Chương 3: Phép tính vi phân của hàm một biến pdf

Dãy số hoàn toàn được xác định khi biết số hạng tổng quát của nó.. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.. Nếu dãy số thực {an} có giới hạn là a , thì mọi dãy con của nó cũng có giới hạ

Chương 3

PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM

MỘT BIẾN

3.1 Dãy số và giới hạn của dãy số

3.1.1 Định nghĩa giới hạn của dãy số

Định nghĩa 3.1 Dãy số thực là một ánh xạ

a : N → R

n 7→ a(n) = an Khi đó ta được một dãy các số thực a1, a2, an,

+ Kí hiệu là {an}

+ an gọi là số hạng tổng quát thứ n của dãy Dãy số hoàn toàn được xác định khi biết số hạng tổng quát của nó

- Dãy con

Cho dãy số thực an Giả sử n1 < n2 < nk< là một dãy tăng thực sự các số tự nhiên thì dãy

nn1, an2, , ank, là dãy con của dãy {an} và viết là {ank} ⊂ {an}

Định nghĩa 3.2 Ta nói rằng: a = lim

n→∞an ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∀n > N : |an− a| < ε

- Khi đó ta nói dãy {an} hội tụ đến a

- Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ

Định lý 3.1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất

Chứng minh Giả sử lim

n→∞an = a Nếu có số b 6= a cũng là giới hạn của dãy {an} Khi đó với

ε = |b − a|

2 > 0 , thì: ∃N1 ∀n > N1 : |an− a| < ε, ∃N2 ∀n > N2 : |an− b| < ε

Chọn N0 = max{N1, N2} , thì với mọi n > N0 ta có:

|a − b| = |a − an+ an− b| < |a − an| + |an− b| < ε + ε = 2.ε = |a − b|

Mâu thuẫn chứng tỏ điều giả sử là sai, định lý được chứng minh

Định lý 3.2 Nếu dãy số thực {an} có giới hạn là a , thì mọi dãy con của nó cũng có giới hạn là a

Ví dụ 3.1 Xét dãy {an} sao cho an= a , với mọi n , ta có lim

n→∞an = a Thật vậy,

∀ε > 0 ∃N = 0 ∀n > N : |an− a| = |a − a| = 0 < ε Tức là lim

n→∞an= a

Ví dụ 3.2 Giới hạn lim

n→∞

1

n = 0 Thật vậy, với mọi ε > 0 chọn N =



1 ε



+ 1, thì với mọi n ta có:

|an− 0| =

n1 − 0

= 1

n <

1

N < ε

Ví dụ 3.3 Giới hạn lim

n→∞qn= 0 nếu |q| < 1 Thật vậy

- Nếu q = 0 , thì lim

n→∞qn= 0 (Theo ví dụ 1)

- Nếu q 6= 0, thì ∀ε > 0 ∃N =”

log|q|ε—

+ 1 ∀n > N : |an− 0| = |qn− 0| < ε

Ví dụ 3.4 Giới hạn lim

n→∞(−1)n không tồn tại

Cách 1 Thật vậy giả sử ngược lại tồn tại giới hạn lim

n→∞(−1)n Khi đó:

với ε = 1 ∃N ∀n > N : |(−1)n− a| < 1 Khi n chẵn và n lẻ, ta có:|1 − a| < 1 và |−1 − a| < 1

Ta đi đến mâu thuẫn

2 = |1 + 1| = |1 − a + a + 1| ≤ |1 − a| + |1 + a| < 1 + 1 = 2

Cách 2 Xét hai dãy con với các chữ số chẵn và lẻ không cùng một giới hạn

Định nghĩa 3.3 Dãy {an} được gọi là bị chặn trên, bị chặn dưới nếu tập A = {an : n ∈ N} có tính chất tương ứng

Định lý 3.3 Dãy số {an} hội tụ thì nó bị chặn

Chứng minh Giả sử lim

n→∞an= a Khi đó với ε = 1 ∃N0 ∀n > N0 : |an− a| < 1

Do đó |an| < a + 1, ∀n > N0

Chọn M = max {|a1| , |a2| , , |aN0| , |a| + 1}, thì rõ ràng −M < an< M, ∀n = 1, 2,

Mở rộng khái niệm giới hạn của dãy số

Dãy số {an} gọi là có giới hạn +∞ viết là lim

n→∞an = +∞ , nếu: ∀M > 0 ∃N ∀n > N : an> M Dãy số {an} gọi là có giới hạn −∞ viết là lim

n→∞an= −∞ , nếu: ∀M > 0 ∃N ∀n > N : an < −M Trong trường hợp này ta không nói các dãy hội tụ mà gọi chúng là các dãy phân kỳ đến ±∞

Ví dụ 3.5 Xét dãy {an=√

n} , ta có: lim

n→∞

√

n = +∞ Thật vậy, ∀M > 0 ∃N = M2 ∀n > N :

an=√

n >√

N =√

M2 = M

Ví dụ 3.6 Xét dãy {an = 1 − n2} , ta có: lim

n→∞1−n2 = −∞ Thật vậy ∀M > 0 ∃N =√

1 + M ∀n >

N : an= 1 − n2 < 1 − (√

1 + M )2 = −M

3.1.2 Định lí về giới hạn của dãy số

1 Định lý

Định lý 3.4 Nếu các dãy anvà bn hội tụ và lim

n→∞an = a, lim

n→∞bn = b thì các dãy {an± bn}, {an.bn},

a

n

bn



(nếu bn6= 0 ∀n và b 6= 0 ) cũng hội tụ Hơn nữa, ta có:

(i) lim

n→∞(an± bn) = a ± b

(ii) lim

n→∞(an.bn) = a.b

(iii) lim

n→∞

an

bn

= a

b.

Chú ý - Định lý có thể mở rộng thêm cho các dạng sau đây:

i) a + (+∞) = +∞

ii) a − (+∞) = −∞

iii) a.(+∞) =

¨

+∞ nếu a > 0

−∞ nếu a < 0 iv) a

±∞ = 0

v) a

0 = +∞

- Ta cũng có các dạng chưa xác định sau đây gọi là các dạng vô định: ∞ − ∞; 0.∞; ∞

∞;

0 0

Ví dụ 3.7 Cho hai dãy {an = n + 1

n}; {bn = n + a + 1

n}, rõ ràng lim

x→∞(an− bn) có dạng ∞ − ∞

và trong trường hợp này lim

x→∞(an− bn) = a với a tuỳ ý mà ta chọn

Ví dụ 3.8 Cho hai dãy {an = a

n}; {bn = 1

n} , thì lim

n→∞

an

bn có dạng

0

0 và limn→∞

an

bn = a với a tuỳ ý chọn

2 Vô cùng bé và vô cùng lớn

Định nghĩa 3.4 Ta gọi dãy số {an} là:

+ Đại lượng vô cùng bé (VCB), nếu lim

n→∞an= 0;

+ Đại lượng vô cùng lớn (VCL), nếu lim

n→∞|an| = ∞

Ví dụ Các dãy số: {1

n, {q

n}} với |q| < 1 là các VCB Các dãy số: {n}, {−n}, {(−1)nn} là các VCL

Một số tính chất của VCB và VCL

1 Tổng hoặc tích của hai VCB là một VCB

2 Tích của một VCB và một đại lượng bị chặn là một VCB

3 Dãy {an} là một VCB khi và chỉ khi {|an|} làmột VCB

4 lim

n→∞an= a ⇔ {an− a} là một VCB

5 {an} là VCL và |bn| ≥ |an| với mọi n, thì là một VCL

6 Tích của một VCL và một dãy có giới hạn khác 0 là một VCL

7 Dãy {an} là VCL thì { 1

an} là VCB

8 Dãy {an} là VCB và a 6= 0 , với mọi n thì { 1

an} là VCL

3 Một số tính chất về giới hạn

Định lý 3.5 Nếu lim

n→∞an = a , thì dãy {|an|} cũng hội tụ và lim

n→∞|an| = a

Chứng minh Từ giả thiết lim

n→∞an= a ⇔ ∀ε > 0 ∃N0 ∀n > N0 : |an− a| < ε

Mặt khác, ta có: ||an| − |a|| < |an− a| < ε , với mọi n > N0

Định lý 3.6 Nếu lim

n→∞an= a, lim

n→∞bn = b và an≤ bn với mọi n , thì a ≤ b

Chứng minh

Giả sử rằng a > b Khi đó với ε0 = a − b

2 ∃N1 ∀n ≥ N1 : |an− a| < ε0 ∃N2 ∀n ≥ N2 :

|bn− b| < ε0

Chọn N0 = max{N1, N2} , thì với mọi n ≥ N0 ta nhận được đồng thời hai bất đẳng thức trên

Do đó: aN0 > a − ε0 = b + ε0 > bN0

Điều đó mâu thuẫn với giả thiết an ≤ bn với mọi n và định lý được chứng minh

Định lý 3.7 Định lý 7 (Giới hạn kẹp) Nếu lim

n→∞an = lim

n→∞bn = d và an ≤ cn≤ bn với mọi n , thì {cn} cũng hội tụ và lim

n→∞cn= d Chứng minh Từ giả thiết lim

n→∞an = lim

n→∞bn , ta suy ra:

∀ε > 0 ∃N ∀n > N : |an− d| < ε, |bn− d| < ε Mặt khác vì an ≤ cn ≤ bn, với mọi n; ta nhận được an− d ≤ cn− d ≤ bn− d, với mọi n>m

Do đó |cn− d| < max {|an− d| , |bn− d|} < ε với mọi n>m

Vậy cn cũng hội tụ và lim

n→∞cn = d

Ví dụ Tìm giới hạn của dãy số

(

an=

√

n2+ 1

n2 +

√

n2+ 2

n2 + +

√

n2+ n

n2

)

Ta có

n√

n2+ 1

n2 ≤ an ≤ n

√

n2+ n

n2 ⇔

Ê

1 + 1

n2 ≤ an≤

Ê

1 + 1 n

Do đó

lim

n→∞an= 1

3.2 Hàm số một biến số

3.2.1 Hàm số

Định nghĩa 3.5 Đại lượng biến thiên y gọi là hàm số của đại lượng biến thiên x trong miền biến thiên X của nó nếu có một quy tắc để mỗi giá trị x ∈ X đều được đặt tương ứng với một giá trị xác định y ∈ Y

- Đại lượng x gọi là đối số hay biến độc lập Miền biến thiên X của x gọi là miền xác định của hàm số Đại lượng y gọi là biến phụ thuộc Nếu quy tắc tương ứng giữa x và y là f thì ta viết

y = f (x), x ∈ X

- Tập f (X) = {f (x) : x ∈ X} gọi là miền giá trị của hàm số f

Trong trường hợp hàm số cho bởi một công thức y = f (x) mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền xác định của hàm số là tập tất cả các x mà công thức có nghĩa

Ngoài ra đôi khi ta còn dùng từ hàm thay cho hàm số

Ví dụ 3.9 y =√

1 − x2 có miền xác định là [-1,1];

Ví dụ 3.10 y = ln x +√

1 − x có miền xác định là (0,1]

3.2.2 Các loại hàm đặc biệt.

(i) Hàm đơn điệu:

- Hàm y = f (x), x ∈ X gọi là đơn điệu tăng nếu x1, x2 ∈ X, x1 < x2 thì f (x1) ≤ f (x2),, gọi là đơn điệu giảm nếu x1, x2 ∈ X, x1 > x2 thì f (x1) ≥ f (x2)

- Đơn điệu tăng hoặc giảm gọi là hàm đơn điệu

- Nếu x1 < x2 kéo theo f (x1) < f (x2) thì hàm gọi là tăng ngặt hay đồng biến, tương tự ta có khái niệm giảm ngặt hay nghịch biến

Ví dụ 3.11 y = x đồng biến trên R

Ví dụ 3.12 y = x2 nghịch biến trên (−∞, 0], đồng biến trên [0, +∞)

Ví dụ 3.13 Hàm Dirichlet D(x) =

¨

1 nếu x ∈ Q

0 nếu x ∈ I Không đơn điệu trên bất kỳ khoảng nào của R

ii) Hàm chẵn, hàm lẻ

Cho hàm y = f (x) có miền xác định X Khi đó

+y = f (x) gọi là hàm chẵn ⇔

¨

x ∈ X ⇒ −x ∈ X

f (−x) = f (x), ∀x ∈ X + y = f (x) gọi là hàm lẻ ⇔

¨

x ∈ X ⇒ −x ∈ X

f (−x) = −f (x), ∀x ∈ X

Ví dụ 3.14 Hàm y = x2, y = D(x) là hàm chẵn, y = x3 là hàm lẻ; y =√

1 − x hàm là không chẵn, không lẻ

iii) Hàm tuần hoàn

Hàm y = f (x), x ∈ X gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại T > 0 sao cho x ∈ X thì x + T ∈ X và

f (x + T ) = f (x)

Số dương T nhỏ nhất (nếu có) gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn

Ví dụ 3.15 1 Các hàm sinx, cosx là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π còn tanx, cotx là hàm tuần hoàn với chu kỳ π

2 Hàm Dirichlet D(x) là tuần hoàn (Có thể chọn T là số hữu tỷ dương bất kỳ) Hàm D(x) không

có chu kỳ

3.2.3 Hàm ngược và hàm hợp

i) Hàm ngược

Cho hàm số y = f (x), mà nó là 1-1, tức là nếu x1 6= x2 thì f (x1) 6= f (x2) Đặt Y = f (X) Khi

đó mỗi y ∈ Y tồn tại duy nhất x ∈ X để f (x) = y Coi x ∈ X là biến độc lập thì mọi x ∈ X tồn tại duy nhất y = f−1(x), x ∈ X để y = f (x) Ta có hàm y = f−1(x), x ∈ X , gọi là hàm ngược của hàm y = f (x)

Chú ý rằng, chỉ có hàm đơn trị 1-1 mới có hàm ngược

ii) Hàm hợp

Cho hai hàm y = f (x), x ∈ X và z = g(y), y ∈ Y sao cho f (X) ⊂ Y Khi đó ta có hàm (gof )(x) = g(f (x)), x ∈ X gọi là hàm hợp của hai hàm đã cho

Ví dụ 3.16 f (x) = x2+ 1 và g(x) = cos x thì (gof )(x) = cos(x2+ 1); (f og)(x) = cos2x + 1

Ví dụ 3.17 h(x) = cos2x + 2 cos x + 5 có thể coi là hàm hợp của hàm y(x) = cos x và g(y) =

y2+ 2y + 5

Ví dụ 3.18 Từ định nghĩa hàm ngược ta có:

f−1of (x) = x với ∀x ∈ X

f of−1(y) = y với ∀y ∈ Y

3.2.4 Các hàm sơ cấp

Ta gọi hàm sơ cấp đơn giản là những hàm thuộc một trong các loại sau đây

i) Hàm hằng số y = f (x) = c, c là hằng số

Hàm hằng số có miền xác định R, miền giá trị là R

ii) Hàm luỹ thừa

y = xα, α ∈ R

Nếu α là số hữu tỷ thì miền xác định của hàm luỹ thừa phụ thuộc vào α Ví dụ: y = x

1

2 có miền xác định là x ≥ 0, y = x−

1

3 có miền xác định là x 6= 0

Khi α là số vô tỷ thì ta qui ước miền xác định là x ≥ 0 nếu α > 0và x ≤ 0 nếu α > 0

iii) Hàm mũ: y = ax, a > 0, a 6= 1

Hàm mũ có miền xác định là R , miền giá trị là 0, +∞ Nếu α > 1 thì hàm đồng biến, 0 < α < 1 thì hàm nghịch biến

iv) Hàm lôgarit y = logax, a > 0, a 6= 1

Hàm lôgarit có miền xác định là 0, +∞ , miền giá trị là R Nếu a>1 thì hàm đồng biến, 0 < a < 1 thì hàm nghịch biến

Hàm y = logax, là hàm ngược của hàm y = xα

v) Hàm lượng giác

Hàm y = sin x có miền xác định R , miền giá trị [-1,1], là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2π Hàm y = cos x có miền xác định R , miền giá trị [-1,1], là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ π vi) Hàm lượng giác ngược

Hàm y = arcsin x, x ∈ [−1, 1] là hàm ngược của hàm y = sin x, x ∈ [−π

2;

π

2] Miền xác định của hàm là [-1,1], miền giá trị là [−π

2;

π

2] Ta có

y = arcsin x ⇔ sin y = x, y ∈ [−π

2;

π

2] Chú ý rằng arcsinx là ký hiệu tất cả các giá trị y mà sinyC =x còn y =arcsinx là giá trị duy nhất

y ∈ [−π

2;

π

2] để siny =x.

Hàm y = arccos x, x ∈ [−1, 1] có miền xác định là [0, π]

Hàm y = arctgx, x ∈ R có miền xác định là (−π

2;

π

2).

Hàm y = arc cot gx, x ∈ R có miền xác định là (0, π)

Ta gọi các hàm sơ cấp là hàm cho bởi một công thức trong đó có các hàm sơ cấp đơn giản và một số hữu hạn các phép toán hàm: cộng, trừ, nhân, chia và lấy hàm hợp

Ví dụ 3.19 Các hàm hyperbolic là hàm sơ cấp:

shx = e

x− e−x

2 , chx

ex+ e−x

2 , thx =

ex− e−x

ex+ e−x, cthx = e

x+ e−x

ex− e−x

Các hàm này có tên gọi theo thứ thự là sin hyperbolicC, cosin hyperbolic, tang hyperbolic và cotang hyperbolic Các hàm hyperbolic có các tính chất gần tương tự với hàm lượng giácC:

thx = shx

chx; cthx =

chx shx; chx(x ± y) = chxchy ± shxshy;

sh(x ± y) = shxchy ± chxshy

ch2x − sh2y = 1; ch2x = ch2x + sh2x; sh2x = 2shx.chx

Ví dụ 3.20 y = |x| không phải là hàm sơ cấp

3.3 Giới hạn và sự liên tục của hàm số

3.3.1 Giới hạn của hàm số

1 Định nghĩa theo ngôn ngữ dãy

Định nghĩa 3.6 Giả sử x là một tập tuỳ ý trong R Điểm x0 ∈ R gọi là điểm tụ của X nếu tồn tại dãy {xn} ⊂ X\{x0} sao cho {xn} ⊂ X\{x0}

Nếu có thể chọn dãy {xn} như trên nhưng xn> x0 hoặc xn < x0 với mọi n ≥ 1 ta nói dãy x0 là điểm tụ bên phải hoặc bên trái của X

Định nghĩa 3.7 Cho hàm số y = f x trên X\{x0} với x0 là điểm tụ của X

A = lim

x→x 0

f (x) ⇔ ∀ {xn} ⊂ X\ {x0} , xn→ x0 : f (xn) → A (3.1)

Nếu x0 là điểm tụ bên phải hoặc bên trái của X mà (3.1) thoả mãn với mọi dãy {xn} ⊂ X\{x0}, xn → x0, xn > x0 hoặc xn < x0 ta nói A là giới hạn bên phải hoặc bên trái của hàm

y = f (x) khi x → x+0 hoặc x → x−0 Ký hiệu lần lượt là

A = lim

x→x+0

f (x), A = lim

x→x−0

f (x)

Ta thường gặp trường hợp X = (a, b) và khi đó x0 ∈ [a, b] Lưu ý rằng khi x0 = a hoặc x0 = b

ta chỉ có thể nói tới giới hạn bên phải hoặc bên trái của hàm đã cho Để đơn giản trong phát biểu,

từ nay nếu không có gì nói thêm ta luôn coi X = (a, b) Trong trường hợp x0 = a = −∞ thì ta viết lim

x→−∞f (x) = A Nếu x0 = b = +∞ thì ta viết lim

x→+∞f (x) = A

Ví dụ 3.21 lim

x→2

x2− 1

x . Với dãy số bất kỳ {xn}, {xn} → 2, xn6= 2 , ta có

x2n− 1

xn → 2

2− 1

2 =

3 2

Vậy lim

x→2

x2− 1

x =

3

2.

Ví dụ 3.22 lim

x→+∞

1

x. Với dãy số bất kỳ {xn}, xn→ +∞ , ta có 1

xn → 0 Do đó lim

x→+∞

1

x = 0.

Ví dụ 3.23 lim

x→0 +

1 x Với dãy bất kỳ, {xn}, xn→ 0, xn> 0, ta có 1

xn → +∞ Do đó lim

x→0 +

1

x = +∞

Ví dụ 3.24 Giới hạn lim

x→∞sin x không tồn tại

Thậy vậy,

+ Với {xn= nπ} thì xn→ +∞ và sin xn → 0;

+ Với

§

x,

n= π

2 + 2nπ

ª

, thì x,

n→ +∞ và sin x0

n → 1

Do đó theo định nghĩa giới hạn trên không tồn tại

2 Định nghĩa theo ngôn ngữ  − δ

Định nghĩa 3.8 Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a, b)\x0, x0 ∈ [a, b]

lim

x→x 0

f (x) = A

⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (a, b) 0 < |x − x0| < δ : |f (x) − A| < ε (3.2) Định nghĩa này chỉ xác định khi x0 và A thuộc R

Trước hết ta sẽ chứng minh trong trường hợp này định nghĩa theo ngôn ngữ dãy và ngôn ngữ

 − δ là tương đương

(3.1) ⇒ (3.2) Nếu trái lại, (3.1) xảy ra nhưng không có (3.2), nghĩa là: ∃0 > 0 ∀δ = 1

n ∃xn∈ (a, b)0 < |xn− x0| < 1

n : |f (xn) − A| ≥ 0. Khi đó ta có dãy {xn} ⊂ (a, b), xn→ x0, xn6= x0 nhưng không có f (xn) → A Vậy ta gặp mâu thuẫn với (3.1)

(3.2) ⇒ (3.1) Giả sử có (3.2), nghĩa là

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (a, b) 0 < |x − x0| < δ : |f (x) − A| < ε

Xét dãy {xn} ⊂ (a, b), xn→ x0, xn6= x0 Chọn N sao cho ∀n > N thì |xn− x0| < δ Khi đó, ta cũng có: |f (xn) − A| < ε, ∀n > N

Vậy f (xn) → A và ta có (3.1)

3.3.2 Một số định lí về giới hạn của hàm số

Định lý 3.8 Nếu tồn tại các giới hạn lim f (x)

x→x 0

= A, lim

x→x 0

g(x) = B thì tồn tại các giới hạn sau đây nếu vế phải là xác định:

(i) lim

x→x 0

[f (x) ± g(x)] = A ± B (ii) lim

x→x 0

[f (x).g(x)] = A.B (iii) lim

x→x 0

–

f (x) g(x)

™

= A B Chứng minh (i) Xét dãy tùy ý {xn} , xn → x0 Vì lim f (x)

x→x 0

= A và lim

x→x 0

g(x) = B, nên f (xn) → A

và g(xn) → B Do đó ta có: g(xn) ± f (xn) → A ± B Vậy

lim

x→x 0

[f (x) ± g(x)] = A ± B Các tính chất khác chứng minh tương tự

Định lý 3.9 (Nguyên lý kẹp giữa) Cho hàm f (x), g(x), h(x) xác định trên (a, b) \ {x0} , x0 ∈ [a, b]

và thỏa mãn f (x) ≤ g(x)h(x) Khi đó nếu lim

x→x 0

f (x) = lim

x→x 0

h(x) = A, thì tồn tại lim

x→x 0

(x) = A

Chứng minh Với dãy tuỳ ý {xn} ⊂ (a, b)\{x0}, xn → x0 Bởi vì f (xn) ≤ g(xn) ≤ h(xn) và lim

n→∞f (xn) = lim

n→∞h(xn) = A nên lim

n→∞g(xn) = A Vì dãy {xn} tuỳ ý, nên lim

x→x 0

g(x) = A

Ví dụ 3.25 Tìm giới hạn lim

x→ox sin1

x.

Ta có:

x sin1

x

≤ |x| suy ra

− |x| ≤ x sin1

x ≤ |x|

Do đó: lim

x→0x sin1

x = 0 3.3.3 Một số ví dụ về tính giới hạn

Khi tính giới hạn, ngoài hai giới hạn cơ bản

i) lim

x→0

sin x

x = 1 ii) lim

x→±∞



1 + 1 x

 x

= e

từ định nghĩa các hàm sơ cấp đơn giản ta cần chú ý :

lim

x→±∞



1 + 1 x

 x

= e lim

x→+∞ln x = +∞, lim ln x = −∞

x→0 +

lim

x→+∞arctgx = π

2, limx→−∞arctgx = −π

2

Từ hai giới hạn cơ bản và định lý 4.1 ta có:

lim

α(x)→0

sin α(x) α(x) = 1, limα(x)→0(1 + α(x))

1 α(x) = e

Ví dụ 3.26 lim

x→0

sin 2x sin 3x =

2

3 limx→0

sin 2x 2x .

3x sin 3x =

2 3

Ví dụ 3.27 lim

x→0(1 + 2 sin x)

1

x = lim

x→0(1 + 2 sin x)

1

2 sin x.

2 sin x

x = lim

x→0[(1 + 2 sin x)

1

2 sin x ]

2 sin x

x = e2

3.3.4 Vô cùng bé, vô cùng lớn

1 Định nghĩa

Định nghĩa 3.9 Cho đại lượng α(x) xác định trên (a, b), x0 ∈ [a, b] Khi đó α(x) gọi là vô cùng

bé (VCB) trên (a,b) khi x → x0 nếu lim

x→x 0

α(x) = 0 ; α(x) gọi là vô cùng lớn (VCL) trên (a, b) khi

x → x0 nếu lim

x→x 0

|α(x)| = +∞

2 Tính chất

Vì VCB và VCL là những giới hạn, nên theo tính chất của giới hạn ta có:

+ Tổng hai VCB là một VCB;

+ Tích của một VCB và một đại lượng bị chặn là một VCB;

+ Tích hai VCL là một VCL;

+ Tổng của một VCL và một đại lượng bị chặn là một VCL;

+ α(x) là VCB và α(x) 6= 0 thì 1

α là VCL;

+ α(x) là VCL thì 1

α là VCB;

+ lim

x→x 0

f (x) = A ⇔ f (x) = A + α(x); là VCB khi x → x0

3 So sánh các VCB

Nếu α(x) là VCB và α(x) 6= 0 thì 1

α là VCL Do đó ta chỉ xét phân loại VCB.

Cho α(x) và β(x) là hai VCB khi x → x0 Khi đó ta nói:

+α(x) là VCB cấp cao hơn β(x) ⇔ lim

x→x 0

α(x) β(x) = 0, kí hiệu α(x) = O(β(x)).

Như vậy, α(x) = O(β(x)) nếu α(x) → 0 ”nhanh hơn” β(x) → 0

+ α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp ⇔ lim

x→x 0

α(x) β(x) = A ∈ R\{0}.

+ α(x) và β(x) là hai VCB tương đương ⇔ lim

x→x 0

α(x) β(x) = 1 , kí hiệu α(x) ∼ β(x)

Ví dụ 3.28 √3

x, x, x2, sin x, 1 − cos x là các VCB khi x → 0 + Vì lim

x→0

x

3

√

x = limx→0

x2

x = 0 nên

x = O(√3

x), x2 = O(x)

+ Vì lim

x→0

sin x

x = 1 nên sin x ∼ x

+ Vìlim

x→0

1 − cos x

x2 = lim

x→0

sin2 x 2 2

x

2

‹2 = 1

2 nên 1 − cos x và x

2 là hai VCB cùng cấp Ta cũng thấy

1 − cos x ∼ 1

2.

4 Ứng dụng VCB để tính giới hạn

Trước hết ta nhận xét rằng nếu các VCB α(x) ∼ α∗(x), β(x) ∼ β∗(x) khi x → x0 thì

lim

x→x 0

α(x) β(x) = limx→x 0

α∗(x)

β∗(x).

α(x)

α∗(x) β(x)

β∗(x)

= lim

x→x 0

α∗(x)

β∗(x).

Do đó có thể dùng VCB để tính giới hạn

Ví dụ 3.29 Tìm lim

x→0

sin 2x sin 3x.

Ta có: sin 2x ∼ 2x, sin 3x ∼ 3x Do đó

lim

x→0

sin 2x sin 3x = limx→0

2x 3x = 2

3.

...

Hàm lơgarit có miền xác định 0, +∞ , miền giá trị R Nếu a>1 hàm đồng biến, < a < hàm nghịch biến

Hàm y = logax, hàm ngược hàm y = xα

v) Hàm. .. (0, π)

Ta gọi hàm sơ cấp hàm cho cơng thức có hàm sơ cấp đơn giản số hữu hạn phép toán hàm: cộng, trừ, nhân, chia lấy hàm hợp

Ví dụ 3.19 Các hàm hyperbolic hàm sơ cấp:

shx... >

iii) Hàm mũ: y = ax, a > 0, a 6=

Hàm mũ có miền xác định R , miền giá trị 0, +∞ Nếu α > hàm đồng biến, < α < hàm nghịch biến

iv) Hàm lôgarit y =