Hàm số và các bài toán có liên quan luyện thi đại học

Chứng minh rằng loại trừ 2 giá trị đặc biệt của m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định.. Chứng minh rằng với mọi điểm A cho trước ta luôn tìm được 1 giá trị m thích hợp để hàm số luô

DẠNG I: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM THEO ĐỒ THỊ.

I- CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH KHẢO SÁT VẼ.

II- Các kiểu biến đổi đồ thị.

)x(f suy ra cách vẽ đồ thị y =

)x(g

)x(f hoặc y =

)x(f

)x(g e) Từ đồ thị y = f(x) g(x) suy ra cách vẽ đồ thị y = f(x) g(x)

III.- Biện luận số ngiệm của phương trình dựa vào đồ thị.

IV.- Bài tập luyện.

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau:

1) y =

1x

1x

6x2

3x4

1xx

2

2

−

++

10) y = x4 - 4x3 + 3 11) y =

x2

1x2x

4x3

x2

−+

14) y =

1x

2x2

2x

+

−+ .

16) y =

2x

3x3

2x2

1x

m x

DẠNG II: ĐIỂM CỐ ĐỊNH.

I - BÀI TOÁN.

Cho hàm số y=f(x,m)(1) Tìm những điểm mà đồ thị hàm số:

+ Luôn đi qua

+ Không thể đi qua

+ Có 1, 2, 3 đường của họ đi qua

Cách giải:

+Gọi M(x0,y0) là điểm thuộc mặt phẳng tọa độ

+Số giao điểm của m thỏa mãn hệ thức :

y0= f(x0,m) là số đường cong của họ (1) có thể hay không thể đi qua

+Đưa về phương trình của m để biện luận số nghiệm của m⇒ điểm M(x0,y0)

*Chú ý: Chứng minh qua nhiều điểm cố định

Cách gọi điểm cố định

Giải và bất phương trình 2 ẩn và biểu diễn trên trục

II BÀI LUYỆN TẬP :

1 Chứng minh rằng đồ thị hàm số : y=(1 - 2m).x 2– (3m - 1)x + 5m - 2 luôn đi qua 2 điềm cố định

2 Tìm điểm cố định của hàm số : y=

m x

m x m x

−

− + 2

2

+

+ + +

x

m x m mx

.Tìm những điểm mà hàm số luôn đi qua

Đs:

6 Cho hàm số : y=

m x

m x m

−

− + 1 ) 2 2

0 cho trước )

8 Cho đường cong x.y – 2my – 2mx + 2m2 - 4m = 0 (1)

a) Tìm những điểm mà có đúng một đường cong của họ (1) đi qua

b) Tìm những điểm mà có đúng 2 đường của họ (1) đi qua

9 Cho hàm số : y = mx3 – mx + m(1) Tìm những điểm mà mọi đường đồ thị (1) không đi qua.

10 Tìm những điểm trên đường thẳng x = 3 sao cho mọi đồ thị của hàm số:

y = 2x3 – 3mx2 + (2m2 – 1)x + m2 đều không đi qua

11.Chứng minh trừ loại trừ một giá trị đặc biệt của m đồ thị hàm số y =

m x

m x

m x

+

−

+ +

a x x

+

− +

a)Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m

b)Tìm điều kiện để hàm số tiếp xúc với ox

15 Cho hàm số : y= x3 – 3(m + 1)x2 + 2x(m2 + 4m + 1) – 4m(m + 1)

a)Tìm những điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua

b)Tìm điều kiện để hàm số tiếp xúc với ox

16 Cho hàm số : y=

2

1 2 3 2

+

+ + +

x

a ax ax

Chứng minh rằng tiệm cận xiên của hàm số luôn đi qua một điểm cố định

17 Cho hàm số : y=

1

) 2 (

2 2

−

− +

−

x

x m

mà đồ thị hàm số không thể đi qua với mọi m

18 Cho hàm số : y=

m x

m m x m

Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà

đồ thị hàm số không thể đi qua với mọi m

19 Cho hàm số : y=

m x

m m x m

+

+

− + 1 ) 2 3

(

(1) với m≠0 Trên đường thẳng x = 1 chỉ ra tất

cả các điểm mà không có đường nào của (1) đi qua

20 Cho hàm số y = x3 + (m + m )x2 – 4x – 4(m + m ) Tìm những điểm cố định mà

đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m

21 Cho hàm số y = mx4 – (4m – 1)x2 + 3m + 1 Tìm các điểm trên y = x +1 mà không

có đồ thị nào của họ đã cho đi qua

22 Cho hàm số : y=

1

9 5 ) 7 4 ( ) 1

−

x

m x m x

m

Tìm tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng tọa độ mà không có đường nào của họ đã cho đi qua

23 Cho hàm số : y=(m−22x)x+m−m

2 2

và A(xo,yo) thuộc mặt phẳng tọa độ Chứng minh

24 Cho hàm số y = m2x4 – m(3m - 1)x2 – 3mx – 4m2 + 2m +1 Tìm các điểm thuộc mặt phẳng tọa độ mà họ luôn đi qua.

mx

x m x

Chứng minh rằng loại trừ 2 giá trị đặc biệt của m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm

cố định

26 Cho hàm số y = m(m + 1)x3 – m(5m + 4)x2 + (4m2 + 1)x + 1 Tìm điểm mà họ đường cong luôn đi qua

27 Cho hàm số y = x4 + mx2 - 3mx – 2m + 1(1) Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số

y = x4 + 4 tồn tại hai điểm mà đồ thị hàm số (1)không thể đi qua với mọi m

28 Cho hàm số y = (x – 2)( x2 + mx +m2 – 3) Tìm trên trục tung các điểm mà đồ thị hàm số không thể đi qua với mọi m

29 Cho hàm số y = mx4 + (m2 + 2m)x2 + m3 Chứng minh rằng với mọi điểm A cho trước ta luôn tìm được 1 giá trị m thích hợp để hàm số luôn đi qua A

34 Cho họ đường cong y = mx3 – (2m – 1)x2 + (m – 2)x – 2

Chứng minh rằng mọi đường cong của họ tiếp xúc với nhau

35 Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1

Tìm điểm cố định mà đường cong luôn đi qua

36 Cho hàm số : y = x3 + mx2 + 2(m + 1)x + m + 3.tgα (C1), Y = mx2+2 – m (C2) Tìm α để (C1),(C2) luôn đi qua 1 điểm cố định

37 Cho hàm số: y=

m mx

m mx x

+

+ +

m mx x

−

− +

cứ đường tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số qua I

40 ĐH MỎ -99

Cho đường cong (C) có phương trình: y = 2x4 – 3x2 + 2x +1 và đường thẳng d có phương trình y = 2x - 1 Chứng minh d không cắt đường cong (C)

DẠNG III: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

I - CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

II- BÀI TẬP LUYỆN

1 Tìm m để hàm số y = ( m – 3)x – (2m +1) cosx luôn nghịch biến.

2 Cho hàm số y =

m x

m x m x

−

+ +

− + ( 1 ) 1

x a bằng bao nhiêu hàm số luôn đồng biến

4 Cho hàm số y = x3 – (m + 1)x2 – (2m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) m bằng bao nhiêu hàm số đồng biến với mọi x thuộc đoạn [2 , +∞)

5 Cho hàm số: y =

2

2 6 2

+

− +

7 Cho hàm số y = x2(m – x) – m m bằng bao nhiêu hàm số đồng biến trong khoảng (1, 2)

8 Cho hàm số y = -

3

1

x3 + (a - 1)x2 + (a + 3)x + 4 a bằng bao nhiêu hàm số đồng biến với mọi x thuộc khoảng (0, 3)

9 Cho hàm số y =

x m

m x

m x

−

+ +

− + ( 1 ) 1

2 2

m = ? hàm số nghịch biến ∀x ∈[2 ; +∞)

10 Cho hàm số y =

m x

m mx x

−

− +

x

mx x

m bằng bao nhiêu hàm số đồng biến trên khoảng

(-∞, 1) và (1, +∞).

13 Cho hàm số : y = x3 – 3(2m + 1)x2

+ (12m + 5)x + 4 Tìm m để hàm số:

-Đồng biến trên miền xác định

-Đồng biến với mọi x thuộc (2, +∞)

-Đồng biến với mọi x thuộc (-∞ , − 1 ) và (2, +∞ ).

-Nghịch biến trong khoảng (0, 2)

14 Cho hàm số : y =

m x

a) Giảm trên từng khoảng xác định

b) Giảm trên khoảng (-∞, 2)

15 Cho hàm số : y = x + (m +1)sinx m bằng bao nhiêu thì hàm số giảm trên R.

16 Cho hàm số : y = 2mx – 2cos2 – m.sinx.cosx +

m mx x

2

m bằng bao nhiêu để hàm số:

a) Nghịch biến trên toàn miền xác định

b) Nghịch biến trên khoảng (1, +∞)

20 Cho hàm số : y =

1

6 2 ) 1

m

a)Tìm m đế hàm số tăng trên từng khoảng xác định

b)Tìm m để hàm số đồng biến ∀x ∈(2 ; +∞)

21 Cho hàm số : y =

m x

m mx x

−

+ +

mx

m x mx

Tìm m để hàm số đồng biến với mọi x∈(0;+∞)

24.Cho hàm số y=

3

1

x3 – mx2 +(2m - 1)x + 2 – m Tìm m để hàm số nghịch biến với mọi x ∈(-2;0).

26.ĐHXD-99

Cho hàm số : f(x)=

1 2

27 ĐH MỎ - 01

Cho hàm số :

)mx(8

x8xy

)2mm(mx2x)1m(

của m sao cho đồ thị hàm số luôn luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó

+) Đối với hàm đa thức : y = P(x) = nguyên (y’) +dư

⇒ giá trị cưc trị tại xo là y = dư (xo)+) trong một số trường hợp thì y = U V'((x x)) và y = dư chính là

phương trình đường thẳng qua cực đại cực tiểu

+

+ +

x

m x m

2 Cho hàm số : y = α

α

sin 2

1 cos 2 2

+

+ +

x

x x

Tìm α để hàm số có cực trị.

3 Cho a, b, c thỏa mãn a < b < c chứng tỏ rằng hàm số y = (x – a)(x – b)(x – c) luôn

đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 thỏa mãn: a < x1 < b < x2 < c

4 Cho hàm số : y =

1

2 2 2

Hãy xác định cực đại, cực tiểu của hàm số

5 Tìm a, b, c sao cho hàm số y = x3 + ax2 + bx + c bằng 1 khi x=0 và đạt cực trị khi x

= 2 và giá trị cực trị bằng 3

6 Cho hàm số : y = - 2x + 2 + a x2 − 4x+ 5 Tìm a để hàm số có cực đại

m mx x

Tìm m để hàm số có cực trị Chứng minh rằng với m tìm được ở trên đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau

15 Cho hàm số : y = 2x – 1 + x2−m1 Tìm m để hàm số có cực trị Tìm quĩ tích của các điểm cực trị đó

+Hàm số có cực trị tại hai điểm có hoành độ > 1

17 Cho hàm số : y = x3 + mx2 + 1 Chứng minh rằng với mọi m≠0 hàm số luôn có cực trị

18 Xác định m để các hàm số sau có hai cực trị, khi đó viết phương trình đường thẳng

đi qua hai điểm cực trị:

a) y =

3

3

x - mx2 + 3x + 1b) y =

3

5 2 2

c) y =

1

1 2

2

−

− +

x

mx x

19 Cho hàm số : y =

1

2 2

2

− +

+ +

−

m x

m x x

Tìm m để hàm số có cực trị, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu khi đó

20 Cho hàm số y =

1

5 3 2

+

+ +

x

m x

- x2sinα + ( 4sin2 α - 3)x + 1 Tìm a để hàm số đạt cực đại tại

1 điểm thuộc [ ]0 ; 1 và điểm cực tiểu nằm ngoài đoạn đó

22 Cho hàm số : y = - 2x + m x2 + 1 Tìm m để:

a) Hàm số có cực trị

b) Hàm số có cực tiểu

c) Hàm số có cực tiểu và giá trị cực tiểu > 4/3

23 Cho hàm số : y = 2x3 + ax2 – 12x + 13 Tìm a để hàm số có cực trị và hai điểm cực đại, cực tiểu cách đều oy

24 Cho hàm số : y = mx + x2 − 2x+ 2

a) Tìm m để hàm số có cực tiểu?

b) Chứng minh hàm số không có cực đại với mọi m

25 Cho m là số nguyên , dương Tìm cực trị của hàm số : y=xm(4-x)2

26 Cho hàm số : y =

4

3 2

−

+ +

−

x

p x

của sao cho: m - M = 4

27 Cho hàm số : y = (m + 1)x2 – 2mx – (m3 –m2 - 2) Tìm m để hàm số đạt cực trị trên (0;2)

−

+ + +

x

m mx mx

Tìm m để hàm số có cực trị và 2 điểm cực trị nằm về 2 phía so với trục hoành

31 Cho hàm số : y=

m x

m x x

1+x2

2

34 Cho hàm số : y = (m + 1)

2 2 2

1

x x

 + 

2 2

1

x x

x

m x x

− +

−

x

m m x m x

Tìm m để hàm số có cực trị và tích các giá trị cực trị là nhỏ nhất

3

4

47 ĐHTCKT – 99.

Cho hàm số : y =

m x

m mx x

−

− +

m mx x

+

− + 2

51 ĐH KIẾN TRÚC - 99

Cho hàm số : y = kx4 + (k – 1)x2 + (1 - 2k) Tìm k để hàm số chỉ có một điểm cực trị

52 ĐHAN – 99

Cho hàm số : y =

1

8 2

−

+

− +

x

m mx x

Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị và tiếp xúc với đường thẳng : 2x – y – 10 = 0

2mx2xy

2

+

++

có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ cực đại, cực tiểu đến đường thẳng x + y +

2 = 0 bằng nhau

56 ĐHQG TPHCM - A - 01.

Cho hàm số : y=2x3 +3(m−3)x2 +11−3m Tìm m để hàm số có hai cực trị Gọi M1, M2 là các điểm cực trị Tìm m để các điểm M1, M2 và B(0, 1) thẳng hàng

Đs: m = 10

3

57 ĐH Y DƯỢC TPHCM - 01

Cho hàm số:

mx

mm4x)1m(mxy

3 2

2

+

++

++

3m2mxx

y

2

+

−++

số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị đối xứng với nhau qua đường thẳng x + 2y + 8 = 0

Đs: m = 1

DẠNG V: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ.

+Viết phương trình đường thẳng d

+Chứng minh rằng hoành độ giao điểm của d với đồ thị là nghiệm của phương trình:

(x – a)2(x2 + 2ax + 3a2 – 6) = 0

+Tìm a để d cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt

2 Cho hàm số : y = x3 – 3x + 1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(

3

2

, -1)

3 Cho hàm số : y = x3 – 3x2 + 3x + 5

a) Chứng minh rằng trên đồ thị không tồn tại hai điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại

hai điểm đó vuông góc với nhau

b) Xác định k để trên đồ thị tồn tại ít nhât 1 điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó

vuông góc với đường thẳng y = kx ( k cho trước)

4 Cho hàm số : y = x3 – 3x2 + 2 Viết các tiếp tuyến kể đến đồ thị từ điểm (

+

+ +

x

x x

và A là một điểm thuộc đồ thị có xA = a a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A (tA)

b) Tìm vị trí của A để tA đi qua điểm (1,0) Chứng minh rằng có hai giá trị của a

thỏa mãn điều kiện bài toán và hai tiếp tuyến tương ứng là vuông góc với nhau

7 Cho hàm số : y =

1

2 2 2

Viết các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm (3, 0)

Cho hàm số y =

2

1 2 2

Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm A(6, 4)

- x2 + 2x + 1(C) Tìm các giá trị của a để a là hệ số góc của

1 tiếp tuyến của đồ thị (C)

13 Cho hàm số : y = ax x−+1b Tìm a, b để đồ thị hàm số đi qua điểm A(0, -1) và nhận đường thẳng : 3x + y +1 = 0 là tiếp tuyến

Viết các phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm ( -1, 7)

18 Cho hàm số : y = x4 – 4x3 + 3 Viết các tiếp tuyến của đồ thị biết nó song song với đường thẳng y = - 8x

19 Cho hàm số : y = x4 – x2 + 1 Viết các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm (0, -4)

20 Cho hàm số : y =

2

3 2

+

+ +

x

x x

Viết các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm (1, 0)

21 Cho hàm số y = x3 – 3x2 +2

a) Viết các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ A(1, 0)

b) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị song song với tiếp

tuyến đi qua A

22 Cho hàm số : y = x3 + 3x2 – 9x + 5 Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

23 Cho hàm số : y =

1

1 2 2

−

− +

x

x x

a) Viết các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên b) Chứng minh rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn thẳng bị chắn bởi hai tiệm

24 Cho hàm số : y =

1

1 2

+

−

+ +

−

x

x x

Viết các phương trình đường thẳng đi qua điểm (0,

2

5

) và tiếp xúc với đồ thị

25 Cho y = 3x – 4x3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị kẻ từ A(1, 3)

26 Cho hàm số : y = 3x x++35 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 1 – x

27 Cho hàm số : y = x4 – 2x2 - 3 Lập phương trình tiếp tuyến qua A(2, -4)

28 Lập các phương trình tiếp tuyến của y = x3 + 3x2 – 8x + 1 biết tiếp tuyến song song với y = x

29 Lập các phương trình tiếp tuyến của y = 2x3 + 3x2 – 1 xuất phát từ M(1, 4)

+

+ +

x

x x

Chứng minh rằng có 2 tiếp tuyến của đồ thị đi qua A(1, 0) và vuông góc với nhau

32 HVBCVT -99

Cho hàm số : y = - x3 + 3x2 – 2 Tìm các điểm thuộc đồ thị mà qua đó kẻ được 1

và chỉ 1 tiếp tuyến với đồ thị

33 ĐHKT – 99

Cho hàm số : y = kx4 + (k – 1)x2 + (1 - 2k) Viết các phương trình tiếp tuyến của

đồ thị đi qua gốc tọa độ với k = 0,5

Cho hàm số y = x+x1 Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Chứng minh rằng không

có bất cứ đường tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số qua I

x

m x m x

Với m = - 3 viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị đó biết nó song song với đường thẳng y = x + 4

DẠNG VI: TIẾP TUYẾN CỐ ĐỊNH – ĐƯỜNG CONG CỐ ĐỊNH.

I – CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT.

II – BÀI TẬP LUYỆN.

1 Cho hàm số : y =

m x

m m x m

4 Cho hàm số : y =

m x

m x

m x

+

−

+ +

− + ( 1 ) 1

m x m

+

+ + 1 ) (

Chứng minh với mọi m khác 0 đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

6 Cho hàm số : y =

m x

m m x m

a a a x

a x

cos

sin cos sin

2

+

+ +

số đã cho luôn tiếp xúc với một parapol cố định

8 Cho hàm số : y =

m x

m m x m

+

+

− + 1 ) 2 3

với hai đường thẳng cố định Với mọi m khác 0

9 Cho (p): y = x2 +(2m+1) + m2 -1 Chứng minh: với mọi m , (P) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

10 Cho hàm số : y = −m m(x(x++1)1)+−x1+2 Chứng minh : với mọi m khác 0 đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với 1 một đường thẳng cố định tại một điểm cố đinh.Tìm đường thẳng đó

11 Cho hàm số : y =

m x

m m mx x

Xác định tiệm cận xiên của hàm

số Chứng tỏ rằng tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một Parabol cố định

12 Cho hàm số : y =

m x

m x m

− +

− +

−

1

2 3 ) 2 (

Chứng minh với mọi m khác 0 đồ thị hàm số luôn tiếp xúc vơi nhau tại một điểm cố định Xác định phương trình tiếp tuyến chung của họ (Cm) tại đó

13 Cho họ (Cm) : y = 3 (2 1) 2 ( 2) 4 2

−

− + + + +

14 Cho hàm số : y = (m + 2)x3 + mx2 + x - 5 Chứng minh đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định.

15 Cho hàm số y =

1

1

− +

− +

m x

m mx

Chứng minh đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thắng cố định Xác định đường thẳng cố định đó

− + +

k x

k kx

tiếp xúc với một đường thảng cố định tại một điểm cố định

17 Cho họ đường thẳng phụ thuộc vào a: (x – 1)cosa + (y – 1)sina – 4 = 0 Chứng

minh với mọi a đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

18 (ĐHAN - 97)

Cho hàm số y =

m x

m x m

−

− + 1 ) 2 2 (

Trong trường hợp tổng quát: chứng minh với mọi

m khác 0 hàm số có tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một (P) cố định

19 Trong mặt phẳng tọa độ cho A(0, 2), B(m, -2) Hãy viết phương trình của đường

trung trực d của AB Chứng minh D luôn tiếp xúc với đường cong (C) cố định khi

m thay đổi

20 (ĐH_Hàng Hải_97)

Cho hàm số : y = (-m2 + 5m)x3 + 6mx2 +6x -6 Chứng minh các đường cong của

họ đã cho luôn tiếp xúc với nhau

21 Cho họ đường cong y = mx2 – 2(2m +1)x + 4m + 1 với mọi m khác 0

Chứng minh các đường cong của họ luôn tiếp xúc với nhau tại điểm A Lập phương trình tiếp tuyến chung của họ tại A

22 (ĐHĐN - A)

Cho hàm số : y =

1

2 10

2 2

− +

− + +

k x

k x