Phân tích những sai lầm khi học chương “ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ ĐTHS

MỤC LỤC A MỞ ĐẦU .1 I Lý chọn đề tài .1 II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .2 I Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm II Thực trạng công tác kiểm tra đánh giá trường THPT Quảng Xương .5 III Các giải pháp…………………………………………………………………… … 1.Bổ sung hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt……… .5 Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kỹ năng, phương pháp…………… Đổi phương pháp dạy học ( Lấy học sinh làm trung tâm)…………… Đổi việc kiểm tra, đánh giá………………………………………………… ….6 Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học……………………… 6.Phân dạng tập phương pháp giải…………………………………………… IV Hiệu giải pháp ………………………………… …… .18 V Kết nghiên cứu……………………………… 19 C PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ .21 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………………… 22 A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong chương trình giải tích 12- bản, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số có vị trí đặc biệt quan trọng Là cơng cụ "hữu hiệu" để giải hầu hết toán đề thi học sinh giỏi, đề thi trung học phổ thông quốc gia, ưu điểm phương pháp dễ sử dụng hiệu giải toán liên quan đến khảo sát hàm số Tuy nhiên, trình giảng dạy trường THPT Quảng Xương nhận thấy em học sinh hay gặp khó khăn giải tốn liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Các em thường mắc sai lầm mà em không tự khắc phục khơng có hướng dẫn giáo viên Nhằm góp phần giúp học sinh nắm kiến thức đạo hàm, có kỹ ứng dụng đạo hàm để giải toán liên quan đến khảo sát hàm số, chọn đề tài "phân tích sai lầm học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số " II Mục đích nghiên cứu - Chỉ cho học sinh thấy sai lầm thường mắc phải Qua đó, học sinh hiểu chất vấn đề - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo - Đánh giá thực tế trình vận dụng giải tập toán lên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, tốn liên quan (Chương trình Giải tích 12 – bản) để có giải tốn hồn chỉnh xác III Đối tượng nghiên cứu - Các toán liên quan đến đạo hàm ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 – IV Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra - Phương pháp đối chứng - Phương pháp nghiên cứu tài liệu B NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Nội dung chương trình (chương I - giải tích 12 - bản) Học sinh cần nắm số vấn đề sau ( liên quan đến nội dung phạm vi nghiên cứu đề tài) 1.1 Định nghĩa tính đơn điệu hàm số : ) Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng K với x1 , x2 thuộc K , x1 < x2  ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) [ 1] ) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng K với x1 , x2 thuộc K , x1 < x2  ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) [ 1] 1.2 Tính chất hàm số đồng biến, nghịch biến : ) Nếu y = f ( x ) y = g ( x ) hai hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D tổng f ( x ) + g ( x ) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung khơng với hiệu f ( x ) − g ( x ) [ 1] ) Nếu y = f ( x ) y = g ( x ) hai hàm số dương, đồng biến (hoặc nghịch biến) D tích f ( x ) g ( x ) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung khơng với tích f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) hai hàm số không dương D [ 1] 1.3 Cơng thức tính đạo hàm : α −1 Hàm số hợp y = uα có đạo hàm y′ = α u u ′ ( *) [ 1] ) công thức ( *) với số mũ ) Nếu α số α không ngun cơng thức ( *) u nhận giá trị dương 1.4 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số hàm số dựa định lí sau: ) Định lí: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng K (Kí hiệu K khoảng, đoạn nửa khoảng) a Nếu f ′ ( x ) > với ∀x ∈ K hàm số f ( x ) đồng biến K [ 1] b Nếu f ′ ( x ) < với ∀x ∈ K hàm số f ( x ) nghịch biến K [ 1] c Nếu f ′ ( x ) = với ∀x ∈ K hàm số f ( x ) không đổi K [ 1] Quy tắc để xét tính đơn điệu hàm số điều kiện đủ điều kiện cần 1.5 Quy tắc tìm điểm cực trị hàm số dựa hai định lí sau: ) Định lí 1: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K = ( x0 − h ; x0 + h) có đạo hàm K K \ { x0 } , với h > a Nếu f ' ( x ) > khoảng ( x0 − h ; x0 ) f ' ( x ) < khoảng ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực đại hàm số f ( x ) [ 1] b Nếu f ' ( x ) < khoảng ( x0 − h ; x0 ) f ' ( x ) > khoảng ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực tiểu hàm số f ( x ) [ 1] ) Định lí 2: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai khoảng ( x0 − h ; x0 + h) , với h > Khi đó:  f ' ( x0 ) =  f '' ( x0 ) > x0 điểm cực tiểu [ 1]  f ' ( x0 ) =  f '' ( x0 ) < x0 điểm cực đại [ 1] a Nếu  b Nếu  Quy tắc để tìm điểm cực trị hàm số điều kiện đủ điều kiện cần Do vậy, điều ngược lại nói chung khơng 1.6 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D:  f ( x ) ≥ m , ∀x ∈ D m = f ( x ) ⇔  D ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m  f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ D M = max f ( x ) ⇔  [ 1] D ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M , Nếu f ( x ) ≥ m , ∀x ∈ D (hay f ( x ) ≥ m , ∀x ∈ D ) không ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m (hay ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M ) dấu " = " khơng xảy Khi đó, khơng tồn giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số f ( x ) miền D Khi tìm giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số f ( x ) miền D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số g(t) với phép đặt t = u ( x ) cần chuyển đổi điều kiện để toán tương đương 1.7 Về phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f ( x ) :   ( C ) có phương trình: y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 ) Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ) Tiếp tuyến với ( C ) có hệ số góc k , qua điểm M ( x1 ; y1 ) có phương trình:  f ( x ) = k ( x − x1 ) + y1 ( **) [ 1] ′ f x = k ( )  y = k ( x − x1 ) + y1 Trong hệ số góc k thỏa mãn hệ:  Nếu điểm M ( x1 ; y1 ) nói thuộc ( C ) hệ số góc k thỏa mãn hệ ( **) Trong trường hợp này, số tiếp tuyến nhiều tiếp tuyến Sai lầm thường gặp giải toán 2.1 Sai lầm tốn xét tính đơn điệu hàm số, khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số hay không ý tới điểm tới hạn hàm số 2.2 Sai lầm tốn chứng minh bất đẳng thức, khơng nhớ xác tính đơn điệu hàm số để vận dụng vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến 2.3 Sai lầm việc giải toán liên quan tới đạo hàm, vận dụng sai cơng thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực 2.4 Sai lầm việc giải toán liên quan tới cực trị hàm số, vận dụng sai điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng ( a ; b ) 2.5 Sai lầm việc giải tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D , chuyển đổi tốn khơng tương đương 2.6 Sai lầm việc giải tốn viết phương trình tiếp tuyến qua điểm M ( x1 ; y1 ) thuộc đồ thị ( C ) hàm số II Thực trạng công tác kiểm tra đánh giá trường THPT Quảng Xương Trong thực tế, học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải khó khăn sau đây: - Khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số khoảng, khơng hiểu xác định nghĩa điểm tới hạn hàm số - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm x0 - Không nắm vững định nghĩa giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D - Không nắm vững chất khác tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ điểm đến đồ thị hàm số cho III Giải pháp thực Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, nghiên cứu đề tài đưa biện pháp sau: Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt - Phân tích khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí - Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lí - So sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng - Chỉ sai lầm mà học sinh dễ mắc phải Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kỹ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề - Phương pháp: phương pháp giải toán Đổi phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế - Tạo hứng thú, đam mê, u thích mơn học cho học sinh - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, có điều kiện sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới giảng Đổi việc kiểm tra, đánh giá - Kết hợp tự luận trắc nghiệm khách quan với mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá - Giáo viên đánh giá học sinh - Học sinh đánh giá học sinh Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học cho phù hợp với loại đối tượng học sinh, cho học sinh sai lầm thường mắc phải giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số - toán liên quan Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm tập Phân dạng tập phương pháp giải - Hệ thống kiến thức - Phân dạng tập phương pháp giải - Đưa tập tương tự, tập nâng cao - Sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển toán, suy kết mới, toán Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo IV Nghiên cứu thực tế Phân tích sai lầm thơng qua số ví dụ minh họa 1.1 Sai lầm xét tính đơn điệu hàm số  Các em thường mắc phải sai lầm khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số Ví dụ : Xét tính đơn điệu hàm số: f ( x ) = 2x − 2x +1 Một số học sinh trình bày sau: ìï Tập xác định: D = ¡ \ ớù 1ỹ ù ý ùỵ ù ợù x − ′ Ta có : f ′ ( x ) =  ÷=  2x +1  ( x + 1) > ; ∀x ∈ D Bảng biến thiên: Suy ra: Hàm số đồng biến (- ¥ ; - - ) È ( ; +¥ ) 2 Phân tích: Lời giải rồi, ta khơng ý đến kết luận tốn Chú ý rằng: hàm số y = f ( x ) đồng biến tập D với x1 , x2 thuộc D, x1 < x2  ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Trong kết luận toán, ta lấy x1 = −1 ∈D x2 = 0 ∈ D x1 < x2 f ( x1 ) = > − = f ( x2 ) Lời giải là: Tập xác định: D = ¡ ì - 1ü ï \ ïí ý ùợù ùỵ ù x ′ ′ f x = > ; ∀x ∈ D Ta có : ( )  ÷=  x +  ( x + 1) Bảng biến thiên: Suy ra: Hàm số đồng biến (- ¥ ; - - ) È ( ; +¥ ) 2 Suy ra: Hàm số đồng biến khoảng (- ¥ ; - - ) ( ; +¥ ) 2  Nhiều em không ý đến điểm tới hạn hàm số, việc xét dấu đạo hàm y' bị sai Ví dụ : f ( x ) = x −1 + − x2 Xét tính đơn điệu hàm số : Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = [- 2; ] )′ ( Ta có: f ′ ( x ) = x − + − x = − f ′( x) = ⇔ 1− x − x2 x = − = ⇔ − x2 = x ⇔ − x2 = x2 ⇔  − x2  x = x Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f ' ( x ) giữ nguyên dấu, f ' ( ) > nên ta có bảng biến thiên sau: x y' y -2 - - 2 + -3 - 2- -1 Suy ra: hàm số đồng biến khoảng (- 2; 2) nghịch biến khoảng (- 2; - 2) ( 2; 2) Phân tích: Nếu để ý bảng biến thiên ta thấy điều vô lý đoạn é - 2; ê ë 2ù ú ûgiá trị hàm số giảm từ −3 xuống − Thực − điểm tới hạn hàm số Lời giải là: Tập xác định: D = [- 2; ] )′ ( Ta có: f ′ ( x ) = x − + − x = − f ′( x) = ⇔ 1− x − x2 x ≥ = ⇔ − x2 = x ⇔  ⇔x= 2 − x2 4 − x = x x Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f ' ( x ) ln giữ ngun dấu, f ' ( ) > nên ta có bảng biến thiên sau: x y' -2 y 2 + - 2- -3 Suy ra: hàm số đồng biến khoảng (- 2; 2) nghịch biến khoảng ( 2; 2) 1.2 Sai lầm chứng minh bất đẳng thức  Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm khơng nhớ xác định nghĩa tính đơn điệu hàm số để vận dụng Ví dụ : (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban bản) π  Chứng minh rằng: tan x > x, ∀x ∈  ; ÷ 2  Một số học sinh trình bày sau: π   Xét hàm số : f ( x ) = tanx − x, ∀x ∈ ; ′ Ta có: f ' ( x ) = ( tanx − x ) = ÷ 2 π  − , ∀x ∈ ; ÷, suy hàm số f ( x ) đồng biến cos x 2  π  khoảng  ; ÷ 2  π  Từ x > 0 ⇒ f ( x ) > f ( ) ⇔tan x − x > tan − 0  hay tan x > x, ∀x ∈ ; ÷ 2  Phân tích: Lời giải đúng, sai lầm tinh vi Sau kết π  luận f ( x ) đồng biến khoảng  ; ÷ từ x > 0 ⇒ f ( x ) > f ( )   π  Sai lầm ∉ ; ÷ 2  Nhớ rằng: f ( x ) đồng biến đoạn [ a ; b] (tức f ( x ) liên tục [ a ; b] f ' ( x ) > với ∀x ∈ [ a ; b ] với ∀x1 ; x2 ∈ [ a ; b ] , x1 > x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Lời giải là:   Xét hàm số : f ( x ) = tanx − x, ∀x ∈ 0 ; Ta có: f ' ( x ) = ( tanx − x ) ′ = π ÷ 2  π  −1 = tan x ≥ , ∀x ∈ 0 ; ÷ dấu "=" xảy cos x 2   π x = , suy hàm số f ( x ) đồng biến nửa khoảng 0 ; ÷   π  Từ x > 0 ⇒ f ( x ) > f ( ) ⇔tan x − x > tan − 0  hay tan x > x, ∀x ∈ ; ÷ 2   Các em hay mắc sai lầm vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến 10 Ví dụ : Chứng minh với ∀x ∈ R , x > −1 x.e x > −1 e Một số học sinh trình bày sau: x Xét hàm số f ( x ) = x , g ( x ) = e hàm đồng biến ¡ Suy hàm số h ( x ) = x.e x tích hai hàm đồng biến nên đồng biến ¡ Suy ra, từ x > −1 ⇒ f ( x ) > f ( −1) hay x.e x > −1 e Phân tích: Lời giải sai lầm chỗ : tích hai hàm đồng biến hàm đồng biến hai hàm dương Lời giải là: x x Xét hàm số f ( x ) = x.e , ta có f ' ( x ) = e ( x + 1) ≥ 0, ∀x ≥ −1 dấu "=" xảy x = − Suy ra, hàm số đồng biến nửa khoảng [- 1; +¥ ) Từ x > −1 ⇒ f ( x ) > f ( −1) hay x.e x > −1 e 1.3 Sai lầm giải toán liên quan tới đạo hàm  Sai lầm vận dụng cơng thức tính đạo hàm Ví dụ : Tính đạo hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) x Một số học sinh trình bày sau: Ta có f ′ ( x ) = x ( x + 1) x −1 ( x + 1) ′ = x ( x + 1) x −1 Phân tích: Lời giải vận dụng công thức ( uα ) ′ = α uα −1.u′ Vận dụng sai, cơng thức áp dụng cho số mũ α số Lời giải là: −1  x > (khi f ( x ) > ) Điều kiện:   x ≠ y′ 2x ′ Từ y = ( x + 1) ⇒ ln y = x.ln ( x + 1) ⇒ ( ln y ) ′ = ( x.ln ( x + 1) ) ⇒ y = ln ( x + 1) + x + x 11 2x  x  ⇒ y′ = ( x + 1) ln ( x + 1) + x +    Sai lầm tính đạo hàm hàm số điểm Các em hay mắc phải sai lầm dạng áp dụng công thức ( uα ) ′ = α uα −1.u ′ , α ∈ R , qn α khơng ngun cơng thức u nhận giá trị dương Ví dụ : Cho hàm số f ( x ) = x có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) điểm có hồnh độ x = −1 Một số học sinh trình bày sau: Với x = −1 , ta có y = (- 1)2 = Ta có : y =   x −31 suy y ' = x 2 2 - 16 2ù = y '(- 1) = (- 1) = (- 1) = é ( 1) = ú ë û 3 3ê 3 3 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = ( x + 1) + hay y = x + Phân tích: Sai lầm em không ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ khơng ngun số phải dương Vì vậy, viết (- 1)- không Lời giải là: Với x = - ta có y = (- 1) = 2x 3 ′ ′ Ta có y = x ⇒ ( y ) = ( x ) ⇒ y y ′ = x  ⇒ y ′ = 3 y  = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3 x ⇒ y ′ ( −1) = −2 −2 ( x + 1) + hay y = − x − 3 1.4 Sai lầm giải toán liên quan tới cực trị hàm số  Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu hàm số em quên điều kiện đủ điều kiện cần Quy tắc:  y′ > , ∀ ∈ ( a, b ) ⇒ hàm số đồng biến khoảng ( a; b )  y′ < , ∀∈ ( a, b ) ⇒ hàm số nghịch biến khoảng ( a; b ) 12 Điều ngược lại nói chung khơng Ví dụ 7: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x − mx + x − đồng biến ¡ Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = ¡ a>0  y′ = x − 2mx + Hàm số đồng biến ¡ y′ > , ∀x ∈ R ⇔  ′ ∆ ⇔ ⇔− 3 y′ = x − 2mx + Hàm số đồng biến ¡ y′ ≥ , ∀x ∈ R ⇔  ′ ∆ ≤0  3 > ⇔ ⇔− 3≤m≤ m − ≤  Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị hàm số em qn điều kiện đủ khơng phải điều kiện cần Quy tắc:  f ′ ( x0 ) = ⇒ x0 điểm cực tiểu  f ′′ ( x0 ) >   f ′ ( x0 ) = ⇒ x0 điểm cực đại  f ′′ ( x0 ) <   Điều ngược lại nói chung khơng Ví dụ : Cho hàm số y = f ( x ) = mx Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực đại x = ? Một số học sinh trình bày sau: 13   f ′ ( x ) = 4mx    f ′′ ( x ) = 12mx  4m.0 =  f ′( 0) = ⇔ 12m.0 =   f ′′ ( ) < Điều kiện để hàm số đạt cực đại x = là:  ( VN ) Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực đại x = Phân tích: Ta thấy, với m = − , hàm số y = − x  có y′ = − x ⇒ y′ = ⇔ x = Bảng biến thiên: x y' y - ¥ +¥ 0 + - ¥ - ¥ Suy hàm số đạt cực đại x = Vậy lời giải sai đâu ?  f ′ ( x0 ) = ⇒ x0 điểm cực đại hàm số, điều  f ′′ ( x0 ) < Nhớ rằng, x0 thỏa mãn  ngược lại chưa Vì x0 điểm cực đại f ′′ ( x0 ) = Lí điều kiện f ′′ ( x0 ) < điều kiện đủ để hàm số g ( x ) = f ′ ( x ) nghịch biến lân cận ( x0 − h; x0 + h ) (với h > ), đó:  f ′ ( x ) > f ′ ( x0 ) = 0, ∀x ∈ ( x0 − h ; x0 ) ⇒ x0 điểm cực đại hàm số   f ′ ( x ) < f ′ ( x0 ) = 0, ∀x ∈ ( x0 ; x0 + h ) Lời giải là: Cách 1: Ta có y ' = 4mx3 Để hàm số đạt cực đại x = y′ ( x ) > , ∀x ∈ ( −h ; ) với h >  4mx > ⇒m 0, m < )  m = : Ta có y = f ( x ) = hàm nên hàm số khơng có cực trị 14  m > : Ta có y′ = 4mx3 ⇒ y′ = 0 ⇔ x = Lập bảng biến thiên ta thấy x0 điểm cực tiểu hàm số  m < : Ta có y′ = 4mx3 ⇒ y′ = 0 ⇔ x = Lập bảng biến thiên ta thấy x0 điểm cực đại hàm số Kết luận: Hàm số đạt cực đại x = m < Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) = x + mx + Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x = ? Một số học sinh trình bày sau:  f ′ ( x ) = x + 3mx     f ′′ ( x ) = 12 x + 6mx  f ′ ( ) =  4m.0 =  ⇔  ( VN ) 12 m < ′′ f < ( )   Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x = là:  Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x = Phân tích: Ta thấy, với m = , hàm số y = x + y ′ = x ⇒ y′ = 0 ⇔ x = Bảng biến thiên: - ¥ x y' - +¥ 0 + +¥ y +¥ Suy hàm số đạt cực tiểu x = Lời giải là: Cách 1:  f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −h ; ) ( 1) (với h > )  f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( ; h ) ( ) Để hàm số đạt cực tiểu x =  ∀x ∈ ( −h;0 ) ∀ −3m  x ∈ ( −h;0 ) ∀x ∈ ( −h;0 )  ⇔ ⇔ ⇔ ≥ ⇔ m ≤ ( 1′ ) ( 1) ⇔  −3m 4 x + m < x < x + mx <      15 ∀x ∈ ( 0; h ) ∀ −3m  x ∈ ( 0; h ) ∀x ∈ ( 0; h )  ⇔ ⇔ ≤ ⇔ m ≥ ( 2′ ) ( 2) ⇔  −3m ⇔ 4 x + m > x > x + mx >      Từ (1') (2') suy m = Vậy với m = hàm số cho đạt cực tiểu x = Cách 2: xét trường hợp ( m = 0, m > 0, m < )  m = : Ta có y = x + có y′ = x3 , y′ = 0 ⇔ x = Bảng biến thiên: x y' - ¥ - +¥ 0 + +¥ +¥ y Suy hàm số đạt cực tiểu x =  m > : Ta có y′ = x ( x + 3m ) , y′ = 0 ⇔ x = x = −3m Lập bảng biến thiên ta thấy y′ không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng có cực trị x = −3m Lập bảng biến thiên  m < : Ta có y′ = x ( x + 3m ) , y′ = 0 ⇔ x = x = ta thấy y′ không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng có cực trị x = Kết luận: với m = hàm số cho đạt cực tiểu x = 1.5 Sai lầm giải tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số  Các em thường mắc sai lầm không nắm vững định nghĩa giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số miền D Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ f ( x ) = cos x + 1   +  cos x + ÷− cos x  cos x  Một số học sinh trình bày sau: Đặt t = cos x + 1 ⇒ cos x + = t2 − 2 cos x cos x Ta hàm số: g ( t ) = t + 2t − = ( t + 1) − ≥ −4, ∀t ∈ R 16 Vậy f ( x ) = −4 , t = −1 Phân tích: Sai lầm chuyển tốn khơng tương đương Giá trị nhỏ hàm f ( x ) không trùng với giá trị nhỏ hàm g ( t ) , ∀t ∈ R Có thể thấy t = −1 khơng tồn giá trị x để cos x + = −1 cos x  f ( x ) ≥ m , ∀x ∈ D  f ( x) ⇔  Nhớ , số m = D ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m Lời giải là: Đặt t = cos x + t = cos x + cos x π  , ∀x ∈ D = R \  + kπ , k ∈ Z  2  1 = cos x + ≥ Dấu " = " xảy cos x = cos x cos x Khi đó: cos x + = t − Ta hàm số: g ( t ) = t + 2t − cos x Lập bảng biến thiên hàm số g ( t ) (với t ≥ ): f ( x ) = g ( t ) = −3 Đạt Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: m = D t ≥2 t = −2 ⇔ cos x + = −2 ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + 2kπ , k ∈ Z cos x 1.6 Sai lầm viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y Ví dụ 11 Cho hàm số f ( x ) = − x + 3x , có đồ thị ( C ) Viết phương A trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp h (x) = 4 x tuyến qua điểm A ( −1; ) O Một số học sinh trình bày sau: q (x) = -9⋅x-5 f(x) = -x3 +3⋅x2 f ′ ( x ) = −3 x + x 17 Ta có điểm A ( −1; ) ∈ ( C ) suy phương trình tiếp tuyến là: y = f ′ ( −1) ( x + 1) + Û y =- 9(x +1) + ⇒ y = −9 x − Phân tích: Phương trình tiếp tuyến y = −9 x − tiếp tuyến A (nhận A làm tiếp điểm) tất nhiên kẻ từ A Nhưng có tiếp tuyến đồ thị ( C ) qua A mà không nhận A làm tiếp điểm Lời giải là: Phương trình đường thẳng ( d ) qua điểm A ( −1; ) có hệ số góc k là: y = k ( x + 1) + Điều kiện để đường thẳng ( d ) tiếp tuyến đồ thị ( C ) hệ sau có nghiệm:  x =   − x + 3x = k ( x + 1) +  x − x − = k = ⇔ ⇔   2   x = −1 k = −3x + x  k = −3 x + x    k = −9 3 Từ ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = y = −9 x − Bài tập tương tự Bài tập 1: Xét tính đơn điệu hàm số sau: a y = − 5x x−3 b y = 5x2 + x + x−4 c y = cosx − sinx d y = cosx + sinx Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau khơng có cực trị: x + 2mx − a y = 3x − m x + mx − b y = x−m Bài tập 3: Tìm cực trị hàm số sau: a y = cosx − sinx b y = sin 2 x c y = 5x2 − x + 2x − d y = ( − x) −x + Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị x = : 2  a y = x − 2mx +  m − ÷x + 3  b y = mx − 2mx + Bài tập 5: Xác định m để hàm số sau đồng biến ¡ : 18 a y = ( m − 1) x3 + mx + ( 3m − ) x + b y = ( m + 1) x + mx + x + Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: a y =  x + x − x + đoạn [- 5;5] b y =   x + x − x + đoạn [- 5;5]  3π  c y = sinx + sin x đoạn 0;   d y = cos x − 6cos x + 9cosx + e y = sin x − 6cos x + 5sin x + 3x − x − f y =  đoạn [ 4;5] 2x − Bài tập 7: Cho hàm số y = ( x + 1) ( − x ) , có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm M ( 2;0 ) Bài tập 8: Chứng minh bất đẳng thức sau: a tan x > x + x3 , π  0 < x < ÷ 2  ( ) c e x − e − x ≥ ln x + + x , ∀x ≥ x2 b e + cosx ≥ + x − , ∀x ∈ R x d 8sin x + sin2x > x, ∀x ∈ [ 0; π ] x3 − ( 2m − 1) x + ( 2m − 3) x + ( m tham số) Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −3x + 2  ba điểm phân biệt Bài tập 9: Cho hàm số y = Bài tập 10: Với giá trị tham số m phương trình: x − ( + m ) x + m = có nghiệm thực phân biệt ? Bài tập 11 : Cho hàm số y = − x3 + 3mx + 9mx + , có đồ thị ( Cm ) 1.Khi m=1,hãy : a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x0 , biết f ′′ ( x0 ) = −6 Tìm giá trị m để: a Đồng biến khoảng ( −1 ; +∞) b Hàm số sau đạt cực trị x = − 19 V Kết nghiên cứu Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy nhận thấy kết đạt có khả quan Cụ thể qua số kết thu hoạch khảo sát tình hình giải tập tốn lớp 12A 12D sau: Bài số 1: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y= x3 − 2mx + ( 4m − 1) x + đạt cực tiểu x = Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 A (sĩ số 42) Không giải Giải sai phương pháp Giải phương pháp Số lượng 35 Phần trăm 7% 9% 84 % Số lượng 3 30 Phần trăm 8% 8% 84 % Lớp 12 D (sĩ số 36) Không giải Giải sai phương pháp Giải phương pháp Bài số 2: Xét tính đơn điệu hàm số f ( x ) = x+3 − 4x Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 A (sĩ số 42) Không giải Giải sai phương pháp Giải phương pháp Số lượng 39 Phần trăm 2% 4% 94 % Số lượng 31 Phần trăm 6% 8% 86 % Lớp 12 D (sĩ số 36) Không giải Giải sai phương pháp Giải phương pháp 2x Bài số 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: e + cos2x ≥ ( + x − x ) , ∀x ∈ R Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 A (sĩ số 42) 20 Không giải Giải sai phương pháp Giải phương pháp Số lượng 10 27 Phần trăm 24 % 12 % 64 % Số lượng 12 18 Phần trăm 33.2 % 16.6 % 50.2 % Lớp 12 D (sĩ số 36) Không giải Giải sai phương pháp Giải phương pháp Như vậy, bước đầu đề tài khắc phục sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, toán liên quan ; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh đem lại hiệu rõ rệt Trong thời gian tới, đề tài tiếp tục áp dụng vào thực tiễn giảng dạy nhà trường mong đạt hiệu tốt đẹp đạt trình thực nghiệm C KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ Polya viết "con người phải biết học sai lầm thiếu sót mình" Thơng qua sai lầm, ta biết cách nhìn nhận nó, kịp thời uốn nắn sửa chữa giúp ta ghi nhớ lâu tri thức học, đồng thời giúp ta tránh sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm mặt tư Trước hết, đề tài nhằm cung cấp cho thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức định đạo hàm ứng dụng đạo hàm, với kiến thức liên quan, người học có nhìn sâu sắc sai lầm thường mắc phải giải toán Đồng thời, qua sai lầm mà rút cho kinh nghiệm phương pháp giải tốn cho riêng ; người học quay trở lại để kiểm chứng lí thuyết trang bị để làm tốn Từ thấy lơgic tốn học nói chung chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy đạo hàm công cụ "mạnh" để giải 21 nhiều toán ; nữa, toán giải cơng cụ đạo hàm lời giải tỏ ngắn gọn hơn, đẹp Nói riêng, với học sinh kiến thức đạo hàm tương đối khó, em có lực học trung bình trở xuống Các em thường quen với việc vận dụng hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học Đó chưa kể sách giáo khoa giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng chí mang tính hàn lâm ; nội dung học sinh tiếp cận thêm có hội học sâu (chủ yếu bậc Đại học) Ở cấp độ trường trung học phổ thông Quảng Xương 4, đề tài áp dụng để cải thiện phần chất lượng môn, củng cố phương pháp giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học ; giúp học sinh hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học, giúp em tránh khỏi lúng túng trước toán đặt không mắc phải sai lầm thường gặp Trong khuôn khổ viết này, tham vọng phân tích hết sai lầm học sinh không tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến q thầy Tơi xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 21 tháng năm 2018 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tôi xin cam đoan SKKN ĐƠN VỊ viết không chép người khác Phạm Trọng Thuận TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 12 –cơ (SGK) 2.Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn toán tác giả Trần Phương (Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội) 3.Phương pháp giải toán hàm số ,tác giả Lê Hồng Đức 22 (Nhà xuất đại học sư phạm Hà Nội) Phương pháp giải toán Đạo hàm ứng dụng ,tác giả Lê Hồng Đức (Nhà xuất đại học sư phạm Hà Nội) Phương pháp giải toán Tiếp tuyến ,tác giả Lê Hồng Đức (Nhà xuất đại học sư phạm Hà Nội) Chuyên đề khảo sát hàm số Tự luận Trắc nghiệm ,tác giả Bùi Ngọc Anh (Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội) 7.Trắc nghiệm hàm số- mũ lôgarit, tác giả Mẫn Ngọc Quang (Nhà xuất Thanh Hóa) Phương pháp giải nhanh tốn trắc nghiệm hàm số ,tác giả Võ Quang Mẫn (Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội) 9.Phân loại, phân tích phương pháp giải tốn khảo sát hàm số, tác giả Nguyễn Cam (Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội) 10.Trọng tâm kiến thức phương pháp giải toán khảo sát hàm số ứng dụng đạo hàm, tác giả Nguyễn Phú Khánh (Nhà xuất đại học sư phạm Hà Nội) 11.Kỷ thuật giải nhanh chuyên đề khảo sát hàm số ,tác giả Trần Đình Cư (Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội) 23 ... đạo hàm để giải toán liên quan đến khảo sát hàm số, tơi chọn đề tài "phân tích sai lầm học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số " II Mục đích nghiên cứu - Chỉ cho học sinh thấy sai. .. vận dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Các em thường mắc sai lầm mà em khơng tự khắc phục khơng có hướng dẫn giáo viên Nhằm góp phần giúp học sinh nắm kiến thức đạo hàm, có kỹ ứng dụng đạo. .. ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, tốn liên quan (Chương trình Giải tích 12 – bản) để có giải tốn hồn chỉnh xác III Đối tượng nghiên cứu - Các toán liên quan đến đạo hàm ứng dụng đạo