CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

GIẢI TÍCH 12 Trang1 Gv : Trònh Công Sự CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I. HÀM BẬC BA. Bài 1: Cho hàm số    3 2 3 2y x x . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :     3 2 3 2 0x x m . c) Chứng minh đồ thò   C có một tâm đối xứng Bài 2: Cho hàm số    3 2 2 3 5y x x . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :     3 2 2 3 4 0x x m . c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò   C biết tiếp tuyến đó song song với    : 12 2006d y x . Bài 3: Cho hàm số    3 2 1 2 3 3 y x x x . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :      3 2 1 3 3 1 0 3 x x x m . c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò   C biết tiếp tuyến đó vuông góc với     : 3 2 0d x y . Bài 4: Cho hàm số           3 2 2 3 6 1 2 1y x x m x m . a) Đònh m để hàm số có cực đại và cực tiểu . b) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số khi m = 1 . c) Dùng đồ thò   C biện luận theo k số nghiệm của phương trình :     3 2 2 3 2 0x x k . Bài 5 : Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + 1 . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Dựa vào đồ thò   C biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 3 + 3x 2 + m = 0 c) Từ gốc tọa độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thò   C . Viết phương trình các tiếp tuyến đó . Bài 6 : Cho hàm số     3 3 2y x x . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :     3 3 1 0x x m c) Cho   d là đường thẳng đi qua điểm uốn của   C có hệ số góc k . Biện luận theo k vò trí tương đối của   d và   C . Bài 7 : Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 – 1 . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Dựa vào đồ thò biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 3 – 3x 2 + 5 – 2m = 0 . c) Viết phương trình tiếp tuyến của   C , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng   : 4 1y x GIẢI TÍCH 12 Trang2 Gv : Trònh Công Sự Bài 8 : Cho hàm số    3 2 4 4y x x x . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Lập phương trình tiếp tuyến với   C đi qua điểm A   0;6 . c) Gọi   k d là đường thẳng qua gốc tọa độ O có hệ số góc k . Đònh k để đường thẳng   k d cắt   C tại 3 điểm phân biệt . Bài 9 : Cho hàm số :       3 2 3 4y x m x mx có đồ thò là   m C . a) Đònh m để   m C có cực trò . b) Khảo sát và vẽ đồ thò   0 C của hàm số khi m = 0 . c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò   0 C đi qua A       1 ;0 3 . Bài 10 : Cho hàm số :      3 2 3 3 3 4y x x mx m có đồ thò   m C . a) Đònh m để   m C có cực trò . b) Đònh m để   m C cắt Ox tại 3 điểm phân biệt . c) Khảo sát và vẽ đồ thò   1 C của hàm số khi m = 1 . d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò   1 C đi qua A   0;7 . II. HÀM TRÙNG PHƯƠNG Bài 1 : Cho hàm số 4 2 y x 2x 3    có đồ thò   C . a) Khảo sát hàm số. b) Dựa vào đồ thò   C , hãy xác đònh m để phương trình 4 2 x 2x m 0   có bốn nghiệm phân biệt. Bài 2 : Cho hàm số 4 2 1 9 y x 2x 4 4     a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò   C vẽ từ 9 A 0; 4       . Bài 3 : Cho hàm số    4 2 1 3 3 2 2 y x x . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của   C tại điểm uốn . c) Tìm tiếp tuyến của   C đi qua điểm       3 0; 2 A . Bài 4 : Cho hàm số :         4 2 2 9 10 1y mx m x ( m là tham số ) a) Khảo sát và vẽ đồ thò   1 của hàm số khi m = 1. b) Tìm m để hàm số   1 có ba cực trò . GIẢI TÍCH 12 Trang3 Gv : Trònh Công Sự Bài 5 : Cho hàm số    4 2 9 2 4 4 x y x . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của   C tại các giao điểm của nó với trục Ox. c) Biện luận theo k số giao điểm của   C với đồ thò của hàm số 2 y k 2x  . Bài 6 : Cho hàm số :        4 2 5y f x x mx m có đồ thò là   m C a) Xác đònh m để   m C có ba điểm cực trò. b) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số với m 2  . c) Viết phương trình tiếp tuyến của   C song song với đường thẳng   d : y 24x 1  . III. HÀM nhất biến Bài 1 : Cho hàm số    3 2 2 x y x có đồ thò là   C . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Tìm các điểm trên   C có tọa độ là những số nguyên . c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của   C đi qua giao điểm hai đường tiệm cận của   C . Bài 2 : Cho hàm số    3 1 x y x có đồ thò là   C . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Chứng minh rằng đường thẳng  2y x m luôn cắt   C tại 2 điểm phân biệt M và N. c) Xác đònh m sao cho độ dài đọan MN là nhỏ nhất. Bài 3: Cho hàm số    1 1 x y x có đồ thò là   C . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Chứng minh đồ thò nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng . c) Viết phương tiếp tuyến của   C tại   M 0; 1 . Bài 4 : Cho hàm số    2 1 1 x y x có đồ thò là   C . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . Tìm các điểm trên   C có tọa độ là những số nguyên . b) Tìm trên   C những điểm có tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận của   C là nhỏ nhất . c) Đường thẳng   d đi qua A   1;1 có hệ số góc k . Đònh k để   d cắt   C tại hai điểm thuộc hai nhánh của   C . d) Lập phương trình tiếp tuyến với   C , biết tiếp tuyến đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất . Bài 5 : Cho hàm số    2 3 x y x có đồ thò là   C . GIẢI TÍCH 12 Trang4 Gv : Trònh Công Sự a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Chứng minh giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thò làm tâm đối xứng của   C . c) Tìm điểm M trên đồ thò   C sao cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang. Bài 6 : Cho hàm số 2x 1 y x 1    . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số. b) Chứng minh đồ thò   C có tâm đối xứng. c) Gọi I là tâm đối xứng của   C . Tìm M thuộc   C sao cho IM nhỏ nhất. Bài 7 : Cho hàm số   3 x 1 y x 2    . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò   C của hàm số. b) Tìm tất cả các điểm trên   C có toạ độ là các số nguyên. c) Viết phương trình tiếp tuyến của   C kẽ từ gốc toạ độ. IV. HÀM hữu tỉ Bài 1 : Cho hàm số     2 x x 1 y x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số. b) Dựa vào đồ thò,hãy biện luận theo m số nghiệm của phươngtrình        2 x 1 m x 1 m 0 c) Chứng minh   C không có tiếp tuyến nào song song với đường thẳng  y 2x 1 . Bài 2 : Cho hàm số        2 3 1 x m x m y x , m là tham số, đồ thò là   m C . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số khi m = 2 . b) Chứng minh rằng   m C nhận giao điểm các đường tiệm cận làm tâm đối xứng. c) Đường thẳng   d đi qua gốc tọa độ có hệ số góc làk .  Biện luận theo k số giao điểm của đường thẳng   d và đồ thò   C .  Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thò   C vẽ từ góc tọa độ .Vẽ tiếp tuyến đó. Bài 3 : Cho hàm số      2 2 2 1x mx m y x m với m là tham số . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số với m = 1 . b) Viết phương trình đường thẳng   d đi qua điểm   3;0A có hệ số góc k .Biện luận theo k số giao điểm của đồ thò   C và đường thẳng   d . Viết phương trình tiếp tuyến của   C đi qua điểm A . c) Chứng minh với m bất kì đồ thò hàm số luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và tổng các tung độ của chúng bằng 0. GIẢI TÍCH 12 Trang5 Gv : Trònh Công Sự Bài 4 : Cho hàm số     1 2 1 1 y x x a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến với   C kẻ từ điểm A   1;3 . c) Đònh m để đường thẳng    :d y x m cắt   C tại hai điểm I , J sao cho độ dài IJ bằng 4. Bài 5 : Cho hàm số    2 2 1 x y x có đồ thò là   C . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Tìm các điểm trên   C có tọa độ là những số nguyên . c) Tìm các điểm trên   C cách đều hai trục tọa độ. Bài 6 : Cho hàm số    2 3 1 x y x có đồ thò là   C . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Dùng độ thò biện luận theo m số nghiệm của phương trình :     2 3 0x mx m . c) Một điểm   0 0 ;M x y bất kì thuộc   C . Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận không đổi . d) Tìm điểm M trên   C sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. Bài 7 : Cho hàm số    2 5 1 x y x có đồ thò là   C . a) Khảo sát và vẽ đồ thò   C của hàm số . b) Dùng đồ thò biện luận theo m số nghiệm của phương trình :     2 5 0x mx m . c) Viết phương trình tiếp tuyến    đi qua   3;0M đến   C . d) Một điểm   0 0 ;M x y bất kì thuộc   C . Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận không đổi . Bài 8 : TNTHPT 2007 Cho hàm số 2 y x 1 2x 1     , gọi đồ thò của hàm số là   H . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò   H tại điểm   A 0; 3 . Bài 9 : ĐH khối D 2003 Cho hàm số       2 2 4 1 2 x x y x ( với m là tham số ) . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số   1 . b) Tìm m để đường thẳng     : 2 2 m d y mx m cắt đồ thò của hàm số   1 tại hai điểm phân biệt