ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Đồ thò hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối 1. Đối xứng qua trục hoành : Cho hàm số y = f(x) , có đồ thò (C) + Đồ thò hàm số y = f(x) , (C 1 ) được suy ra từ đồ thò (C) như sau : + Viết lại y = f(x) = f(x) Khi f(x) 0 f(x) Khi f(x) < 0      Đồ thò gồm hai nhánh :  Nhánh 1 là phần đồ thò (C) nằm phía trên trục hoành  Nhánh 2, lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành Chú ý : + đồ thò (C 1 ) chỉ là những phần nằm trên trục hoành + Tuỳ theo việc bỏ dấu giá trò tuyệt đối mà có thể gặp các dạng đồ thò khác nhau . Ví dụ1 : a)Vẽ đồ thò hàm số y= x 2 4x +3 Suy ra đồ thò hàm số y = 2 x 4x 3  Giải : Hàm số : y= x 2 4x +3 +TXD : D= R + Đạo hàm : y’=2x4 y’=0 <=> x=2 + Bảng biến thiên : x   2 + y’  0 + y + 1 + CT + Đồ thò : x=1 => y=0 x=3 => y=0 ; x=0 => y=3  Suy ra đồ thò y = 2 x 4x 3  (C 1 ) + Viết lại y = 2 x 4x 3  = 2 2 2 2 x 4x 3 x 4x 3) (x 4x 3) x 4x 3)                Khi ( 0 Khi ( < 0 Đồ thò gồm hai nhánh :  Nhánh 1 là phần đồ thò (C) nằm phía trên trục hoành  Nhánh 2, lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 3 3x+2. Suy ra đồ thò hàm số y= 3 x 3x 2  Giải : y = x 3 3x + 2 x y 3 1 4 1 2 3 x y 3 1 4 1 2 3 + TXĐ : D= R + Giới hạn: x lim  (x 3 3x+2) = +∞ ; x lim  (x 3 3x+2) = ∞ + Đạo hàm : y’= 3x 2 3 y’= 0 <=> 3x 2 3=0 <=> x 1 y(1) =0 x 1 y( 1) =4          hàm số đồng biến (∞ ;1) ; (1;+∞ ) hàm số nghòch biến trên (1;1) + y’’ =6x y’’=0 <=> 6x =0 <=> x =0 => y(0) =2 BXD x ∞ 0 +∞ y’’  0 + Điểm uốn I(0;2) Đồ thò lồi lõm + Bảng biến thiên : x ∞ 1 1 +∞ y’ + 0  0 + y CĐ 0 +∞ ∞ 4 CT hàm số đạt cực đại tại x =1 ; y CĐ = 4 hàm số đạt cực tiểu tại x =1 ; y CT = 0 + Đồ thò : Đồ thò cắt trục Ox tại A(1;0) ; B(2;0) Đồ thò cắt trục Oy tại I (0;2) Đồ thò nhận điểm I(0;2) làm tâm đối xứng Suy ra đồ thò hàm số y= 3 x 3x 2  Đồ thò gồm hai nhánh :  Nhánh 1 là phần đồ thò (C) nằm phía trên trục hoành  Nhánh 2, lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành Ví dụ 3: Xác đònh m để phương trình : 4 2 x 2x 1  =m có 6 nghiệm phân biệt Giải :  khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y= x 4 2x 2 1 , đồ thò (C) + TXĐ : D= R + Giới hạn : x lim  (x 4 2x 2 1) =+∞ ; x lim  (x 4 2x 2 1) =+∞ + Đạo hàm : y’= 4x 3 4x =4x(x 2 1) Đ. uốn 4 1 1 2 2 x y 4 1 1 2 2 x y y’= 0 <=> 4x(x 2 1) =0 <=> x 0 y(0) = 1 x 1 y( 1) 2             hàm số đồng biến trên khoảng: (1;0) ;(1;+∞ ) hàm số nghòch biến trên khoảng :(∞;1) ; (0;1 ) +Bảng biến thiên x ∞ 1 0 1 +∞ y’  0 + 0  0 + y +∞ 2 CĐ 2 +∞ CT 1 CT Hàm số đạt cực đại tại x =0 ; y CT =1 Hàm số đạt cực tiểu tại x =1 ; y CĐ =2 + Đồ thò : Đồ thò hàm số cắt trục Ox tại A( 1 2 ;0) ; B( 1 2 ;0) Đồ thò hàm số cắt trục Oy tại M(0;1) Nhận trục tung làm trục đối xứng  Suy ra đồ thò y= 4 2 x 2x 1  , đồ thò (C 1 ) Đồ thò gồm hai phần :  Phần 1 là phần đồ thò (C) nằm phía trên trục hoành  Phần 2, lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành  Dựa vào đồ thò (C 1 ) pt : 4 2 x 2x 1  =m có 6 nghiệm phân biệt <=> 1 < m <2 Ví dụ 4:a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số : y= x 4 5x 2 +4 b) Xác đònh m để pt : 4 2 x 5x 4  =m có 8 nghiệm phân biệt Giải :+ TXĐ : D= R + Giới hạn : x lim  (x 4 5x 2 +4 ) =+∞ ; x lim  (x 4 5x 2 +4) =+∞ + Đạo hàm : y’= 4x 3 10x =x(4x 2 10) y’= 0 <=> x(4x 2 10) =0 <=> x 0 y(0) =4 10 10 9 x y( ) 2 2 4              hàm số đồng biến trên khoảng( 10 2 ;0) ; ( 10 2 ;+∞ ) hàm số nghòch biến trên khoảng (∞; 10 2 ) ;(0; 10 2 ) +Bảng biến thiên : x ∞ 0 +∞ 0 1 x y 1 1 2 1 2 0 1 x y 1 1 2 1 2 y=m 10 2 10 2 y’  0 + 0  0 + y +∞ 9/4 CĐ 9/4 +∞ CT 4 CT Hàm số đạt cực đại tại x =0 ; y CĐ =4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 10 2 ; y CT = 9 4 + Đồ thò : Nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thò hàm số cắt trục Ox tại A(2;0) ; B(1;0) Đồ thò hàm số cắt trục Oy tại M(0;4) b)  suy ra đồ thò hàm số : y= 4 2 x 5x 4  Đồ thò gồm hai phần :  Phần 1 là phần đồ thò (C) nằm phía trên trục hoành  Phần 2, lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành Dựa vào đồ thò (C 1 ) Pt : 4 2 x 5x 4  =m có 8 nghiệm phân biệt 0 < m < 9/4 Ví dụ 5: a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y= x 1 x 1   , (C) b) Suy ra đồ thò y= x 1 x 1   , đồ thò (C 1 ) Giải : + TXĐ : D = R\{1} + Tiệm cận: vì x (1) lim   x 1 x 1   = + ; x (1) lim   x 1 x 1   = => x =1 là tiệm cận đứng vì x lim  x 1 x 1   = x lim  1 1 x 1 1 x   =1 => y =1 là TCN + Đạo hàm : y / = 2 2 (x 1)   < 0 ,  x D Hàm số nghòch biến trên (∞;1) ; (1;+∞ ) + Bảng biến thiên : x ∞ 1 +∞ y’   y 1 +∞ ∞ 1 + Đồ thò : Đồ thò cắt Ox tại A(1;0) y 0 1 x 10 2 1 9/4  2  4 y 0 1 x 10 2 1 9/4 2 2 4 x= 1 y=1 2 x y O 1 1 1 3 Đồ thò cắt trục Oy tại M(0;1) Nhận I(1;1) làm tâm đối xứng b) Suy ra đồ thò y= x 1 x 1   , đồ thò (C 1 ) Đồ thò gồm hai phần :  Phần 1 là phần đồ thò (C) nằm phía trên trục hoành  Phần 2, lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành 2 Đối xứng qua trục tung ( hàm số chẵn): Hai điểm (x;y) và (x;y) đối xứng với nhau qua trục tung => đồ thò hàm số y=f(x) và y=f(x) đối xứng nhau qua trục Oy  Cho hàm số y = f(x) có đồ thò (C) + Đồ thò hàm số y = f( x ) , (C 2 ) được suy ra từ đồ thò hàm số (C) như sau : + Vì hàm số y =f( x ) là hàm số chẵn => đồ thò đối xứng nhau qua trục tung + Đồ thò gồm hai nhánh :  Nhánh 1 là phần đồ thò (C) nằm phía bên phải trục tung ( ứng với x ≥ 0) , bỏ phần còn lại của đồ thò (C)  Nhánh 2 , lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung Ví dụ6 : a) Vẽ đồ thò hàm số y=x 3 3x 2 b) suy ra đồ thò hàm số y= 3 x 3x 2 Giải: + TXĐ : D= R + Giới hạn: x lim  (x 3 3x 2 ) = +∞ ; x lim  (x 3 3x 2 ) = ∞ + Đạo hàm : y’= 3x 2 6x y’= 0 <=> 3x 2 6x=0 <=> x 2 y( ) = 4 x 0 y(0) =0          hàm số đồng biến (∞ ;0) ; (2;+∞ ) hàm số nghòch biến trên (0;2) + y’’ =6x 6 y’’=0 <=> 6x6 =0 <=> x =1 => y(1) =2 BXD x ∞ 1 +∞ y’’  0 + Đồ thò lồi lõm Điểm uốn I(1;3) y x= 1 y=1 2 x O 1 1 1 3 Đ. uốn 2 0 2 1 1 x y 4 1 3 + Bảng biến thiên : x ∞ 0 2 +∞ y’ + 0  0 + y CĐ 4 +∞ ∞ 0 CT hàm số đạt cực đại tại x =0 ; y CĐ = 0 hàm số đạt cực tiểu tại x =2 ; y CT =4 + Đồ thò :Đồ thò cắt trục Ox tại M(3;0) và đi qua gốc O b) y= 3 x 3x 2 = 3 x 3 2 x =f( x ) , đồ thò (C 2 ) + Đồ thò hàm số đối xứng qua trục tung + Nếu x ≥ 0 : giống đồ thò (C)  gọi là nhánh 1 + Nếu x <0 : Lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung Ví dụ 7: a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y= x 3 +3x 2 +1 , (C) b) Từ đồ thò ( C) suy ra đồ thò hàm số y= 3 x +3x 2 +1 , biện luận theo k số nghiệm của phương trình :  3 x 3x 2 +1 +k =0 Giải : + TXĐ : D= R + Giới hạn: x lim  (x 3 +3x 2 +1 ) = +∞ ; x lim  (x 3 +3x 2 +1 ) = ∞ + Đạo hàm : y’= 3x 2 +6x y’= 0 <=> 3x 2 +6x=0 <=> x 2 y( ) =5 x 0 y(0) =1           hàm số đồng biến (∞ ;2) ; (0;+∞ ) hàm số nghòch biến trên (2;0) + y’’ =6x +6 y’’=0 <=> 6x+6 =0 <=> x =1 => y(1) =3 BXD x ∞ 1 +∞ y’’  0 + Đồ thò lồi lõm Điểm uốn I(1;3) + Bảng biến thiên : x ∞ 2 0 +∞ y’ + 0  0 + y CĐ 1 +∞ ∞ 5 CT hàm số đạt cực đại tại x =2 ; y CĐ = 5 hàm số đạt cực tiểu tại x =0 ; y CT = 1 + Đồ thò : Đồ thò cắt trục Oy tại M(0;1) Đồ thò nhận điểm I(1;3) làm tâm đối xứng Đ. uốn 5 0 1 2 3 x y 3 1 2 0 2 1 1 x y 4 1 3 2 b) y= 3 x +3x 2 +1= f( x ) + Đồ thò hàm số đối xứng qua trục tung + Nếu x ≥ 0 : giống đồ thò (C)  gọi là nhánh 1 + Nếu x <0 : Lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung Vậy đồ thò (C 2 ) như hình vẽ  pt :  3 x 3x 2 +1 +k =0 <=> 3 x +3x 2 +1 =k+2 (*) Đặt y = 3 x +3x 2 +1 , đồ thò (C 1 ) y= k+2 , đường thẳng (d) Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của (C 1 ) và (d) . Nhìn vào đồ thò ta có :  k+2 > 1 <=> k > 1 : pt (*) có hai nghiệm  k+2 =1 <=> k=1 : pt (*) có một nghiệm  k+2 < 1 <=> k < 1 : pt (*) vô nghiệm Ví dụ 8:a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y= 2 x x 1 ; b) Suy ra đồ thò hàm số y = 2 x x 1 Giải :+ TXĐ : D = R\{1} + Tiệm cận: vì x ( 1) lim    2 x x 1 =+; x ( 1) lim    2 x x 1 = => x =1 là tiệm cận đứng Viết lại hàm số : y = x1 + 1 x 1 ; vì x lim  [y(x1)]= x lim  1 x 1 =0 => y = x1 là tiệm cận xiên + Đạo hàm : y / = 2 2 x 2x (x 1)   y’= 0 <=> x 2 +2x =0 <=> x 0 y(0) =0 x 2 y( 2) = 4           hàm số đồng biến (∞ ;2) ; (0;+∞ ) ; hàm số nghòch biến trên (2;1) ; (1;0) + Bảng biến thiên : x ∞ 2 1 0 +∞ y’ + 0   0 + y CĐ +∞ 0 +∞ ∞ 4 ∞ CT hàm số đạt cực đại tại x =2 ; y CĐ = 4 hàm số đạt cực tiểu tại x =0 ; y CT = 0 5 0 1 x y 1 1 k+2 +Đồ thò : Đồ thò đi qua gốc tọa độ Nhận I(1;2) làm tâm đối xứng b) Suy ra đồ thò hàm số y = 2 x x 1 =f( x ) + Đồ thò hàm số đối xứng qua trục tung + Nếu x ≥ 0 : giống đồ thò (C)  gọi là nhánh 1 + Nếu x <0 : Lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung Vậy đồ thò (C 2 ) như hình vẽ Ví dụ 9: a) Vẽ đồ thò hàm số y = x 1 x 2   ; b) Suy ra đồ thò hàm số y= x 1 x 2   , (C 2 ) Giải : Giải : + TXĐ : D = R\{2} + Tiệm cận: vì x (2) lim   x 1 x 2   =  ; x (2) lim   x 1 x 2   =+ => x =2 là tiệm cận đứng vì x lim  x 1 x 2   = x lim  1 1 x 2 1 x   =1 => y =1 là TCN + Đạo hàm : y / = 2 1 (x 2)   < 0 ,  x D Hàm số nghòch biến trên (∞;2) ; (2;+∞ ) + Bảng biến thiên : x ∞ 1 +∞ y’   y 2 +∞ ∞ 2 + Đồ thò : Đồ thò cắt Ox tại A(1;0) Đồ thò cắt trục Oy tại M(0; 1 2 ) . Nhận I(1;2) làm tâm đối xứng b) đồ thò hàm số y= x 1 x 2   =f( x ); đồ thò (C 2 ). 4 2 x y 1 O 2 1 x y 1 O x= 2 y=1 2 x y O 1 1/2 3 2 + Đồ thò hàm số đối xứng qua trục tung + Nếu x ≥ 0 : giống đồ thò (C)  gọi là nhánh 1 + Nếu x <0 : Lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung Vậy đồ thò (C 2 ) như hình vẽ Chú ý : + Tiệm cận đứng : x=2 và x=2 Ví dụ 10: a)Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số : y= 2 x x 2 x 1    , đồ thò (C) b) Suy ra đồ thò hàm số y = 2 x x 2 x 1    , (C 2 ) Giải : + TXĐ : D = R\{1} +Tiệm cận:vì x (1) lim   2 x x 2 x 1    = + ; x (1) lim   2 x x 2 x 1    = => x =1 là tiệm cận đứng Viết lại hàm số : y = x+2 + 4 x 1 ; vì x lim  [y(x+2)]= x lim  4 x 1 =0 => y = x+2 là tiệm cận xiên + Đạo hàm : y / = 2 2 x 2x 3 (x 1)    y’= 0 <=> x 2 2x3 =0 <=> x 1 y( 1) = 1 x 3 y(3) =7           hàm số đồng biến (∞ ;1) ; (3;+∞ ) ; hàm số nghòch biến trên (1;1) ; (1;3) + Bảng biến thiên : x ∞ 1 1 3 +∞ y’ + 0   0 + y CĐ +∞ 7 +∞ ∞ 1 ∞ CT hàm số đạt cực đại tại x =1 ; y CĐ = 1 hàm số đạt cực tiểu tại x =3 ; y CT = 7 +Đồ thò :Đồ thò cắt trục tung tại điểm A(0;2).Nhận I(1;3) làm tâm đối xứng x= 2 y=1 2 x y O 1 1 1/2 3 2 3 x=2 3 1 x y 2 7 O 2 2 b) Suy ra đồ thò hàm số y = 2 x x 2 x 1    =f( x ); đồ thò (C 2 ). + Đồ thò hàm số đối xứng qua trục tung + Nếu x ≥ 0 : giống đồ thò (C)  gọi là nhánh 1 + Nếu x <0 : Lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung Vậy đồ thò (C 2 ) như hình vẽ Chú ý : + Tiệm cận đứng : x=1 và x=1 + Tiệm cận xiên : y= x+2 và y=x+2 3. Cho hàm số y = f(x) , có đồ thò (C) + Đồ thò hàm số y = x   .g(x) , (C 2 ) với (x).g(x) = f(x) (C 2 ) được suy ra từ đồ thò (C) như sau : + Viết lại y = x   .g(x)= f(x)          Khi x 0 f(x) Khi x < 0 = f(x)        Khi x f(x) Khi x < Đồ thò gồm hai nhánh :  Nhánh 1 là phần đồ thò (C) với x    Nhánh 2, lấy đối xứng phần đồ thò (C) với x <  qua trục hoành Ví dụ 11: a) Vẽ đồ thò hàm số y= x 1 x 1   , (C) b) Suy ra đồ thò y= x 1 x 1   , đồ thò (C 1 ) c) Suy ra đồ thò y = x 1 x 1   , đồ thò (C 2 ) d) Suy ra đồ thò y = x 1 x 1   , đồ thò (C 3 ) 2) Vẽ đồ thò hàm số y = 2 x x 1 x 1    , (C) Từ đó suy ra đồ thò hàm số y = 2 x x 1 x 1    , đồ thò (C 1 ) 4) a) Khảo sát hàm số : y = 2 (x 1) x 2   b) Biện luận theo m số nghiệm pt : (x+1) 2 m |x+2| = 0 3 1 x y 2 7 O 3 2 2 2 . y= x 2 4x +3 +TXD : D= R + Đạo hàm : y’=2x4 y’=0 <=> x=2 + Bảng biến thi n : x   2 + y’  0 + y + 1 + CT + Đồ thò : x=1 => y=0 x=3 =>. y(0) =2 BXD x ∞ 0 +∞ y’’  0 + Điểm uốn I(0;2) Đồ thò lồi lõm + Bảng biến thi n : x ∞ 1 1 +∞ y’ + 0  0 + y CĐ 0 +∞ ∞ 4 CT hàm số đạt cực đại tại x