Phép tính tích phân về hàm một biến và các bài toán có liên quan

29 2.4 Sử dụng định lý giá trị trung bình của tích phân trong việc giải một số bài toán về phép tính tích phân.. Vì vậy tôi đã chọn nghiên cứu "Phép tính tích phân về hàm một biến và các

Mục lục

1.1 Định nghĩa và sự tồn tại của tích phân 7

1.1.1 Phân hoạch 7

1.1.2 Tích phân trên và tích phân dưới 8

1.1.3 Tích phân Riemann 9

1.1.4 Điều kiện cần và đủ của hàm khả tích Riemann 10

1.2 Lớp các hàm khả tích 12

1.2.1 Tính khả tích của hàm liên tục 12

1.2.2 Tính khả tích của hàm đơn điệu 13

1.2.3 Tính khả tích của hàm gián đoạn 13

1.2.4 Tính khả tích của hàm hợp 14

1.3 Các tính chất 16

1.3.1 Các tính chất đơn giản của nguyên hàm 16

1.3.2 Các tính chất của tích phân Riemann 16

1.4 Mối liên hệ 18

1.4.1 Mối liên hệ giữa chuỗi và tích phân 18 1.4.2 Mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm Công thức

2 Các bài toán sơ cấp 21

2.1 Tính tích phân bằng phương pháp phân tích 21

2.1.1 Tích phân của các hàm số hữu tỉ 21

2.1.2 Tích phân của các hàm số lượng giác 23

2.1.3 Tích phân của các hàm số vô tỉ 25

2.2 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số 26

2.2.1 Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 26

2.2.2 Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 27

2.3 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 29

2.3.1 Sử dụng công thức tích phân từng phần 29

2.4 Sử dụng định lý giá trị trung bình của tích phân trong việc giải một số bài toán về phép tính tích phân 33

2.4.1 Định lý giá trị trung bình cho tích phân 33

3 Ứng dụng của tích phân 39 3.1 Các bài toán có liên quan đến phép tính tích phân 39

3.1.1 Chứng minh đẳng thức 39

3.1.2 Chứng minh bất đẳng thức 40

3.1.3 Chứng minh phương trình có nghiệm 42

3.1.4 Công thức tích phân truy hồi tính giới hạn tích phân và tính giới hạn tích phân bằng nguyên lí kẹp giữa 43

3.2 Ứng dụng của phép tính tích phân trong hình học 46

3.2.1 Tính diện tích hình phẳng 46

3.2.2 Tính thể tích và diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay 49 3.2.3 Tính độ dài đường cong 52

3.3 Ứng dụng của phép tính tích phân trong vật lí 53

3.3.1 Tính khối lượng của một thanh vật chất 53

3.3.2 Tìm khối tâm của một bản phẳng đồng chất 53

3.3.3 Tính công cơ học 54

3.4 Ứng dụng của phép tính tích phân để tìm giới hạn 54

3.5 Ứng dụng của phép tính tích phân để tìm cực trị 55

3.6 Ứng dụng của tích phân trong kinh tế 56

3.6.1 Xác định quỹ vốn dựa theo mức đầu tư 56

3.6.2 Xác định hàm tổng khi biết hàm giá trị cận biên 57

3.6.3 Tính xác suất 58

3.6.4 Tính thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất 59

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắctới: Khoa Toán −Lý −Tin, Phòng khảo thí và đảm bảo chất lượng, Phòng đàotạo đại học, các thầy cô trong Bộ môn Giải tích, đặc biệt là thầy giáo PGS.TS

Vũ Trọng Lưỡng, người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, cũng như độngviên tôi có thêm nghị lực hoàn thành khóa luận này

Nhân dịp này tôi xin cảm ơn tới gia đình và các bạn sinh viên lớp K55 ĐHSPToán, những người đã động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thànhkhóa luận của mình

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng nghiên cứu còn hạnchế nên bản khóa luận có thể còn những thiếu sót khó tránh khỏi Tôi rất mongnhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để bản khóa luận nàyđược hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2018

Người thực hiệnSinh viên: Vũ Thị Hồng Nhung

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Phép tính tích phân là một trong hai nội dung kiến thức chính của chuyênngành Giải tích Toán học, được giảng dạy ở bậc đại học và ở phổ thông Nhờphép tính tích phân cho ta giải quyết được những bài toán liên quan đến tổngkhông đếm được các phần tử và do đó nó có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn,trong nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật

Cũng có rất nhiều tài liệu tham khảo, giáo trình liên quan đến phép tính tíchphân Tuy nhiên để tìm hiểu sâu hơn về phép tính tích phân cũng như ứng dụngcủa tích phân trong các lĩnh vực khác nhau Vì vậy tôi đã chọn nghiên cứu "Phép tính tích phân về hàm một biến và các bài toán có liên quan" làm khóaluận tốt nghiệp Hy vọng khóa luận này sẽ có ích đối với những ai quan tâm đếnphép tính tích phân nói riêng và giải tích nói chung

2 Mục đích nghiên cứu

Khóa luận tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:

- Trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ bản về phép tính tích phân

- Chỉ ra các ứng dụng của tích phân trong vật lí, trong hình học và trong kinhtế

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của khóa luận là phép tính tích phân về hàm một biến

và các bài toán có liên quan

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích như trên, tôi đã đặt nhiệm vụ tìm hiểu và trình bày lại các vấn

đề kiến thức có liên quan một cách có hệ thống và logic Từ đó giải quyết cácbài toán có liên quan đến phép tính tích phân về hàm một biến

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức

- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như Seminarvới tổ bộ môn

6 Giới hạn phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu vấn đề phép tính tích phân về hàm mộtbiến và các bài toán có liên quan

7 Tổng quan và cấu trúc của khóa luận

Từ mục đích và nhiệm vụ đặt ra cấu trúc của khóa luận được sắp xếp nhưsau: Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận

Trong chương này, trình bày lại một số kiến thức cơ bản và một số kết quả quantrọng trong giải tích cổ điển về phép tính tích phân Chương đầu là một số nộidung kiến thức cơ bản nên chỉ dẫn nội dung.

Chương 2: Các bài toán sơ cấp

Đưa ra một số bài toán về phép tính tích phân, lấy các bài toán cụ thể và giảicác bài toán đó sẽ được trình bày trong chương này

Chương 3: Ứng dụng của phép tính tích phân trong vật lí, kinh tế và cácbài toán có liên quan

Trong chương này, tôi sẽ trình bày các ứng dụng của phép tính tích phân và đưa

ra một số bài toán áp dụng

8 Đóng góp của khóa luận

Khóa luận trình bày một cách có hệ thống kiến thức liên quan Đưa ra một

số phương pháp tính tích phân, kèm theo nó là ví dụ minh họa Khóa luận làtài liệu tham khảo có giá trị cho các bạn sinh viên quan tâm đến vấn đề phéptính tích phân về hàm một biến và các bài toán có liên quan

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, trước hết trình bày một số kiến thức có liên quan đến khóaluận như: định nghĩa và sự tồn tại của tích phân, lớp các hàm khả tích, các tínhchất và một số mối liên hệ có liên quan đến phép tính tích phân

Nội dung chương này tham khảo ở tài liệu số [3] và [5]

1.1 Định nghĩa và sự tồn tại của tích phân

P2 thì rõ ràng

P1∪ P2 P1, P1∪ P2  P2

Độ mịn của phân hoạch Pn thường được tính bằng số sau

|P n | = max {x i − x i−1 : 1 ≤ i ≤ n}

1.1.2 Tích phân trên và tích phân dưới

Ứng với phân hoạch P ta đặt

∆xi= xi− xi−1

trên đoạn đóng hữu hạn [a, b]

Cho hàm thựcf bị chặn trên [a, b] Các tổng Darboux trên và dưới ứng với phânhoạch P của f được xác nhận như sau:

f dx = inf {U (P, f ) : P ∈ τ }

Z b a

f dx = sup {L(P, f ) : P ∈ τ }

Theo nhận xét trên và định lí dưới đây, ta luôn có

m(b − a) ≤

Z b a

f dx ≤

Z b a

f dx ≤ M (b − a)

1.1.3 Tích phân Riemann

Định nghĩa 1.1 Giả sử f là một hàm số xác định trên đoạn [a, b], a, b ∈ R,

a < b Gọi Pn là một dãy chuẩn tắc bất kì những phép phân hoạch đoạn [a, b]

f (x)dx

Nếu tích phân trên tồn tại thì hàm số f được gọi là khả tích trên đoạn [a, b]

f được gọi là hàm số dưới dấu tích phân, f (x)dx được gọi là biểu thức dưới dấutích phân, a gọi là cận dưới, b là cận trên của tích phân

f dx ≤

Z b a

f dx

Chứng minh Lấy P∗= P1∪ P2 trong đó P1, P2 ∈ τ Theo định lí trên thì

L(P1, f ) ≤ L(P∗, f ) ≤ U (P∗, f ) ≤ U (P2, f )

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

1.1.4 Điều kiện cần và đủ của hàm khả tích Riemann

Định lý 1.3 (Định lí Riemann): Cho f : [a, b] −→R là hàm bị chặn Khi đó, f

khả tích trên [a, b] nếu và chỉ nếu với mọi  > 0 tồn tại P ∈ τ sao cho

Chứng minh Điều kiện (1.3) là đủ Thật vậy, với mọi P ∈ τ ta có

L(P, f ) ≤

Z b a

f dx ≤

Z b a

f dx ≤ U (P, f )

Do đó từ (1.3) ta suy ra

0 ≤

Z b a

f dx −

Z b a

f dx ≤ 

Cho  → 0 ta có f khả tích

Bây giờ ta chứng minh (1.3) là điều kiện cần Từ định nghĩa suy ra: với mọi

 > 0 tồn tại P1, P2 ∈ τ sao cho

Suy ra điều phải chứng minh

Định lý 1.4 (i) Nếu (1.3) đúng với P và  nào đó thì (1.3) đúng với bất kì

< 

Chứng minh (i) là hệ quả của định lý 1.1.

điều này kéo theo (ii)

(iii) là hệ quả của bất đẳng thức hiển nhiên sau:

Định lý 1.5 Nếu f liên tục trên [a, b] thì f khả tích trên [a, b]

Chứng minh Cho trước  > 0, chọn η > 0 sao cho

Suy ra điều phải chứng minh.

1.2.2 Tính khả tích của hàm đơn điệu

Định lý 1.6 Nếu f đơn điệu trên [a, b] thì f khả tích

Chứng minh Với bất kì n ∈N, chọn phân hoạch P sao cho

Suy ra điều phải chứng minh

1.2.3 Tính khả tích của hàm gián đoạn

Chứng minh Để đơn giản, ta giả sử f có một điểm gián đoạn duy nhất là

c ∈ (a, b) Vì α liên tục tại c nên tồn tại (u, v) sao cho a < u < c < v < b và

(u − v) <  Lấy K = [a, u] ∪ [v, b] Rõ ràngK compact và liên tục trên K Do đó,

f liên tục đều trên K Vì vậy tồn tại δ > 0 sao cho

Định lý 1.8 Giả sử f khả tích trên [a, b], m ≤ f (x) ≤ M với mọi x ∈ [a, b] và g

là hàm số liên tục trên [m, M ] Khi đó, h = g ◦ f khả tích trên [a, b]

Chứng minh Chọn > 0 Vìg liên tục trên[m, M ]nêng liên tục đều trên[m, M ]

Do đó, tồn tại δ > 0 sao cho |g(s) − g(t)| ≤ 

với s, t ∈ [m, M ] và |s − t| < δ

Ta có thể chọn δ < 

Mặt khác,f khả tích có nghĩa là tồn tại P = {x0, x1, , xn} ∈ τ sao cho

Giả sửMi, mi là sup và inf của f trên [xi−1, xi] và Mi∗, m∗i là sup và inf củah trên

[x i−1 , x i ] Chia các số 1, 2, , n thành hai lớp:

1.3 Các tính chất

1.3.1 Các tính chất đơn giản của nguyên hàm

Nếu F (x), G(x) lần lượt là một nguyên hàm nào đó của f (x), g(x) và k là mộthằng số, thì ta có

1.3.2 Các tính chất của tích phân Riemann

Định lý 1.9 (i) Nếu f, g là hai hàm số khả tích trên đoạn [a, b] và c, d là cáchằng số thực thì cf + dg khả tích trên đoạn [a, b] và

Đặc biệt, nếu f khả tích trên [a, b] và f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, b] thì

≤ M 

Trong đóM = sup {|f (x)| : a ≤ x ≤ b}.

Vìα = α1+ α2 nên

≤ M 

Từ đó rút ra điều phải chứng minh

1.4.2 Mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm Công thức

Niutơn - Laibnit

Định lý 1.11 (Công thức Niutơn- Laibnit)

Giả sử f (x) là một hàm số liên tục và có một nguyên hàm F (x) trên [a, b] Khi

Chứng minh Với mọi > 0 tồn tại P = {x0, x1, , xn} ∈ τ sao cho

U (P, f ) − L(P, f ) <  Định lí số gia hữu hạn Lagrange cho ta

< 

Suy ra điều phải chứng minh

Định lý 1.12 (Mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm).

Nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì hàm số ( gọi là hàm số của cận trên )

Chương 2

Các bài toán sơ cấp

2.1 Tính tích phân bằng phương pháp phân tích

Bằng việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phânthành các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi phần tử đó có thể nhận được từbảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết, từ đó taxác định được giá trị của tích phân Phương pháp này được áp dụng trong hầuhết các dạng tích phân, bao gồm:

- Tích phân các hàm số hữu tỉ

- Tích phân các hàm số lượng giác

- Tích phân các hàm số vô tỉ

Sau đây chúng ta sẽ đi xem xét các ví dụ

2.1.1 Tích phân của các hàm số hữu tỉ

Bài tập 2.1 Tính các tích phân sau:

x − 2 +

B (x − 2) 2 = A(x − 2) + B

1 2

√ 3(1 + tan2t)dt và dx

x 2 + 3 =

1

√ 3

(1 + tan2t)dt tan2t + 1 =



π

4 − π

6 √ 3



2.1.2 Tích phân của các hàm số lượng giác

π/2

Giả sử

sin x + 7 cos x + 6 = A(4 sin x + 3 cos x + 5) + B(4 cos x − 3 sin x) + C

= (4A − 3B) sin x + (3A + 4B) cos x + 5A + C

1 10

π/2

Z

0

dx cos 2 x − α

2.1.3 Tích phân của các hàm số vô tỉ

Suy ra:

p

1 + x 2 = t −t

2 − 1 2t =

t2+ 1 2t và dx = t

2 + 1 2t 2 dt

√ 2+1

Z

√ 2−1



−1

t − ln |t| + 2 ln |t + 1||

√ 2+1

√ 2−1 = 1

2.2 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

2.2.1 Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn x = ϕ(t), trong đó ϕ(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.Bước 2: Lấy vi phân dx = ϕ0(t)dt

Bước 3: Tính các cận α và β tương ứng theo a và b

Bước 4: Biểu thị f (x)dx theo t và dt Giả sử rằng f (x)dx = g(t)dt

Bước 5: Khi đó I =

Z β α

0 = π4

Bài tập 2.6 Tính tích phân sau:

√ 2/2

Khi đó:

I = 12

a − a cos 2t(−2a sin 2tdt)

= | cot t|(−2a sin 2tdt)

= −4a cos2tdt = −2a.(1 + cos 2t)dt

4)

2.2.2 Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn t = ϕ(x), trong đó ϕ(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồixác định x = ψ(t) (nếu có thể)

Bước 2: Xác định vi phân dx = ϕ0(t)dt

Bước 3: Tính các cận α và β tương ứng theo a và b

Bước 4: Biểu thị f (x)dx theo t và dt

Bài tập 2.8 Tính tích phân sau:

Ta có:

cos xdx sin2x − 5 sin x + 6 =

dt

t 2 − 5t + 6 =

dt (t − 2)(t − 3)

t − 3

t − 2

|

√ 3/2 1/2 = ln3(6 −

√ 3) 5(4 − √

t − 1

t + 1

... từbảng nguyên hàm phép biến đổi đơn giản biết, từ taxác định giá trị tích phân Phương pháp áp dụng hầuhết dạng tích phân, bao gồm:

- Tích phân hàm số hữu tỉ

- Tích phân hàm số lượng... 2

Các tốn sơ cấp

2.1 Tính tích phân phương pháp phân tích< /h3>

Bằng việc sử dụng đồng thức để biến đổi biểu thức dấu tích phânthành nhân tử mà nguyên hàm phần tử... Tích phân hàm số lượng giác

- Tích phân hàm số vơ tỉ

Sau xem xét ví dụ

2.1.1 Tích phân hàm số hữu tỉ

Bài tập 2.1 Tính tích phân sau: