Bài tập khảo sát hàm số

TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Năm 2012 www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 1 KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. Kiến thức cơ bản Giả sử hàm số y fx()= có tập xác định D. · Hàm số f đồng biến trên D Û y xD0, ¢ ³"Î và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û y xD0, ¢ £"Î và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Nếu yaxbxca 2 '(0)=++¹ thì: + a yxR 0 '0, 0 D ì > ³"ÎÛ í £ î + a yxR 0 '0, 0 D ì < £"ÎÛ í £ î · Định lí về dấu của tam thức bậc hai gxaxbxca 2 ()(0)=++¹: + Nếu D < 0 thì gx() luôn cùng dấu với a. + Nếu D = 0 thì gx() luôn cùng dấu với a (trừ b x a2 =- ) + Nếu D > 0 thì gx() có hai nghiệm x x 12 , và trong khoảng hai nghiệm thì gx() khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì gx() cùng dấu với a. · So sánh các nghiệm x x 12 , của tam thức bậc hai gxaxbxc 2 ()=++ với số 0: + xxP S 12 0 00 0 D ì ³ ï £<Û> í ï < î + xxP S 12 0 00 0 D ì ³ ï <£Û> í ï > î + xxP 12 00<<Û< · ab gxmxabgxm (;) (),(;)max()£"ÎÛ£; ab gxmxabgxm (;) (),(;)min()³"ÎÛ³ B. Một số dạng câu hỏi thường gặp 1. Tìm điều kiện để hàm số y fx()= đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định). · Hàm số f đồng biến trên D Û y xD0, ¢ ³"Î và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û y xD0, ¢ £"Î và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Nếu yaxbxca 2 '(0)=++¹ thì: + a yxR 0 '0, 0 D ì > ³"ÎÛ í £ î + a yxR 0 '0, 0 D ì < £"ÎÛ í £ î 2. Tìm điều kiện để hàm số y fxaxbxcxd 32 ()==+++ đơn điệu trên khoảng (;) ab . Ta có: y fxaxbxc 2 ()32 ¢¢ ==++. a) Hàm số f đồng biến trên (;) ab Û yx 0,(;) ¢ ³"Î ab và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (;) ab . Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f xhmgx()0()() ¢ ³Û³ (*) thì f đồng biến trên (;) ab Û hmgx (;) ()max()³ ab www.VNMATH.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 2 · Nếu bất phương trình f xhmgx()0()() ¢ ³Û£ (**) thì f đồng biến trên (;) ab Û hmgx (;) ()min()£ ab Trường hợp 2: Nếu bất phương trình fx ()0 ¢ ³ không đưa được về dạng (*) thì đặt tx=- a . Khi đó ta có: y gtatabtabc 22 ()32(3)32 aaa ¢ ==+++++. – Hàm số f đồng biến trên khoảng a(;)-¥ Û gtt()0,0³"< Û a a S P 0 00 00 0 D D ì > ï ï ì >> Ú íí £> î ï ³ ï î – Hàm số f đồng biến trên khoảng a(;)+¥ Û gtt()0,0³"> Û a a S P 0 00 00 0 D D ì > ï ï ì >> Ú íí £< î ï ³ ï î b) Hàm số f nghịch biến trên (;) ab Û yx 0,(;) ¢ ³"Î ab và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (;) ab . Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f xhmgx()0()() ¢ £Û³ (*) thì f nghịch biến trên (;) ab Û hmgx (;) ()max()³ ab · Nếu bất phương trình f xhmgx()0()() ¢ ³Û£ (**) thì f nghịch biến trên (;) ab Û hmgx (;) ()min()£ ab Trường hợp 2: Nếu bất phương trình fx ()0 ¢ £ không đưa được về dạng (*) thì đặt tx=- a . Khi đó ta có: y gtatabtabc 22 ()32(3)32 aaa ¢ ==+++++. – Hàm số f nghịch biến trên khoảng a(;)-¥ Û gtt()0,0£"< Û a a S P 0 00 00 0 D D ì < ï ï ì <> Ú íí £> î ï ³ ï î – Hàm số f nghịch biến trên khoảng a(;)+¥ Û gtt()0,0£"> Û a a S P 0 00 00 0 D D ì < ï ï ì <> Ú íí £< î ï ³ ï î 3. Tìm điều kiện để hàm số y fxaxbxcxd 32 ()==+++ đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k cho trước. · f đơn điệu trên khoảng xx 12 (;) Û y 0 ¢ = có 2 nghiệm phân biệt xx 12 , Û a 0 0 D ì ¹ í > î (1) · Biến đổi x xd 12 -= thành x xxxd 22 1212 ()4+-= (2) · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. 4. Tìm điều kiện để hàm số axbxc yad dxe 2 (2),(,0) ++ =¹ + a) Đồng biến trên (;) a -¥ . b) Đồng biến trên (;) a +¥ . www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 3 c) Đồng biến trên (;) ab . Tập xác định: e DR d \ ìü - = íý îþ , ( ) ( ) adxaexbedcfx y dxedxe 2 22 2() ' ++- == ++ 5. Tìm điều kiện để hàm số axbxc yad dxe 2 (2),(,0) ++ =¹ + a) Nghịch biến trên (;) a -¥ . b) Nghịch biến trên (;) a +¥ . c) Nghịch biến trên (;) ab . Tập xác định: e DR d \ ìü - = íý îþ , ( ) ( ) adxaexbedcfx y dxedxe 2 22 2() ' ++- == ++ Trường hợp 1 Trường hợp 2 Nếu: f xgxhmi()0()()()³Û³ Nếu bpt: fx ()0³ không đưa được về dạng (i) thì ta đặt: tx a = Khi đó bpt: fx ()0³ trở thành: gt()0³ , với: gtadtadetadaebedc 22 ()2()2 aaa =+++++- a) (2) đồng biến trên khoảng (;) a -¥ e d gxhmx()(), a a ì - ï ³ Û í ï ³"< î e d hmgx (;] ()min() a a -¥ ì - ³ ï Û í £ ï î a) (2) đồng biến trên khoảng (;) a -¥ e d gttii()0,0() a ì - ï ³ Û í ï ³"< î a a ii S P 0 00 () 00 0 ì > ï ï ì >D> ÛÚ íí D£> î ï ³ ï î b) (2) đồng biến trên khoảng (;) a +¥ e d gxhmx()(), a a ì - ï £ Û í ï ³"> î e d hmgx [;) ()min() a a +¥ ì - £ ï Û í £ ï î b) (2) đồng biến trên khoảng (;) a +¥ e d gttiii()0,0() a ì - ï £ Û í ï ³"> î a a iii S P 0 00 () 00 0 ì > ï ï ì >D> ÛÚ íí D£< î ï ³ ï î c) (2) đồng biến trên khoảng (;) ab ( ) e d gxhmx ; ()(),(;) ab ab ì - ï Ï Û í ï ³"Î î ( ) e d hmgx [;] ; ()min() ab ab ì - Ï ï Û í £ ï î www.VNMATH.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 4 Trường hợp 1 Trường hợp 2 Nếu f xgxhmi()0()()()£Û³ Nếu bpt: fx ()0³ không đưa được về dạng (i) thì ta đặt: tx a = Khi đó bpt: fx ()0£ trở thành: gt()0£ , với: gtadtadetadaebedc 22 ()2()2 aaa =+++++- a) (2) nghịch biến trên khoảng (;) a -¥ e d gxhmx()(), a a ì - ï ³ Û í ï ³"< î e d hmgx (;] ()min() a a -¥ ì - ³ ï Û í £ ï î a) (2) đồng biến trên khoảng (;) a -¥ e d gttii()0,0() a ì - ï ³ Û í ï £"< î a a ii S P 0 00 () 00 0 ì < ï ï ì <D> ÛÚ íí D£> î ï ³ ï î b) (2) nghịch biến trên khoảng (;) a +¥ e d gxhmx()(), a a ì - ï £ Û í ï ³"> î e d hmgx [;) ()min() a a +¥ ì - £ ï Û í £ ï î b) (2) đồng biến trên khoảng (;) a +¥ e d gttiii()0,0() a ì - ï £ Û í ï £"> î a a iii S P 0 00 () 00 0 ì < ï ï ì <D> ÛÚ íí D£< î ï ³ ï î c) (2) đồng biến trong khoảng (;) ab ( ) e d gxhmx ; ()(),(;) ab ab ì - ï Ï Û í ï ³"Î î ( ) e d hmgx [;] ; ()min() ab ab ì - Ï ï Û í £ ï î www.VNMATH.com Trn S Tựng Kho sỏt hm s Trang 5 Cõu 1. Cho hm s y mxmxmx 32 1 (1)(32) 3 =-++- (1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) khi m 2= . 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn tp xỏc nh ca nú. ã Tp xỏc nh: D = R. ymxmxm 2 (1)232  =-++ (1) ng bin trờn R yx 0,  " m 2 Cõu 2. Cho hm s yxxmx 32 34=+ (1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m 0= . 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn khong (;0)-Ơ . ã Tp xỏc nh: D = R. y xxm 2 36  =+ y  cú m3(3) D  =+. + Nu m 3Ê- thỡ 0 D Â Ê ị yx 0,  " ị hm s ng bin trờn R ị m 3Ê- tho YCBT. + Nu m 3>- thỡ 0 D  > ị PT y 0  = cú 2 nghim phõn bit x xxx 1212 ,()< . Khi ú hm s ng bin trờn cỏc khong xx 12 (;),(;)-Ơ+Ơ . Do ú hm s ng bin trờn khong (;0)-Ơ xx 12 0 Ê< P S 0 0 0 D  ỡ > ù ớ ù > ợ m m 3 0 20 ỡ >- ù - ớ ù -> ợ (VN) Vy: m 3Ê- . Cõu 3. Cho hm s y xmxmmx 32 23(21)6(1)1=-++++ cú th (C m ). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0. 2) Tỡm m hm s ng bin trờn khong (2;)+Ơ ã Tp xỏc nh: D = R. yxmxmm 2 '66(21)6(1)=-+++ cú mmm 22 (21)4()10 D =+-+=> xm y xm '0 1 ộ = = ờ =+ ở . Hm s ng bin trờn cỏc khong mm(;),(1;)-Ơ++Ơ Do ú: hm s ng bin trờn (2;)+Ơ m 12+Ê m 1Ê Cõu 4. Cho hm s yxmxmxm 32 (12)(2)2=+-+-++. 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1. 2) Tỡm m hm ng bin trờn khong K (0;)=+Ơ . ã Hm ng bin trờn (0;)+Ơ yxmxm 2 3(12)(22 )0  +=-+- vi x 0)( ;"ẻ +Ơ x f xm x x 2 23 () 41 2+ = + + vi x 0)( ;"ẻ +Ơ Ta cú: xx xx xxfx x 2 2 2 6( 1)1 1 2 ()02 () 01; 2 41  = +- +-==-= = + Lp BBT ca hm fx () trờn (0;)+Ơ , t ú ta i n kt lun: f mm 15 24 ổử ỗữ ốứ . Cõu hi tng t : a) y mxmxmx 32 1 (1)(21)3(21)1 3 =+ +-+ m(1)ạ- , K (;1)=-Ơ- . S: m 4 11 b) y mxmxmx 32 1 (1)(21)3(21)1 3 =+ +-+ m(1)ạ- , K (1;)=+Ơ . S: 0m c) y mxmxmx 32 1 (1)(21)3(21)1 3 =+ +-+ m(1)ạ- , K (1;1)=- . S: m 1 2 www.VNMATH.com Kho sỏt hm s Trn S Tựng Trang 6 Cõu 5. Cho hm s y mxmxx 232 1 (1)(1)21 3 =-+ + (1) m(1)ạ . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0. 2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K (;2)=-Ơ . ã Tp xỏc nh: D = R; ymxmx 22 (1)2(1)2  =-+ t tx2= ta c: ygtmtmmtmm 2222 ()(1)(426)4410  ==-++-++- Hm s (1) nghch bin trong khong (;2)-Ơ gtt()0,0Ê"< TH1 : a 0 0 ỡ < ớ DÊ ợ m mm 2 2 10 3210 ỡ ù -< ớ Ê ù ợ TH2 : a S P 0 0 0 0 ỡ < ù ù D> ớ > ù ù ợ m mm mm m m 2 2 2 10 3210 44100 23 0 1 ỡ -< ù > ù ù ớ +-Ê ù ù > ù + ợ Vy: Vi m 1 1 3 - Ê< thỡ hm s (1) nghch bin trong khong (;2)-Ơ . Cõu 6. Cho hm s y mxmxx 232 1 (1)(1)21 3 =-+ + (1) m(1)ạ . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0. 2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K (2;)=+Ơ . ã Tp xỏc nh: D = R; ymxmx 22 (1)2(1)2  =-+ t tx2= ta c: ygtmtmmtmm 2222 ()(1)(426)4410  ==-++-++- Hm s (1) nghch bin trong khong (2;)+Ơ gtt()0,0Ê"> TH1 : a 0 0 ỡ < ớ DÊ ợ m mm 2 2 10 3210 ỡ ù -< ớ Ê ù ợ TH2 : a S P 0 0 0 0 ỡ < ù ù D> ớ < ù ù ợ m mm mm m m 2 2 2 10 3210 44100 23 0 1 ỡ -< ù > ù ù ớ +-Ê ù ù < ù + ợ Vy: Vi m11-<< thỡ hm s (1) nghch bin trong khong (2;)+Ơ Cõu 7. Cho hm s y xxmxm 32 3=+++ (1), (m l tham s). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 3. 2) Tỡm m hm s (1) nghch bin trờn on cú di bng 1. ã Ta cú y xxm 2 '36=++ cú m93 D  =- . + Nu m 3 thỡ y xR0,  "ẻ ị hm s ng bin trờn R ị m 3 khụng tho món. + Nu m < 3 thỡ y 0  = cú 2 nghim phõn bit x xxx 1212 ,()< . Hm s nghch bin trờn on xx 12 ; ộự ởỷ vi di lxx 12 = Ta cú: m xxxx 1212 2; 3 +=-=. YCBT l 1= xx 12 1-= xxxx 2 1212 ()41+-= m 9 4 = . Cõu 8. Cho hm s yxmx 32 231=-+- (1). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1. 2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) ng bin trong khong xx 12 (;) vi xx 21 1-=. ã y xmx 2 '66=-+ , y xxm'00=== . + Nu m = 0 yx 0,  ịÊ"ẻ Ă ị hm s nghch bin trờn Ă ị m = 0 khụng tho YCBT. www.VNMATH.com Trn S Tựng Kho sỏt hm s Trang 7 + Nu m 0ạ , y xmkhim0,(0;)0  "ẻ>hoc y xmkhim0,(;0)0  "ẻ<. Vy hm s ng bin trong khong xx 12 (;) vi xx 21 1-= x xm xxm 12 12 (;)(0;) (;)(;0) ộ = ờ = ở v xx 21 1-= m m m 01 1 01 ộ -= = ờ -= ở . Cõu 9. Cho hm s yxmxm 42 231= + (1), (m l tham s). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1. 2) Tỡm m hm s (1) ng bin trờn khong (1; 2). ã Ta cú y xmxxxm 32 '444()=-=- + m 0Ê , yx0,(0;)  "ẻ+Ơ ị m 0Ê tho món. + m 0> , y 0  = cú 3 nghim phõn bit: m m,0,- . Hm s (1) ng bin trờn (1; 2) m m101Ê<Ê. Vy ( m ;1 ự ẻ-Ơ ỷ . Cõu hi tng t: a) Vi yxmxm 42 2(1)2= +-; y ng bin trờn khong (1;3) . S: m 2Ê . Cõu 10. Cho hm s mx y xm 4+ = + (1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m 1=- . 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) nghch bin trờn khong (;1)-Ơ . ã Tp xỏc nh: D = R \ {m}. m y xm 2 2 4 () -  = + . Hm s nghch bin trờn tng khong xỏc nh ym022  <-<< (1) hm s (1) nghch bin trờn khong (;1)-Ơ thỡ ta phi cú mm11-Ê- (2) Kt hp (1) v (2) ta c: m21-<Ê- . Cõu 11. Cho hm s xxm y x 2 23 (2). 1 -+ = - Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (;1)-Ơ- . ã Tp xỏc nh: D R{\1}= . x xmfx y xx 2 22 243() '. (1)(1) -+- == Ta cú: fxmxx 2 ()0243Ê-+. t gxxx 2 ()243=-+ gxx'()44ị=- Hm s (2) ng bin trờn (;1)-Ơ- y xmgx (;1] '0,(;1)min() -Ơ- "ẻ-Ơ-Ê Da vo BBT ca hm s gxx(),(;1]"ẻ-Ơ- ta suy ra m 9Ê . Vy m 9Ê thỡ hm s (2) ng bin trờn (;1)-Ơ- Cõu 12. Cho hm s xxm y x 2 23 (2). 1 -+ = - Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (2;)+Ơ . ã Tp xỏc nh: D R{\1}= . x xmfx y xx 2 22 243() '. (1)(1) -+- == Ta cú: fxmxx 2 ()0243Ê-+. t gxxx 2 ()243=-+ gxx'()44ị=- Hm s (2) ng bin trờn (2;)+Ơ y xmgx [2;) '0,(2;)min() +Ơ "ẻ+ƠÊ www.VNMATH.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 8 Dựa vào BBT của hàm số gxx(),(;1]"Î-¥- ta suy ra m 3£ . Vậy m 3£ thì hàm số (2) đồng biến trên (2;)+¥ . Câu 13. Cho hàm số xxm y x 2 23 (2). 1 -+ = - Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2) . · Tập xác định: D R{\1}= . x xmfx y xx 2 22 243() '. (1)(1) -+- == Ta có: fxmxx 2 ()0243³Û£-+. Đặt gxxx 2 ()243=-+ gxx'()44Þ=- Hàm số (2) đồng biến trên (1;2) y xmgx [1;2] '0,(1;2)min()Û³"ÎÛ£ Dựa vào BBT của hàm số gxx(),(;1]"Î-¥- ta suy ra m 1£ . Vậy m 1£ thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2) . Câu 14. Cho hàm số xmxm y mx 22 23 (2). 2 -+ = - Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (;1)-¥ . · Tập xác định: D R{m}\2= . xmxmfx y xmxm 22 22 4() '. (2)(2) -+- == Đặt tx1= Khi đó bpt: fx ()0£ trở thành: gttmtmm 22 ()2(12)410= +-£ Hàm số (2) nghịch biến trên (;1)-¥ m yx gtti 21 '0,(;1) ()0,0() ì > Û£"Î-¥Û í £"< î i S P '0 '0 () 0 0 é D= ê ì D> ê Û ï > í ê ï ³ ê î ë m m m mm 2 0 0 420 410 é = ê ì ¹ ê Û ï -> í ê ï ê -+³ î ë m m 0 23 é = Û ê ³+ ë Vậy: Với m 23³+ thì hàm số (2) nghịch biến trên (;1)-¥ . Câu 15. Cho hàm số xmxm y mx 22 23 (2). 2 -+ = - Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1;)+¥ . · Tập xác định: D R{m}\2= . xmxmfx y xmxm 22 22 4() '. (2)(2) -+- == Đặt tx1= Khi đó bpt: fx ()0£ trở thành: gttmtmm 22 ()2(12)410= +-£ Hàm số (2) nghịch biến trên (1;)+¥ m yx gttii 21 '0,(1;) ()0,0() ì < Û£"Î+¥Û í £"> î ii S P '0 '0 () 0 0 é D= ê ì D> ê Û ï < í ê ï ³ ê î ë m m m mm 2 0 0 420 410 é = ê ì ¹ ê Û ï -< í ê ï ê -+³ î ë m 23Û£- Vậy: Với m 23£- thì hàm số (2) nghịch biến trên (1;)+¥ www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 9 KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: y fxaxbxcxd 32 ()==+++ A. Kiến thức cơ bản · Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y 0 ¢ = có 2 nghiệm phân biệt. · Hoành độ xx 12 , của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y 0 ¢ = . · Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm. – Phân tích y fxqxhx().()() ¢ =+. – Suy ra y hxyhx 1122 (),()==. Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y hx()= . · Gọi a là góc giữa hai đường thẳng dykxbdykxb 111222 :,:=+=+ thì kk kk 12 12 tan 1 - = + a B. Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng dypxq: =+. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: kp= (hoặc k p 1 =- ). 2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng dypxq: =+ một góc a . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: kp kp tan 1 - = + a . (Đặc biệt nếu d º Ox, thì giải điều kiện: k tan= a ) 3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy. – Giải điều kiện IAB SS D = . 4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện IAB SS D = . 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Gọi I là trung điểm của AB. – Giải điều kiện: d Id D ì ^ í Î î . 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. www.VNMATH.com [...]... 17 Khảo sát hàm số Câu 23 Cho hàm số www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m3 + m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O · Ta có y ¢= 3 x 2 - 6mx + 3(m2 - 1) Hàm số (1)... -2 ÷ = 2 2 è ø Câu 17 Cho hàm số y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx - 5 , m là tham số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0 Trang 15 Khảo sát hàm số www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hồnh độ là các số dương · Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hồnh độ là các số dương Û PT y ' = 3(m +... Û ê ï ê íS < 0 ï êỵP ³ 0 ë Khảo sát hàm số é m 2 - 3m + 2 < 0 ê ê ìm - 1 ³ 0 Û1< m < 2 Û ï ê í2 m - 2 < 0 ê ïm2 - 3m + 2 ³ 0 ëỵ Vậy: Với 1 < m < 2 thì hàm số (1) có cực trị trong khoảng (-¥;1) Câu 46 Cho hàm số : y = 1 3 x - mx 2 + (m 2 - m + 1) x + 1 (1) 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2) Tìm m để hàm số có cực trị trong khoảng (1; +¥) · Tập xác định D = R y¢ = x... www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số ìm > 0 ïD¢ > 0 5 4 ï Û 0 ïS < 0 ỵ Câu 21 Cho hàm số y = x3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) Tìm m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hồnh độ thuộc khoảng (-2; 0) · Ta có: y¢ = 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m ; y¢ = 0 Û 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m = 0 (*) Hàm số có ít nhất 1 cực... í 1 2 ỵ x1x2 = 3(m - 2) Û 8m 2 + 16m - 9 = 0 Û m = Khảo sát hàm số ì x = 3 - 2m ï Ûí 2 ï x2 (1 - 2 x2 ) = 3(m - 2) ỵ -4 ± 34 4 Câu 14 Cho hàm số y = 4 x 3 + mx 2 - 3 x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa x1 = -4 x2 · y ¢= 12 x 2 + 2mx - 3 Ta có: D¢ = m2 + 36 > 0, "m Þ hàm số ln có 2 cực trị x1, x2 m 6 ì Khi đó: í x1 = -4... 2m - 4 = 0 Û ê m = -1 ëm = 2 Trang 21 www.VNMATH.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Câu 35 Cho hàm số y = 2 x 2 - 3(m + 1) x 2 + 6mx + m3 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vng tại C, với C(4;0) · Ta có: y¢ = 6( x - 1)( x - m) Hàm số có CĐ, CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 1 Khi... m, d : y = x - Câu 8 Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + mx ĐS: m = 0 (1) Trang 12 www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x - 2 y - 5 = 0 · Ta có y = x 3 - 3 x 2 + mx Þ y ' = 3 x 2 - 6 x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu Û... m > 2 ï 2m - 2 > 0 ïP > 0 ỵ ỵ Vậy: Với m > 2 thì hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 Trang 26 www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Dạng 2: Cực trị của hàm số trùng phương: y = f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c A Kiến thức cơ bản · Hàm số ln nhận x = 0 làm 1 điểm cực trị · Hàm số có 1 cực trị Û phương trình y¢ = 0 có 1 nghiệm · Hàm số có 3 cực trị Û phương trình y¢ = 0 có 3 nghiệm... 40 Cho hàm số y = x 3 - mx 2 + (m 2 - 1) x + 1 (Cm ) 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ + yCT > 2 · Ta có: y¢ = x 2 - 2mx + m 2 - 1 y¢ = 0 Û ê x = m + 1 yCĐ + yCT é ëx = m -1 é-1 < m < 0 > 2 Û 2 m3 - 2 m + 2 > 2 Û ê ëm > 1 1 4 Câu 41 Cho hàm số y = x 3 - (m + 1) x 2 + (m + 1)3 3 3 (1) (m là tham số thực) 1) Khảo sát sự... > 0 ïP > 0 ỵ Trang 10 www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Cho hàm số y = - x 3 + 3mx 2 + 3(1 - m 2 ) x + m3 - m2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) Câu 1 · y ¢= -3x 2 + 6mx + 3(1 - m2 ) PT y ¢= 0 có D = 1 > 0, "m Þ Đồ thị hàm số (1) ln có 2 điểm cực trị ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) Chia . m m m mm 2 0 0 420 410 é = ê ì ¹ ê Û ï -& lt; í ê ï ê -+ ³ î ë m 23Û - Vậy: Với m 23 - thì hàm số (2) nghịch biến trên (1;)+¥ www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 9 KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng. am mm mmm m mmm P m mm S m 2 (2)0 '93(2)0 '23031 0032 0 3(2) 202 3 0 2 D D ì =+¹ ï =-+ > ì ì = +> ;-& lt;< ï ïïï ÛÛ<Û< -& lt;< ;- => ííí + ïïï +<< ;- î î - ï => ï + î Câu 18. Cho hàm số y xmxmx 322 11 (3) 32 =-+ - (1), m là tham số. 1) Khảo sát. gxx(),(;1]" - - ta suy ra m 1£ . Vậy m 1£ thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2) . Câu 14. Cho hàm số xmxm y mx 22 23 (2). 2 -+ = - Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (;1 )- . ·