Chương 3: Phép tính vi phân của hàm một biến pdf

Chương 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 3.1 Dãy số và giới hạn của dãy số 3.1.1 Định nghĩa giới hạn của dãy số Định nghĩa 3.1. Dãy số thực là một ánh xạ a : N → R n → a(n) = a n Khi đó ta được một dãy các số thực a 1 , a 2 , a n , + Kí hiệu là {a n }. + a n gọi là số hạng tổng quát thứ n của dãy. Dãy số hoàn toàn được xác định khi biết số hạng tổng quát của nó. - Dãy con. Cho dãy số thực a n . Giả sử n 1 < n 2 < n k < là một dãy tăng thực sự các số tự nhiên thì dãy n n 1 , a n 2 , , a n k , là dãy con của dãy {a n } và viết là {a n k } ⊂ {a n } . Định nghĩa 3.2. Ta nói rằng: a = lim n→∞ a n ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∀n > N : |a n − a| < ε - Khi đó ta nói dãy {a n } hội tụ đến a. - Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ. Định lý 3.1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất. Chứng minh. Giả sử lim n→∞ a n = a . Nếu có số b = a cũng là giới hạn của dãy {a n } . Khi đó với ε = |b −a| 2 > 0 , thì: ∃N 1 ∀n > N 1 : |a n − a| < ε, ∃N 2 ∀n > N 2 : |a n − b| < ε Chọn N 0 = max{N 1 , N 2 } , thì với mọi n > N 0 ta có: |a −b| = |a − a n + a n − b| < |a −a n | + |a n − b| < ε + ε = 2.ε = |a −b| Mâu thuẫn chứng tỏ điều giả sử là sai, định lý được chứng minh. Định lý 3.2. Nếu dãy số thực {a n } có giới hạn là a , thì mọi dãy con của nó cũng có giới hạn là a. Ví dụ 3.1. Xét dãy {a n } sao cho a n = a , với mọi n , ta có lim n→∞ a n = a. Thật vậy, ∀ε > 0 ∃N = 0 ∀n > N : |a n − a| = |a − a| = 0 < ε Tức là lim n→∞ a n = a http://maths3.wordpress.com 21 Ví dụ 3.2. Giới hạn lim n→∞ 1 n = 0. Thật vậy, với mọi ε > 0 chọn N = 1 ε + 1, thì với mọi n ta có: |a n − 0| = 1 n − 0 = 1 n < 1 N < ε . Ví dụ 3.3. Giới hạn lim n→∞ q n = 0 nếu |q| < 1. Thật vậy - Nếu q = 0 , thì lim n→∞ q n = 0 (Theo ví dụ 1). - Nếu q = 0, thì ∀ε > 0 ∃N = log |q| ε + 1 ∀n > N : |a n − 0| = |q n − 0| < ε. Ví dụ 3.4. Giới hạn lim n→∞ (−1) n không tồn tại. Cách 1. Thật vậy giả sử ngược lại tồn tại giới hạn lim n→∞ (−1) n . Khi đó: với ε = 1 ∃N ∀n > N : |(−1) n − a| < 1 Khi n chẵn và n lẻ, ta có:|1 −a| < 1 và |−1 − a| < 1 Ta đi đến mâu thuẫn 2 = |1 + 1| = |1 − a + a + 1| ≤ |1 − a| + |1 + a| < 1 + 1 = 2. Cách 2. Xét hai dãy con với các chữ số chẵn và lẻ không cùng một giới hạn. Định nghĩa 3.3. Dãy {a n } được gọi là bị chặn trên, bị chặn dưới nếu tập A = {a n : n ∈ N} có tính chất tương ứng. Định lý 3.3. Dãy số {a n } hội tụ thì nó bị chặn. Chứng minh. Giả sử lim n→∞ a n = a. Khi đó với ε = 1 ∃N 0 ∀n > N 0 : |a n − a| < 1. Do đó |a n | < a + 1, ∀n > N 0 Chọn M = max {|a 1 |, |a 2 |, , |a N 0 |, |a| + 1}, thì rõ ràng −M < a n < M, ∀n = 1, 2, Mở rộng khái niệm giới hạn của dãy số. Dãy số {a n } gọi là có giới hạn +∞ viết là lim n→∞ a n = +∞ , nếu: ∀M > 0 ∃N ∀n > N : a n > M. Dãy số {a n } gọi là có giới hạn −∞ viết là lim n→∞ a n = −∞ , nếu: ∀M > 0 ∃N ∀n > N : a n < −M. Trong trường hợp này ta không nói các dãy hội tụ mà gọi chúng là các dãy phân kỳ đến ±∞ . Ví dụ 3.5. Xét dãy {a n = √ n} , ta có: lim n→∞ √ n = +∞ . Thật vậy, ∀M > 0 ∃N = M 2 ∀n > N : a n = √ n > √ N = √ M 2 = M Ví dụ 3.6. Xét dãy {a n = 1 −n 2 } , ta có: lim n→∞ 1−n 2 = −∞. Thật vậy ∀M > 0 ∃N = √ 1 + M ∀n > N : a n = 1 −n 2 < 1 − ( √ 1 + M ) 2 = −M 3.1.2 Định lí về giới hạn của dãy số 1. Định lý Định lý 3.4. Nếu các dãy a n và b n hội tụ và lim n→∞ a n = a, lim n→∞ b n = b thì các dãy {a n ± b n }, {a n .b n }, a n b n (nếu b n = 0 ∀n và b = 0 ) cũng hội tụ. Hơn nữa, ta có: (i) lim n→∞ (a n ± b n ) = a ± b (ii) lim n→∞ (a n .b n ) = a.b (iii) lim n→∞ a n b n = a b . http://maths3.wordpress.com 22 Chú ý. - Định lý có thể mở rộng thêm cho các dạng sau đây: i) a + (+∞) = +∞ ii) a −(+∞) = −∞ iii) a.(+∞) = +∞ nếu a > 0 −∞ nếu a < 0 iv) a ±∞ = 0 v) a 0 = +∞ - Ta cũng có các dạng chưa xác định sau đây gọi là các dạng vô định: ∞− ∞; 0.∞; ∞ ∞ ; 0 0 Ví dụ 3.7. Cho hai dãy {a n = n + 1 n }; {b n = n + a + 1 n }, rõ ràng lim x→∞ (a n − b n ) có dạng ∞ − ∞ và trong trường hợp này lim x→∞ (a n − b n ) = a với a tuỳ ý mà ta chọn. Ví dụ 3.8. Cho hai dãy {a n = a n }; {b n = 1 n } , thì lim n→∞ a n b n có dạng 0 0 và lim n→∞ a n b n = a với a tuỳ ý chọn. 2. Vô cùng bé và vô cùng lớn. Định nghĩa 3.4. . Ta gọi dãy số {a n } là: + Đại lượng vô cùng bé (VCB), nếu lim n→∞ a n = 0; + Đại lượng vô cùng lớn (VCL), nếu lim n→∞ |a n | = ∞ . Ví dụ. Các dãy số: { 1 n , {q n }} với |q| < 1 là các VCB. Các dãy số: {n}, {−n}, {(−1) n n} là các VCL. Một số tính chất của VCB và VCL. 1. Tổng hoặc tích của hai VCB là một VCB. 2. Tích của một VCB và một đại lượng bị chặn là một VCB. 3. Dãy {a n } là một VCB khi và chỉ khi {|a n |} làmột VCB. 4. lim n→∞ a n = a ⇔ {a n − a} là một VCB. 5. {a n } là VCL và |b n | ≥ |a n | với mọi n, thì là một VCL. 6. Tích của một VCL và một dãy có giới hạn khác 0 là một VCL. 7. Dãy {a n } là VCL thì { 1 a n } là VCB. 8. Dãy {a n } là VCB và a = 0 , với mọi n thì { 1 a n } là VCL. 3. Một số tính chất về giới hạn. Định lý 3.5. Nếu lim n→∞ a n = a , thì dãy {|a n |} cũng hội tụ và lim n→∞ |a n | = a. Chứng minh. Từ giả thiết lim n→∞ a n = a ⇔ ∀ε > 0 ∃N 0 ∀n > N 0 : |a n − a| < ε. Mặt khác, ta có: ||a n | −|a|| < |a n − a| < ε , với mọi n > N 0 Định lý 3.6. . Nếu lim n→∞ a n = a, lim n→∞ b n = b và a n ≤ b n với mọi n , thì a ≤ b. Chứng minh. http://maths3.wordpress.com 23 Giả sử rằng a > b . Khi đó với ε 0 = a −b 2 ∃N 1 ∀n ≥ N 1 : |a n − a| < ε 0 ∃N 2 ∀n ≥ N 2 : |b n − b| < ε 0 Chọn N 0 = max{N 1 , N 2 } , thì với mọi n ≥ N 0 ta nhận được đồng thời hai bất đẳng thức trên. Do đó: a N 0 > a − ε 0 = b + ε 0 > b N 0 . Điều đó mâu thuẫn với giả thiết a n ≤ b n với mọi n và định lý được chứng minh. Định lý 3.7. Định lý 7 (Giới hạn kẹp). Nếu lim n→∞ a n = lim n→∞ b n = d và a n ≤ c n ≤ b n với mọi n , thì {c n } cũng hội tụ và lim n→∞ c n = d Chứng minh. Từ giả thiết lim n→∞ a n = lim n→∞ b n , ta suy ra: ∀ε > 0 ∃N ∀n > N : |a n − d| < ε, |b n − d| < ε Mặt khác vì a n ≤ c n ≤ b n , với mọi n; ta nhận được a n − d ≤ c n − d ≤ b n − d, với mọi n>m. Do đó |c n − d| < max {|a n − d|, |b n − d|} < ε với mọi n>m Vậy c n cũng hội tụ và lim n→∞ c n = d. Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy số a n = √ n 2 + 1 n 2 + √ n 2 + 2 n 2 + + √ n 2 + n n 2 Ta có n √ n 2 + 1 n 2 ≤ a n ≤ n √ n 2 + n n 2 ⇔ 1 + 1 n 2 ≤ a n ≤ 1 + 1 n ↓ ↓ 1 1 Do đó lim n→∞ a n = 1 3.2 Hàm số một biến số 3.2.1 Hàm số Định nghĩa 3.5. Đại lượng biến thiên y gọi là hàm số của đại lượng biến thiên x trong miền biến thiên X của nó nếu có một quy tắc để mỗi giá trị x ∈ X đều được đặt tương ứng với một giá trị xác định y ∈ Y. - Đại lượng x gọi là đối số hay biến độc lập. Miền biến thiên X của x gọi là miền xác định của hàm số. Đại lượng y gọi là biến phụ thuộc. Nếu quy tắc tương ứng giữa x và y là f thì ta viết y = f(x), x ∈ X - Tập f(X) = {f (x) : x ∈ X} gọi là miền giá trị của hàm số f. Trong trường hợp hàm số cho bởi một công thức y = f(x) mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền xác định của hàm số là tập tất cả các x mà công thức có nghĩa. Ngoài ra đôi khi ta còn dùng từ hàm thay cho hàm số. Ví dụ 3.9. y = √ 1 −x 2 có miền xác định là [-1,1]; Ví dụ 3.10. y = ln x + √ 1 −x có miền xác định là (0,1]. http://maths3.wordpress.com 24 3.2.2 Các loại hàm đặc biệt. (i). Hàm đơn điệu: - Hàm y = f(x), x ∈ X gọi là đơn điệu tăng nếu x 1 , x 2 ∈ X, x 1 < x 2 thì f(x 1 ) ≤ f(x 2 ),, gọi là đơn điệu giảm nếu x 1 , x 2 ∈ X, x 1 > x 2 thì f (x 1 ) ≥ f (x 2 ). - Đơn điệu tăng hoặc giảm gọi là hàm đơn điệu. - Nếu x 1 < x 2 kéo theo f(x 1 ) < f (x 2 ) thì hàm gọi là tăng ngặt hay đồng biến, tương tự ta có khái niệm giảm ngặt hay nghịch biến. Ví dụ 3.11. y = x đồng biến trên R. Ví dụ 3.12. y = x 2 nghịch biến trên (−∞, 0], đồng biến trên [0, +∞). Ví dụ 3.13. Hàm Dirichlet D(x) = 1 nếu x ∈ Q 0 nếu x ∈ I Không đơn điệu trên bất kỳ khoảng nào của R. ii) Hàm chẵn, hàm lẻ. Cho hàm y = f(x) có miền xác định X . Khi đó +y = f(x) gọi là hàm chẵn ⇔ x ∈ X ⇒ −x ∈ X f(−x) = f(x), ∀x ∈ X + y = f (x) gọi là hàm lẻ ⇔ x ∈ X ⇒ −x ∈ X f(−x) = −f(x), ∀x ∈ X Ví dụ 3.14. Hàm y = x 2 , y = D(x) là hàm chẵn, y = x 3 là hàm lẻ; y = √ 1 −x hàm là không chẵn, không lẻ. iii) Hàm tuần hoàn. Hàm y = f (x), x ∈ X gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại T > 0 sao cho x ∈ X thì x + T ∈ X và f(x + T ) = f(x) . Số dương T nhỏ nhất (nếu có) gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn. Ví dụ 3.15. 1. Các hàm sinx, cosx là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π còn tanx, cotx là hàm tuần hoàn với chu kỳ π. 2. Hàm Dirichlet D(x) là tuần hoàn (Có thể chọn T là số hữu tỷ dương bất kỳ). Hàm D(x) không có chu kỳ. 3.2.3 Hàm ngược và hàm hợp i) Hàm ngược Cho hàm số y = f(x), mà nó là 1-1, tức là nếu x 1 = x 2 thì f(x 1 ) = f(x 2 ). Đặt Y = f (X) . Khi đó mỗi y ∈ Y tồn tại duy nhất x ∈ X để f(x) = y . Coi x ∈ X là biến độc lập thì mọi x ∈ X tồn tại duy nhất y = f −1 (x), x ∈ X để y = f(x) . Ta có hàm y = f −1 (x), x ∈ X , gọi là hàm ngược của hàm y = f(x). Chú ý rằng, chỉ có hàm đơn trị 1-1 mới có hàm ngược. ii) Hàm hợp Cho hai hàm y = f(x), x ∈ X và z = g(y), y ∈ Y sao cho f(X) ⊂ Y. Khi đó ta có hàm (gof)(x) = g(f(x)), x ∈ X gọi là hàm hợp của hai hàm đã cho. Ví dụ 3.16. f (x) = x 2 + 1 và g(x) = cos x thì (gof)(x) = cos(x 2 + 1); (fog)(x) = cos 2 x + 1. Ví dụ 3.17. h(x) = cos 2 x + 2 cos x + 5 có thể coi là hàm hợp của hàm y(x) = cos x và g(y) = y 2 + 2y + 5. http://maths3.wordpress.com 25 Ví dụ 3.18. Từ định nghĩa hàm ngược ta có: f −1 of(x) = x với ∀x ∈ X fof −1 (y) = y với ∀y ∈ Y. 3.2.4 Các hàm sơ cấp Ta gọi hàm sơ cấp đơn giản là những hàm thuộc một trong các loại sau đây i) Hàm hằng số y = f(x) = c, c là hằng số. Hàm hằng số có miền xác định R, miền giá trị là R ii) Hàm luỹ thừa y = x α , α ∈ R Nếu α là số hữu tỷ thì miền xác định của hàm luỹ thừa phụ thuộc vào α. Ví dụ: y = x 1 2 có miền xác định là x ≥ 0, y = x − 1 3 có miền xác định là x = 0. Khi α là số vô tỷ thì ta qui ước miền xác định là x ≥ 0 nếu α > 0và x ≤ 0 nếu α > 0. iii) Hàm mũ: y = a x , a > 0, a = 1 Hàm mũ có miền xác định là R , miền giá trị là 0, +∞ . Nếu α > 1 thì hàm đồng biến, 0 < α < 1 thì hàm nghịch biến. iv) Hàm lôgarit y = log a x, a > 0, a = 1 Hàm lôgarit có miền xác định là 0, +∞ , miền giá trị là R . Nếu a>1 thì hàm đồng biến, 0 < a < 1 thì hàm nghịch biến. Hàm y = log a x, là hàm ngược của hàm y = x α . v) Hàm lượng giác Hàm y = sin x có miền xác định R , miền giá trị [-1,1], là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2π. Hàm y = cos x có miền xác định R , miền giá trị [-1,1], là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ π. vi) Hàm lượng giác ngược Hàm y = arcsin x, x ∈ [−1, 1] là hàm ngược của hàm y = sin x, x ∈ [− π 2 ; π 2 ]. Miền xác định của hàm là [-1,1], miền giá trị là [− π 2 ; π 2 ]. Ta có y = arcsin x ⇔ sin y = x, y ∈ [− π 2 ; π 2 ] Chú ý rằng arcsinx là ký hiệu tất cả các giá trị y mà sinyC =x còn y =arcsinx là giá trị duy nhất y ∈ [− π 2 ; π 2 ] để siny =x. Hàm y = arccos x, x ∈ [−1, 1] có miền xác định là [0, π]. Hàm y = arctgx, x ∈ R có miền xác định là (− π 2 ; π 2 ). Hàm y = arc cot gx, x ∈ R có miền xác định là (0, π). Ta gọi các hàm sơ cấp là hàm cho bởi một công thức trong đó có các hàm sơ cấp đơn giản và một số hữu hạn các phép toán hàm: cộng, trừ, nhân, chia và lấy hàm hợp. Ví dụ 3.19. Các hàm hyperbolic là hàm sơ cấp: shx = e x − e −x 2 , chx e x + e −x 2 , thx = e x − e −x e x + e −x , cthx = e x + e −x e x − e −x http://maths3.wordpress.com 26 Các hàm này có tên gọi theo thứ thự là sin hyperbolicC, cosin hyperbolic, tang hyperbolic và cotang hyperbolic. Các hàm hyperbolic có các tính chất gần tương tự với hàm lượng giácC: thx = shx chx ; cthx = chx shx ; chx(x ±y) = chxchy ± shxshy; sh(x ±y) = shxchy ± chxshy ch 2 x −sh 2 y = 1; ch2x = ch 2 x + sh 2 x; sh2x = 2shx.chx. Ví dụ 3.20. y = |x| không phải là hàm sơ cấp. 3.3 Giới hạn và sự liên tục của hàm số 3.3.1 Giới hạn của hàm số 1. Định nghĩa theo ngôn ngữ dãy. Định nghĩa 3.6. Giả sử x là một tập tuỳ ý trong R. Điểm x 0 ∈ R gọi là điểm tụ của X nếu tồn tại dãy {x n } ⊂ X\{x 0 } sao cho {x n } ⊂ X\{x 0 }. Nếu có thể chọn dãy {x n } như trên nhưng x n > x 0 hoặc x n < x 0 với mọi n ≥ 1 ta nói dãy x 0 là điểm tụ bên phải hoặc bên trái của X. Định nghĩa 3.7. Cho hàm số y = fx trên X\{x 0 } với x 0 là điểm tụ của X. A = lim x→x 0 f(x) ⇔ ∀{x n } ⊂ X\{x 0 }, x n → x 0 : f(x n ) → A. (3.1) Nếu x 0 là điểm tụ bên phải hoặc bên trái của X mà (3.1) thoả mãn với mọi dãy {x n } ⊂ X\{x 0 }, x n → x 0 , x n > x 0 hoặc x n < x 0 ta nói A là giới hạn bên phải hoặc bên trái của hàm y = f(x) khi x → x + 0 hoặc x → x − 0 . Ký hiệu lần lượt là A = lim x→x + 0 f(x), A = lim x→x − 0 f(x). Ta thường gặp trường hợp X = (a, b) và khi đó x 0 ∈ [a, b]. Lưu ý rằng khi x 0 = a hoặc x 0 = b ta chỉ có thể nói tới giới hạn bên phải hoặc bên trái của hàm đã cho. Để đơn giản trong phát biểu, từ nay nếu không có gì nói thêm ta luôn coi X = (a, b). Trong trường hợp x 0 = a = −∞ thì ta viết lim x→−∞ f(x) = A. Nếu x 0 = b = +∞ thì ta viết lim x→+∞ f(x) = A. Ví dụ 3.21. lim x→2 x 2 − 1 x . Với dãy số bất kỳ {x n }, {x n } → 2, x n = 2 , ta có x 2 n − 1 x n → 2 2 − 1 2 = 3 2 Vậy lim x→2 x 2 − 1 x = 3 2 . Ví dụ 3.22. lim x→+∞ 1 x . Với dãy số bất kỳ {x n }, x n → +∞ , ta có 1 x n → 0. Do đó lim x→+∞ 1 x = 0. http://maths3.wordpress.com 27 Ví dụ 3.23. lim x→0 + 1 x Với dãy bất kỳ, {x n }, x n → 0, x n > 0, ta có 1 x n → +∞. Do đó lim x→0 + 1 x = +∞ Ví dụ 3.24. Giới hạn lim x→∞ sin x không tồn tại. Thậy vậy, + Với {x n = nπ} thì x n → +∞ và sin x n → 0; + Với x , n = π 2 + 2nπ , thì x , n → +∞ và sin x  n → 1. Do đó theo định nghĩa giới hạn trên không tồn tại. 2. Định nghĩa theo ngôn ngữ  −δ Định nghĩa 3.8. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a, b)\x 0 , x 0 ∈ [a, b] lim x→x 0 f(x) = A ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (a, b) 0 < |x − x 0 | < δ : |f (x) −A| < ε (3.2) Định nghĩa này chỉ xác định khi x 0 và A thuộc R. Trước hết ta sẽ chứng minh trong trường hợp này định nghĩa theo ngôn ngữ dãy và ngôn ngữ  −δ là tương đương. (3.1) ⇒ (3.2). Nếu trái lại, (3.1) xảy ra nhưng không có (3.2), nghĩa là: ∃ 0 > 0 ∀δ = 1 n ∃x n ∈ (a, b)0 < |x n − x 0 | < 1 n : |f(x n ) −A| ≥  0 . Khi đó ta có dãy {x n } ⊂ (a, b), x n → x 0 , x n = x 0 nhưng không có f(x n ) → A . Vậy ta gặp mâu thuẫn với (3.1). (3.2) ⇒ (3.1). Giả sử có (3.2), nghĩa là ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (a, b) 0 < |x − x 0 | < δ : |f (x) −A| < ε. Xét dãy {x n } ⊂ (a, b), x n → x 0 , x n = x 0 . Chọn N sao cho ∀n > N thì |x n − x 0 | < δ. Khi đó, ta cũng có: |f (x n ) −A| < ε, ∀n > N. Vậy f(x n ) → A và ta có (3.1). 3.3.2 Một số định lí về giới hạn của hàm số Định lý 3.8. Nếu tồn tại các giới hạn lim f (x) x→x 0 = A, lim x→x 0 g(x) = B thì tồn tại các giới hạn sau đây nếu vế phải là xác định: (i) lim x→x 0 [f(x) ± g(x)] = A ± B (ii) lim x→x 0 [f(x).g(x)] = A.B (iii) lim x→x 0 f(x) g(x) = A B Chứng minh. (i) Xét dãy tùy ý {x n }, x n → x 0 . Vì lim f (x) x→x 0 = A. và lim x→x 0 g(x) = B, nên f(x n ) → A và g(x n ) → B . Do đó ta có: g(x n ) ±f (x n ) → A ± B. Vậy lim x→x 0 [f(x) ± g(x)] = A ± B Các tính chất khác chứng minh tương tự . http://maths3.wordpress.com 28 Định lý 3.9 (Nguyên lý kẹp giữa). Cho hàm f(x), g(x), h(x) xác định trên (a, b) \{x 0 }, x 0 ∈ [a, b] và thỏa mãn f (x) ≤ g(x)h(x). Khi đó nếu lim x→x 0 f(x) = lim x→x 0 h(x) = A, thì tồn tại lim x→x 0 (x) = A. Chứng minh. Với dãy tuỳ ý {x n } ⊂ (a, b)\{x 0 }, x n → x 0 . Bởi vì f(x n ) ≤ g(x n ) ≤ h(x n ) và lim n→∞ f(x n ) = lim n→∞ h(x n ) = A nên lim n→∞ g(x n ) = A. Vì dãy {x n } tuỳ ý, nên lim x→x 0 g(x) = A Ví dụ 3.25. Tìm giới hạn lim x→o x sin 1 x . Ta có: x sin 1 x ≤ |x| suy ra −|x| ≤ x sin 1 x ≤ |x| ↓ ↓ 0 0 Do đó: lim x→0 x sin 1 x = 0 3.3.3 Một số ví dụ về tính giới hạn Khi tính giới hạn, ngoài hai giới hạn cơ bản i) lim x→0 sin x x = 1 ii) lim x→±∞ 1 + 1 x x = e từ định nghĩa các hàm sơ cấp đơn giản ta cần chú ý : lim x→±∞ 1 + 1 x x = e lim x→+∞ ln x = +∞, lim ln x = −∞ x→0 + lim x→+∞ arctgx = π 2 , lim x→−∞ arctgx = − π 2 . Từ hai giới hạn cơ bản và định lý 4.1 ta có: lim α(x)→0 sin α(x) α(x) = 1, lim α(x)→0 (1 + α(x)) 1 α(x) = e Ví dụ 3.26. lim x→0 sin 2x sin 3x = 2 3 . lim x→0 sin 2x 2x . 3x sin 3x = 2 3 Ví dụ 3.27. lim x→0 (1 + 2 sin x) 1 x = lim x→0 (1 + 2 sin x) 1 2 sin x . 2 sin x x = lim x→0 [(1 + 2 sin x) 1 2 sin x ] 2 sin x x = e 2 3.3.4 Vô cùng bé, vô cùng lớn 1. Định nghĩa Định nghĩa 3.9. Cho đại lượng α(x) xác định trên (a, b), x 0 ∈ [a, b]. Khi đó α(x) gọi là vô cùng bé (VCB) trên (a,b) khi x → x 0 nếu lim x→x 0 α(x) = 0 ; α(x) gọi là vô cùng lớn (VCL) trên (a, b) khi x → x 0 nếu lim x→x 0 |α(x)| = +∞. http://maths3.wordpress.com 29 2. Tính chất Vì VCB và VCL là những giới hạn, nên theo tính chất của giới hạn ta có: + Tổng hai VCB là một VCB; + Tích của một VCB và một đại lượng bị chặn là một VCB; + Tích hai VCL là một VCL; + Tổng của một VCL và một đại lượng bị chặn là một VCL; + α(x) là VCB và α(x) = 0 thì 1 α là VCL; + α(x) là VCL thì 1 α là VCB; + lim x→x 0 f(x) = A ⇔ f(x) = A + α(x); là VCB khi x → x 0 . 3. So sánh các VCB Nếu α(x) là VCB và α(x) = 0 thì 1 α là VCL. Do đó ta chỉ xét phân loại VCB. Cho α(x) và β(x) là hai VCB khi x → x 0 . Khi đó ta nói: +α(x) là VCB cấp cao hơn β(x) ⇔ lim x→x 0 α(x) β(x) = 0, kí hiệu α(x) = O(β(x)). Như vậy, α(x) = O(β(x)). nếu α(x) → 0 ”nhanh hơn” β(x) → 0. + α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp ⇔ lim x→x 0 α(x) β(x) = A ∈ R\{0}. + α(x) và β(x) là hai VCB tương đương ⇔ lim x→x 0 α(x) β(x) = 1 , kí hiệu α(x) ∼ β(x). Ví dụ 3.28. 3 √ x, x, x 2 , sin x, 1 − cos x là các VCB khi x → 0 . + Vì lim x→0 x 3 √ x = lim x→0 x 2 x = 0 nên x = O( 3 √ x), x 2 = O(x). + Vì lim x→0 sin x x = 1 nên sin x ∼ x. + Vìlim x→0 1 −cos x x 2 = lim x→0 sin 2 x 2 2 x 2 2 = 1 2 nên 1 − cos x và x 2 là hai VCB cùng cấp. Ta cũng thấy 1 −cos x ∼ 1 2 . 4. Ứng dụng VCB để tính giới hạn Trước hết ta nhận xét rằng nếu các VCB α(x) ∼ α ∗ (x), β(x) ∼ β ∗ (x) khi x → x 0 thì lim x→x 0 α(x) β(x) = lim x→x 0 α ∗ (x) β ∗ (x) . α(x) α ∗ (x) β(x) β ∗ (x) = lim x→x 0 α ∗ (x) β ∗ (x) . Do đó có thể dùng VCB để tính giới hạn. Ví dụ 3.29. Tìm lim x→0 sin 2x sin 3x . Ta có: sin 2x ∼ 2x, sin 3x ∼ 3x. Do đó lim x→0 sin 2x sin 3x = lim x→0 2x 3x = 2 3 . [...]... cao 1 Đạo hàm cấp cao Định nghĩa 3.14 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y = f (x) Nếu y = f (x) có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f (x) và kí hiệu là y hay f (x) Nếu đạo hàm cấp hai lại có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số y = f (x) và kí hiệu là y” hay f” ’(x) v.v Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n -1 được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số y... là R Nếu a>1 thì hàm đồng biến, 0 < a < 1 thì hàm nghịch biến Hàm y = loga x, là hàm ngược của hàm y = xα v) Hàm lượng giác Hàm y = sin x có miền xác định R , miền giá trị [-1,1], là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2π Hàm y = cos x có miền xác định R , miền giá trị [-1,1], là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ π vi) Hàm lượng giác ngược π π Hàm y = arcsin x, x ∈ [−1, 1] là hàm ngược của hàm y = sin x, x... {n}, {−n}, {(−1)n n} là các n VCL Một số tính chất của VCB và VCL 1 Tổng hoặc tích của hai VCB là một VCB 2 Tích của một VCB và một đại lượng bị chặn là một VCB 3 Dãy {an } là một VCB khi và chỉ khi {|an |} l một VCB 4 lim an = a ⇔ {an − a} là một VCB n→∞ 5 {an } là VCL và |bn | ≥ |an | với mọi n, thì là một VCL 6 Tích của một VCL và một dãy có giới hạn khác 0 là một VCL 1 7 Dãy {an } là VCL thì {... thành hàm một biến đối với x Nếu hàm này khả vi trên (a; b) thì nó được gọi là vi phân cấp 2 của hàm f (x)và kí hiệu là d2 y như vậy d2 y = d(y ∆x) = (y ∆x) ∆x = y (∆x)2 Bởi vì dx = ∆x nên d2 y = y dx2 Một cách tổng quát ta có thể xác định dn y = y (n) dxn nếu y khả vi cấp n trên (a, b) dn Vì hệ thức này nên đạo hàm cấp n còn có thể vi t y (n) = n dx Vi phân cấp cao không có dạng thức bất định như vi phân. .. đạo hàm cấp n của các hàm số: a) y = emx m ∈ R b) y = sinx Giải a) y (n) = mn emx , n ∈ N∗ b) 8 cos x , > > < − sin x , y=> − cos x , > : sin x , n = 4k + 1 n = 4k + 2 n = 4k + 3 n = 4k 2 Vi phân cấp cao Tương tự như đạo hàm cấp cao ta có thể nói về vi phân cấp cao Cho hàm y = f (x) khả vi trên (a; b) Như đã biết biểu thức dy = f (x0 )∆x gọi là vi phân cấp 1 của hàm f (x) Hàm này phụ thuộc vào hai biến. .. đạo hàm 3.4.2 Vi phân 1 Định nghĩa Định nghĩa 3.13 Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) Ta nói f(x) khả vi tại x0 nếu có thể vi t ∆y = A.∆x + O(∆x) Trong đó A là hằng số O(∆x) là một VCB cấp cao hơn ∆x Nếu f(x) khả vi tại x0 thì biểu thức dy = A∆x gọi là vi phân của hàm f (x) tại x0 Từ định nghĩa ta thấy với ∆x bé thì dy ≈ ∆y Định lý 3.19 y = f(x) khả vi tại... tức thời của chất điểm tại ∆t→0 ∆t thời điểm t0 3 Các quy tắc tính đạo hàm Định lý 3.17 Cho các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại điểm x 1 (u + v) = u + v v(u − v) = u − v 2 (u.v) = uv + u v u u v − vu 3 ( ) = v v2 Định lý 3.18 (Đạo hàm của hàm hợp) Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm theo x, kí hiệu là ux và hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u, kí hiệu là yu thì hàm số y = f(g(x)) có đạo hàm theo... Đại lượng x gọi là đối số hay biến độc lập Miền biến thiên X của x gọi là miền xác định của hàm số Đại lượng y gọi là biến phụ thuộc Nếu quy tắc tương ứng giữa x và y là f thì ta vi t y = f (x), x ∈ X - Tập f (X) = {f (x) : x ∈ X} gọi là miền giá trị của hàm số f Trong trường hợp hàm số cho bởi một công thức y = f (x) mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền xác định của hàm số là tập tất cả các x mà... là hàm lẻ ⇔ f (−x) = −f (x), ∀x ∈ X Ví dụ 3.13 Hàm Dirichlet D(x) = √ Ví dụ 3.14 Hàm y = x2 , y = D(x) là hàm chẵn, y = x3 là hàm lẻ; y = 1 − x hàm là không chẵn, không lẻ iii) Hàm tuần hoàn Hàm y = f (x), x ∈ X gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại T > 0 sao cho x ∈ X thì x + T ∈ X và f (x + T ) = f (x) Số dương T nhỏ nhất (nếu có) gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn Ví dụ 3.15 1 Các hàm sinx, cosx là hàm. .. Tìm giới hạn của dãy số √ √ √ ( ) n2 + 1 n2 + 2 n2 + n an = + + + n2 n2 n2 Ta có √ √ Ê n n2 + n 1 n n2 + 1 ≤ an ≤ ⇔ 1 + 2 ≤ an ≤ 2 2 n n n ↓ ↓ 1 1 Ê 1+ 1 n Do đó lim an = 1 n→∞ 3.2 3.2.1 Hàm số một biến số Hàm số Định nghĩa 3.5 Đại lượng biến thiên y gọi là hàm số của đại lượng biến thiên x trong miền biến thiên X của nó nếu có một quy tắc để mỗi giá trị x ∈ X đều được đặt tương ứng với một giá trị . Chương 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 3.1 Dãy số và giới hạn của dãy số 3.1.1 Định nghĩa giới hạn của dãy số Định nghĩa 3.1. Dãy số thực là một ánh xạ a : N → R n. các VCL. Một số tính chất của VCB và VCL. 1. Tổng hoặc tích của hai VCB là một VCB. 2. Tích của một VCB và một đại lượng bị chặn là một VCB. 3. Dãy {a n } là một VCB khi và chỉ khi {|a n |} l một. có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y  hay f  (x). Nếu đạo hàm cấp hai lại có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số