Bài tập và câu hỏi trắc nghiệm đại số tổ hợp (NXB đại học quốc gia 2007) Nguyễn Văn Nhân, 142 trangB

rn m iiip ,r- TS.NGUYN VN NHN T h S PHM HNG DANH - TRN MINH QUANG BI T P V C U HI ớõ rd L S Ll_u_ Lt. L V OI S THCP ễN LUYN THI TT NGHIP THPT LUYN THI I HC V CAO ANG TT TT-TV * DHQt.HN 512.007 NG-N 2007 LC/02022 NH XUT BN I HC QUC GIA H NI TS NGUYN VN NHN T h S PH M HNG DANH - TRAN M IN II quang BI TP V CU HI TRC NGHIM I S T HP DNH CHO HC SINH LUYN THI T TI V TUYN SINH VO CC TRNG H & C N H XUT BN I HC QUễC GIA H N I Jốcc w U cCdcc i sụ t hp l mt mụn hc khú, vic gii d sai sút xột thiu tỡnh huụng, xột tỡnh huụng b trựng lp hay khụng thy dc õy l bi toỏn chnh hp hay tụ hp Mc ớch cuụn sỏch ny l giỳp cac em hc sinh vt qua cỏc khú khn va nờu nhm gúp phn giỳp cỏc em t kt qu tt lự thi Tỳ ti va tuyờn sinh vo trng i hc hay Cao ng Cun sỏch ny gm chng : phộp m, hoỏn v, chinh hp, tụ hp v nh thc Newton Trong mi chng, phn u l phn giỏo khoa v cỏc vớ d n gin hc sinh nm bt c khỏi nim c bn, chun b cho vic dng vo cỏc cõu hi trc nghim Phn sau l bi thng c ly t cỏc thi tuyn sinh, m li gii c trỡnh by rt chi tit giỳp cỏc em cú th t hc Cuụi cựng, chớnh yu l cỏc em th t gii quyt cỏc cõu hi trc nghim Chng tụi cú tr lũi cỏc em bit lớ ỳng sai Chỏc chn cuụri sỏch ny khụng th trỏnh c sai sút, xin bn c gúp ,chỳng tụi r t cm n CC TC GI Chng l QUY TC C BN C A PHẫP EM Mụn i sụ t hp (cú sỏch gi l giai lớch t hp) chuyờn khỏo sỏt cỏc hoỏn v, t hp, chinh hp, nhm xỏc nh s cỏch xy mt hin tng no ú m khụng nht t-hiút phỏi lit kộ tng trng hp Trong i s tụ hp, ta thng dựng hai quy tc co' bn ca phộp m, ú l quy tc cng v quy tỏc nhõn a) Q uy t c c n g : Nu hin tng cú m cỏch xay ra, hin tng cú n cỏch xy v hai hin tng ny khụng xay dng thi thỡ s cỏch xỏy hin tng ny hay hin tng l : m + n cỏch Vớ d 1.T thnh phụ A n thnh phụ B cú ng b v ng thy Cn chn mt ng ố di t A n B Hi cú my cỏch chn ? G ii Cú : + = cỏch chn V d Mt nh hng cú loi ru, loi bia v loi nc ngt Thc khỏch cn chn ỳng loi thc ung Hi cú my cỏch chn ? G ii Cú : + + = 13 cỏch chn b ) Q uy t c n h õ n : Nờu hin tng cú m cỏch xv ra, ng vi mi cỏch xy hin tng ri tip n hin tng cú n cỏch xy thỡ s cỏch xy hin tng "ri" hio tng l : rn X 11 Vớ d 1.G ia thnh ph H Chớ Minh v H Ni cú loi phng tin giao thụng : ng b, ng st v dng hỏng khụng Húi cú my cỏch chn phng tin giao thụng d i t thnh ph H Chớ Minh n H Ni ri quay v ? G ii Cú : x = cỏch chn Vớ d 2.Mt hi ng nhõn dõn cú 15 ngi, cn bu ch tch, phú ch tch, y viờn th ký v khụng c bu ngi vo hay chc v Hi cú my cỏch ? G i i Cú 15 cỏch chn ch tch Vi mi cỏch chn ch tch, cú 14 cỏch chn phú ch tch Vi mi cỏch chn ch tch v phú ch tch* cú 13 cỏch chn th ký Vy cú : 15 X 14 X 13 = 2730 cỏch chn S cõ y Ngi ta dựng s cõy lit kờ cỏc trng hp xy i vi cỏc bi toỏn cú ớt hin tng liờn tip v mi hin tng ớt trng hp Chỳ ý ta ch dựng s cõy kim tra kt qu V d Trong mt lp hc, thy giỏo mun bit ba mụn Toiỏn, Lý, Húa hc sinh thớch mụn no theo th t gim dn S cỏch m hc sinh cú th ghi l : L H HT I I LH HT I I T L L T C ỏc du h i u ch ia h t - Chia ht cho : s t n cựng l 0, 2, 4, 6, - Chia ht cho : tng cỏc ch s chia ht cho (vớ d : 276) ô- Chia h t cho : s t n cựng l 00 hay hai ch s cui hp thnht sụ' chia ht cho (vớ d : 1300, 2512, 708) - Chia ht cho : s t n cựng l 0, - Chia ht cho : s chia h t cho v chia ht cho - Chia ht cho : s t n cựng l 000 hay ba ch s cui hp thmh s chia h t cho (vớ d : 15000, 2016, 13824) - Chia ht cho : tng cỏc ch s chia h t cho (vớ d : 2835) - Chia ht cho 25 : s t n cựng l 00, 25, 50, 75 - Chia ht cho 10 : s t n cựng l V d T cỏc ch s 0, 1, 2, 3, 4, cú thờ lp c bao nhiờu s' gm ch sụ' ụi mt khỏc nhau, khụng chia h t cho G i ỏi Gi : n = abc l s cn lp m = a'b'c' l sụ gm ch sụ khỏc m = ajbjCj l sụ gm ch sụ khỏc m chia hờt cho Ta cú : n = m - m\ * Tỡm m : cú cỏch chn a' (vỡ a' * 0), cú cỏch chn b' (vỡ b' * a'), cú cỏch chn c' (vỡ c' *a' v c' * b') Vy cú : X > = 100 s m * Tỡm m' : cỏc ch s ó cho, cỏc s cú ch s cú tng chia ht cho l 10, 4, 51, 11, 3, 51, 12, 3, 41 Vi (0, 4, 5! : cú cỏch chn ó,2 cỏch chn X X = s m' Vi 11, 3, 51 : cú 3! = s n Vi 12, 3, 41 : cú 3! = s m Vy cú : Suy cú : + + = 16 s m' 100 - 16 = 84 sụ n C h ỳ ý : Qua vớ d trờn, ta thy nu s cỏch chn tha tớnh cht p no ú quỏ nhiu, ta cú th lm nh sau : S cỏch chn tha p bng s cỏch chn tựy ý tr s cỏch chn khụng tha p Ngi ta cũn gi cỏch lm ny l dựng "phn bự B i I Cú tuyn xe buýt gia A v B Cú tuyn xe buýt gia B v c H i: a ) Cú my cỏch i bng xe buýt t A n c, qua B ? b ) Cú mõy cỏch i ri v bng xe buýt t A n c , qua B ? c ) Cú my cỏch i ri v bng xe buýt t A n c , qua B cho mi tuyn xe buýt khụng i quỏ mt ln ? _ G ii a ) Cú cỏch i t A n B, cú cỏch i t B n c Do ú, theo quy tc nhõn, cú 4.3 = 12 cỏch i t A n c , qua B b) Cú 12 cỏch i t A n c, qua B v cú 12 cỏch quay v Vy cú : 12 X 12 = 144 cỏch i ri v t A n c , qua B c) Cú cỏch i t A n B, cú cỏch i t B n C; trỏnh i lỏ ng c, ch cú cỏch t c quy v B v cỏch t B quay v A Vy cú : 4.3.2.3 = 72 cỏch B i Mt phũng cn chn mua mt t n h t bỏo mi ngy Cú ' loi n h t bỏo Hi cú my cỏch chn mua bỏo cho m t tun gm _ ngy lm vic ? _ Gii ' 'Cú cỏch chn cho mi ngy Vy, s cỏch chn cho ngy trorg tun l : 46 = 4096 cỏch B i Trong mt tun, Bo nh mi ti i thm ngi bn 12 ngi bn ca mỡnh Hi Bo cú th lp c bao nhiờu k hoch li thm bn nu : a) Cú th thm bn nhiu ln ? b ) Khụng n thm bn quỏ ln ? _ Gii a) ờm th nht, chn 12 bn n thm : cú 12 cỏch Tig t, cho ờm th hai, th ba, th t, th nm, th sỏu, th by Vy, cú : 127 = 35831808 cỏch b) ờm th nht, chn 12 bn n thm : cú 12 cỏch Hốn th hai, chn 11 bn cũn li n thm : cú 11 cỏch Hờn th ba 10 cỏch ờm th t : cỏch ờm th nm : cỏch n th sỏu : cỏch ờm th by : cỏch Vy cú : 12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 cỏch B i Mt tuyn ng xe la cú 10 nh ga Hi cú bao nhiờu cỏch chm mt cuc hnh trỡnh bỏt u nh ga v chm dt nh ;a khỏc, bit rng t nh ga no cng c th i ti bt kỡ nh ga khỏ' ? G ii Nh ga i : cú 10 cỏch chn Nh ga n : cú cỏch chn Vy cú : 10.9 = 90 cỏch chn Bi Cú nam v nu' cỏn xỳp ngi vỏo mt hng gh Húi cú mõy cỏch xp cho : a) Nam, n ngi xen kố ? b) Nam, n ngi xen k v cú mt ngi nam A, mt ngi n B phỏi ngi k ? c) Nam, n ngi xen k v cú mt ngi nam c, mt ngi 1Uẽ D khụng c ngi k ? _ _ Giỏ a) Cú cỏch chn mt ngi tựy ý ngi vo ch th nht Tip n, cú cỏch chn mt ngi khỏc phỏi ngi vo ch th Li cú cỏch chn mt ngi khỏc phỏi ngi vo ch th 3, cú cỏch chn vo ch th 4, cú cỏch chn vo ch th 5, cú cỏch chn vo ch th Vy cú : 6.3.2.2.1.1 = 72 cỏch b) Cho cp nam n A, B ú ngi vo ch th nht v ch th hai, cú cỏch Tip n, ch th ba cú cỏch chn, ch th t cú cỏch chn, ch th nm cú cỏch chn, ch th sỏu cú cỏch chn Bõy gi, cho cp nam n A, B ú ngi vo ch th hai v ch th ba Khi ú, ch th nht cú cỏch chn, ch th t cú cỏch chn, ch th nm cú cỏch chn, ch th sỏu cú cỏch chn Tng t cp nam n A, B ú ngi vo ch th hai v th ba, th ba v th t, th t v th nm, th nm v th sỏu Vy c ú : X x x * x = 40 cỏch c) S cỏch chn cp nam n ú khũng ngi k bng s cỏch chn tựy ý tr s cỏch chn cp nam n ú ngi k Vy cú : 72 - 40 = 32 cỏch B i Mt bn di cú dóy gh i din nhau, mi dóy gm cú gh Ngi ta muụn xp ch ngi cho hc sinh trng A v hc sinh trng B vo bn núi trờn Hi cú bao nhiờu cỏch xp ch ngi mi trng hp sau : a) B t kỡ hc sinh no ngi cnh hoc ụi din thỡ khỏc trng b) B t kỡ hc sinh no ngi i din thỡ khỏc trng G ii ỏnh s cỏc gh theo hỡnh v ââ ââ ââ â â đ đ â â a) 10 11 12 12 5 4 3 2 L Gh Scỏch xp ch ngúi Vy S cỏch xp hc sinh ngi cnh hoc i din p h i khỏc trng l : 12 b) X Vy S X 52 X 42 X 32 X 22 X l = 1036800 12 11 10 12 10 2 Gh Scỏch xp ch ngụi - cỏch xp hc sinh ngi i din phi khỏc trng l : 12 x x 10 x x x x x x x x = 33177600 B i Cho ch s 2, 3, 5, 6, 7, Hi t cỏc ch s cho, lp ie my sụ' ụi mt khỏc v : a) gm ch s ? b) gm ch s v nh hn 400 ? c) gm ch s v chn ? d) gm ch s v chia h t cho ? Gii t n = abc a) Cú cỏch chn a, cỏch chn b (b a), cỏch chn c (c * a, c 1)) b ) Chn a = hay a = 3, cú cỏch Sau ú, cú cỏch chn b (b cỏch chn c (c *a, c * b) 0, Vy cú : Vy cú : X X = 120 s 2.5.4 = 40 s nh hn 400 c) Vi n chn, cú cỏch chn c (c = hay c = 6) Sau ú, cú cỏeh chn a (a *c ), cú cỏch chn b (b a, b * c) Vy cú : 2.5.4 = 40 s chn d) Vi n chia h t cho 5, cú cỏch chn c (c = 5) Sau ú, cú cỏch chn a (a *c ), cú cỏch chn b (b *a, Vy cú : 10 1.5.4 = 20 sụ' chia ht cho Bi Cú 100000 vộ c ỏnh s t 00000 (lờ n 99999 Húi s vộ gm ch s khỏc Gii Gi n = a 1a2a3a4a5 l s in trờn mi vú Sụ cỏch chn l 10 x(l - x)19dx = - f Y2 Vy s = VV1Q + c*x' s p l v 10 ^19X W l Q 20 21 c% - c | + + - c \l - c 19 19 20 19 21 ^ _ A rtO Ar*l 420 19 19 - " 420 - c | 9x2 + Cj9x3 + + C9x 19 - c j 9x20 N -V 21 i_ to o Jo - o J L=t 20 J L t 21 20 20 21 J I = f ( t 19 - t 20)dt ô T T " V V lQ 20 19 -ll 19 19 A /^19 21 19 ' V l f t 420 B i 34 a ) T ớnh x(l - x2)"dx b ) Chn? minh - C - i4c + C2 - Jc3+ , U" 2n + w" 2(n +1) Gii a ) Ta cú : I = Ê x(l - x2)dx = ~ ~ j[ o - x2)nd(l - X2) o I = -2- ô I= n +1 JuA 2(n + l)L J 2(n +1) b ) Ta cú : (1 - x2)n = c - c j x + C 2X4 - C 3X6 + + (-I)nc;;x2n => X(1 - X2)" = xC - C > + C 2X5 v2 4 Vy I s f x ( l -x 2)"dx = ca o C3 X7 + + ( - l ) " C x 2n+lV6 c* + c V8 -ll IV ằ c + + J -J ^ -x 2,,+2c:: * 2n + Jo = i c - c* + C - i c + + 2(n +1) " 2n + " 129 ^ 1-.I " B 35* Chng m inh : - C r + c + + c _ " +1( n + n + ) - = n + ( n + l ) ( n + ) ( m -1 ) G i i t ) Ta cú nh thc (a xfằ cÊa + Suy : x*(a Vy * c a a l x+ xT ô Cja*xa + C*a*V + + Cx"*2 jÊx2(a + x)dx * Êcaxa + c ' a 1*3 + + Cx 2)dx j C j * j C Ă ,a + * tớnh tớch phõn v cn : c: n +3 " trỏi, t t X t a a + a a + X => dt = dx Suy : Ê r*(a + x)"dx ô Ê * (t - a)2t dt +n+a (t**a - 2at** + aH" )d t a ' * (a + +2 -2+11+1V + I' n/ t a+ V If*3_ aằ*3 2a[(a + i r - a ,,+2] n +3 a2 [(a + i r - a,+1] n+2 n+1 Vi a a 1, ta c : * n+3 n+2 n+1 2"+1 - A - , _ _ _ i _ i ô.f _ i _ _ i _ - _ _ ù + n + n + ly Vn + n + n + l j 2"*1 na + n + (n + lKn + 2Xn + 3) _ _ (n + lXn + 2)(n + 3) 2*1(n2 + n + 2) - (n + lXn + 2Xn + 3) O : 1^ 1ra /-in 2l,+1(n2 + n + 2) - Suy -C + c + + -C = - - n+3 (n + l)(n + 2)(n + 3) 130 n +2 n+ BI TP Tớnh tng : s = cÊ + 2C^ + 22c + 23c + 'c + 2C5C| Trong khai trin ca : /? / bng 36 Tớnh hng th Vit li P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + + 20(1 + n X)20 di dng P(x) = ao + + + a 20X20 Tỡm ai5 Tỡm s hng hu t ca khai trin : ó - j ) ' B Tỡm s hng ng gia ca khai trin : B Chng m inh : ' Ci + C + "' + [...]... chữ số khác nhau • Hỏi trong các số lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 _ không đứng cạnh nhau. _ Giải Gọi n = aj a6 Số các số có 6 chữ số được lập từ X : 6! Đ ặt a = 16 Số các số tạo nên bởi hoán vị a và 2, 3, 4, 5 là 5! Đặt b = 61 Số các số tạo nên bởi hoán vị b và 2, 3, 4, 5 là 5! Sô' cách xếp thỏa yêu cầu bài toán : 6! - 2 X 5! = 480 ■ B ài 13 Xét các số gồm 9 chữ số. .. 8 ô trống Có 7 cách lấy chữ số 0 bỏ vào hộc (do ai * 0) Có 7 cách lấy chữ số 2 bỏ vào hộc do còn 7 hộc trống Có 6 cách lấy chữ số 3 bỏ vào hộc do còn 6 hộc trống Có 5 cách lấy chữ số 4 bỏ vào hộc do còn 5 hộc trống Có 4 cách lấy chữ số 5 bỏ vào hộc do còn 4 hộc trông Có 1 cách lấy 3 chữ số 1 bỏ vào hộc do còn 3 hộc trống và 3 chữ số 11 như nhau Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán : 7 X 7 X 6 X 5 X 4... ô trống Lấy số 0 bỏ vào hộc có 6 cách Lấy số 1 bỏ vào hộc có 6 cách Lấy số 2 bỏ vào hộc có 5 cách Lây số 3 bỏ vèo hộc có 4 cách Lấy 3 số 4 bỏ vào hộc có 1 cách Số các số thỏa yêu CẨU bài toán : 6 x 6 x 5 x 4 = 720 ■ B à i 17 (Dự bị khối A, 2003) Từ X * 10, 1, 2, 3, 4, 51 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ :SỐ _ khác nhau mà chữ số 2 và 3 đứng cạnh. _ G iải Đặt a * 23 và b * 32 Gọi... có 1 cách chọn Số các số lẻ cần tìm : 3 x 4 x 4 x 3 x 2 = 288 b) Số các số gồm 6 chữ số bất kì (a] có thế bằng 0) là : 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x l = 720 Số các sô gồm 6 chữ số mà ai = 0 là : 5 x4 3 X X 2 X 1 : Vậy số các số gồm 6 chử số (ai 120 0) lấy từ X 720 - 120 = 600 Mà số các số lé là 288 Vậy số các sô chẵn là : 600 - 288 = 312 ■ B à i 13 Có thế lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lể... chữ số Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số là số chẵn Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Từ 8 chữ số trôn có thê lập bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và mỗi số đều không chia hết cho 10 Có 12 dội bóng đá tran h giải Có bao nhiêu cách mà nhà tô chức trao huy chương vàng, bạc, đồng Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ sô sao cho tống các chữ số là một số chần (Dự bị khối... được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có m ặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có _ m ật düng 1 lần. _ _ _ • G iả i C ách 1 : Gọi n * aja2 a7 Số các số n bốt kì (ai có thể là 0) mà 4 có mặt đúng 3 lần và cá c 7' chữ số khác đúng 1 lần : — 3! Số các 8ố n mà ai = 0; 4 có mặt đúng 3 lần và các chữ số 1, 2, 3 có Otât đúng 1 lán : 3! SỐ các số thỏa yêu cầu bài toán : — - —... 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi có b>ao nhiêu cách sắp 10 học sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho 7 ia«n sinh phải đứng liền nhaụ Q Có 6 học sinh được xếp 6 chỗ ngểi đả được ghi số thứ tự trên nuột bàn dài Tìm sô' cách xếp 6 học sinh này trong mỗi trường hợp saiu : a) vào bàn b) 2 học sinh A và B không ngồi cạnh nhau Q Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiiẽu số. .. 4 4 ai Số cách chọn Vậy có : 16 + 20 5 ai as 5 H 4 36 số Chọn a Gọi số in trên vé n = aja-^a* SỐ cách chọn âl a2 &3 &4 10 9 8 7 ai a2 a3 9 9 8 Vậy số cần tìm là 5040 Chọn b 6 Xét hộc có 5 ô trống Đem 2 vào có 5 cách Đem 3 vào có 4 cách Đem 3 chữ số 1 vào có 1 cách Vậy có 20 cách Chọn c 7 Gọi n s ata2a38 SỐ cách chọn Số cần tìm : 9 x 9 x 8*= 648 Chọn b 8 X = I I 91 Gọi A là tập con của X chứa số chẵn... chữ số 0, 1,2, 3, 4 Lấy 3 miếng bìa từ 5 m iếng bìa này rồi đ ặt cạnh nhau từ trái sang phải để được số gồm 3 chữ số Hỏi : a) Có thể lập bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số b) Trong đó có bao nhiêu số chẵn I I Từ X = 10, 1, 2, 3, 4, 5, 6} lập được bao nhiêu số chần gồm 5 chữ số khác nhau Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia h ết cho 9 Từ X = 10, 1, 2, 3, 4, 5, 61 lập được bao nhiêu số chần có 3 chữ số. .. Trudng hợp 1 : ai tùy ý có thể bằng 0 Hoán vị a và 0, 1, 4, 5 có 5! số Hoán vị b và 0, 1, 4, 5 cố 51 số 34 *0) • Trường hợp 2 : a, = o Hoán vị a và 1, 4, 5 có 4 ! số Hoán vị b vá 1, 4, 5 có 4! số Vậy có : 2(5! - 4!) = 2(120 - 24) = 196 số thỏa bài toán ■ R à 18 (Dư bị khối B, 2003) Từ X = II, 2, 3, 4, 5, 6| lập được bao nhiêu sô' tự nhiên có 6 chữ sô' khác nhau mà tống 3 chữ số đầu bé hơn tống 3 chữ số