Phương pháp giải một số dạng bài tập khảo sát hàm số trong kỳ thi TSĐH

2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu A) Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3: 3 2 axy bx cx d    * ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt * ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là 1 2 , x x khi đó 1 2 , x x là 2 nghiệm của phương trình y’=0 * ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại cực tiểu tại 1 2 , x x thì 1 2 '( ) '( ) 0f x f x  + Phân tích '( ). ( ) ( )y f x p x h x  . Từ đó ta suy ra tại 1 2 , x x thì 1 1 2 2 ( ); ( ) ( )y h x y h x y h x    là đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Kí hiệu k là hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu * ) Các câu hỏi thường gặp liên quan đến điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc 3 là: 1) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của hàm số song song với đường thẳng y=ax+b + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện k=a 2) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện k= 1 a  Ví dụ 1) Tìm m để   3 2 7 3f x x mx x    có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=3x-7. Giải: hàm số có cực đại, cực tiểu  2 '( ) 3 2 7 0f x x mx    có 2 nghiệm phân biệt 2 21 0 21m m         . Thực hiện phép chia f(x) cho f ’ (x) ta có:     2 1 1 2 7 . 21 3 3 9 9 9 m f x x m f x m x                 . Với 21m  thì f ’ (x)=0 có 2 nghiệm x 1, x 2 phân biệt và hàm số f(x) đạt cực trị tại x 1 ,x 2 . www.VNMATH.com 3 Do 1 2 ( ) 0 ( ) 0 f x f x        nên     2 1 1 2 2 2 2 7 (21 ) 3 9 9 2 7 (21 ) 3 9 9 m f x m x m f x m x                . Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình     2 2 7 : 21 3 9 9 m y m x     Ta có     2 2 2 21 21 21 3 7 2 3 45 21 .3 1 21 9 2 2 m m m y x m m m                                3 10 2 m   3) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox một góc  + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện tank   Ví dụ 1) Cho hàm số 23 23  mxxxy (1) với m là tham số thực Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. Giải: Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ' 9 3 0 3m m        3 2 1 2 3 2 ( 1). ' ( 2) 2 3 3 3 m m y x x mx x y x           Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình 3 2)2 3 2 ( m x m y  Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai                  3 6 ;0,0; )3(2 6 m B m m A Tam giác OAB cân khi và chỉ khi OA OB 6 6 2( 3) 3 9 3 6; ; 2 2 m m m m m m            Với m = 6 thì OBA  so với điều kiện ta nhận 2 3 m Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độ tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng là 9 ( ) 2 2 tan 45 1 2 1 3 3 ( ) 2 m L m k m TM                     www.VNMATH.com 4 4) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b một góc  + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện tan 1 k a ka     Ví dụ ) Tìm m để   3 2 2 3( 1) (2 3 2) ( 1)f x x m x m m x m m        có đường thẳng đi qua CĐ, CT tạo với 1 5 4 y x    một góc 45 0 . Giải: Gọi hệ số góc của đường thẳng đi qua CĐ, CT là k, khi đó từ điêu kiện bài toán suy ra: 0 1 1 5 3 1 1 4 4 4 4 4 45 1 1 1 1 3 5 4 4 1 . 1 4 4 4 4 4 k k k k k tg k k k k k                                              3 5 5 3 k k           Hàm số có CĐ, CT 2 2 ( ) 3 6( 1) (2 3 2) 0f x x m x m m          có 2 nghiệm phân biệt 2 3 5 3 5 3( 3 1) 0 2 2 m m m m                              (*) Thực hiện phép chia f(x) cho) f’(x ta có       2 1 2 ( ) ( 1) . ( ) 3 1 ( 1) 3 3 f x x m f x m m x m          với m thoả mãn điều kiện (*) thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và hàm số đạt ccực trị tại x 1, x 2 . Do 1 2 ( ) 0 ( ) 0 f x f x        nên           2 1 1 2 2 2 2 ( 3 1) 1 3 2 3 1 1 3 f x m m x m f x m m x m                           Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình       2 2 : 3 1 1 3 y m m x m            Ta có    tạo với 1 5 4 y x    góc 45 0   2 2 3 1 1 3 m m       kết hợp với điều kiện (*) ta có 3 15 2 m   5) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại A,B sao cho tam giác OAB có diện tích cho trước + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Tìm các giao điểm với các trục toạ độ: Với trục Ox:Giải y=0 tìm x.Với trục Oy giải x=0 tìm y. + / 1 . 2 MAB M AB S d AB Từ đó tính toạ độ A, B sau đó giải điều kiện theo giả thiết www.VNMATH.com 5 Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số 3 3 2y x mx   cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât. Giải: Có: 2 ' 3 3y x m  có 2 nghiệm phân biệt khi 0m  . Khi đó tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là     ;2 2 , ;2 2M m m x N m m x   - Phương trình đường thẳng MN là: 2 2 0mx y   - Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I tại A,B mà tam giác IAB có ˆ 2. . .sin 1 IAB S IA IB AIB  , dấu bằng xảy ra khi 0 ˆ 90AIB  , lúc đó khoảng cách từ I đến MN bằng 1 2 Do vậy ta có pt:   2 2 1 1 1 3 3 , 1 ; 1 2 2 2 2 4 1 m d I MN m m m           Ví dụ 2) Cho hàm số 3 3 2y x mx   Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 18 , trong đó   1;1I Lời giải: Ta có   2 2 ' 3 3 3y x m x m    . Để hàm số có CĐ và CT 0m  Gọi A, B là 2 cực trị thì     ;2 2 ; ;2 2A m m m B m m m   PT đường thẳng đi qua AB là:     4 2 2 2 2 2 m m y m m x m y mx m         Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB là   2 2 1 ; 4 1 m d I AB m    độ dài đoạn 3 4 16AB m m  Mà diện tích tam giác IAB là 3 2 2 1 1 18 4 16 18 2 4 1 m S m m m                   2 2 3 2 3 2 2 4 16 2 1 4 1 4.18 2 1 18 4 4 18 0 2 4 4 9 0 2 m m m m m m m m m m m m m                     6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách đều điểm M cho trước: + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị 1 2 ;y y ) + Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là MA=MB 7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=ax+b + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị 1 2 ;y y ) + Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là: Đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b và trung điểm của AB thuộc đường thẳng y=ax+b www.VNMATH.com 6 Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 2 ( ) 3f x x x m x m    có CĐ và CT đối xứng nhau qua   1 5 : 2 2 y x   . Giải: Hàm số có CĐ, CT   3 2 6 0f x x x m       có 2 nghiệm phân biệt 2 2 9 3 0 3 3m m m           . thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có:     2 2 1 2 ( ) 1 ( ) 3 3 3 3 m f x x f x m x m        với 3m  thì f’ (x) =0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x 1 , x 2 . Do     1 2 0 0 f x f x          nên         2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 m y f x m x m m y f x m x m                  . Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình     2 2 2 : 3 3 3 m d y m x m    Các điểm cực trị     1 1 2 2 ; , ;A x y B x y đối xứng nhau qua     1 5 : 2 2 y x d      và trung điểm I của AB phải thuộc (d)     2 2 2 2 3 2; 1 0 3 0 ( 1) 0 2 1 5 3 .1 .1 3 3 2 2 I m x m m m m m m m                           Ví dụ 2) Cho hàm số   3 2 3 2 m y x x mx C    Tìm m để hàm số(C m ) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng : 1 0d x y   Giải: Ta có 2 2 ' 3 6 ; ' 0 3 6 0y x x m y x x m        (1) Hàm số (C m ) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 3m  Giả sử     1 1 2 2 ; , ;A x y B x y là hai điểm cực trị của hàm số (C m ), ( 1 2 , x x là 2 nghiệm của (1)). Vì 1 '. 2 1 2 3 3 3 3 x m m y y x                   và     1 2 ' ' 0y x y x  nên phương trình đường thẳng đi qua A,B là   2 1 2 ' 3 3 m m y x d           . Do đó các điểm A,B cách đều đường thẳng (d) trong 2 trường hợp sau: TH1: (d’) cùng phương với (d) 9 2 1 1 3 2 m m            (không thỏa mãn) TH2: Trung điểm I của AB nằm trên (d). Do I là trung điểm của AB nên tọa độ I là: www.VNMATH.com 7 1 2 1 2 1 2 2 x x x y y y m              . Vì I nằm trên (d) nên ta có 1 1 0 0m m     (thỏa mãn). Chú ý: Cần phân biệt rõ 2 khái niệm cách đều và đối xứng qua một đường thẳng. 8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại cực tiểu max, min + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị 1 2 ;y y ) + Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B. Tính độ dài AB theo tham số. Dùng phương pháp đạo hàm để tìm max, min Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 1 ( ) 1 3 f x x mx x m     có khoảng cách giữa các điểm CĐ, CT là nhỏ nhất. Giải: Do   2 2 1 0f x x mx      có 2 1 0m      nên f’ (x) =0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và hàm số đạt cực trị tại x 1 , x 2 với các điểm cực trị là .     1 1 2 2 ; , ;A x y B x y Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có:     2 1 2 2 ( ) . ( ) 1 1 3 3 3 f x x m f x m x m              Do 1 2 ( ) 0 ( ) 0 f x f x        nên     2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 3 3 2 2 ( ) 1 1 3 3 y f x m x m y f x m x m                                Ta có           2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 9 AB x x y y x x m x x               2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 4 4 1 1 9 4 4 2 13 4 4 1 1 4 1 9 9 3 x x x x m m m AB                                        Min AB= 2 13 3 xảy ra  m=0 9) Tìm điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả mãn một hệ thức cho trước + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Phân tích hệ rhức để áp dụng định lý viét( 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình y’=0 Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 1 ( ) 1 3 f x x mx mx    đạt cực trị tại x 1 , x 2 thoả mãn 1 2 8x x  www.VNMATH.com 8 Giải: Hàm số có CĐ, CT 2 ( ) 2 0f x x mx m       có 2 nghiệm phân biệt     2 0 0 1m m m m          với điều kiện này thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x 1, x 2 và hàm số đạt cực trị tại x 1 , x 2 với x 1 +x 2 =2m và x 1 x 2 =m. Ta có BPT: 2 1 2 1 2 8 64x x x x       2 2 2 1 2 1 2 4 4 4 64 16 0 1 65 1 65 2 2 x x x x m m m m m m                                 thoả mãn điều kiện     0 1m m  Ví dụ 2) Cho hàm số 13 23  mxxxy Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm ) 4 11 ; 2 1 (I đến đường thẳng nối điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất Giải: Ta có mxxy  63' 2 . Hàm số có cực đại cực tiểu khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt 30'  m (0,25 điểm) - Chia đa thức y cho y’ ta có 1 3 )2 3 2 () 3 1 3 ('  m x mx yy . Lập luận suy ra đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu là  1 3 )2 3 2 (  m x m y . Dễ dàng tìm được điểm cố định mà đường thẳng cực đại cực tiểu luôn đi qua là )2; 2 1 (A (0,25 điểm) - Hệ số góc của đường thẳng IA là 4 3 k . Hạ IH vuông góc với  ta có 4 5 /   IAdIH I Đẳng thức xảy ra khi IA (0,25 điểm) - Suy ra 3 41 2 3 2  k m 1 m (0,25 điểm) Ví dụ 3) Cho hàm số 3 2 2 3 3 3( 1) 4 1y x mx m x m m       (C) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A, B cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông tại O Giải:Điều kiện để hàm số có 2 cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt: 2 2 1 ' 3 6 3( 1) ' 9 0 1 x m y x mx m x m                 (0,25 điểm) Ta có 1 1 '( ) 2 3 1 3 3 y y x m x m     Gọi A, B là 2 điểm cực trị thì ( 1; 3); ( 1; 1)A m m B m m    (0,25 điểm) Suy ra 2 1 ( 1; 3); ( 1; 1) 2 2 4 0 2 m OA m m OB m m m m m                  (0, 25 điểm) Kết luận: Có hai giá trị của m cần tìm là m=-1 hoặc m=2 www.VNMATH.com 9 Ví dụ 4) Tìm các giá trị của m để hàm số   3 2 2 1 1 . 3 3 2 y x m x m x    có cực đại 1 x , cực tiểu 2 x đồng thời 1 2 ; x x là độ dài các cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5 2 . Giải: Cách 1: Miền xác định: D R có 2 2 2 2 ' 3; ' 0 3 0y x mx m y x mx m          Hàm số có cực đại 1 x , cực tiểu 2 x thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi PT ' 0y  có 2 nghiệm dương phân biệt, triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó. 2 2 0 4 0 2 2 0 0 0 3 2 0 3 3 3 0 m m S m m m P m m m                                       (*) Theo Viet ta có: 1 2 2 1 2 3 x x m x x m          . Mà     2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 5 14 2 4 5 2 4 3 5 2 2 x x x x x x m m m             Đối chiếu ĐK(*) ta có giá trị 14 2 m  thỏa yêu cầu bài toán. B) Cực đại cực tiểu hàm số bậc bốn: 4 2 axy bx c   . *) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 3 cực đại cực tiểu là y’=0 có 3 nghiệm phân biệt + Ta thấy hàm số bậc bốn thì y’=0 luôn có một nghiệm x=0, để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt sau khi tính đạo hàm ta cần tìm điều kiện để phần phương trình bậc 2 còn lại có 2 nghiệm phân biệt khác không. VD: 4 2 2 2 2y x mx   thì 3 2 ' 4 4 ' 0 0y x mx y x x m          điều kiện là m<0 *) Khi hàm số bậc bốn có 3 cực trị là A(0;c), 1 1 2 1 ( ; ); ( ; )B x y C x y thì điều đặc biệt là tam giác ABC luôn cân tại A( Học sinh cần nắm chắc điều này để vận dụng trong giải toán) *) Các câu hỏi thường gặp trong phần này là: 1) Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân, hoặc đều + Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt + Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A.Tính các véc tơ: , ,AB AC BC    + Tam giác ABC vuông cân . 0AB AC    + Tam giác ABC đều AB BC 2) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích cho trước + Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt + Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A. Tính các véc tơ: , ,AB AC BC    www.VNMATH.com 10 + Kẻ đường cao AH. + 1 . 2 ABC S AH BC   + Giải điều kiện Ví dụ 1) Tìm m để f(x)= 4 2 4 2 2 x mx m m    có CĐ, CT lập thành tam giác đều Giải: f’(x)=   2 2 4 0 0 x x m x x m       Hàm số có CĐ, CT  f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt  m>0 Với m>0 thì f’(x)=0       4 2 1 4 2 4 2 3 ; 2 0 0; 2 ; 2 x m B m m m m x A m m x m C m m m m                      Suy ra BBT của hàm số y=f(x)  ABC đều 2 2 2 2 0 0 m m AB AC AB AC AB BC AB BC                     4 4 3 3 4 0 0 3 3 0 4 m m m m m m m m m m m m                        Ví dụ 2) Cho hàm số 4 2 2 2 2 4y x mx m    , m là tham số thực. Xác định m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1. Giải: Mxđ: D R . Có 3 ' 4 4y x mx  3 2 ' 0 4 4 0 0y x mx x x m        . Hàm số có 3 cực trị 0m  (*) Gọi       2 2 2 0;2 4 , ; 4 , ; 4A m B m m C m m    là 3 điểm cực trị Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại A Kẻ AH BC có 2 1 . 2 2 2 2 . 1 2 ABC B A B S AH BC y y x m m m          . Đối chiếu với điều kiện (*) có 1m  là giá trị cần tìm. Ví dụ 3) Cho hàm số   4 2 2 2 1 1.y x m x m     Tìm m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất. Giải:   3 2 2 2 ' 4 4 1 0 0, 1y x x m x x m        hàm số có 3 cực trị 1 1m    . Khi đó tọa độ điểm cực đại là   0;1A m , tọa độ hai điểm cực tiểu là     2 2 2 2 1 ; 1 , 1 ; 1B m m C m m     diện tích tam giác ABC là     2 2 1 ; . 1 1 2 ABC S d A BC BC m    . Dấu “=” xày ra khi 0m  ĐS: 0m  www.VNMATH.com 11 Ví dụ 4) Cho hàm số 4 2 2 2y x mx   có đồ thị (C m ). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (C m ) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua 3 9 ; 5 5 D       Giải: Có   3 ' 4 4 0 0; 0y x mx x x m m        . Vậy các điểm thuộc đường tròn (P) ngoại tiếp các điểm cực trị là       2 2 3 9 0;2 , ; 2 , ; 2 , ; 5 5 A B m m C m m D            . Gọi   ;I x y là tâm đường tròn (P)       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 0 2 2 0; 1; 0( ), 1 2 2 x y IA ID IB IC x y x m x y m L m IB IA x m y m x y                                     Vậy 1m  là giá trị cần tìm. Phần hai: Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và các đường tiệm cận *) Xét hàm số ( )y f x .Giả sử 0 0 ( ; )M x y là tiếp điểm khi đó tiếp tuyến tại M có dạng 0 0 0 '( )( )y f x x x y   (1) ( Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát ta thường biểu diễn 0 y theo dạng 0 ( )f x ) Ví dụ: Xét điểm M bất kỳ thuộc đồ thị hàm số 2 1 1 x y x    khi đó điểm M có toạ độ là 0 0 0 2 1 ( ; ) 1 x M x x   *) Ta gọi hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm M là 0 '( )k f x *) Đường thẳng  bất kỳ có hệ số góc k đi qua 0 0 ( ; )M x y có dạng 0 0 ( )y k x x y   . Điều kiện để  là tiếp tuyến của hàm số y=f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm 0 0 ( ) ( ) '( ) k x x y f x k f x        Khi đó số nghiệm của hệ cũng chính là số tiếp tuyến kẻ được từ điểm M đến đồ thị hàm số y=f(x) *) Mọi bài toán viết phương trình tiếp tuyến đều quy về việc tìm tiếp điểm sau đó viết phương trình theo (1) *) Các dạng câu hỏi thường gặp trong phần này là 1) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b: + Xét hàm số y=f(x). Gọi 0 0 ( ; )M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng 0 0 0 '( )( )y f x x x y   (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là 0 '( )k f x + Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên 0 '( )k f x a  . Giải phương trình tìm 0 x sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1) www.VNMATH.com [...]... phương pháp nhẩm nghiệm tách phương trình tạo dạng tích: ( x  x0 ).G ( x)  0 trong đó G(x) là tam thức bậc 2 theo x Từ đó ta biện luận theo pt G(x)=0 Tuy nhiên trong một số bài toán ta không thể nhẩm được nghiệm Khi đó ta cần sử dụng các điều kiệ tương giao sau để giải toán + Hàm số : y=ax3+bx2+cx+d cắt trục Ox tại đúng một điểm khi và chỉ khi hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến hoặc hàm số có... để hàm số y=f(x) tiếp xúc với đồ thị y=g(x) là hệ phương trình sau có nghiệm  f ( x)  g ( x )   f '( x)  g '( x ) + Điều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với trục Ox là hệ sau có nghiệm  f ( x)  0   f '( x)  0 26 www.VNMATH.com 3) Điều kiện tương giao của hàm số bậc 3: y=ax3+bx2+cx+d * Khi giải các bài tập về tương giao đường thẳng y=mx+n và đồ thị hàm số y=ax3+bx2+cx+d ta thường sử dụng phương. .. hà số y  Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tìm m để tiếp tuyến xm bất kỳ của hàm số cắt hai tiệm cận tại A,B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64 Giải: Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x  m và đường tiệm cận ngang là y  2m Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là: I  m, 2m   2mx0  3  Gọi M  x0 ;  (với x 0  m ) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số. ..  0  x0  0 x  0   0 2 2  x0  2  y0  1  M  2;1 8) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang tại A, B mà chu vi tam giác IAB nhỏ nhất *) Để giải quyết dạng bài tập này học sinh cần nắm được một kết quả quan trọng sau: (Trong hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất tiếp tuyến bất kỳ cắt 2 tiệm cận tại A,B thì diện tích tam giác IAB không đổi) Vận dụng...    4)Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc  16 www.VNMATH.com + Xét hàm số y=f(x) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 (1) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k  f '( x0 )  f '( x0 )  tan  + Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc   f '( x0 )  tan    Giải tìm x0 sau  f '( x0 )   tan  đó viết phương trình...       Vậy với mọi m phương trình luôn có nghiêm duy nhất Ví dụ 3) Giả sử đồ thị hàm số y  x3  6 x 2  9 x  d cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt x1  x2  x3 Chứng minh 0  x1  1  x2  3  x3  4 Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số với trục Ox là : x3  6 x 2  9 x  d  0 (*) Điều kiện (*) có 3 nghiệm phân biệt là đường thẳng y=d cắt đồ thị hàm số y   x3  6 x 2  9 x Tại... x3  4 Kết luận: Đáp số m=2 6) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng Xét phương trình ax 4  bx 2  c  0 (1) Đặt t  x 2 (t  0) để phương trình (1)có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng thì phương trình at 2  bt  c  0 (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt t1 , t2 Giả sử ( t1  t2 ) khi đó 4 nghiệm của (1) là  t2 ,  t1 , t1 , t2 vì 4 nghiệm lập thành cấp số cộng nên   t2 ... f CT  0  3 2 + Hàm số : y=ax +bx +cx+d cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi f’(x) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 và f ( x1 ) f ( x2 )  0 + Hàm số : y=ax3+bx2+cx+d cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt khi hàm số có cực đại, cực tiểu và giá trị cực đại, cực tiểu trái dấu nhau  f '( x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 và f ( x1 ) f ( x2 )  0 + Trong trường hợp các nghiệm của phương trình kèm... Cùng với (1)  m  0 2) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b + Xét hàm số y=f(x) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 (1) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k  f '( x0 ) 1 + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b nên k  f '( x0 )   Giải phương trình tìm a x0 sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo... (thoả mãn) 4) Điều kiện để hàm số bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng Xét phương trình ax 3  bx 2  cx  d  0 Giả sử phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng là x1 ; x2 ; x3 khi đó: ax 3  bx 2  cx  d  a ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )  a[x 3  ( x1  x2  x3 ) x 2  ( x1 x2  x2 x3  x3 x1 )  x1 x2 x3 ] b là nghiệm Thế vào phương Vì 3 nghiệm lập thành cấp số cộng nên x1  x3  2 x2 . 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu A) Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3: 3 2 axy. độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại cực tiểu. thỏa yêu cầu bài toán. B) Cực đại cực tiểu hàm số bậc bốn: 4 2 axy bx c   . *) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 3 cực đại cực tiểu là y’=0 có 3 nghiệm phân biệt + Ta thấy hàm số bậc bốn