phân tích những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - hướng khắc phục

Phân tích sai lầm khi học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" PHẦN 1: MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Trong chương trình giải tích 12, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số có một vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu hết số tiết có trong chương trình. Là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết hầu hết những bài toán trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông cũng như trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễ sử dụng khi giải toán liên quan đến khảo sát hàm số. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Các em thường mắc những sai lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của người thầy. Chẳng hạn, với bài tập "Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = 3 2 2 1 ( 1) 1 3 x mx m m x− + − + + đạt cực đại tại x = 1". Đa số các em đã sử dụng phương pháp sai để giải, số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây: Lớp 12 C6 (sĩ số 38) Số lượng Phần trăm Không giải được 06 16 % Giải sai phương pháp 24 63 % Giải đúng phương pháp 08 21 % Lớp 12 C5 (sĩ số 36) Số lượng Phần trăm Không giải được 13 36 % Giải sai phương pháp 19 53 % Giải đúng phương pháp 04 11 % Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, tôi chọn đề tài "phân tích những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Hướng khắc phục" Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 1 Phân tích sai lầm khi học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" II. Mục đích nghiên cứu - Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề. - Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo. III. Nhiệm vụ nghiên cứu - Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán lên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan (Chương trình Giải tích 12 – Ban cơ bản) để có được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác. IV. Đối tượng nghiên cứu - Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 . V. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra. - Phương pháp đối chứng. - Phương pháp nghiên cứu tài liệu. PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ PHÁP LÝ CỦA ĐỀ TÀI I. Cơ sở lý luận 1. Nội dung chương trình (chương I - giải tích 12 - Ban cơ bản) Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài) 1.1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:  Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x 1 , x 2 thuộc K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ).  Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x 1 , x 2 thuộc K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ). 1.2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến: Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 2 Phân tích sai lầm khi học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số"  Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tổng f(x) + g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất này nói chung không đúng với hiệu f(x) - g(x).  Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tích f(x)g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất này nói chung không đúng với tích f(x)g(x) khi f(x) và g(x) là hai hàm số không cùng dương trên D. 1.3. Công thức tính đạo hàm: Hàm số hợp =y u α có đạo hàm y ' = −1 . . 'u u α α (*)  công thức (*) chỉ đúng với số mũ α là hằng số.  Nếu α không nguyên thì công thức (*) chỉ đúng khi u nhận giá trị dương. 1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí sau:  Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng K. (Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) a. Nếu f '(x) > 0 với x K ∀ ∈ thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b. Nếu f '(x) < 0 với x K ∀ ∈ thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. c. Nếu f '(x) = 0 với x K ∀ ∈ thì hàm số f(x) không đổi trên K.  Quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần. 1.5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:  Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = 0 0 ( ; )x h x h− + và có đạo hàm trên K hoặc trên { } 0 \K x , với h > 0. a. Nếu f '(x) > 0 trên khoảng − 0 0 ( ; )x h x và f '(x) < 0 trên khoảng + 0 0 ( ; )x x h thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). b. Nếu f '(x) < 0 trên khoảng − 0 0 ( ; )x h x và f '(x) > 0 trên khoảng + 0 0 ( ; )x x h thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).  Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng − + 0 0 ( ; )x h x h , với h > 0. Khi đó: a. Nếu f '(x 0 ) = 0, f ''(x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu b. Nếu f '(x 0 ) = 0, f ''(x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại. Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 3 Phân tích sai lầm khi học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số"  Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần. Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng. 1.6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D: 0 0 ( ) , : ( ) min ( ) D f x m x D x D f x m m f x ≥ ∀ ∈  ⇔  ∃ ∈ =  = , 0 0 ( ) , : ( ) max ( ) D f x M x D M x D f x M f x ≤ ∀ ∈  ⇔  ∃ ∈ =  =  Nếu ≥ ∀ ∈( ) , f x m x D (hay ≤ ∀ ∈( ) , f x M x D ) nhưng không ∃ ∈ = 0 0 : ( )x D f x m (hay ∃ ∈ = 0 0 : ( )x D f x M ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó, không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D.  Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép đặt t = u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương. 1.7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x):  Tiếp tuyến tại điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) ∈ (C) có phương trình: y = f '(x 0 ).(x - x 0 ) + y 0 .  Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, đi qua điểm M 1 (x 1 ;y 1 ) có phương trình: y = k.(x - x 1 ) + y 1 . Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ:    = − + = 1 1 ( ) ( ) '( ) f x k x x y f x k (*,*)  Nếu điểm M 1 (x 1 ;y 1 ) nói trên thuộc (C) thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ (*,*). Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến. 2. Sai lầm thường gặp khi giải toán 1.1. Sai lầm trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn của hàm số. 1.2. Sai lầm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính xác tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến. 1.3. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng sai công thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực. 1.4. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi vận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng (a;b). Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 4 Phân tích sai lầm khi học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" 1.5. Sai lầm trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D, khi chuyển đổi bài toán không tương đương. 1.6. Sai lầm trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm M 1 (x 1 ;y 1 ) thuộc đồ thị (C) của hàm số. II. Cơ sở pháp lý - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí đã học trong chương I "ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ". - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải bài tập về ứng dụng của đạo hàm. - Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên hay đã được chứng minh, thừa nhận. CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau: - Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số. - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng. - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x 0 . - Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D. - Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho. CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI I. Biện pháp thực hiện Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau: 1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó. Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 5 Phân tích sai lầm khi học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" - Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí. - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng. - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. 2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. - Phương pháp: phương pháp giải toán. 3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế. - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh. - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng. 4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá - Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 6 mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá. - Giáo viên đánh giá học sinh. - Học sinh đánh giá học sinh. 5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm thường mắc phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - bài toán liên quan . Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. 6. Phân dạng bài tập và phương pháp giải - Hệ thống kiến thức cơ bản. - Phân dạng bài tập và phương pháp giải. - Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao. - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo. II. Nghiên cứu thực tế 1. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa 1.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 6 Phân tích sai lầm khi học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số"  Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số. Ví dụ minh họa 1: Xét tính đơn điệu của hàm số: − = = + 1 ( ) 1 x y f x x Một số học sinh trình bày như sau: Tập xác định: { } \ 1D ¡= - Ta có: = > ∀ ∈ + 2 2 ' 0, ( 1) y x D x Bảng biến thiên: x y ' + + y Suy ra: Hàm số đồng biến trên ( ; 1) ( 1; )- ¥ - - + ¥È Phân tích: Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán ! Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x 1 , x 2 thuộc D, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ). Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x 1 = - 2 DÎ và x 2 = 0 DÎ thì x 1 < x 2 nhưng f(x 1 ) = 3 > - 1 = f(x 2 ) ??? Lời giải đúng là: Tập xác định: { } \ 1D ¡= - Ta có: = > ∀ ∈ + 2 2 ' 0, ( 1) y x D x Bảng biến thiên: x y ' + + y Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng ( ; 1)- ¥ - và ( 1; )- + ¥ . Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 7 -1 - ¥ + ¥ + ¥ - ¥ 1 1 -1 - ¥ + ¥ + ¥ - ¥ 1 1 Phân tích sai lầm khi học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số"  Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai. Ví dụ minh họa 2: Xét tính đơn điệu của hàm số: 2 ( ) 1 4y f x x x= = − + − Một số học sinh trình bày như sau: Tập xác định: [ ] 2;2D = - Ta có: 2 ' 1 4 x y x = − − 2 ' 0 1 0 4 x y x = ⇔ − = − 2 2 2 4 4x x x x⇔ − = ⇔ − = 2 2 x x  = − ⇔  =   Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: x y ' - 0 + 0 - y Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; 2)- và nghịch biến trên các khoảng ( 2; 2)- - và ( 2;2) . Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn 2; 2 é ù - - ê ú ë û giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? Thực ra ở đây - 2 không phải là điểm tới hạn của hàm số. Lời giải đúng là: Tập xác định: [ ] 2;2D = - . Ta có: 2 ' 1 4 x y x = − − 2 ' 0 1 0 4 x y x = ⇔ − = − 2 2 2 0 4 4 x x x x x ≥  ⇔ − = ⇔  − =  2x⇔ = Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: x y ' + 0 - Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 8 -2 2 2- 2 -1 1 2 2 1- -3 -2 2 2 2 2 1- Phõn tớch sai lm khi hc chng "ng dng o hm kho sỏt, v th hm s" y Suy ra: hm s ng bin trờn khong ( 2; 2)- v nghch bin trờn khong ( 2;2) . 1.2. Sai lm khi chng minh bt ng thc Khi s dng tớnh n iu ca hm s chng minh bt ng thc, hc sinh thng mc phi sai lm l khụng nh chớnh xỏc nh ngha tớnh n iu ca hm s vn dng. Vớ d minh ha 3: (Bi tp 5, trang 10, sỏch giỏo khoa gii tớch 12 - ban c bn) Chng minh rng: tanx > x, vi 0; 2 x ổ ử p ữỗ " ẻ ữỗ ữỗ ố ứ Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: Xột hm s f(x) = tanx - x, vi 0; 2 x ổ ử p ữỗ ẻ ữỗ ữỗ ố ứ . Ta cú: f '(x) = 2 2 1 1 tan 0 , 0; 2 cos x x x ổ ử ữỗ ữỗ ữỗ ố ứ p - = > " ẻ , suy ra hm s f(x) ng bin trờn khong 0; 2 ổ ử p ữỗ ữỗ ữỗ ố ứ . T x > 0 ị f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, vi 0; 2 x ổ ử p ữỗ " ẻ ữỗ ữỗ ố ứ . Phõn tớch: Li gii trờn cú v ỳng, nhng sai lm õy khỏ tinh vi (?!). Sau khi kt lun f(x) ng bin trờn khong 0; 2 ổ ử p ữỗ ữỗ ữỗ ố ứ thỡ vỡ sao t x > 0 ị f(x) > f(0) ??? Sai lm õy l 0 0; 2 ổ ử p ữỗ ẽ ữỗ ữỗ ố ứ . Nh rng: nu f(x) ng bin trờn on [ ] ;a b (tc l f(x) liờn tc trờn [ ] ;a b v f '(x)> 0 vi ( ) ;x a b" ẻ ) thỡ vi [ ] 1 2 1 2 1 2 , ; , ( ) ( )x x a b x x f x f x" > >ẻ ị Li gii ỳng l: Xột hm s f(x) = tanx - x, vi 0; 2 x ộ ử p ữ ờ ẻ ữ ữ ờ ứ ở . Trn Trng Sinh - Trng trung hc ph thụng Phan ỡnh Giút 9 1 -3 Phõn tớch sai lm khi hc chng "ng dng o hm kho sỏt, v th hm s" Ta cú: f '(x) = 2 2 1 1 tan 0 , 0; cos 2 x x x ộ ử p ữ ờ - = " ẻ ữ ữ ờ ứ ở , du "=" xy ra ch ti x = 0, suy ra hm s f(x) ng bin trờn na khong 0; 2 ộ ử p ữ ờ ữ ữ ờ ứ ở . T x > 0 ị f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, vi 0; 2 x ổ ử p ữỗ " ẻ ữỗ ữỗ ố ứ . Cỏc em cng hay mc nhng sai lm khi vn dng sai tớnh cht ca cỏc hm ng bin, nghch bin. Vớ d minh ha 4: Chng minh rng nu vi x Ă" ẻ , x > - 1 thỡ 1 . x x e e > - . Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: Xột cỏc hm s f(x) = x, g(x) = e x l cỏc hm ng bin trờn Ă . Suy ra hm s h(x) = x.e x l tớch ca hai hm ng bin nờn cng ng bin trờn Ă . Suy ra, t x > - 1 ị f(x) > f(-1) hay 1 . x x e e > - . Phõn tớch: Li gii trờn sai lm ch: tớch ca hai hm ng bin l mt hm ng bin ch ỳng khi hai hm ú dng (!). Li gii ỳng l: Xột hm s f(x) = x.e x , ta cú f '(x)= e x (x+1) 0 , 1x" - , du "=" xy ra ch ti x= -1. Suy ra, hm s ng bin trờn na khong [ ) 1;- + Ơ . T x > - 1 ị f(x) > f(-1) hay 1 . x x e e > - . 1.3. Sai lm khi gii cỏc bi toỏn liờn quan ti o hm Sai lm khi vn dng cỏc cụng thc tớnh o hm. Vớ d minh ha 5: Tớnh o hm ca hm s y = (2x+1) x . Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: Ta cú y' = 1 1 (2 1) (2 1)' 2 .(2 1) x x x x x x x - - + + = + . Phõn tớch: Li gii trờn ó vn dng cụng thc ( ) 1 ' . . 'u u u -a a = a . Vn dng nh vy l sai, vỡ cụng thc ny ch ỏp dng cho s m a l mt hng s. Trn Trng Sinh - Trng trung hc ph thụng Phan ỡnh Giút 10 [...]... ' (-1 ).(x+1)+4 y = - 9(x + 1) + 4 y = - 9x - 5 Phõn tớch: O -1 2 3 q (x) = -9 x-5 f(x) = -x3 +3 x2 Phng trỡnh tip tuyn y = - 9x - 5 l tip tuyn ti A (nhn A lm tip im) tt nhiờn l k t A Nhng vn cú th cú -5 tip tuyn ca th (C) i qua A m khụng nhn A lm tip im Li gii ỳng l: Phng trỡnh ng thng (d) i qua im A (-1 ;4) Trn Trng Sinh - Trng trung hc ph thụng Phan ỡnh Giút 16 Phõn tớch sai lm khi hc chng "ng dng... Giút 15 Phõn tớch sai lm khi hc chng "ng dng o hm kho sỏt, v th hm s" Li gii ỳng l: ị t = cosx + t t = cosx + ỡ ỹ 1 ùp ù , vi x ẻ D = Ă \ ớ + kp , k ẻ  ý ù2 ù cosx ù ù ợ ỵ 1 1 = cosx + 2 Du "=" xy ra khi v ch khi cosx = 1 cosx cosx Khi ú: cos 2 x + 1 = t2 - 2 cos 2 x Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - 3 Lp bng bin thiờn hm s g(t) (vi t 2 ): t - Ơ g '(t) -2 - - -1 0 2 +Ơ + + +Ơ +Ơ g(t) 5 -3 Da vo bng bin... nghim: ỡ - x3 + 3x2 = k (x + 1) + 4 ù ù ớ (I) ù k = - 3x 2 + 6x ù ợ ỡ x3 - 3x - 2 = 0 ộ = 2, k = 0 x ù ù ờ H (I) ớ ờ = - 1, k = - 9 ù k = - 3x 2 + 6x x ở ù ợ T ú ta cú hai tip tuyn cú phng trỡnh: y = 4 v y = - 9x - 5 2 Bi tp tng t Bi tp 1: Xột tớnh n iu ca cỏc hm s sau: a y = 2x + 3 1- x b y = x2 + x + 1 x+ 1 c y = cosx - sinx Bi tp 2: Xỏc nh m hm s sau khụng cú cc tr: y= x 2 + 2mx - 3 x- m Bi tp... t2 - 2 cosx cos 2 x Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4 - 4, " t ẻ Ă Vy min f (x) =- 4 , khi t = - 1 Phõn tớch: Sai lm õy l chuyn bi toỏn khụng tng ng Giỏ tr nh nht ca hm f(x) khụng trựng vi giỏ tr nh nht ca hm g(t), " t ẻ Ă Cú th thy ngay khi t = - 1 thỡ khụng tn ti giỏ tr ca x cosx + 1 = - 1 (!) cosx f ( x ) m , x D x 0 D : f ( x 0 ) = m Nh rng, s m = min f ( x) D Trn Trng Sinh -. .. min2 g(t) = - 3 t D t c khi t = - 2 cosx + 1 =- 2 cosx =- 1 x = p + k 2p , k ẻ  cosx 1.6 Sai lm khi vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s Vớ d minh ha 11: Cho hm s y = f(x) = - x3 + 3x2, cú th (C) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) y bit tip tuyn ú i qua im A (-1 ;4) Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: A h (x) = 4 4 f '(x) = - 3x2 + 6x Ta cú im A (-1 ;4) ẻ th (C) suy ra phng trỡnh tip tuyn l: x y = f ' (-1 ).(x+1)+4... tớch: Sai lm õy l cỏc em khụng chỳ ý n iu kin ly tha vi s m 1 khụng nguyờn thỡ c s phi dng Vỡ vy, vit (- 1 )- 3 l khụng ỳng (!) Li gii ỳng l: Vi x = - 1 ta cú y = 3 (- 1)2 = 1 2x 2 2 Ta cú y3 = x2 ị (y3)'= (x2)' ị 3.y2 y ' = 2x ị y ' = 3y 2 = 3 ị y ' (-1 ) = 3 x 3 Vy phng trỡnh tip tuyn cn tỡm l: y = - 2 2 1 (x + 1) + 1 hay y = - x + 3 3 3 1.4 Sai lm khi gii cỏc bi toỏn liờn quan ti cc tr ca hm s Khi. .. Ă , nhng quờn rng nu nh a khụng nguyờn thỡ cụng thc ny ch ỳng khi u nhn giỏ tr dng Vớ d minh ha 6: Cho hm s y = 3 x2 cú th (C) Vit phng trỡnh tip tuyn vi th (C) ti im cú honh x = - 1 Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: Vi x = - 1 ta cú y = 3 (- 1)2 = 1 Ta cú y = x y ' (-1 ) = 2 3 2 suy ra y ' = x 3 1 3 1 2 1 2 2 2 2 -1 2 (- 1) 3 = (- 1) 6 = - 1) 2 ự 6 = 1 6 = ( ỳ ở ỷ 3 3 3ờ 3 3 2 3 2 3 5 3 Vy phng trỡnh...Phõn tớch sai lm khi hc chng "ng dng o hm kho sỏt, v th hm s" Li gii ỳng l: iu kin: x > - 1 , x ạ 0 (khi ú y > 0) 2 y' 2x T y = (2x+1)x ị ln y = x.ln(2x + 1) ị (ln y ) ' = ( x.ln(2x + 1)) ' ị y = ln(2x + 1) + 2x + 1 ộ 2x ự ỳ ị y ' = (2x + 1)x ờ x + 1) + ln(2 ờ 2x + 1 ỳ ở ỷ Sai lm khi tớnh o hm ca hm s ti mt im a a- 1 Cỏc em hay mc phi sai lm dng ny l ỏp dng cụng thc (... y = (7 - x) 3 x + 5 c y = sin2x b y = cosx - sinx Bi tp 4: Xỏc nh m hm s sau t cc tr ti x = 1: ổ 3 2 y = x - mx + ỗm ỗ ỗ ố 2ử ữ+5 x ữ ữ 3ứ Bi tp 5: Xỏc nh a hm s sau luụn ng bin trờn Ă : y= (a - 1)x3 + ax 2 + ( 3a - 2) x 3 Bi tp 6: Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca cỏc hm s sau: 3 2 a y = x + 3x - 72x + 90 trờn on [ - 5;5] ộ 3p ự ỳ ở 2 ỳ ỷ 0; b y = 2sinx + sin2x trờn on ờ ờ c y = cos3x - 6cos2x... - x) , cú th (C) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) bit tip tuyn ú i qua im M(2;0) Bi tp 8: Chng minh cỏc bt ng thc sau: Trn Trng Sinh - Trng trung hc ph thụng Phan ỡnh Giút 17 Phõn tớch sai lm khi hc chng "ng dng o hm kho sỏt, v th hm s" x2 , " xẻ Ă a ex + cos x 2 + x 2 ( ) x - x 2 b e - e 2ln x + 1+ x , " x 0 x 0; c 8sin 2 + sin 2x > 2x, " x ẻpộ ự ở ỷ 2 Bi tp 9: Cho hm s y = 1 3 1 x - (m - . đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, tôi chọn đề tài " ;phân tích những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Hướng khắc phục& quot; Trần. tiểu của hàm số. Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 13 - ¥ - ¥ + ¥ - ¥ 0 0 0 Phân tích sai lầm khi học chương " ;Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số& quot;. Phân tích sai lầm khi học chương " ;Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số& quot; PHẦN 1: MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Trong chương trình giải tích 12, nội dung ứng dụng đạo hàm để