SAI lầm TRONG cự TRỊ đại số

SAI L M TRONG C C TR IS A1 - D NG SAI L M TH NH T Trong làm có sử dụng nhiều BĐT, nhng tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) dấu không đồng thời xảy kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) biểu thức không đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) Tìm giá trị nhỏ biểu thức y x y M = 32 + 2007 y x Bài 1: Cho x, y hai số dơng thoả mãn x + Li gii cú ủ Từ x, y > ta có x y + y x 1 y Từ x, y > x + ta có x + x y y x y x y x y y Do M = 32 + 2007 = 32 + + 1975 32.2 + 1975.4 = 7964 y x y x x Dấu = xảy x = y Vậy giá trị nhỏ M 7964, giá trị đạt đợc x = y Bỡnh lun Nhng! x = y M = 2039 Vậy sai lầm đâu? Gii ủỏp Lời giải sai chỗ với x, y > Dấu = xảy x = y, x y + y x y 4, Dấu = xảy y = 4x x Mặt khác thấy x = y mâu thuẫn với giả thiết x + y Nh nguyên nhân sai lầm lời giải toán mà sử dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị nhng dấu = không đồng thời xảy Li gii ủỳng GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN 1 y Từ giả thiết ta có x + x y y x áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có x y x y y x y M = 32 + 2007 = 32 + + 2005 32 .2 + 2005.4 = 8036 y x y x x y x Dấu = xảy x = ; y = Vậy giá trị nhỏ M 8036, giá trị đạt đợc x = ; y = Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y biết x + y Li gii cú ủ Gọi B = x + y , ta có B Xét A + B = x + y + x + y = ( x + x ) + ( y + y ) = x + + y + 2 4 Ta lại có B nên B 5 (1) (2) Cộng (1) với (2) ta đợc A Min A = 25 25 x= y= Bỡnh lun Nhng với x = y = A = , sai lầm đâu? Gii ủỏp Sai lầm chỗ với x = y = , xảy dấu = (1), dấu = (2) không xảy Thật với x = y = B = Do B Li gii ủỳng áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có: A2 = ( 2 x + 3 x A2 = 25 ) ( ) ( + 3) x + y 5.5 = 25 x y = x= y Do A2 25 nên A GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN x = y x = y = x + y = Min A = x = y x = y = x + y = Max A = Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức F ( x, y ) = ( x + y ) + ( x + 1) + ( y x ) 2 Li gii cú ủ Ta thấy ( x + y ) ; ( x + 1) ; ( y x ) không đồng thời nên F ( x, y ) > 2 F ( x, y ) đạt giá trị nhỏ a = ( x + 1) b = ( x + y ) + ( y x ) đồng thời đạt giá trị nhỏ 2 a = ( x + 1) đạt giá trị nhỏ x = -1 Khi b = ( x + y ) + ( y x ) = y + 2, nên b đạt giá trị nhỏ y = 2 x = y = Vậy giá trị nhỏ F ( x, y ) Bỡnh lun Phải lời giải đúng? Gii ủỏp Lời giải mắc sai lầm bớc lập luận: F ( x, y ) đạt giá trị nhỏ a = ( x + 1) b = ( x + y ) + ( y x ) đồng thời đạt giá trị nhỏ Lập luận giá trị nhỏ 2 đạt đợc giá trị biến Rõ ràng a đạt giá trị nhỏ x = -1, b đạt giá trị nhỏ x + y = x y = 0, tức x = y = Li gii ủỳng 2 Biến đổi F ( x, y ) = x + x + + y = x + + + y 3 2 Đẳng thức xảy x = , y = Vậy giá trị nhỏ F ( x, y ) , giá trị đạt đợc x = , y = 3 Bài 4: Tìm giá trị lớn biểu thức D = x xy y + 14 x + 10 y Li gii cú ủ Ta có D = x xy y + 14 x + 10 y = ( x + xy + y ) ( x 14 x ) ( y 10 y ) GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN 145 2 = ( x + y ) x ( y 5) + x + y = x = y 145 7 Suy D Dấu = xảy x = x = 4 y = y = Hệ vô nghiệm nên D không tồn giá trị lớn Bỡnh lun Bạn có đồng ý với kết luận toán không? Lời giải thuyết phục cha? Gii ủỏp Từ biến đổi đến D = ( x + y ) x ( y ) + suy D , việc kết luận 4 2 145 145 giá trị lớn D không tồn cha xác, xác đáng Li gii ủỳng Cách 1: Ta có D = ( x + y x y + xy + ) ( x x + ) ( y y + ) + 16 = ( x + y 3) ( x 1) ( y ) + 16 2 x + y = x = Suy D 16 Dấu = xảy x = y = y = Vậy Max D = 16, giá trị đạt đợc x = y = Lời giải song thiếu tự nhiên, cách sau mang tính thuyết phục Cách 2: Biểu thức tổng quát dạng P( x, y ) = ax + bxy + cy + dx + ey + h (a, b, c 0) Cách giải: Biến đổi P( x, y ) hai dạng sau: Dạng 1: P( x, y ) = m.F ( x, y ) + n.H ( x) + g (1) Dạng 2: P( x, y ) = m.F ( x, y ) + n.K ( y ) + g (2) Trong H ( x), K ( y ) biểu thức bậc biến chúng, F ( x, y ) biểu thức bậc hai biến x y Nếu m > 0, n > ta có max P ( x, y ) = g F ( x, y ) = F ( x, y ) = H ( x) = K ( y) = Giá trị đạt đợc GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN Nếu m < 0, n < ta có P( x, y ) = g F ( x, y ) = F ( x, y ) = H ( x) = K ( y) = Giá trị đạt đợc Để biến đổi đợc nh vậy, ta coi biến biến tìm cách biến đổi đề áp dụng đẳng thức a2 + 2ab + b = ( a + b ) , a2 2ab + b = ( a b ) ta chọn biến y biến Cụ thể: Ta có D = x xy y + 14 x + 10 y 2 x 5) ( x 5) ( = y + ( x ) y + x + 14 x + x ( x 1) = y + + 16 16 2 x =0 x = y + Suy D 16 Dấu = xảy y = x = Vậy Max D = 16, giá trị đạt đợc x = y = A2 - D NG SAI L M TH HAI Không xác định điều kiện xảy dấu BĐT f m (hay f m ), điều kiện xảy dấu không thoả mãn giả thiết Bài 5: Cho x, y, z thoả mãn x + y + z 27 Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx Li gii cú ủ Với x, y, z ta có: ( x y ) 0; ( y z ) 0; ( z x ) 2 Suy x + y xy; y + z yz; z + x zx ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) 27 xy + yz + zx (1) Mặt khác ( x 1) 0; ( y 1) 0; ( z 1) Suy x + x; y + y; z + z ( x + y + z ) + ( x + y + z ) 15 x + y + z (2) Cộng theo vế (1) (2) suy P 42 Vậy giá trị lớn P 42 Bỡnh lun Bài làm đẹp, nhng kết lại sai? Theo bạn lời giải sai đâu? Khắc phục nh nào? GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN Gii ủỏp Lời giải quên bớc vô quan trọng toán cực trị sử dụng BĐT, xác định điều kiện xảy đẳng thức x = y = z = Ta thấy P = 42 (1) (2) đồng thời trở thành đẳng thức x + y + z = 27 x = y = z = Hệ vô nghiệm nên BĐT P 42 trở thành đẳng thức Li gii ủỳng Xét hiệu ( x + y + z ) ( x + y + z ) = ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) = ( x y) + ( y z ) + ( z x) 2 (*) Từ (*) suy ra: ( x + y + z) ( x + y + z ) 3.27 x + y + z (đẳng thức xảy x = y = z = 3) (1) Cũng từ (*) suy 2( xy + yz + zx) 2( x + y + z ) xy + yz + zx x + y + z 27 (2) Từ (1) (2) suy ra: x + y + z + xy + yz + zx 36 Đẳng thức xảy x = y = z = Vậy P đạt giá trị lớn 36, giá trị đạt đợc x = y = z = Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + x Li gii cú ủ 1 1 1 Ta có A = x + x = x + x + = x + Vậy A = 4 4 Bỡnh lun Lời giải hồn nhiên ngắn gọn nhng lập luận chặt chẽ cha? Kết có xác không? Theo bạn kẽ hở chỗ nào? Gii ủỏp 4 Sau chứng minh A , cha trờng hợp xảy A , Xảy dấu đẳng thức x = , vô lí Li gii ủỳng Để tồn x phải có x Do A = x + x Min A = x = Bài 7: Tìm GTNN biểu thức A = GIA S C KHNH ( x + a )( x + b ) , với x 0975.120.189 x > , a b số dơng cho trớc 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN Li gii cú ủ Ta có x + a ax (1) x + b bx (2) Do A = ( x + a )( x + b ) x ax bx = ab x Min A = ab x = a = b Bỡnh lun Lời giải thuyết phục chứ, có cần phải giải lại không? Gii ủỏp Chỉ xảy A = ab (1) (2) xảy dấu đẳng thức, tức x = a x = b Nh đòi hỏi phải có a = b Nếu a b đợc A = ab Li gii ủỳng Ta thực phép nhân tách số: A= ( x + a )( x + b ) = x + ax + bx + ab = x + ab + x Ta có x + Min A = ( x x ( a + b) ab ab (BĐT Côsi) nên A ab + a + b = x a+ b ) ( a+ b ) ab x = x x = ab x > Bài 8: Cho a, b, c số dơng, tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + a b c + + 5b 5c 5a Li gii cú ủ Do a, b, c số dơng nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 1+ a a 5b 5b (1); 1+ b b 5c 5c (2); 1+ c c 5a 5a (3) Nhân vế ba bất đẳng thức chiều vế dơng ta đợc P Do P nhỏ a b c = 5b 5c 5a 25 25 Bỡnh lun Các bạn có đồng tình với cách giải không? Gii ủỏp GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN Để ý không tồn a, b, c để P = Đây sai lầm thờng mắc dùng bất đẳng thức để tìm giá trị 25 lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Một nguyên nhân sâu xa nhiều bạn đọc không hiểu nghĩa dấu dấu Không phải viết xảy dấu = Ví dụ ta viết 10 nhng có 10 = Li gii ủỳng a b c 1a c b a b c Biến đổi P = + + + = + + + + + + + (1) 5b 5c 5a b c a 25 c a b 125 Do a, b, c số dơng nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a b c a b c + + =3 b c a b c a a b c a b c + + =3 c a b c a b (2) Từ (1), (2), (3) ta có P + + (3) 1 216 + = 25 125 125 Dấu đẳng thức xảy dấu đẳng thức (2) (3) đồng thời xảy ra, tức a = b = c Vậy Min P = 216 , giá trị đạt đợc a = b = c > 125 Bài 9: Cho a, b hai số dơng x, y, z số dơng tuỳ ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức M= x2 y2 + + z2 ( ay + bz )( az + by ) ( az + bx )( ax + bz ) ( ax + by )( ay + bx ) Li gii cú ủ Dễ thấy ( ay + bz ) ( a + b )( y + z ) ( az + by ) ( a + b )( z + y ) Vậy x2 ( ay + bz )( az + by ) Tơng tự ta có (a x2 + b )( y + z ) y2 ( az + bx )( ax + bz ) z2 ( ax + by )( ay + bx ) Do M GIA S (a x2 (a + b )( z + x ) z2 + b )( x + y ) x2 y2 z2 + + a + b2 y + z z + x x + y Mặt khác chứng minh đợc Suy M x2 y2 z2 + + 2 2 2 y +z z +x x +y Dấu = xảy x = y = z ( a + b2 ) C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN Vậy giá trị nhỏ M , giá trị đạt đợc x = y = z ( a + b2 ) Bỡnh lun Cách giải phải đúng! Bạn giải toán nh nào? Gii ủỏp Lời giải sử dụng nhiều bất đẳng thức nhng bạn học sinh xét dấu đẳng thức xảy bất đẳng thức x2 y2 z2 + + mà không xét dấu đẳng thức xảy bất đẳng thức lại 2 2 2 y +z z +x x +y Theo đẳng thức M = xảy x = y = z a = b Nhng theo giả thiết a, b ( a + b2 ) hai số dơng tuỳ ý, nên với a b M > ( a + b2 ) Li gii ủỳng Ta có ( ay + bz )( az + by ) Suy x2 ( ay + bz + az + by ) 2x2 ( ay + bz )( az + by ) ( a + b )2 ( y + z ) Tơng tự ta có (a + b) ( y + z ) = y2 y2 (y + z2 ) z2 2z2 ( az + bx )( ax + bz ) ( a + b )2 ( x + z ) x2 y2 z2 + + ( a + b ) y + z z2 + x2 x2 + y2 Mặt khác theo bất đẳng thức Na-sơ-bit suy M ( a + b) ( ax + by )( ay + bx ) ( a + b )2 ( y + x ) Do M ( a + b) Vậy M = x2 y2 z2 + + , 2 2 2 y +z z +x x +y Đẳng thức xảy x = y = z ( a + b) x = y = z Bài 10: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + xy x y + Li gii cú ủ Ta có P = ( x + y + + xy x y ) + ( x x + 1) + ( y y + ) GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN P = ( x + y 1) + ( x 1) + ( y ) Do ( x + y 1) 0, 2 ( x 1) 0, ( y 2) nên P = ( x + y 1) + ( x 1) + ( y ) 2 Vậy giá trị nhỏ P Bỡnh lun Lời giải gọn, bạn có ý kiến không? Gii ủỏp Khẳng định P nhng chẳng đợc gì, giá trị x, y để dấu = xảy Sai lầm lời giải xuất phát từ việc ngời giải không thực bớc tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) biểu thức ta phải trả lời câu hỏi dấu xảy nào? Li gii ủỳng Coi x biến để biến đổi nh sau: 2 P = x + y + xy x y + = x + x ( y 1) + ( y 1) ( y 1) + y y + 4 2 P = ( x + y 1) + y y + = ( x + y 1) + y y + + 2 P = ( x + y 1) + y + 3 2 Nhận thấy ( x + y 1) 0, y nên 2 8 P = ( x + y 1) + y + với x, y 3 ( x + y 1) = x= x + y = Dấu đẳng thức xảy 2 y = y = y = Vậy Min P = Giá trị đạt đợc ( x , y ) = , 3 A3 - D NG SAI L M TH GIA S C KHNH BA 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN Bất đẳng thức f ( x ) a không xảy đẳng thức ứng với giá trị x = x0 (x (x0 thoả mãn điều kiện toán) kết luận biểu thức f ( x ) đạt giá trị nhỏ a biểu thức f ( x ) không đạt giá trị nhỏ Bài 11: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 28 + x x + + x x Li gii cú ủ Điều kiện x để biểu thức P có nghĩa x 28 + x x ( + x )( x ) x + x x x (1 + x )( x ) Nhận xét: Với x ta có + x x = (1 + x )( x ) , suy 28 + x x = ( + x )( x ) > , suy + x x 28 + x x > Do đó, với x P = 28 + x x + + x x > 0, nên P giá trị nhỏ Bỡnh lun Kết luận lời giải sai mặt lôgic, tơng tự nh trờng hợp Q = x + > với x nhng Q đạt giá trị nhỏ x = Li gii ủỳng Điều kiện x để P có nghĩa x Khi ta có P = 23 x + (1 + x )( x ) + (1 + x )( x ) 23 x 23 = Đẳng thức xảy x = Vậy P = x = Bài 12: Tìm m để phơng trình x + ( m + 1) x + = có tổng bình phơng nghiệm đạt GTNN Li gii cú ủ m (*) m Điều kiện để phơng trình có nghiệm là: ( m + 1) ( m + 3)( m 1) Khi tổng bình phơng nghiệm là: x12 + x22 = ( x1 + x2 ) x1 x2 = ( m + 1) (Theo định lí Viét) 2 Ta có ( m + 1) nên tổng bình phơng nghiệm đạt giá trị nhỏ -2 m + = m = Giá trị m = -1 không thoả mãn điều kiện (*) nên không tồn giá trị m để tổng bình phơng nghiệm đạt giá trị nhỏ GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN Bỡnh lun Mấu chốt sai lầm lời giải chỗ em học sinh cha nắm vững khái niệm giá trị nhỏ biểu thức Chúng ta cần lu ý rằng: Nếu bất đẳng thức f ( x ) a không xảy đẳng thức ứng với giá trị x = x0 (x0 thoả mãn điều kiện toán) kết luận đợc biểu thức f ( x ) đạt giá trị nhỏ a biểu thức f ( x ) không đạt giá trị nhỏ Li gii ủỳng m (*) m Điều kiện để phơng trình có nghiệm là: ( m + 1) ( m + 3)( m 1) Khi tổng bình phơng nghiệm : x12 + x22 = ( x1 + x2 ) x1 x2 = ( m + 1) = ( m + 1) + 2 m = (thoả mãn (*) m = Đẳng thức xảy ( m + 1) = Vậy tổng bình phơng nghiệm đạt giá trị nhỏ m = m = -3 Bài 13: Tìm giá trị lớn biểu thức A = x x + 10 Li gii cú ủ có tử không đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ x x + 10 Phân thức Ta có: x x + 10 = ( x 3) + ( ) M in x x + 10 = x = Vậy max A = x = Bỡnh lun Lời giải trơn, nhng thi mà làm trợt Tại vậy? Gii ủỏp Tuy đáp số không sai nhng lập luận lại sai khẳng định A có tử số không đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ mà cha đa nhận xét tử mẫu số dơng Ví dụ nh: Xét biểu thức B = 1 Với lập luận nh Phân thức có tử không đổi nên có x 10 x 10 giá trị lớn mẫu nhỏ nhất, mẫu nhỏ -10 x = 0, ta đến kết luận max B = 1 giá trị lớn B, chẳng hạn với x = x = Điều không 10 10 B = 1 > 15 10 GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN Mắc sai lầm ngời làm không nắm vững tính chất bất đẳng thức, máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên sang hai phân số có tử mẫu Li gii ủỳng Bổ xung thêm nhận xét x x + 10 = ( x 3) + > nên phân thức dơng, A lớn có tử mẫu số x x + 10 nhỏ x x + 10 nhỏ Làm tiếp nh kết A Bài 14: Tìm x để biểu thức P = đạt giá trị lớn x + 2x Li gii cú ủ Điều kiện x ; x Ta có P = ( x + 1) Để biểu thức P đạt giá trị lớn ( x + 1) đạt giá trị nhỏ Điều xảy ( x + 1) = hay x = Khi giá trị lớn P = Bỡnh lun Nhng thấy x = P = , giá trị lớn P Vậy sai lầm lời giải đâu? Khắc phục sai lầm nh nào? Gii ủỏp Sai lầm lời giải mà bạn học sinh đa bớc lập luận để biểu thức P đạt giá trị lớn ( x + 1) đạt giá trị nhỏ Điều tử mẫu P dơng mà tử phải số mẫu cha biết dơng hay âm nên lập luận nh đợc Li gii ủỳng Điều kiện x ; x Dễ dàng với x < x > P > , với < x < P < Ta thấy x = + a với a > P = biểu thức P = giá trị lớn x + 2x A4 - D NG SAI L M TH GIA S nên a nhỏ P lớn lớn đợc, a + 4a C KHNH T 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN Nhầm tởng vai trò biến nh nên thứ tự ẩn Bài 15: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x y z + + với x, y, z > y z x Li gii cú ủ Khi hoán vị vòng quanh x y z x biểu thức A không đổi nên không tính tổng quát, giả sử x y z > , suy xz y ( x z) z ( x z) Chia hai vế (1) cho số dơng xz ta đợc Mặt khác ta có x y + y x xy yz + z xz y y z + z x x (1) (2) (3) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức chiều (2) (3) ta đợc x y z + + y z x Từ suy A = x = y = z Bỡnh lun Tuy kết đúng, nhng xem lời giải bất ổn Tại vậy? Gii ủỏp Khi hoán vị vòng quanh x y z x biểu thức A trở thành y z x + + , tức biểu thức không đổi z x y Điều cho phép ta đợc giả sử ba số x; y; z số lớn (hoặc số nhỏ nhất), nhng không cho phép giả sử x y z sử dụng làm giả thiết toán chứng minh mà không xét trờng hợp lại Thật sau chọn x số lớn ( x y, x z) vai trò y z lại không bình đẳng: giữ nguyên x, thay y z ngợc lại ta đợc x z y + + , biểu thức không biểu thức A z y x Khắc phục sai lầm Với lời giải đa ra, thay cho việc thứ tự x y z , ta cần giả sử z số nhỏ ba số x; y; z kết hợp với phần lại lời giải trình bày ta đợc lời giải Ngoài ta giải toán theo cách sau: Li gii ủỳng Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng ta có A= x y z x y z + + 3 = (Phải chứng minh BĐT Côsi cho ba số không âm) y z y y z y GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN x y z x y z Do + + = = = , tức x = y = z y z x y z x Cách 2: Giả sử z số nhỏ số x, y, z Ta có x y z x y y z y + + = + + + y z x y x z x x x y x y z + (do x, y > 0) nên để chứng minh + + cần chứng minh y x y z x Ta có y z y + z x x (1) Thật (1) xy + z yz xz (do x, z 0) Biến đổi đến ( x z )( y z ) (2) Do z số nhỏ số x, y, z nên (2) Từ tìm đợc giá trị nhỏ biểu thức A = x = y = z Bài 16: Cho x, y, z số thực lớn -1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= + x2 1+ y2 1+ z2 + + + y + z + z + x2 + x + y2 Li gii cú ủ Nếu x < , ta thay x (-x) hai hạng tử đầu P không đổi hạng tử lại giảm xuống Từ không tính tổng quát giả sử x y z Từ ( x 1) , suy ( x + 1) ( x + x + 1) Đẳng thức xảy x = Do + x2 + x2 2 1+ y + z 1+ x + x Tơng tự ta có 1+ y2 1+ z2 ; 2 1+ z + x 1+ x + y Từ suy P Dấu = xảy x = y = z = Bỡnh lun Theo bạn lời giải chuẩn cha? Lời giải bạn nh nào? Gii ủỏp Các biến x, y, z biểu thức P có dạng hoán vị vòng quanh mà vai trò nh nên đợc xem biến lớn nhỏ mà Do đoạn lập luận: Không tính tổng quát giả sử x y z GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN Từ ( x 1) , suy ( x + 1) ( x + x + 1) Đẳng thức xảy x = 1 + x2 + x2 2 1+ y + z 1+ x + x Do Tơng tự ta có 1+ y2 ; 1+ z + x 1+ z2 1+ x + y (1) (2) (3) không Không thể từ (1) suy (2) (3) phép tơng vai trò biến x, y, z P không nh Li gii ủỳng (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) + x2 1+ y2 1+ z2 Ta có P = + + + + =M + y + z + z + x + x + y 2 (1 + z ) + (1 + y ) (1 + x ) + (1 + z ) (1 + y ) + (1 + x ) Đặt + x = a; + y = b; + z = c (a, b, c > 0) Lúc M = Đặt N = H= 2a 2b 2c + + 2c + b 2a + c 2b + a c a b + + 2c + b 2a + c 2b + a b c a + + 2c + b 2a + c 2b + a Khi N + H = áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có M + N = Lại có H + 2a + c 2b + a 2c + b + + , suy 2M + N 2c + b 2a + c 2b + a M 2b + a 2c + b 2a + c M = + + , suy H + 2c + b 2a + c 2b + a Cộng vế theo vế bất đẳng thức (4) (5) ta có: (4) (5) 9M 15 + ( N + H ) Mà N + H = nên M Từ suy P Dấu = xảy x = y = z = A6 - M T S D NG SAI L M KHC Bài 17: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN a + b + c < ( a 2b + b c + c a ) Li gii cú ủ Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên bc < a b 2bc + c < a b + c a < 2bc ( b + c a ) < ( 2bc ) 2 b + c + a + 2b 2c 2b a 2c a < 4b c a + b + c < ( a 2b + b c + c a ) Bỡnh lun Lời giải cha? Nếu cha, giải đúng? Gii ủỏp Nâng lên luỹ thừa bậc chẵn hai vế BĐT mà điều kiện hai vế không âm Lời giải cha từ b + c a < 2bc ( b + c a ) < ( 2bc ) sai, chẳng hạn 2 < ( ) < 12 (sai) Lu ý đợc bình phơng hai vế BĐT hai vế không âm Li gii ủỳng Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên bc < a < b+c (b c ) < a2 < (b + c ) 2 b 2bc + c < a < b + 2bc + c 2bc < a b c < 2bc a b c < 2bc ( a b c ) < ( 2bc ) 2 a + b + c 2a 2b 2c a + 2b c < 4b c a + b + c < ( a 2b + c a + b c ) Bài 18: Cho hai số x; y thoả mãn x > y xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 + y2 x y Li gii cú ủ x + y x xy + y + xy ( x y ) + xy Ta có A = = = x y x y x y GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN Do x > y xy = nên A= ( x y) + x y xy = x y+ x y x y a Biết a > a + (BĐT Côsi) Do A = x y x y x y + + 2+ x y 2 Vậy A có giá trị nhỏ x y + =2 x y ( x y) + = 4( x y) ( x y) 4( x y) + = 2 Giải phơng trình đợc nghiệm x y = x y = , nghiệm hệ phơng trình xy = Do ta có hệ phơng trình sau ( x; y ) = (1 + ) 2; + ; ( x; y ) = (1 Vậy giá trị nhỏ A A = ) 2; (Thoả mãn điều kiện ra) x y + = + = 2 Bỡnh lun Nhng với x = 6+ 62 có x > y; xy = ; y= = A = 2 < Tại lại nh thế? 2 Gii ủỏp Chứng minh f m (hay f m ), khẳng định giá trị nhỏ (hay lớn nhất) f m mà không m số Rõ ràng lời giải sai Vì A + x y x y mà cha số Sai lầm sai lầm bớc 1, đánh 2 giá f m nhng m không số Li gii ủỳng x + y x xy + y + xy ( x y ) + xy A= = = x y x y x y = ( x y) + GIA S 2 ( x y ) =2 x y x y C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN (áp dụng BĐT Côsi cho hai số dơng x y ) x y 6+ x y = x y Giải hệ tìm x = Dấu = xảy thoả mãn đề ; y= 2 xy = Bài 19: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x x + + x x Li gii cú ủ 1 11 1 Ta có A = x x + + x x = x x + + + x x + 2 2 11 = x + + x Suy A 11 11 + = + = 4 4 1 Đẳng thức xảy x = x = x = 2 Vậy giá trị nhỏ A x = Bỡnh lun Trong lớp có hai nhóm đa nhận xét khác nhau, nhóm thứ cho lời giải bạn học sinh có vấn đề, nhóm thứ hai hoàn toàn trí với lời giải Còn bạn, bạn đứng nhóm nào? Tại sao? Gii ủỏp Hiểu sai nhiều loại BĐT nh A2 + m m 2 11 11 Bớc giải sai lầm x + + x + = 4 9 Ta thấy x với x, nhng suy 4 2 9 x 4 9 Chẳng hạn x = x = = = < 4 4 Lu ý từ a b suy đợc a b a b Li gii ủỳng GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN 2 11 11 A = x + + x = x + + x 4 2 11 11 x + + x = + = 4 4 Do A đạt giá trị nhỏ 2 2 11 1 11 x + x x (vì x + với x) 2 Từ tìm đợc x Bài 20: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x 1)( x + 1) Li gii cú ủ Ta có x với x, suy x x + Suy P = ( x 1)( x + 1) ( 1) = P x = x = x + = Dấu = xảy Vậy P đạt giá trị nhỏ -1 x = Bỡnh lun Sai lầm đâu? Gii ủỏp Vận dụng sai tính chất BĐT nh nhân hai BĐT chiều mà điều kiện hai vế không âm Phân tích sai lầm: Chỗ sai lời giải nhân hai vế bất đẳng thức chiều có vế nhận giá trị âm, chẳng hạn > -2 > -3 nhng 5.(-2) < 3.(-3) Li gii ủỳng Lời giải đơn giản: P = ( x 1)( x + 1) = x P Dấu = xảy x = x = Vậy giá trị nhỏ P -1, giá trị đạt đợc x = Bii 21: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x xy + y x + Li gii cú ủ Điều kiện x 0; y GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN Ta có P = x xy + y x + = = ( ) x y + y y + ( 1 = 2 x y ( ) +1 ) ( x y + ) x y y + 2y ( ) 1 y 2 Từ đánh giá đợc P = y = ; x = Bỡnh lun Lời giải logic, liệu bạn có chấp nhận không? Gii ủỏp Xác định sai điều kiện biến nên tập xác định bị mở rộng dẫn đến kết sai Phân tích sai lầm, sửa chữa: Bài toán sai từ điều kiện, điều kiện x 0; xy Thật vậy, x = y tùy ý, P = 3y + không đạt giá trị nhỏ y nhỏ tùy ý nên P nhỏ tùy ý Do sai từ điều kiện nên lời giải toán thiếu trờng hợp Li gii ủỳng Điều kiện x 0; xy Xét hai trờng hợp: TH 1: x > 0; y Điều kiện x 0; y Ta có P = x xy + y x + = = ( ) x y + y y + ( 1 = 2 x y ( ) +1 ) ( x y + ) x y y + 2y ( ) 1 y 2 Từ đánh giá đợc P = y = ; x = TH 2: x = 0; y tùy ý P = 3y + không đạt giá trị nhỏ y nhỏ tùy ý nên P nhỏ tùy ý KL chung: Biểu thức P không đạt giá trị nhỏ x + y = m Bài 22: Cho ( x, y ) nghiệm hệ phơng trình 2 x + y = m + ( I ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F = xy + ( x + y ) Li gii cú ủ x + y = m x + y = m 2 xy = m ( x + y ) xy = m + Từ hệ (I) ta có Khi F = m + 2m = ( m + 1) GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN Ta thấy ( m + 1) , dấu = xảy m = nên F = m = Mặt khác dễ thấy m lớn F = ( m + 1) lớn, biểu thức F không đạt giá trị lớn Bỡnh lun Bài toán có lỗ hổng không? Nếu có nằm đâu? Gii ủỏp x + y = S có nghiệm S P , xy = P Ngời làm toán không để ý điều kiện để hệ phơng trình không xác định điều kiện m để hệ có nghiệm Tình F = m = may mắn nhng không đợc chấp nhận, kết luận biểu thức F không đạt giá trị lớn sai lầm Li gii ủỳng x + y = m Trớc hết ta tìm điều kiện m để hệ (I) có nghiệm ( I ) xy = m , Điều kiện để hệ (I) có nghiệm m2 ( m 3) 3m + 12 m - Khi F = m + 2m = ( m + 1) Ta thấy ( m + 1) , dấu = xảy m = (Thoả mãn m ) nên F = m = Mặt khác, đặt f ( m ) = m2 + 2m + Chỉ m [ 2; 1] hàm số f ( m ) nghịch biến nên max F = f (2) = (1) + Chỉ m [ 1; 2] hàm số f ( m ) đồng biến nên max F = f (2) = (2) Từ (1) (2) suy max F = f (2) = Kết luận chung Bài 23: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f ( x ) = x x + + x 3x + với x R Li gii cú ủ 2 2 3 Đa hàm số dạng f ( x ) = x + + x + Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét điểm A , , B , C ( x, ) 2 2 Khi f ( x ) = CA + CB Vì CA + CB AB , GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN ( ) 1 Trong AB = + , = 2 2 Suy f ( x ) = ( ) Bỡnh lun Bài toán giải phơng pháp đại số khó khăn nhng giải phơng pháp hình học nh đơn giản phải không bạn? Còn bạn giải toán nh nào? Gii ủỏp Sử dụng mặt phẳng toạ độ nhng việc chọn điểm cha phù hợp Trớc hết ta nhớ lại kết sau: Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B đờng thẳng (d) qua điểm C Khi đó: a) Nếu A, B phía so với (d) CA + CB đạt giá trị nhỏ (GTNN) C giao điểm AB với (d) (trong B điểm đối xứng B qua (d)), lúc CA + CB = AB b) Nếu Nếu A, B khác phía so với (d) CA + CB đạt GTNN C giao điểm AB với (d), lúc CA + CB = AB Trong lời giải chọn A , , B , hai điểm phía so với trục hoành Đoạn AB 2 2 không cắt trục Ox, dấu = bất đẳng thức CA + CB AB không xảy (không tồn điểm C Ox cho CA + CB = AB), nghĩa CA + CB > AB nên việc kết luận f ( x ) = ( ) sai lầm Li gii ủỳng 3 , C ( x, ) , B ' 2 2 Xét hệ trục tọa Oxy, chọn A , 2 Ta có f ( x ) = CA + CB ' AB ' (trong AB ' = + = ) nên f ( x ) ( x R ) 2 2 Đẳng thức xảy x = Do GTNN hàm số cho , giá trị đạt đợc x = Bài 24: Cho a số cố định, x, y số biến thiên Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x y + 1) + ( x + ay + ) GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN Li gii cú ủ Do ( x y + 1) 0, ( x + ay + ) nên P 2 x y +1 = x + ay + = Do P = Giá trị đạt đợc hệ ( I ) có nghiệm x y +1 = x = y x = y ( a + ) y = (*) x + ay + = ( y 1) + ay + = Ta có Hệ (I) có nghiệm phơng trình (*) có nghiệm Điều xảy a + hay a - Vậy Min P = a Bỡnh lun Nhng đầu có cho a không? Gii ủỏp Không xét hết trờng hợp toán mà kết luận Phân tích sai lầm: Bài toán cần xét hai trờng hợp, lời giải trờng hợp a , ta cần xét thêm trờng hợp a = Li gii ủỳng Do ( x y + 1) 0, ( x + ay + ) nên P 2 x y +1 = x + ay + = a) M in P = hệ ( I ) có nghiệm x y +1 = x = y x = y ( a + ) y = (*) x + ay + = ( y 1) + ay + = Ta có Hệ (I) có nghiệm phơng trình (*) có nghiệm Điều xảy a + hay a - b) Với a = , P = ( x y + 1) + ( x y + ) 2 Đặt t = x y + 9 Ta có P = t + ( 2t + 3) = 5t + 12t + = t + + 5 Suy P = 11 t = hay x y = 5 Vậy: + Nếu a M in P = GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN + Nếu a = M in P = GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN [...]... đạt giá trị lớn nhất x + 2x 3 2 Li gii cú vn ủ Điều kiện x 1 ; x 3 Ta có P = 1 ( x + 1) 2 4 Để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất thì ( x + 1) 4 đạt giá trị nhỏ nhất Điều này xảy ra khi ( x + 1) = 0 2 hay x = 1 Khi đó giá trị lớn nhất của P = 2 1 4 Bỡnh lun 1 5 Nhng có thể thấy khi x = 2 thì P = , do đó 1 không phải là giá trị lớn nhất của P Vậy sai lầm của 4 lời giải ở đâu? Khắc phục sai lầm đó... giá trị nhỏ nhất của A là A = ) 2; 1 2 (Thoả mãn điều kiện bài ra) x y 2 + 2 = + 2 = 3 2 2 Bỡnh lun Nhng với x = 6+ 2 6 2 62 thì có x > y; xy = ; y= = 1 và A = 2 2 < 3 Tại sao lại nh thế? 2 2 4 Gii ủỏp Chứng minh f m (hay f m ), khẳng định giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của f bằng m mà không chỉ ra m là hằng số Rõ ràng lời giải sai Vì A 2 + x y x y mà cha là hằng số Sai lầm ở đây là sai lầm. .. 2 x + 1 = 1 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là -1 khi x = 0 Bỡnh lun Sai lầm ở đâu? Gii ủỏp Vận dụng sai các tính chất của BĐT nh nhân hai BĐT cùng chiều mà không có điều kiện hai vế cùng không âm Phân tích sai lầm: Chỗ sai của lời giải trên là đã nhân hai vế của bất đẳng thức cùng chiều trong khi có những vế nhận giá trị âm, chẳng hạn 5 > 3 và -2 > -3 nhng 5.(-2) < 3.(-3)... Tuy đáp số không sai nhng lập luận lại sai khi khẳng định A có tử số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất mà cha đa ra nhận xét tử và mẫu là các số dơng Ví dụ nh: Xét biểu thức B = 1 1 Với lập luận nh trên Phân thức 2 có tử không đổi nên có x 10 x 10 2 giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất, do mẫu nhỏ nhất bằng -10 khi x = 0, ta sẽ đi đến kết luận max B = 1 1 không phải là giá trị lớn... tổng bình phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất là -2 khi và chỉ khi 2 m + 1 = 0 m = 1 Giá trị m = -1 không thoả mãn điều kiện (*) nên không tồn tại giá trị của m để tổng bình phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP QUY NHN Bỡnh lun Mấu chốt của sai lầm trong lời giải này ở chỗ em học sinh cha nắm vững khái niệm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Chúng... một trong ba số x; y; z là số lớn nhất (hoặc số nhỏ nhất), nhng không cho phép giả sử x y z rồi sử dụng nó làm giả thiết bài toán khi đi chứng minh mà không xét các trờng hợp còn lại Thật vậy sau khi chọn x là số lớn nhất ( x y, x z) thì vai trò của y và z lại không bình đẳng: giữ nguyên x, thay y bởi z và ngợc lại ta đợc x z y + + , biểu thức này không bằng biểu thức A z y x Khắc phục sai lầm. .. Cách 2: Giả sử z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z Ta có x y z x y y z y + + = + + + y z x y x z x x x y x y z + 2 (do x, y > 0) nên để chứng minh + + 3 chỉ cần chứng minh y x y z x Ta đã có y z y + 1 z x x (1) Thật vậy (1) xy + z 2 yz xz (do x, z 0) Biến đổi đến ( x z )( y z ) 0 (2) Do z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z nên (2) luôn đúng Từ đó tìm đợc giá trị nhỏ nhất của biểu... giải rất logic, liệu các bạn có chấp nhận không? Gii ủỏp Xác định sai điều kiện của biến nên tập xác định bị mở rộng dẫn đến kết quả sai Phân tích sai lầm, sửa chữa: Bài toán sai ngay từ điều kiện, điều kiện đúng là x 0; xy 0 Thật vậy, nếu x = 0 thì y tùy ý, khi đó P = 3y + 1 không đạt giá trị nhỏ nhất vì y nhỏ tùy ý nên P nhỏ tùy ý Do sai ngay từ điều kiện nên lời giải trên đã bài toán thiếu 1 trờng... 2 ( ) là sai lầm 3 1 2 Li gii ủỳng 1 3 1 3 , và C ( x, 0 ) , B ' 2 2 2 2 Xét hệ trục tọa Oxy, trên đó chọn A , 2 2 3 1 1 3 Ta có f ( x ) = CA + CB ' AB ' (trong đó AB ' = + = 2 ) nên f ( x ) 2 ( x R ) 2 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi x = 3 1 Do đó GTNN của hàm số đã cho là 2 , giá trị này đạt đợc khi và chỉ khi x = 3 1 Bài 24: Cho a là số cố định, còn x, y là những số biến... 2; 1] thì hàm số f ( m ) nghịch biến nên max F = f (2) = 3 (1) + Chỉ ra m [ 1; 2] thì hàm số f ( m ) đồng biến nên max F = f (2) = 5 (2) Từ (1) và (2) suy ra max F = f (2) = 5 Kết luận chung Bài 23: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f ( x ) = x 2 x + 1 + x 2 3x + 1 với x R Li gii cú vn ủ 2 2 2 2 1 3 3 1 Đa hàm số trên về dạng f ( x ) = x + + x + 2 2 2 2 1 3 3 1 Trong hệ trục tọa