Một số phương pháp giải hệ phương trình

dành cho những bạn muốn giải được câu II trong đề thi ĐH

M T S K THU T GI I H PH NG TRèNH Luy n thi i H c 2011 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong i n (lo i) M T S PHNG PHP GI I H PHNG TRèNH Tham kh o T p chớ THTT 2010 Trong cỏc thi i h c nh ng nm gn õy, ta g p r t nhi u bi toỏn v h phng tr ỡnh . Nh m giỳp cỏc b n ụn thi t t, bi vi t ny chỳng tụi xin gi i thi u m t s d ng bi v k nng gi i. I.H S D NG PHNG PHP BI N I TNG NG. c i m chung c a d ng h ny l s d ng cỏc k nng bin i ng nh t c bi t l k nng phõn tớch nhm a m t PT trong h v d ng n gi n ( cú th rỳt theo y ho c ng c l i ) r i th vo PT cũn l i trong h . *Lo i th nh t: Trong h cú m t phng trỡnh b c nh t v i n x ho c y khi ú ta tỡm cỏch rỳt y theo x ho c ng c l i. Vớ d 1. Gi i h phng trỡnh ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 3 4 1 1 1 2 ỡ + + + = - + ù ớ + + = ù ợ x y x y x x xy x x Gi i. D th y 0 =x khụng th a món PT(2) nờn t (2) ta cú : 2 1 1 - + = x y x thay vo (1) ta c ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 x . 3 4 1 1 2 1 1 3 1 ổ ử - - + = - + - - = - - ỗ ữ ố ứ x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 1 1 2 2 1 1 3 1 1 2 2 4 0 0 2 = ộ ờ - + - - = - - - + - = = ờ ờ = - ở x x x x x x x x x x x x x T ú, ta c cỏc nghi m c a h l : (1; - 1) , ( - 2; 5 2 - ) *Lo i th hai: M t phng trỡnh trong h cú th a v d ng tớch c a cỏc phng trỡnh b c nh t hai n. Vớ d 2 . Gi i h phng trỡnh ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 2 ỡ + + = - ù ớ - - = - ù ợ xy x y x y x y y x x y Gi i . i u ki n: 1, 0 x y PT (1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 0 - - - + = + - - + =x xy y x y x y x y x y ( t i u ki n ta cú 0 + >x y ) 2 1 0 2 1 - - = = +x y x y thay vo PT (2) ta c : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 0 y 0 2 5 + = + + - = = ị =y x y y y y do y x *Lo i th ba: a mt phng trỡnh trong h v d ng phng trỡnh b c hai c a m t n, n cũn l i l tham s . Vớ d 3. Gi i h phng trỡnh ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 4 4 1 5 4 16 8 16 0 2 ỡ = + - ù ớ - - + - + = ù ợ y x x y x xy x y Gi i .Bi n i PT (2) v d ng ( ) 2 2 4 8 5 16 16 0 - + - + + =y x y x x www.VNMATH.com M T S K THU T GI I H PH NG TRèNH Luy n thi i H c 2011 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong i n Coi PT (2) l phng trỡnh n y tham s x ta cú 2 ' 9D = x t ú ta c nghi m ( ) ( ) 5 4 3 4 4 ộ = + ờ = - ờ ở y x y x Thay (3) vo (1) ta c: ( ) ( ) ( ) 2 4 0 5 4 5 4 4 5 0 4 ộ = - ị = ờ + = + - ờ = ị = ở x y x x x x y Thay (4) vo (1) ta c : ( ) ( ) ( ) 2 4 0 4 5 4 4 0 4 = ị = ộ - = + - ờ = ị = ở x y x x x x y V y nghi m c a h l : (0;4) , (4;0) , 4 ;0 5 ổ ử - ỗ ữ ố ứ II. H S D NG PHNG PHP T N PH i m quan tr ng nh t trong h d ng ny l phỏt hi n n ph ( ) ( ) , ; ,= =a f x y b g x y cú ngay trong t ng phng trỡnh ho c xu t hi n sau m t phộp bi n i h ng ng th c c b n ho c phộp chia cho m t bi u th c khỏc 0. Vớ d 4 . Gi i h phng trỡnh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 1 1 2 2 ỡ + + + = ù ớ + + - = ù ợ x y y x y x y x y Gi i . D th y 1=y khụng th a món PT(1) nờn HPT ( ) 2 2 1 4 1 2 1 ỡ + + + = ù ù ớ ổ ử + ù + - = ỗ ữ ù ố ứ ợ x y x y x y x y t 2 2 1 , 2 1 + = ỡ + = = + - ị ớ = ợ a b x a b y x ab y gi i h ta c 1= =a b t ú ta cú h 2 1 3 ỡ + = ớ + = ợ x y x y H ny b n c cú th gi i d dng. Vớ d 5. Gi i h ph ng tr ỡnh ( ) ( ) 2 2 2 3 4 4 7 1 2 3 ỡ + + + = ù + ù ớ ù + = ù + ợ xy x y x y x x y Gi i . i u ki n : 0+ ạx y HPT ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 7 1 3 ỡ + + - + = ù + ù ớ ù + + + - = ù + ợ x y x y x y x y x y x y www.VNMATH.com M  T S  K  THU  T GI  I H  PH  NG TRÌNH Luy  n thi  i H  c 2011 Giáo viên: LÊ BÁ B  O T  Toán THPT Phong i n  t ( ) 1 2 ; = + + ³ = - + a x y a b x y x y ta đ c h  ( ) ( ) 2 2 3 13 1 3 2 ì + = ï í + = ï î a b a b Gi  i h  ta đ c a=2 , b=1 ( do 2 ³a ) t  đó ta có h 1 2 1 1 1 0 1 ì + + = + = = ì ì ï + Û Û í í í - = = î î ï - = î x y x y x x y x y y x y III.H  S  D  NG PHNG PHÁP HÀM S H  lo  i này ta g  p nhi  u  hai d  ng ( ) 0=f x (1)và ( ) ( )=f x f y (2) v  i f là hàm đn đi  u trên t  p D và , x y thu  c D .Nhi  u khi ta c  n ph  i đánh giá  n , x y đ , x y thu  c t  p mà hàm f đn đi  u * Lo  i th  nh  t: M t phng trình trong h có d  ng ( ) ( )=f x f y , phng tr ình còn l  i giúp ta gi  i h  n , x y thu  c t  p D đ trên đ trên đó hàm f đn đi u . Ví d  6 . Gi  i h  phng trình ( ) ( ) 3 3 8 4 5 5 1 1 2 ì - = - ï í + = ï î x x y y x y Gi  i . T  PT (2) ta có 8 4 1; 1 1; 1£ £ Û £ £x y x y Xét hàm s  ( ) [ ] 3 5 ; 1;1 = - Î -f t t t t có ( ) [ ] 2 ' 3 5 0; 1;1 = - < " Î -f t t t do đó ( )f t ngh  ch bi  n trên kho  ng ( - 1;1) hay PT (1) Û =x y thay vào PT (2) ta đ  c PT : 8 4 1 0+ - =x x  t 4 0= ³a x và gi i phng trình ta đ c 4 1 5 1 5 2 2 - + - + = Þ = = ±a y x *Lo  i th  hai: Là d  ng h  đ i x  ng lo  i hai mà khi gi  i th ng d  n đ n c  hai tr ng h  p (1) và (2) Ví d  7. Gi  i h  phng trình 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1 - - ì + - + = + ï í + - + = + ï î y x x x x y y y Gi  i .  t 1; 1= - = -a x b y ta đ c h  ( ) ( ) 2 2 1 3 1 1 3 2 ì + + = ï í + + = ï î b a a a b b Tr  v  v  i v  2 PT ta đ c : 2 2 1 3 1 3+ + + = + + + a b a a b b (3) Xét hàm s  ( ) ( ) 2 2 2 1 1 3 ; ' 3 ln3 1 + + = + + + = + + t t t t f t t t f t t Vì ( ) 2 2 2 / 1 1 0 0, + > ³ - Þ + + > Þ > "t t t t t f t t do đó hàm s ( )f t đ ng bi  n trên R Nên PT (3) Û =a b thay vào PT (1) ta đ c 2 1 3 + + = a a a (4) Theo nh  n xét trên thì 2 1 0+ + >a a nên PT (4) ( ) 2 ln 1 ln 3 0 Û + + - =a a a ( l  y ln hai v  ) www.VNMATH.com M  T S  K  THU  T GI  I H  PH  NG TRÌNH Luy  n thi  i H  c 2011 Giáo viên: LÊ BÁ B  O T  Toán THPT Phong i n Xét hàm s  ( ) ( ) ( ) 2 2 1 ln 1 ln 3; g' ln 3 1 ln 3 0, 1 = + + - = - < - < " Î + g a a a a a a R a hay hàm ( ) g a ngh  ch bi  n trên  và do PT (4) có nghi  m 0=a nên PT (4) có nghi  m duy nh  t 0=a T  đó ta đ c nghi  m c  a h  ban đ u là : 1 = =x y . IV. H  S  D  NG PHNG PHÁP ÁNH GIÁ V  i phng pháp này, c  n lu ý phát hi n các bi  u th  c không âm và n  m v  ng cách v  n d  ng các b t đ ng th c c b n. Ví d  8 . Gi  i h  phng trình 2 2 3 2 2 3 2 2 9 2 2 9 ì + = + ï - + ï í ï + = + ï - + î xy x x y x x xy y y x y y Gi  i. C  ng v  v  i v  hai PT ta đ c 2 2 2 2 3 3 2 2 2 9 2 9 + = + - + - + xy xy x y x x y y (1) Ta có : ( ) 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 9 1 8 2 2 2 9 2 9 - + = - + ³ Þ £ £ = - + - + xy xy xy x x x xy x x x x Tng t 2 3 2 2 9 £ - + xy xy x x mà theo b  t đ ng th  c Côsi 2 2 2+ ³x y xy Nên VT(1) £ VP(1) D  u b  ng x  y ra khi x y 1 0 = = é ê = = ë x y th  l i ta đ c nghi  m c  a h  là: (0;0) , (1;1) Ví d  9 . Gi  i h  phng trình 3 3 3 4 2 6 2 ì = - + + ï í = - - ï î y x x x y y Gi  i. HPT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 2 1 2 2 ì ì - = - - - - = - + - ï ï Û Û í í - = - - - = + - ï ï î î y x x y x x x y y x y y N  u 2>x t  (1) suy ra 2 0- <y di  u này mâu thu  n v  i PT(2) có ( ) 2 -x và ( ) 2-y cùng d  u . Tng t  v  i 2<x ta cng suy ra đi u vô lí . V  y nghi  m c  a h  là 2 = =x y . www.VNMATH.com M  T S  K  THU  T GI  I H  PH  NG TRÌNH Luy  n thi  i H  c 2011 Giáo viên: LÊ BÁ B  O T  Toán THPT Phong i n Hy v  ng m  t s  ví d  trên s  giúp b  n ph n nào k nng gi i h  .  k  t thúc bài vi  t m  i các b  n cùng gi  i các h  phng trình sau BÀI T  P T  LUY  N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 2 4 2 3 2 2 3 8 3 2 16 1) 2) 2 4 33 2 6 2 2 1 1 3 9 3) 4) 4 2 3 48 48 155 0 4 1 ln 2 ì + = - - = ì ï í í + - - = - = î ï î + - - = + ì + = ï í + - - - + = + + + + = ï î x y xy x y x y x y x y x x y x y x y y x y y x y x y x 0 ì ï í ï î 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 1 3 5 5) 6) 0 44 2007 2 0 1 7) 8) 2 3 6 12 13 0 2007 1 ì ì + = + + + + = - + - + - ï ï í í + + - = + + + = ï ï î î ì = - ï ì - + = - ï í í + + - + = ï = - ï - î x y x y x x x y y y x xy y y x y x y y e x y x y y x x x y x e x ï ï î www.VNMATH.com M T S K THU T GI I H PH NG TRèNH Luy n thi i H c 2011 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong i n M T S CH í KHI GI I H PHNG TRèNH Tham kh o T p chớ THTT 400- 2010 Bi toỏn 1: (A- 2008) Gi i h phng tr ỡnh: ( ) 2 3 2 4 2 5 4 5 1 2 4 x y x y xy xy x y xy x ỡ + + + + = - ù ù ớ ù + + + = - ù ợ L i gi i: H ó cho tng ng v i ( ) 2 3 2 2 2 5 4 5 4 x y x y xy xy x y xy ỡ + + + + = - ù ù ớ ù + + = - ù ợ Suy ra ( ) ( ) 2 2 2 2 x y xy x y x y+ + + = + ( ) ( ) 2 2 1 0x y x y xy + + - - = a) 2 2 0 0 5 4 x y x y xy ỡ + = ù + = ị ớ = - ù ợ (I) H (I) cú nghi m ( ) 3 3 5 25 ; ; 4 16 x y ổ ử = - ỗ ữ ố ứ b) 2 2 1 2 1 0 3 2 x y x y xy xy ỡ + = - ù ù + - - = ị ớ ù = - ù ợ (II) H (II) cú nghi m ( ) 3 ; 1; 2 x y ổ ử = - ỗ ữ ố ứ V y h ó cho cú hai nghi m ( ) ; x y l 3 3 5 25 ; 4 16 ổ ử - ỗ ữ ố ứ ; 3 1; 2 ổ ử - ỗ ữ ố ứ . Bi toỏn 2: (B- 2009) Gi i h phng trỡnh: 2 2 2 1 7 1 13 xy x y x y xy y + + = ỡ ớ + + = ợ L i gi i: D th y 0y ạ nờn h ó cho tng ng v i 2 2 2 1 1 7 7 1 1 13 13 x x x x y y y y x x x x y y y y ỡ ỡ + + = + + = ù ù ù ù ớ ớ ổ ử ù ù + + = + - = ỗ ữ ù ù ợ ố ứ ợ www.VNMATH.com M T S K THU T GI I H PH NG TRèNH Luy n thi i H c 2011 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong i n Suy ra 2 1 1 20 0x x y y ổ ử ổ ử + + + - = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ . a) 1 5 1 5 12 x y x y x y ỡ + = - ù + = - ị ớ ù = ợ (H vụ nghi m) b) 1 4 1 4 3 x y x y x y ỡ + = ù + = ị ớ ù = ợ . Tr ng h p ny h cú hai nghi m ( ) 1 ; 1; 3 x y ổ ử = ỗ ữ ố ứ v ( ) ( ) ; 3;1 x y = . Nh n xột: Qua hai vớ d thi tuy n sinh nờu trờn, chỳng ta th y r ng ụi khi ch c n bi n i c b n, d a vo cỏc h ng ng th c l cú th c k t qu . Ta xột ti p cỏc vớ d ũi h i cỏc phộp bi n i ph c t p hn. Bi toỏn 3: Gi i h phng trỡnh: 12 1 2 3 12 1 6 3 x y x y y x ỡ ổ ử - = ù ỗ ữ + ùố ứ ớ ổ ử ù + = ỗ ữ ù + ố ứ ợ L i gi i: i u ki n 0, 0, 3 0x y y x> > + ạ . H ó cho tng ng v i 1 3 12 2 1 1 3 12 6 1 3 12 1 3 3 x y y x x y x y y x x y ỡ ỡ + = - = ù ù + ù ù ớ ớ - ù ù - = - = ù ù + + ợ ợ Suy ra 2 2 2 1 9 12 6 27 0 6 27 0. 3 y y y xy x x y y x x x - ổ ử ổ ử - = ị + - = ị + - = ỗ ữ ỗ ữ + ố ứ ố ứ Tỡm c 3 y x = v 9 y x = - (lo i). V i 3 y x = ta c ( ) ( ) 2 2 1 3 ; 3 1 3 x y= + = + . Bi toỏn 4: Gi i h phng trỡnh: log log (1) 2 2 3 (2) y x x y xy y ỡ = ù ớ + = ù ợ L i gi i: i u ki n 0, 0, 1, 1 x y x y> > ạ ạ . T (1) cú 2 2 0t t+ - = v i log y t x= . a) V i log 1 y x = , ta c 2 3 log 2 x y ổ ử = = ỗ ữ ố ứ . b) V i log 2 y x = - , ta c 2 1 x y = . Th vo (2) c 2 1 2 2 3 (3) y y + = Tr ng h p ny PT (3) vụ nghi m. Th t v y: + N u 1 y > thỡ 2 2 1 1 2 2; 2 1 2 2 3 y y y y > > ị + > . www.VNMATH.com M T S K THU T GI I H PH NG TRèNH Luy n thi i H c 2011 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong i n + N u 0 1y< < thỡ 2 1 1 y > suy ra: 2 2 1 1 2 1; 2 2 2 2 3 y y y y > > ị + > . V y h ó cho ch cú m t nghi m ( ) 2 2 3 3 ; log ;log 2 2 x y ổ ử ổ ử ổ ử = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ . Bi toỏn 5: (D b D- 2008) Gi i h phng trỡnh: 2 2 2 2 2 2 36 60 25 0 36 60 25 0 36 60 25 0 x y x y y z y z z x z x ỡ - + = ù - + = ớ ù - + = ợ L i gi i: H ó cho tng ng v i 2 2 2 2 2 2 60 36 25 60 36 25 60 36 25 x y x y z y z x z ỡ = ù + ù ù = ớ + ù ù = ù + ợ Hi n nhiờn h ny cú nghi m ( ) ( ) ; ; 0; 0;0 . x y z = Di õy ta xột , , 0x y z ạ . T h trờn ta th y , , 0x y z > . S d ng b t ng th c Cauchy ta cú: 2 2 2 2 2 60 60 60 36 25 60 2 36 .25 x x x y x x x x = Ê = = + . Tng t ta thu c y x z y Ê Ê Ê . Suy ra x y z = = . T ú suy ra h cú m t nghi m n a 5 . 6 x y z= = = Bi toỏn 6: Gi i h phng trỡnh: ( ) 3 4 1 8 1 x y x x y ỡ - - = - ù ớ - = ù ợ L i gi i: k 1, 0.x y Th y t PT(2) vo PT(1) ta c ( ) 2 3 1 1 8 (3) x x x- - - = - T (3) cú 3 2 1 2 9 (4)x x x x- = - + - + Xột hm s ( ) 3 2 ( ) 2 9 1f x x x x x= - + - + . Ta cú ( ) / 2 ( ) 3 2 2 0 1f x x x x= - + - < " . Suy ra hm s ( ) f x luụn luụn ngh ch bi n khi 1x . M t khỏc, hm s ( ) 1g x x= - luụn ngh ch bi n khi 1x nờn 2x = l nghi m duy nh t c a PT(4). V y h cú m t nghi m duy nh t ( ) ( ) ; 2;1x y = . Nh n xột: i v i bi toỏn trờn, dung cụng c o hm gi i quy t l r t hay, tuy nhiờn, ta c ng cú th trỏnh c o hm b ng cỏch bi n i khộo lộo nh sau: www.VNMATH.com M T S K THU T GI I H PH NG TRèNH Luy n thi i H c 2011 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong i n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 PT(3) 1 1 1 1 8 0 2 2 2 2 4 0 1 1 1 2 Do 2 4 0, 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x ộ ự - - - - - + - = ở ỷ - - - + - + + = - + ổ ử = + + + > " ỗ ữ - + ố ứ Di õy, xin nờu mt bi toỏn trong thi tuy n sinh i h c g n nh t m n u khụng dựng n cụng c o hm thỡ khú cú th gi i quy t c. Bi toỏn 7: (A- 2010) Gi i h phng trỡnh: ( ) ( ) 2 2 2 4 1 3 5 2 0 (1) 4 2 3 4 7 (2) x x y y x y x ỡ + + - - = ù ớ + + - = ù ợ L i gi i: k 3 5 ; 4 2 x yÊ Ê . ( ) ( ) 2 PT(1) 4 1 2 5 2 1 5 2x x y y + = - + - t ( ) ( ) 2 2 2 1 1 5 2 x u u u v v y v = ỡ ù ị + = + ớ - = ù ợ . Hm ( ) 2 ( ) 1f t t t= + cú / 2 ( ) 3 1 0f t t= + > nờn ( ) f t luụn ng bi n trờn , suy ra: 2 0 2 5 2 5 4 2 x u v x y x y ỡ ù = = - ớ - = ù ợ Th y vo PT (2) ta c: 2 2 2 5 4 2 2 3 4 0 (3) 2 x x x ổ ử + - + - = ỗ ữ ố ứ Nh n th y 0x = v 3 4 x = khụng ph i l nghi m c a PT (3). Xột hm s : 2 2 2 5 ( ) 4 2 2 3 4 2 g x x x x ổ ử = + - + - ỗ ữ ố ứ trờn 3 0; 4 ổ ử ỗ ữ ố ứ . Ta cú ( ) / 2 2 5 4 4 ( ) 8 8 2 4 4 3 0 2 3 4 3 4 g x x x x x x x x ổ ử = - - - = - - < ỗ ữ - - ố ứ trờn 3 0; 4 ổ ử ỗ ữ ố ứ . Suy ra ( )g x ngh ch bi n trờn 3 0; 4 ổ ử ỗ ữ ố ứ . Nh n th y 1 0 2 g ổ ử = ỗ ữ ố ứ , nờn PT(3) cú nghi m duy nh t 1 2 x = . V i 1 2 x = thỡ 2y = . V y h ó cho cú m t nghi m ( ) 1 ; ;2 2 x y ổ ử = ỗ ữ ố ứ . Bi toỏn 8: Gi i h phng trỡnh: 5 4 10 6 2 (1) 4 5 8 6 (2) x xy y y x y ỡ + = + ù ớ + + + = ù ợ L i gi i: Hi n nhiờn 0 y ạ . Chia h ai v c a PT(1) cho 5 0y ạ ta c 5 5 x x y y y y ổ ử ổ ử + = + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ . www.VNMATH.com M  T S  K  THU  T GI  I H  PH  NG TRÌNH Luy  n thi  i H  c 2011 Giáo viên: LÊ BÁ B  O T  Toán THPT Phong i n Hàm s  5 ( )f t t t= + có / 4 ( ) 5 1 0, f t t t= + > " nên hàm s  ( )f t luôn đ ng bi  n nên 2 . x y x y y = Û = Th  2 x y= vào PT(2) ta đ c 4 5 8 6x x+ + + = . Tìm đ c 1x = . V  y h  có hai nghi  m ( ) ( ) ; 1;1x y = và ( ) ( ) ; 1; 1x y = - . BÀI T  P T  LUY  N: Gi  i các h  phng trình sau: 4 3 2 2 4 3 2 2 3 2 2 1 2 2 9 1) 2) 1 2 6 6 2 6 2 11 1 3) 4) 7 6 26 3 2 3 2 x x y x y x x y x y x x y x xy x xy x x y x y x y y x y y x y x x x y x y ì ì - + = + + = + ï ï í í - + = - + = + ï ï î î ì + = - - ì - - - = ï ï í í - + - = ï ï î + - = + - î ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 6 2 2 2 12 20 0 5) 6) ln 1 ln 1 2 2 3 2 2 2 2 2 7) 8) 2 1 2 2 4 1 0 x y x x y x x xy y x y y x x y x y x y x y y x x xy x y x x y x x y x + - - ì ì - + = + = + ï ï í í + - + = - - = - ï ï î î ì + = + + + = ï ï í + + = + ï + - - + = ï î ( ) ( ) 2 3 2 3 3 1 3 3 2 9) 2 1 log log 3 1 2 y x x x y y x y x y x ì ï í ï î ì - = - - ï í æ ö - - æ ö + = - ç ÷ ç ÷ ï - - è ø è ø î www.VNMATH.com . bi t l k nng phõn tớch nhm a m t PT trong h v d ng n gi n ( cú th rỳt theo y ho c ng c l i ) r i th vo PT cũn l i trong h . *Lo i th nh t:. h cú m t phng trỡnh b c nh t v i n x ho c y khi ú ta tỡm cỏch rỳt y theo x ho c ng c l i. Vớ d 1. Gi i h phng trỡnh ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1