Các bài toán đại số trong kỳ thi Olympic

1 Các bài toán Đại số và Lượng giác 21.1 Các đẳng thức Đại số thuần tuý.. Chương 1Các bài toán Đại số và Lượng giác 1.1 Các đẳng thức Đại số thuần tuý 3... Chứng minh các đồng nhất thức

1 Các bài toán Đại số và Lượng giác 21.1 Các đẳng thức Đại số thuần tuý 21.2 Các đẳng thức Lượng giác 151.3 Phương trình và bất phương trình 30

1

Chương 1

Các bài toán Đại số và Lượng giác

1.1 Các đẳng thức Đại số thuần tuý

3 Chứng minh rằng ta có đồng nhất sau

(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)−(ax+by+cz)2 = (bx−ay)2+(cy−bz)2+(az−cx)2

4 Chứng minh rằng các đồng nhất nói trong các bài toán trước có thể mở rộngnhư sau

(a21+ a22 + ã ã ã + a2n)(b21+ b22+ ã ã ã + b2n) − (a1b1+ a2b2+ ã ã ã + anbn)2 =

= (a1b2− a2b1)2+ (a1b3− a3b1)2+ ã ã ã + (an−1bn− anbn−1)2

5 Giả sử rằng n(a2

1 + a22 + ã ã ã + a2n) = (a1+ a2+ ã ã ã + an)2 Chứng minhrằng a1 = a2 = ã ã ã = an

6 Chứng minh rằng từ đẳng thức (x − y)2 + (y − z)2+ (z − x)2 = (y + z −2x)2+ (z + x − 2y)2+ (x + y − 2z)2 ta suy ra rằng x = y = z

7 Chứng minh các đồng nhất thức sau

(a2− b2)2+ (2ab)2 = (a + b)2(6a2−4ab+4b2)3 = (3a2+5ab−5b2)3+(4a2−4ab+6b2)3+(5a2−5ab−3b2)3

2

(ix − ky)n+ (iy − kz)n+ (iz − kx)n= (iy − kx)n+ (iz − ky)n+ (ix − kz)n

khi n = 0, 1, 2, 4 trong đó i là đơn vị ảo, ie i2 = −1

iii.(a2−c2+2bd)2+(d2−b2+2ac)2 = (a2−b2+c2−d2)2+2(ab−bc+dc+ad)2

14 Chứng minh đồng nhất thức sau đây

(a+b+c)4+(a+b−c)4+(a−b+c)4+(−a+b+c)4 = 4(a4+b4+c4)+24(a2b2+b2c2+c2a2)

17 Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3+ c3 = 3abc

Bài giải Hãy chú ý rằng ta có đẳng thức

a3 + b3+ c3− 3abc = (a + b + c)(a2+ b2+ c2− ab − bc − ca)

18 Cho các số a, b, c Đơn giản biểu thức sau đây

20 Cho a + b + c = 0 , chứng minh rằng ta có các đẳng thức sau đây

23 Cho đa thức hai biến dạng Ax2+ 2Bxy + Cy2 Chứng minh rằng qua phép

đổi biển x = αu + βv và y = γu + δv đa thức trên có thể viết lại ở dạng

M u2+ 2N uv + P v2với N2− M P = (B2− AC)(αδ − βγ)2 Hãy mở rộngbài toán cho các dạng bậc hai nhiều chiều

26 Chứng minh rằng

x − 1)(1−

12x − 1)(1+

13x − 1) ã ã ã (1+

1(2n − 1)x − 1)(1−

12nx − 1) =

= (n + 1)x(n + 1)x − 1 ã (n + 2)x

1(x − 2)(x + 9) + ã ã ã +

1(x − 10)(x + 1)

ta suy ra đẳng thức

ab

cd =(a + b)2

(c + d)2

(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 − x)(1 − y)(1 − z)

31 Chứng minh rằng từ đẳng thức

(a + b + c + d)(a − b − c + d) = (a − b + c − d)(a + b − c − d)suy ra đẳng thức

a

c =

bd

ck(c − a)(c − b)Chứng minh rằng S−2 = abc1 ã (1

36 Giả sử rằng

cyclic

ak(a + b)(a + c)(a − b)(a − c)Hãy xác định S0, S1, S2, S3, S4

37 Chứng minh rằng ta có đồng nhất thức sau đây

X

cyclic

ab(c − x)(c − y)(c − z)(c − a)(c − b) = abc − xyz

38 Chứng minh rằng

X

cyclic

a2b2c2

(a − d)(b − d)(c − d) = abc + bcd + cda + dab

39 Hãy làm đơn giản biểu thức sau đây

X

cyclic

ak

(a − b)(a − c)(x − a)với k = 1, 2

40 Chứng minh đồng nhất thức sau đây

X

cyclic

b + c + d(a − b)(a − c)(a − d)(a − x) =

x − a − b − c − d(x − a)(x − b)(x − c)(x − d)

41 Chứng minh rằng

X

cyclic

ak(x − b)(x − c)(a − b)(a − c) = x

cx + azy(ax − by + cz) =

ay + bxz(ax + by − cz)suy ra

xa(b2+ c2− a2) =

yb(c2 + a2− b2) =

zc(a2+ b2− c2)

xa2+ by2+ cz2 = 0

49 Cho a3+ b3+ c3 = (b + c)(c + a)(a + b)và (b2+ c2− a2)x = (c2+ a2− b2)y =(a2+ b2− c2)z Chứng minh rằng

52 Chứng minh rằng đẳng thức sau đây

X

cyclic

ak(x − b)(x − c)(x − d)(a − b)(a − c)(a − d) = x

k

với k = 0, 1, 2, 3

54 Chứng minh các đồng nhất thức sau đây

• (a + b + c)(bc + ca + ab) = abc + (b + c)(c + a)(a + b)

• (a2− 1)(b2− 1)(c2− 1) + (a + bc)(b + ca)(c + ab) = (abc + 1)(a2+

b2+ c2+ 2abc − 1)

• (b + c − a)3+ (c + a − b)3+ (a + b − c)3− 4(a3+ b3+ c3− 3abc) =3(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c)

a(b − c)2 + b

67 Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b2 = c + d2, a2+ b = c2+ d Chứngminh rằng nếu a + b + c + d ≤ 2 thì {a, b} = {x, y}

68 Giả sử rằng a, b, c, d là bốn số thực thoả mãn đẳng thức a + b + c + d =

a7+ b7+ c7+ d7 = 0 Chứng minh rằng

(a + b)(a + c)(a + d) = 0

69 Chứng minh đồng nhất thức sau đây

X

cyclic

ak(a − x)(a − y)(a − b)(a − c) =

xyabc

70 Chứng minh các đồng nhất thức sau đây

75 [HongKong TST 1993]Cho các số dương a, b, c thoả mãn

a + b + c

a + b − c

76 Cho các số thực dương a, b, c, d satisfying the conditions

9− 3

r2

9 +

3

r49

83 Chứng minh các đẳng thức sau đây

6 +

r847

27 +3s

6 −

r847

s

7 + 83

r55

3s

7 −83

r553(c)

86 Cho các số x, y khác không thoả mãn x2+ xy + y2 = 0 Hãy xác định giá

trị của biểu thức

x

x + y

2001

+

y

x + y

2001

87 Cho n là một số nguyên dương và 2n + 1 số được lấy từ tập hợp {2, 5, 9}

thoả mãn nếu ta viết chúng ở dạng dãy a1, a2, , a2n+1 thì hai số liên tiếp

bất kì đều khác nhau và a2n+1 = a1 Chứng minh rằng

a(bc − a2)2 + b

(ca − b2)2 + c

(ab − c2)2 = 0

89 Cho n là một số nguyên dương và n số thực x1, , xn Với mỗi k nguyêndương đặt Sk = xk

91 Cho các số thực x, y, z thoả mãn xyz(x + y + z) = 1 Chứng minh rằng

93 Cho n là một số nguyên dương chẵn Kí hiệu w = cos 2kπ

n + 1

n

Chứng minh rằng

1 + a1w + a2w2+ ã ã ã + anwn6= 0

1.2 Các đẳng thức Lượng giác

1 Chứng minh các đồng nhất thức sau

• cos a + cos b = 2 cos(a+b

• cos(a + b) ã cos(a − b) = cos2a − sin2b

• (cos a + cos b)2+ (sin a + sin b)2 = 4 cos2 a−b

2

• (cos a − cos b)2+ (sin a − sin b)2 = 4 sin2 a−b2

• cos(a + b) = cos a ã cos b − sin a ã sin b

• cos(a − b) = cos a ã cos b + sin a ã sin b

• sin(a + b) = sin a ã cos b + cos a ã sin b

• sin(a − b) = sin a ã cos b − cos a ã sin b

• sin 2a = 2 sin a ã cos a

• cos 2a = cos2a − sin2a = 2 cos2a − 1 = 1 − 2 sin2a

• cos2a + sin2a = 1

• tan 2a = 2 tan a

1−tan 2 a

• sin 3a = 3 sin a − 4 sin3a

• cos 3a = 4 cos3a − 3 cos a

• tan 3a = 3 tan a−tan 3 a

1−3tg 2 a

• tan a − tan b = cos aãcos bsin(a−b)

• cot a + cot b = sin aãsin bsin(a+b)

• cot a − cot b = sin aãsin bsin(b−a)

4 Chứng minh rằng ta có các đẳng thức sau đây

• tan4a = cos 4a−4 cos 2a+3cos 4a+4 cos 2a+3

• 1

2 ã cot4a = sin1−8 sin22a+4 sin2 a−cos 4a2a−4

• cot a − tan a − 2 tan 2a − 4 tan 4a = 8 cot 8a

• cos6a − sin6a = (3+cos22a) cos 2a4

• 2(sin6a + cos6a) − 3(sin4a + cos4a) + 1 = 0

• 1+sin 2a

sin a+cos a −1−tan2 a2

1+tan 2 a 2

•

√

1+cos a+√1−cos a

√

1+cos a−√1−cos a = cot(a2 +π4)

5 Cho sin(a + 2b) = 2 sin a Chứng minh rằng tan(a + b) = 3 tan b

6 Cho

sin(x − α)sin(x − β) =

abcos(x − α)cos(x − β) =

a1

b1với ab1+ a1b 6= 0 Chứng minh rằng

r2− 1

1 + 2r cos u + r2 = r + cos u

r − cos v = ±

sin usin v = −

1 + r cos u

1 + r cos v

12 Cho cos x = tan y, cos y = tan z, cos z = tan x Chứng minh rằng

sin x = sin y = sin z =

√

5 − 12

sin2 x

2 =

2a2 − a1− a34a2

15 Cho

sin βsin(2α + β) =

mnChứng minh rằng

sin2α cos βsin2β cos αChứng minh rằng

17 Chứng minh đồng nhất thức sau đây

sin(a + b − c − d) = sin(a − c) sin(a − d)

sin(b − c) sin(b − d)sin(b − a)X

cyclic

cos a − cos(a + b + c) = 4 Y

cyclic

cosa + b2

sin asin(a − b) sin(a − c) = 0X

cyclic

cos asin(a − b) sin(a − c) = 0X

cyclic

sin3a cos(b − c) = 0X

cyclic

sin3a sin(b − c) = 0X

cyclic

sin a = 4 Y

cyclic

cosa2X

cyclic

cos a = 1 + 4 Y

cyclic

sina2X

cyclic

tan a = Y

cyclic

tan a

sin 2a = 4 Y

cyclic

sin aX

cyclic

cos2a = 2 Y

cyclic

cos a + 1

21 Giả sử rằng a1cos α1+ a2cos α2+ ã ã ã + ancos αn = 0và a1cos(α1+ θ) +

a2cos(α2 + θ) + ã ã ã + ancos(αn+ θ) = 0 với θ 6= k ã π(k ∈ Z) Chứngminh rằng với mọi λ ∈ R ta có đẳng thức

a1cos(α1+ λ) + a2cos(α2+ λ) + ã ã ã + ancos(αn+ λ) = 0

22 Giả sử rằng

atan(α + x) =

btan(α + y) =

ctan(α + z)Chứng minh rằng

25 Chứng minh rằng

sin 180 =

√

5 − 14tg150 = 2 −√

3sin 150 =

√

6 −√24cos 150 =

√

6 −√24cos 180 = 1

4

q

10 + 2√

2

1sin2 2π7 +

1sin2 3π7 = 8

29 Chøng minh r»ng

tan250+ tan2100+ · · · + tan2800+ tan2850 = 195

30 [The Democratic Republic of Germany 3] Chøng minh r»ng

2 sin

π5

35 Các số nguyên a1, a2, , an nhận các giá trị là +1 hoặc −1 Chứng minhrằng

3 sin 2500 = √4

3tan 90 − tan 630+ tan 810− tan 270 = 4cos 100cos 500cos 700 =

√38tan π

11+ 4 tan

2π

11 =

√11tan6200+ tan6400+ tan6800 = 33273tan6100+ tan6500+ tan6700 = 433

38 [Mathematical Excalibur 1995] Chứng minh rằng

n

2 − 14

40 Giả sử rằng  = cos2π

n + i sin2πn với n là số nguyên dương và đặt

Ak = a0+ a1k+ a22k+ ã ã ã + an−1(n−1)kvới k = 0, 1, 2, , n − 1 Chứng minh rằng

n−1

X

k=0

|Ak|2 = n{a20+ a21+ ã ã ã + a2n−1}

41 Chứng minh đồng nhất thức sau đây

cos nφcosnφ = 1 −

n2

tan2φ +n

4

tan4φ − ã ã ã + A

ở đây A = (−1)n

2 tannφvới n chẵn và bằng (−1)n−1

2 n n−1
tann−1φ

42 Chứng minh rằng

sin nφcosnφ =

n1

tan φ −n

3

tan3φ +n

2 tannφ nếu n

lẻ

43 Giả sử rằng 0 < α ≤ π và 0 < β ≤ π thoả mãn tính chất

cos α + cos β − cos(α + β) = 3

2Chứng minh rằng

α = β = π

3

44 Giả sử rằng 0 < α ≤ π và 0 < β ≤ π thoả mãn tính chất

cos α ã cos β ã cos(α + β) = −1

8Chứng minh rằng

48 Chứng minh rằng nếu (x − a) cos θ + y sin θ = (x − a) cos θ1+ y sin θ1 = a

a + c

b + dc

52 Giả sử rằng α, β là các góc nhọn thoả mãn đẳng thức sin2α + sin2β =sin(α + β) Chứng minh rằng α + β = π

tan θtan ϕ =

tan αtan γChứng minh rằng

tan2 α

2 ã tan2γ

2 = tan

2 β2

54 Chứng minh rằng nếu cos θ = cos α cos β , cos ϕ = cos α1cos β , tanθ

2 ãtanϕ2 = tanβ2 thì ta có đẳng thức sau đây

sin2β = ( 1

cos α− 1) ã ( 1

cos α1 − 1)

55 Giả sử rằng x cos(α + β) + cos(α − β) = x cos(β + γ) + cos(β − γ) =

x cos(γ + α) + cos(γ − α) Chứng minh rằng

tan αtan12(β + γ) =

tan βtan12(α + γ) =

tan γtan12(α + β)

56 Chứng minh rằng nếu

sin(θ − β) ã cos αsin(ϕ − β) ã cos β +

cos(α + θ) ã sin βcos(ϕ − β) ã sin α = 0và

tan θ ã tan αtan ϕ ã tan β +

cos(α − β)cos(α + β) = 0thì

58 Chứng minh rằng từ đẳng thức cos(θ − α) = a; sin(θ − α) = b ta suy ra

a2− 2ab sin(α − β) + b2 = cos2(α − β)

59 Giả sử rằng ta có các đẳng thức cos(α − 3θ) = m cos3θ và sin(α − 3θ) =

ta suy ra đẳng thức

tan2α = tan2β + tan2γ

61 [HongKong TST 2001] Giả sử rằng tan α, tan β là nghiệm của phương trình

x2+ πx +√

2 = 0 Chứng minh rằngsin2(α + β) + π sin(α + β) cos(α + β) +√

63 Chứng minh các đồng nhất thức sau đây

2nã ã ã sin(n − 1)π

√n

2n−1

cos 2π2n + 1 ã cos 4π

2nã ã ã cos(n − 1)π

√n

2n−1

tan π2n ã tan2π

65 Chứng minh rằng nếu cos α+i sin α là nghiệm của phương trình xn+p1xn−1+

ã ã ã + pn = 0thì p1sin α + p2sin 2α + ã ã ã + pnsin nα = 0ở đó p1, p2, , pn

là các số thực

66 Chứng minh các đẳng thức sau đây

3

rcos2π

3

rcos4π

3

rcos8π

3

r1

2(5 −

3

√7)

3

rcos2π

3

rcos4π

3

rcos8π

3

r1

2(3

3

√

9 − 6)

67 Giả sử rằng

uk= sin 2nx ã sin(2n − 1)x ã ã ã sin(2n − k + 1)x

sin x ã sin 2x ã ã ã sin kxChứng minh các đẳng thức sau đây

1 − u1+ u2−u3+ ã ã ã + u2n = 2n(1 − cos x)(1 − cos 3x) ã ã ã (1 − cos(2n − 1)x)

1 − u21+ u22− u23+ ã ã ã + u22n = (−1)nsin(2n + 2)x ã sin(2n + 4)x ã ã ã sin 4nx

sin 2x ã sin 4x ã ã ã sin 2nx

68 Chứng minh đẳng thức sau đây

tan 300+ tan 400+ tan 500+ tan 600 = 8

√3

3 cos 20

0

69 Cho tan 11x = tan 340 và tan 19x = tan 210 Hãy xác định tan 5x

70 Chứng minh các đẳng thức sau đây

cos(arcsin x) =p(1 − x2)sin(arccos x) =p(1 − x2)tan(arccotx) = 1

xcot(arctan x) = 1

xcos(arctan x) = 1

7) = sin(4 ã arctan

1

3)

72 Chứng minh các đồng nhất thức sau đây

arctan x + arctan y = arctan x + y

1 + xy +  ã πtrong đó  = 0 nếu xy < 1 ,  = −1 nếu xy > 1 và x < 0 , và  = 1 nếu

ζ = 1,  = 0nếu xy < 0 hoặc x2+ y2 ≤ 1

ζ = −1,  = −1nếu x2+ y2 > 1, x < 0, y < 0

ζ = −1,  = +1 nếu x2+ y2 > 1, x > 0, y > 0

75 Hãy chứng minh các đồng nhất thức sau

sin 5α = sin5α − 10 sin3α cos2α + 5 sin α cos4αcos 5α = cos5α − 10 cos3α sin2α + 5 cos α sin4αcos nα = cosnα −n

2

cosn−2α sin2α +n

4

cosn−4α sin4α − ã ã ã

sin nα =n

1

cosn−1α sin α−n

3

cosn−3α sin3α+n

5

cosn−5sin5α−ã ã ã

76 Giả sử rằng

z +1

z = 2 cos αthì ta có đẳng thức

cos ϕ+cos(ϕ+α)+cos(ϕ+2α)+ã ã ã+cos(ϕ+nα) = sin

(n+1)α

2 ã cos(ϕ + nα

2)sinα

2

cos2α + cos22α + ã ã ã + cos2nα = sin(n + 1)α cos nα

2sin2α + sin22α + ã ã ã + sin2nα = n + 1

2 −sin(n + 1)α cos nα

2 sin αcos α+n

1

cos 2α+n

2

cos 3α+ã ã ã+

n

n − 1

cos nα+cos(n+1)α = 2ncosnα

2

sin 3α+ã ã ã+

n

n − 1

sin nα+sin(n+1)α = 2ncosnα

6π2n + 1+ ã ã ã + cos

2nπ2n + 1 = −

12cot2 π

78 [ IMO 1966 The fourth Problem ]1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên

dương n và mọi số thực α thoả mãn sin 2nα 6= 0ta có đẳng thức

n

X

k=1

1sin 2kα = cot α − cot 2

81 Chứng minh rằng với mọi x ∈ R ta có

82 H·y rót gän c¸c tæng sau ®©y

k=1bksin ak ë ®©y {ak}+∞k=1 vµ {bk}+∞k=1 lµ c¸c cÊp sè céng

5) Pn

k=1bkcos ak ë ®©y {ak}+∞

k=1 vµ {bk}+∞

k=1 lµ c¸c cÊp sè céng6) Pn

k=1bksin ak ë ®©y {ak}+∞

k=1 lµ cÊp sè nh©n vµ {bk}+∞

k=1 lµ cÊp sè céng7) Pn

k=1bkcos ak ë ®©y {ak}+∞

k=1 lµ cÊp sè nh©n vµ {bk}+∞

k=1 lµ cÊp sè céng8) Pn

k=1

1 sin a k sin a k+1 ë ®©y {ak}+∞

k=1 lµ cÊp sè céng9) Pn

k=1

1 cos a k cos a k+1 ë ®©y {ak}+∞k=1 lµ cÊp sè céng10) Pn

84 Chøng minh r»ng

sin x + sin 2x + sin 4x
5− − sin x + sin 2x + sin 4x
5

−

− sin x − sin 2x + sin 4x
5

− sin x + sin 2x − sin 4x
5

2) Chøng minh hÖ thøc sau ®©y |A|2+ |B|2+ |C|2 = 3(|x|2| + |y|2+ |z|2)

xy + x + y ≤ 1Chứng minh rằng x ≤ 2.

4 [ RoMO97 ]1Cho đa thức bậc ba f(x) = ax3+ bx2+ cx + dvới a, b, c, d ∈ Rthoả mãn điều kiện f(2) + f(5) < 7 < f(3) + f(4) Chứng minh rằng tồntại các số thực u, v thoả mãn u + v = 7 và f(u) + f(v) = 7

5 Cho các số thực a, b, c, r, s ∈ R thoả mãn

(

ar2+ br + c = 0

−as2+ bs + c = 0Chứng minh rằng tồn tại số thực u thoả mãn

2x − 1 =√

2(b) p

x +√2x − 1 +px −√

2x − 1 = 1(c) p

x +√2x − 1 +px −√

2x − 1 = 2

7 [ IMO 1959 ] Cho các số thực a, b, c Cho phương trình sau của cos x :

a cos2x + b cos x + c = 0Hãy dựng một phương trình bậc hai đối với cos 2x từ phương trình nói trên

và tìm các giá trị của a, b, c để hai phương trình đó có cùng nghiệm x Sosánh giá trị của cos x và cos 2x khi mà a = 4 , b = 2 , c = −1

1 Romania Mathematical Olympiad 1997

2 International Mathematical Olympiad 1959 The second Problem

8 [ IMO 1960 ] Tìm tất cả các giá trị thực của x mà bất đẳng thức dưới đây

đúng

4x2(1 −√

18 [ IMO 1968 The third Problem ] Cho các số thực a, b, c không đồng thờibằng không Giả sử rằng các số thực x1, x2, , xn thoả mãn n phương trình

ax2i + bxi+ c = xi+1với mọi 1 ≤ i < n và ax2

n+ bxn+ c = x1 Chứng minhrằng hệ này không có nghiệm, một nghiệm, nhiều hơn một nghiệm thực phụthuộc vào giá trị của số (b − 1)2 − 4ac tương ứng là âm, bằng không haydương

19 [ IMO 1969 The second Problem ] Xét phương trình

π ie tồn tại số hữu tỷ r sao cho x1− x2 = r ã π

20 [ IMO 1972 The fourth Problem ] Hãy xác định tất cả các nghiệm số dươngcủa phương trình

2− x4x1)(x2

3− x4x1) ≤ 0(x2

3− x5x2)(x2

4− x5x2) ≤ 0(x2

4− x1x3)(x2

5− x1x3) ≤ 0(x2

là hợp của các đoạn rời nhau, có tổng độ dài bằng 1988

23 [ Kurs.MO1975 The first Problem ]3 Hãy biến đổi phương trình

(a + c)2 + 1

(a − c)2
= a − bthành dạng đơn giản hơn với a > c ≥ 0 và b > 0

3 Kurschák Mathematical Competition 1975

24 [ Kurs.MO1976 The third Problem ] Chứng minh rằng nếu tam thức bậc hai

ax2+ bx + cluôn nhận giá trị dương với mọi giá trị thực x thì nó có thể viết

được dưới dạng thương của hai đa thức với các hệ số dương

25 [ Irish Mathematical Olympiad 1999 The first Problem ]4 Hãy xác định tấtcả các số thực x thoả mãn

x2(x + 1 −√

x + 1)2 < x

2+ 3x + 18(x + 1)2

26 [ Irish MO 1999 The sixth Problem ]5 Giải hệ phương trình sau đây

29 [ Irish MO 1994 The ninth Problem ] Cho w, a, b, c là các số thực thoả mãntồn tại các số thực x, y, z thoả mãn hẹ phưong trình sau đây

Hãy biểu diễn w theo các số a, b, c

30 [ Irish MO 1993 The first Problem ] Cho các số thực α, β thoả mãn các hệphương trình

(

α3− 3α2+ 5α − 17 = 0

β3− 3β2 + 5β + 11 = 0Hãy tìm tổng α + β

4 Irish Mathematical Olympiad 1999 the first Paper

5 Irish Mathematical Olympiad 1999 the second Paper

31 [ MiU.MC1998 ]6 Hãy xác định tất cả các nghiệm thực của phương trình

1998x+ 1999x = 1997x+ 2000x

32 [Moscow Mathematical Olympiad 2000, for 9 Class] Hãy xác định tất cả các

số dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình sau đây

sin4(cos43x) + cos4(cos43x) = 1

35 [Moscow MO 2000, for 11 Class] Giải phương trình lượng giác sau đây

qsin x −√

sin x + cos x = cosx

36 [Moscow MO 2000, for 9 Class] Giải hệ phương trình sau đây

38 [Moscow MO 2000, for 11 Class] Xác định nghiệm của hệ thống phươngtrình sau đây

(2y − x = sin x − sin 2ycos x + 5 sin y = 4

39 [Moscow MO 2001, for 8 Class] Giải phương trình

x3+ 5x2+ 2x = 8

6 Undergraduate Mathematics Competition 1998 at University of Michigan

40 [Moscow MO 2001, for 9 Class] Giải phương trình sau đây

41 [Moscow MO 2001, for 11 Class] Giải bất phương trình x10+ x6+ x5+ x3+

3)x = 4x

(c) 2x+ 3x+ 5x−1 = 21−x+ 31−x+ 5−x

(d) log2(1 +√3

x ) = log7x(e) 2 log3(cot x) = log2(cos x)

(o) √3

1 + x +√

1 − x = √3

2(p) √x − 2 +√

4 − x = x2− 6x + 11(q) √4

x − 1 +√3

x − 2 = √3

2x − 3(s) 1995 − x

1996

+ 1996 − x ... Problem ] Cho w, a, b, c số thực thoả mãntồn số thực x, y, z thoả mãn hẹ phưong trình sau

Hãy biểu diễn w theo số a, b, c

30 [ Irish MO 1993 The first Problem ] Cho số thực α, β thoả mãn... 32

18 [ IMO 1968 The third Problem ] Cho số thực a, b, c không đồng thờibằng không Giả sử số thực x1, x2, , xn... số thực u, v thoả mãn u + v = f(u) + f(v) =

5 Cho số thực a, b, c, r, s ∈ R thoả mãn

(

ar2+ br + c =

−as2+ bs + c = 0Chứng minh tồn số