SAI LẦM TRONG CỰ TRỊ ĐẠI SỐ

GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP. QUY NHN SAI LM TRONG CC TR I S A1 - DNG SAI LM TH NHT Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nhng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nhng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nhng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nhng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị(hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ nhỏ nhỏ nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) hoặc biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) nhất (hoặc lớn nhất) hoặc biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất)nhất (hoặc lớn nhất) hoặc biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) nhất (hoặc lớn nhất) hoặc biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) Bài 1: Bài 1:Bài 1: Bài 1: Cho x, y là hai số dơng thoả mãn 1 1.x y + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 32. 2007. . x y M y x = + Li gii cú vn ủ Từ x, y > 0 ta có 2 x y y x + . Từ x, y > 0 và 1 1x y + ta có 2 1 1 1 4 . 4. y x x y y x + Do vậy 32. 2007. 32. 1975. 32.2 1975.4 7964 x y x y y M y x y x x = + = + + + = . Dấu = xảy ra x = y . Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7964, giá trị này đạt đợc khi x = y . Bỡnh lun Nhng! . x = y thì M = 2039. Vậy sai lầm ở đâu? Gii ủỏp Lời giải sai ở chỗ với x, y > 0 thì 2 x y y x + . Dấu = xảy ra x = y, còn 4, y x Dấu = xảy ra y = 4x. Mặt khác có thể thấy x = y thì mâu thuẫn với giả thiết 1 1.x y + Nh vậy nguyên nhân của sai lầm trong lời giải trên là trong một bài toán mà sử dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị nhng các dấu = không đồng thời xảy ra . Li gii ủỳng GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP. QUY NHN Từ giả thiết ta có 2 1 1 1 4 . 4. y x x y y x + áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có 32. 2007. 32. 2. 2005. 2. 32. .2. 2005.4 8036 x y x y y x y M y x y x x y x = + = + + + = . Dấu = xảy ra 1 ; 2 2 x y= = . Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8036, giá trị này đạt đợc khi 1 ; 2 2 x y= = . Bài 2: Bài 2:Bài 2: Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3A x y= + biết 2 2 2 3 5x y+ . Li gii cú vn ủ Gọi 2 2 2 3 ,B x y= + ta có 5.B Xét 2 2 2 3 2 3A B x y x y+ = + + + ( ) ( ) 2 2 2 3x x y y= + + + 2 2 1 1 5 5 2 3 (1) 2 2 4 4 x y = + + + Ta lại có 5B nên 5B (2) Cộng (1) với (2) ta đợc 25 4 A . Min 25 1 . 4 2 A x y= = = Bỡnh lun Nhng với 1 5 2 2 x y A= = = , vậy sai lầm ở đâu? Gii ủỏp Sai lầm ở chỗ với 1 2 x y= = , chỉ xảy ra dấu = ở (1), còn dấu = ở (2) không xảy ra. Thật vậy với 1 2 x y= = thì 5 5 4 B = . Do đó 5B . Li gii ủỳng áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2. 2 3. 3 2 3 2 3 5.5 25A x x x y= + + + = 2 2 3 25 2 3 x y A x y= = = Do 2 25A nên 5 5A . GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP. QUY NHN Min 5 1. 2 3 5 x y A x y x y = = = = + = Max 5 1. 2 3 5 x y A x y x y = = = = + = Bài 3: Bài 3:Bài 3: Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , 1 .F x y x y x y x= + + + + Li gii cú vn ủ Ta thấy ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ; 1 ;x y x y x+ + không đồng thời bằng 0 nên ( ) , 0.F x y > ( ) ,F x y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ( ) 2 1a x = + và ( ) ( ) 2 2 b x y y x = + + đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất. ( ) 2 1a x = + đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = -1. Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 2 2,b x y y x y= + + = + nên b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi y = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của ( ) ,F x y là 2 khi 1 0 x y = = . Bỡnh lun Phải chăng lời giải trên là đúng? Gii ủỏp Lời giải mắc sai lầm ở bớc lập luận: ( ) ,F x y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ( ) 2 1a x= + và ( ) ( ) 2 2 b x y y x= + + đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất. Lập luận này chỉ đúng khi các giá trị nhỏ nhất đó đạt đợc tại cùng một giá trị của các biến. Rõ ràng ở đây a đạt giá trị nhỏ nhất khi x = -1, còn b đạt giá trị nhỏ nhất khi x + y = x y = 0, tức là khi x = y = 0. Li gii ủỳng Biến đổi ( ) 2 2 2 2 1 2 2 , 3 2 1 2 3 2 . 3 3 3 F x y x x y x y = + + + = + + + Đẳng thức xảy ra 1 , 0. 3 x y = = Vậy giá trị nhỏ nhất của ( ) ,F x y là 2 3 , giá trị này đạt đợc khi 1 , 0. 3 x y= = Bài 4: Bài 4:Bài 4: Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 5 2 2 14 10 1D x xy y x y= + + . Li gii cú vn ủ Ta có 2 2 5 2 2 14 10 1D x xy y x y= + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 14 10 1x xy y x x y y= + + GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP. QUY NHN ( ) ( ) 2 2 2 7 145 2 5 2 4 x y x y = + + Suy ra 145 4 D . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 0 7 7 2 0 2 4 5 0 5 x y x y x x y y + = = = = = = Hệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất Bỡnh lun Bạn có đồng ý với kết luận trên của bài toán không? Lời giải đã thuyết phục cha? Gii ủỏp Từ biến đổi đến ( ) ( ) 2 2 2 7 145 2 5 2 4 D x y x y = + + thì mới chỉ suy ra 145 4 D , còn việc kết luận giá trị lớn nhất của D không tồn tại là cha chính xác, không có căn cứ xác đáng. Li gii ủỳng Cách 1: Cách 1:Cách 1: Cách 1: Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 6 6 2 9 4 8 4 4 4 16D x y x y xy x x y y= + + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 1 2 16x y x y= + + Suy ra 16D . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 3 0 1 1 0 2 2 0 x y x x y y + = = = = = Vậy Max D = 16, giá trị này đạt đợc khi và chỉ khi x = 1 và y = 2. Lời giải trên tuy đúng song có vẻ thiếu tự nhiên, cách 2 sau đây sẽ mang tính thuyết phục hơn. Cách 2: Cách 2:Cách 2: Cách 2: Biểu thức tổng quát dạng 2 2 ( , ) ( , , 0)P x y ax bxy cy dx ey h a b c= + + + + + Cách giải: Biến đổi ( , )P x y về một trong hai dạng sau: Dạng 1: 2 2 ( , ) . ( , ) . ( ) (1)P x y m F x y n H x g = + + Dạng 2: 2 2 ( , ) . ( , ) . ( ) (2)P x y m F x y n K y g = + + Trong đó ( ), ( )H x K y là biểu thức bậc nhất đối với biến của chúng, còn ( , )F x y là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y. Nếu 0, 0m n> > thì ta có ( , )max P x y g= . Giá trị này đạt đợc khi và chỉ khi ( , ) 0 ( ) 0 F x y H x = = hoặc ( , ) 0 ( ) 0 F x y K y = = . GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP. QUY NHN Nếu 0, 0m n< < thì ta có min ( , )P x y g= . Giá trị này đạt đợc khi và chỉ khi ( , ) 0 ( ) 0 F x y H x = = hoặc ( , ) 0 ( ) 0 F x y K y = = . Để biến đổi đợc nh vậy, ta coi một biến là biến chính rồi tìm cách biến đổi đề áp dụng các hằng đẳng thức ( ) ( ) + + = + + = 2 2 2 2 2 2 2 , 2a ab b a b a ab b a b ở đây ta chọn biến y là biến chính Cụ thể: Ta có 2 2 5 2 2 14 10 1D x xy y x y= + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 5 2. 5 5 14 1 4 2 x x y x y x x = + + + + ( ) 2 2 9 1 5 2 16 16 2 2 x x y = + + Suy ra 16D . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 5 1 0 2 2 1 0 x x y y x = + = = = Vậy Max D = 16, giá trị này đạt đợc khi và chỉ khi x = 1 và y = 2. A2 - DNG SAI LM TH HAI Không xác định điều kiện xảy ra dấu bằng trong BĐT Không xác định điều kiện xảy ra dấu bằng trong BĐT Không xác định điều kiện xảy ra dấu bằng trong BĐT Không xác định điều kiện xảy ra dấu bằng trong BĐT f m (hay (hay (hay (hay f m ), hoặc điều kiện xảy ra dấu ), hoặc điều kiện xảy ra dấu ), hoặc điều kiện xảy ra dấu ), hoặc điều kiện xảy ra dấu bằng không thoả mãn giả thiết. bằng không thoả mãn giả thiết. bằng không thoả mãn giả thiết. bằng không thoả mãn giả thiết. Bài 5: Bài 5:Bài 5: Bài 5: Cho x, y, z thoả mãn 2 2 2 27x y z+ + . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .P x y z xy yz zx= + + + + + Li gii cú vn ủ Với mọi x, y, z ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0; 0; 0x y y z z x Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 ; 2x y xy y z yz z x zx + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2x y z xy yz zx + + + + 27 . (1)xy yz zx + + Mặt khác ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 0; 1 0; 1 0x y z Suy ra 2 2 2 1 2 ; 1 2 ; 1 2x x y y z z+ + + ( ) ( ) 2 2 2 3 2 15 (2)x y z x y z x y z + + + + + + + Cộng theo từng vế của (1) và (2) suy ra 42P . Vậy giá trị lớn nhất của P là 42 Bỡnh lun Bài làm khá đẹp, nhng kết quả lại sai? Theo bạn lời giải sai ở đâu? Khắc phục nh thế nào? GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP. QUY NHN Gii ủỏp Lời giải này đã quên một bớc vô cùng quan trọng của một bài toán cực trị khi sử dụng BĐT, đó là xác định điều kiện xảy ra đẳng thức. Ta thấy P = 42 (1) và (2) đồng thời trở thành đẳng thức 2 2 2 3 27 1 x y z x y z x y z = = = + + = = = = Hệ trên vô nghiệm nên BĐT P 42 không thể trở thành đẳng thức. Li gii ủỳng Xét hiệu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2x y z x y z x y z xy yz zx+ + + + = + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 (*)x y y z z x= + + . Từ (*) suy ra: ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3.27x y z x y z+ + + + 9 (1)x y z + + (đẳng thức xảy ra x = y = z = 3). Cũng từ (*) suy ra 2 2 2 2( ) 2( )xy yz zx x y z+ + + + 2 2 2 27 (2)xy yz zx x y z + + + + Từ (1) và (2) suy ra: 36x y z xy yz zx+ + + + + Đẳng thức xảy ra x = y = z = 3. Vậy P đạt giá trị lớn nhất là 36, giá trị này đạt đợc x = y = z = 3. Bài 6: Bài 6:Bài 6: Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .A x x= + Li gii cú vn ủ Ta có 2 1 1 1 1 1 4 4 2 4 4 A x x x x x = + = + + = + . Vậy 1 min 4 A= . Bỡnh lun Lời giải rất hồn nhiên và ngắn gọn nhng lập luận đã chặt chẽ cha? Kết quả có chính xác không? Theo bạn kẽ hở ở chỗ nào? Gii ủỏp Sau khi chứng minh 1 , 4 A cha chỉ ra trờng hợp xảy ra 1 , 4 A . Xảy ra dấu đẳng thức 1 , 2 x = vô lí. Li gii ủỳng Để tồn tại x phải có 0x . Do đó 0A x x = + . 0 0.Min A x = = Bài 7: Bài 7:Bài 7: Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức ( )( ) x a x b A x + + = , với 0x > , a và b là các hằng số dơng cho trớc. GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP. QUY NHN Li gii cú vn ủ Ta có 2 (1)x a ax+ 2 (2)x b bx+ Do đó ( )( ) 2 .2 4 x a x b ax bx A ab x x + + = = 4 .Min A ab x a b= = = Bỡnh lun Lời giải thuyết phục đấy chứ, có cần phải giải lại không? Gii ủỏp Chỉ xảy ra 4A ab= khi ở (1) và (2) xảy ra dấu đẳng thức, tức là x = a và x = b. Nh vậy đòi hỏi phải có a = b. Nếu a b thì không có đợc 4A ab= . Li gii ủỳng Ta thực hiện phép nhân và tách ra các hằng số: ( )( ) ( ) 2 . x a x b x ax bx ab ab A x a b x x x + + + + + = = = + + + Ta có 2 ab x ab x + (BĐT Côsi) nên ( ) 2 2A ab a b a b + + = + Min ( ) 2 A a b= + . 0 ab x x ab x x = = > Bài 8: Bài 8:Bài 8: Bài 8: Cho a, b, c là các số dơng, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 . 5 5 5 a b c P b c a = + + + Li gii cú vn ủ Do a, b, c là các số dơng nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 1 2 (1); 1 2 (2); 1 2 (3) 5 5 5 5 5 5 a a b b c c b b c c a a + + + Nhân từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều và các vế đều dơng ta đợc 8 5 8 . . 5 5 5 25 a b c P b c a = . Do đó P nhỏ nhất bằng 8 5 . 25 Bỡnh lun Các bạn có đồng tình với cách giải này không? Gii ủỏp GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP. QUY NHN Để ý không tồn tại a, b, c để 8 5 25 P = . Đây là sai lầm thờng mắc khi dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Một nguyên nhân sâu xa hơn nhiều là bạn đọc không hiểu đúng nghĩa của dấu và dấu . Không phải khi nào viết cũng có thể xảy ra dấu =. Ví dụ ta viết 10 2 là đúng nhng không thể có 10 = 2. Li gii ủỳng Biến đổi 1 1 1 1 1 1 1 (1) 5 5 5 5 25 125 a b c a b c a b c P b c a b c a c a b = + + + = + + + + + + + Do a, b, c là các số dơng nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 3 . . 3 (2) a b c a b c b c a b c a + + = 3 . . 3 (3) a b c a b c c a b c a b + + = Từ (1), (2), (3) ta có 1 1 1 216 1 .3 .3 5 25 125 125 P + + + = . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các dấu đẳng thức ở (2) và (3) đồng thời xảy ra, tức là a = b = c. Vậy Min 216 125 P = , giá trị này đạt đợc khi và chỉ khi a = b = c > 0. Bài 9: Bài 9:Bài 9: Bài 9: Cho a, b là hai số dơng và x, y, z là các số dơng tuỳ ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 . x y z M ay bz az by az bx ax bz ax by ay bx = + + + + + + + + Li gii cú vn ủ Dễ thấy ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 ay bz a b y z+ + + và ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 az by a b z y+ + + Vậy ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 x x ay bz az by a b y z + + + + Tơng tự ta có ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 y x az bx ax bz a b z x + + + + ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 z z ax by ay bx a b x y + + + + . Do đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y z M a b y z z x x y + + + + + + . Mặt khác chứng minh đợc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 x y z y z z x x y + + + + + Suy ra ( ) 2 2 3 . 2 M a b + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi .x y z= = GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP. QUY NHN Vậy giá trị nhỏ nhất của M là ( ) 2 2 3 2 a b+ , giá trị này đạt đợc khi và chỉ khi .x y z= = Bỡnh lun Cách giải trên phải chăng là đúng! Bạn giải bài toán này nh thế nào? Gii ủỏp Lời giải đã sử dụng khá nhiều bất đẳng thức nhng bạn học sinh này chỉ xét dấu đẳng thức xảy ra ở bất đẳng thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 x y z y z z x x y + + + + + mà không xét dấu đẳng thức xảy ra ở các bất đẳng thức còn lại. Theo đó đẳng thức ( ) 2 2 3 2 M a b = + xảy ra khi và chỉ khi x y z= = và a = b. Nhng theo giả thiết a, b là hai số dơng tuỳ ý, nên với a b thì ( ) 2 2 3 2 M a b > + . Li gii ủỳng Ta có ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 2 a b y z ay bz az by a b y z ay bz az by + + + + + + + + + = Suy ra ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2x x ay bz az by a b y z + + + + . Tơng tự ta cũng có ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2y y az bx ax bz a b x z + + + + ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2z z ax by ay bx a b y x + + + + . Do đó ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z M y z z x x y a b + + + + + + . Mặt khác theo bất đẳng thức Na-sơ-bit thì 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 x y z y z z x x y + + + + + , suy ra ( ) 2 3 .M a b + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z= = . Vậy ( ) 2 3 min M a b = + khi và chỉ khi x y z= = . Bài 10: Bài 10: Bài 10: Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 5 4 4 8 6P x y xy x y= + + + Li gii cú vn ủ Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 1 4 2 4 2 1 4 4P x y xy x y x x y y= + + + + + + + GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP. QUY NHN ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2P x y x y= + + + Do ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 0, 1 0, 2 0x y x y+ nên ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 0P x y x y= + + + . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 0 . Bỡnh lun Lời giải quá gọn, bạn có ý kiến gì không? Gii ủỏp Khẳng định 0P là đúng nhng chẳng đợc gì, bởi vì không có giá trị nào của x, y để dấu = xảy ra. Sai lầm ở lời giải trên xuất phát từ việc ngời giải đã không thực hiện bớc 2 khi tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức ta phải trả lời câu hỏi dấu bằng xảy ra khi nào? Li gii ủỳng Coi x là biến chính để biến đổi nh sau: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 5 4 4 8 6 2 2 1 1 2 1 5 8 6P x y xy x y x x y y y y y = + + + = + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 4 1 3 4 4 1 3 2 . 4 3 9 3 P x y y y x y y y = + + + = + + + + ( ) 2 2 2 8 1 3 3 3 P x y y = + + + Nhận thấy ( ) 2 2 2 1 0, 3 0 3 x y y + nên ( ) = + + + 2 2 2 8 8 1 3 ới mọi , 3 3 3 P x y y x y v . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( ) 2 2 1 1 0 1 0 3 2 2 2 0 3 0 3 3 3 x y x y x y y y + = + = = = = = Vậy = 8 3 Min P . Giá trị này đạt đợc khi ( ) = 1 2 , , 3 3 x y A3 - DNG SAI LM TH BA