai
Cần nhớ: Cho f(x) = ax + bx + c (a ≠ 0)
1 f(x) 0 x
a 0 0
2
a 0
0
3
x x af ( ) 0
4
0
S 2
5
0
S 2
So sánh hai số , với các nghiệm của tam thức bậc hai:
0
S ( ; ) 2
0
S 2 0
S 2
Bài 1: a)Với giá trị nào của a, hàm số f (x) 1 x3 2x2 2a 1 x 3a 2
3
b) Với giá trị nào của m, hàm số f (x) mx 3 3x2 m 2 x 3 nghịch biến trên R ?
Trang 3Các chuyên đề toán 12 sưu tầm và biên soạn doquan
Bài 2: Với giá trị nào của m, hàm số
2 3x mx 2
f x
2x 1
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó
Bài 3: Định m để hàm số mx 1
y
x m
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
Bài 4: Tìm m để hàm số y 1 mx3 m 1 x 2 3 m 2 x 1
Bài 5: Tìm m để hàm số
2
y
x 2
nghịch biến trên nửa khoảng 1;
Bài tập về nhà:
Bài 1 Tìm các giá trị của tham số a để hàm số f x 1 x3 ax2 4x + 3
3
Bài 2 Với giá trị nào của m, hàm số m
y x 2
x 1
đồng biến trên mỗi khoảng xác định ?
Bài 3 Định a để hàm số 1 2 3 2
3
Bài 4 Cho hàm số m 1 x 2 2x 1
y
x 1
Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
Bài 5 Cho hàm số 3 2 2
y x m 1 x m 2 x m Chứng minh rằng hàm số luôn nghịch biến trên R với mọi m
Bài 6 Tìm m để hàm số y = 3x3 – 2x2 + mx – 4 đồng biến trên khoảng 0;
Bài 7 Tìm m để hàm số y = 4mx3 – 6x2 + (2m – 1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2)
Bài 8 Cho hàm số
2
y
x m
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 1;
DẠNG 3:SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp: Sử dụng kiến thức sau:
f(x) đồng biến trên đoạn a; b thì f a f x f b , x a; b
f(x) nghịch biến trên đoạn a; b thì f a f x f b , x a; b
Bài 1: Cho hàm số f x 2sin x tan x 3x
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
b) Chứng minh rằng: 2sin x tan x 3x, x 0;
2
Bài 2: a) Chứng minh rằng hàm số f x tan x x đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
b)Chứng minh rằng
3 x
Bài tập về nhà:
Bài 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) sin x x, x 0 và sin x 0, x 0
b)
2
x cos x 1 , x 0
2
Trang 4Các chuyên đề toán 12 sưu tầm và biên soạn doquan
c)
3
x
6
3
x
6
2
2
f) tan x sin x với 0 x
2
Bài 2 Cho hàm số f x 4 x tan x, x 0;
4
.
a) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn 0;
4
b) Từ đó suy ra rằng: tan x x, x 0;
.
Bài 3 Chứng minh rằng:
2
với x 0;
DẠNG 4: SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
DUY NHẤT LOẠI 1: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ 1 NGHIỆM
Bài 1: Cho hàm số f x 2x2 x 2
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2;
b) Chứng minh rằng phương trình 2x2 x 2 11 có một nghiệm duy nhất.
Bài 2: Cho hàm số f(x) = sin2x + cosx
a) CMR hàm số đồng biến trên đoạn 0;
3
và nghịch biến trên đoạn ;
3
Chứng minh rằng với mọi m 1;1 , phương trình sin2x + cosx = m có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn 0;
LOẠI 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải phương trình: x5 x3 1 3x 4 0
Bài 2: Giải phương trình: x + x - + 4 = 0
Bài 3: Giải phương trình: + + = 3 +
Bài 4: Giải phương trình: 2x + (1 - 2x) =