CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ docx

CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ §3.1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM Cho hàm số :fD và x là điểm trong của D, nghóa là có lân cận ( , )V x x của x chứa trong D. Nếu tỉ số ( ) ( )f s f x sx có giới hạn khi sx thì giá trò của giới hạn này được gọi là đạo hàm của f tại x và được ký hiệu là ()fx , nghóa là, 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim . hsx f s f x f x h f x fx s x h Ta cũng hay viết ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x h f x f s f x và ( ) ,x s x x h x do đó 0 () ( ) lim . x fx fx x Nếu đặt ()y f x thì ()fx còn được ký hiệu là dy dx hoặc x Dy . Nếu hai giới hạn sau đây tồn tại 12 ( ) ( ) ( ) ( ) lim và lim sx sx f s f x f s f x kk s x s x thì hai giá trò k 1 và k 2 lần lượt được gọi là đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải của f tại x. Dó nhiên rằng f có đạo hàm tại x khi và chỉ khi f có đạo hàm hai bên tại x, đồng thời giá trò đạo hàm hai bên bằng nhau. Trường hợp mọi điểm thuộc D đều là điểm trong của D thì ta nói D là tập hợp mở trong , và lúc đó nếu f có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc D thì ta có đạo hàm bậc nhất : ( ), fD x f x và khi hàm số f cũng có đạo hàm thì ta có đạo hàm bậc hai của f là : ( ) ( ) ( ), fD x f x f x lúc đó ()fx cũng được viết là 2 2 dy dx hoặc 2 x Dy (nếu đặt ()y f x ). Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 2 Tổng quát, ta có đònh nghóa đạo hàm bậc n của f theo kiểu qui nạp 1 ( 1) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) hoặc hoặc ( ). nn n n n n x x x nn d y d d y f x f x D y D D y dx dx dx 2. Ý NGHĨA ĐẠO HÀM & ĐỊNH NGHĨA SỰ KHẢ VI Giả sử hàm số :fD có đạo hàm tại x. a) Khái niệm tiếp tuyến Gọi (C) là đồ thò của hàm số f, nghóa là 2 ( ) ; ( )C x f x x D . Xét các điểm thuộc (C) là ; ( )M x f x và ; ( )M s f s thì tỉ số ( ) ( )f s f x sx là hệ số góc cát tuyến MM’ của đường cong (C), tức là giá trò tan của góc lượng giác hợp bởi tia Ox với tia MM’: Theo đònh nghóa đạo hàm, khi sx thì M’ tiến về M trên (C), hệ số góc của cát tuyến MM’ tiến về một giá trò giới hạn k, cũng có nghóa là cát tuyến MM’ di chuyển đến một vò trí giới hạn Mt mà ta gọi là tiếp tuyến tại M của (C). Hệ số góc của tiếp tuyến chính là ( ).k f x Giá trò ()k f x cũng nói lên độ dốc của (C) tại M, hoặc độ biến f(s) f(x) M’ M t x s x O y Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 3 thiên của hàm số f tại x. Do đó, tiếp tuyến Mt của (C) tại điểm ; ( ) MM M x f x có phương trình là ( ) : ( ) ( ).( ) M M M Mt y f x f x x x . b) Khái niệm vận tốc tức thời Trong cơ học, giả sử một động tử chuyển động thẳng trên trục x’Ox sao cho tại thời điểm x, động tử ở vò trí M đònh bởi ( ).OM f x Tại thời điểm x + h, động tử ở vò trí M’ đònh bởi ( ).OM f x h Vậy trong khoảng thời gian h, động tử di chuyển được quãng đường có độ dài đại số là ( ) ( )MM f x h f x và vận tốc trung bình của động tử trong khoảng thời gian đó là ( ) ( )f x h f x h . Khi h tiến về 0, vận tốc trung bình tiến về một giá trò giới hạn ()fx mà ta gọi là vận tốc tức thời của động tử tại thời điểm x. c) Khái niệm khả vi và vi phân Nếu ta đặt ( ) ( ) ( ) ( ) f x h f x h f x h thì ta có ( ) 0h khi 0,h đồng thời ( ) ( ) ( ). . ( )f x h f x f x h h h (1) Từ đẳng thức (1), ta có khái niệm khả vi sau đây Đònh nghóa. Hàm số f được gọi là khả vi tại x, với x là điểm trong của tập xác đònh D, có nghóa là tồn tại hàm số : ( , ) và một số thực k x thỏa hai điều sau: (i) ( , ),h x h D (ii) 0 lim ( ) 0 h h và ( , ), ( ) ( ) . . ( ). x h f x h f x k h h h Dễ thấy rằng f khả vi tại x tương đương với f có đạo hàm tại x. Hơn nữa, khi f khả vi tại x thì số k x trong (ii) cũng là ( ).fx Đẳng thức (1) có thể được viết lại dưới dạng ( ) ( ) ( ).( ) ( ). ( ),f s f x f x s x s x s x Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 4 trong đó ( ) 0sx khi .sx Nếu ký hiệu ,x s x được gọi là số gia của x, và ký hiệu ( ) ( ),y f s f x được gọi là số gia của ()y f x thì đẳng thức trên được viết lại như sau ( ). . ( ).y f x x x x Khi số gia x “rất là nhỏ” thì ta thấy ( ). ,y f x x và ý nghóa của sự xấp xỉ này được ký hiệu bởi đẳng thức ()dy f x dx , ký hiệu dy được gọi là vi phân của hàm số ()y f x tại x. Đẳng thức ()dy f x dx cũng giải thích cho ý nghóa của ký hiệu dy dx để chỉ đạo hàm của ()y f x tại điểm x, nói cách khác 0 lim ( ). x dy y fx dx x Bài tập 1. Dùng đònh nghóa đạo hàm, chứng minh rằng a) Nếu 2 ( ) thì ( ) 2 ;f x x f x x b) Nếu 32 ( ) thì ( ) 3 ;f x x f x x c) Nếu 1 ( ) thì ( ) (với 0); 2 f x x f x x x d) Nếu 3 3 2 1 ( ) thì ( ) (với 0). 3 f x x f x x x 2. Sử dụng đònh nghóa đạo hàm và chấp nhận kết quả 0 sin lim 1, u u u hãy chứng minh đạo hàm của sin là cos; đạo hàm của cos là sin . 3. Khảo sát đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 2 của hàm số f đònh bởi ( ) 2 3.f x x 4. Khảo sát đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 1 của hàm số f đònh bởi 2 ( ) 2 1 .f x x x x Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 5 5. Khảo sát sự khả vi tại x = 0 của hàm số :f đònh bởi 1 sin khi 0, () 0 khi 0. xx fx x x 6. Cho hàm số :f đònh bởi 2 1 sin khi 0, () 0 khi 0. xx fx x x Chứng minh f có đạo hàm tại x = 0 và tính ( ).fx 7. Cho hàm số :f đònh bởi 3 1 sin khi 0, () 0 khi 0. xx fx x x Chứng minh f có đạo hàm cấp hai tại x = 0. Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 6 §3.2. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN 1. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TÍNH ĐẠO HÀM Việc chứng minh các mệnh đề sau đây dành cho sinh viên như là bài tập. Mệnh đề 3.2.1. Nếu hàm số f khả vi (có đạo hàm) tại x thì f liên tục tại x. Mệnh đề 3.2.2. Cho ,:f g D là hai hàm số khả vi tại .xD Ta có các hàm số , ( )f g f và f.g là các hàm khả vi tại x và (i) ( ) ( ) ( ) ( ),f g x f x g x (ii) ( ) ( ) ( ),f x f x (iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).fg x f x g x f x g x Hơn nữa, khi ( ) 0gx thì hàm số 1 g xác đònh trên một lân cận của x và là hàm khả vi tại x với 2 1 ( ) ( ) , () gx x g gx hệ quả là 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . () f f x g x f x g x x g gx Mệnh đề 3.2.3 [Đạo hàm của hàm hợp] Xét các hàm số 12 . fg DD Nếu f khả vi tại 1 xD và g khả vi tại 2 ()y f x D thì hàm hợp ()g f g f khả vi tại x và ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) . ( ).g f x g y f x g f x f x Mệnh đề 3.2.4 [Đạo hàm của hàm ngược] Cho :fD là một đơn ánh. Nếu f khả vi tại xD và ( ) 0fx thì hàm ngược 1 : ( )f f D khả vi tại ( ) ( )y f x f D và 1 1 11 ( ) ( ) . () () fy fx f f y Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 7 2. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN Sử dụng giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản trong chương trước và các mệnh đề ở mục trên, sinh viên có thể chứng minh kết quả sau f(x) f ’(x) 1) , x ex x e 2) ln , 0xx 1 x 3) , 0 và xx 1 x 4) , với 0 1 x aa .ln x aa 5) log , 0 1, 0 a x a x 1 .lnxa 6) sin , xx cos x 7) cos , xx sin x 8) tan , với , 2 x x k k 2 2 1 1 tan cos x x 9) cot , với , x x k k 2 2 1 (1 cot ) sin x x 10) arcsin , với 1 1xx 2 1 1 x 11) arccos , với 1 1xx 2 1 1 x 12) arctan , với xx 2 1 1 x 13) arccot , với xx 2 1 1 x Bài tập 1. Chứng minh các mệnh đề từ 3.2.1 đến 3.2.4. Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 8 2. Sử dụng giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản, hãy chứng minh công thức đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản. Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 9 §3.3. CÁC ĐỊNH LÝ SỐ GIA HỮU HẠN Sinh viên thực hành chứng minh các mệnh đề sau có sự hướng dẫn trên lớp: 1. CÁC ĐỊNH LÝ SỐ GIA HỮU HẠN Đònh lý 3.3.1 [đònh lý Fermat]. Nếu :fD khả vi tại xD và đạt cực trò đòa phương tại x, nghóa là giá trò f(x) hoặc là lớn nhất; hoặc là nhỏ nhất trên một lân cận nào đó của x, thì ( ) 0.fx Ghi chú. Bất kỳ một giá trò x thỏa ( ) 0fx được gọi là điểm dừng của hàm số f. Đònh lý 3.3.2 [đònh lý Roll]. Cho hàm số : [ , ]f a b liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b) và ( ) ( )f a f b thì tồn tại ( , )c a b sao cho ( ) 0.fc Đònh lý 3.3.3 [đònh lý Cauchy]. Cho hai hàm số liên tục , : [ , ]f g a b . Nếu f, g khả vi trên khoảng (a, b) thì tồn tại ( , )c a b sao cho ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ),g b g a f c f b f a g c và khi ( ) ( ) và ( , ), ( ) 0g b g a x a b g x thì đẳng thức trên được viết thành dạng ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) f b f a f c g b g a g c Đònh lý 3.3.4 [đònh lý Lagrange-Giá trò trung bình]. Cho hàm số liên tục : [ , ] .f a b Nếu f khả vi trên (a, b) thì tồn tại ( , )c a b sao cho ( ) ( ) ( ). ( ).f b f a b a f c 2. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LAGRANGE: KHẢO SÁT HÀM SỐ Từ đònh lý giá trò trung bình của Lagrange 3.3.4, ta có mệnh đề sau như là một hệ quả trực tiếp Mệnh đề 3.3.5. Cho hàm số khả vi : ( , )f a b với ,ab . Khi đó Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 10 (i) Nếu ( , ), ( ) 0x a b f x , thì f là hàm số đồng biến. (ii) Nếu ( , ), ( ) 0x a b f x , thì f là hàm số nghòch biến. (iii) Nếu ( , ), ( ) 0,x a b f x thì f là hàm hằng. Mệnh đề 3.3.5 ở trên kết hợp với đạo hàm bậc hai của f cũng cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra f có đạt cực trò đòa phương tại một điểm dừng hay không, cụ thể là Mệnh đề 3.3.6. Cho : ( , )f a b có đạo hàm bậc hai trên (a, b). (i) Nếu ( ) 0 và ( ) 0f x f x thì f đạt cực đại đòa phương tại x. (ii) Nếu ( ) 0 và ( ) 0f x f x thì f đạt cực tiểu đòa phương tại x. Chứng minh. Ta chứng minh (ii), phần (i) tương tự. Theo đònh nghóa về tính khả vi tại x của hàm số f , ta có lân cận V của x sao cho , ( ) ( ) ( ).( ) ( ). ( )t V f t f x f x t x t x t với lim ( ) 0. tx t Với t thuộc lân cận V 1 của x đủ nhỏ (ý nói t đủ gần x) thì ( ) ( ) 0,f x t và 2 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.t V f t f x t x f x t t x Mặt khác, ( ) 0fx nên ta có hai điều sau 1 , nếu thì ( ) 0,t V t x f t 1 , nếu thì ( ) 0.t V t x f t Từ hai điều trên và áp dụng đònh lý Lagrange cho hàm số f, với mọi giá trò s thuộc V 1 , tồn tại một số t nằm giữa s và x sao cho ( ) ( ) ( )( ) 0,f s f x f t s x nghóa là f đạt cực tiểu đòa phương tại x. Kết thúc chứng minh.  Mệnh đề 3.3.5 và 3.3.6 là cơ sở cho việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số mà sinh viên đã làm quen ở trung học phổ thông. Bài tập 1. Cho 1 , ( , ).u v C a b Giả sử rằng hàm số u v uv không triệt tiêu trên (a, b). Chứng minh rằng giữa hai nghiệm x 1 < x 2 của phương [...]... 3. 4 ĐỊNH LÝ TAYLOR VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ Khi f có đạo hàm tới bậc n, thì do mệnh đề 3. 3.1, các đạo hàm bậc thấp hơn (với qui ước f (0) cấp n trên D và f ( n) f ) cũng liên tục Nếu f có đạo hàm là hàm số liên tục trên D thì ta nói f thuộc lớp Cn trên D, ký hiệu là f Cn ( D) 1 ĐỊNH LÝ KHAI TRIỂN HÀM SỐ THÀNH ĐA THỨC Đònh lý 3. 4.1 [đònh lý Taylor với dư số Lagrange] Cho f Cn 1 (Va ) với Va là một lân cận của. .. Sinh vi n tự kiểm chứng rằng với mọi t thuộc Va, ta có f (n 1) (t) Q( x) ( x t)n ( x t)n n! n! Như vậy F thỏa giả thiết của đònh lý Roll, do đó tồn tại một giá trò  F (t) nằm giữa a và x sao cho F ( ) 0, suy ra Q( x) f (n 1) ( ) và ta kết thúc chứng minh  2 XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG ĐA THỨC Đònh lý 3. 4.2 [Khai triển Taylor với dư số Peano] Cho f Cn 1 (Va ) với Va là một lân cận của a Giả sử f có đạo hàm. .. bậc n của f xung quanh điểm a, f ( x) Pn ( x) 0 theo nghóa lim x a ( x a)n Ghi chú Người ta dùng ký hiệu o( x : Va thỏa tính chất lim x a ( x) (x a)n ta có thể vi t 13 a)n để chỉ cho bất kỳ hàm số 0 Do đó, trong đònh lý trên, Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung n f ( x) Đại lượng o( x k 0 f ( k) (a) (x k! a)k o( x a)n , với x Va a)n được gọi là dư số Peano của khai... Giải Tích Hàm Một Biến Từ (1) và (2) ta suy ra lim t g(t) Qn 1 (t) a)n (t a 1 g ( k) (a) ( x a) k 1 (k 1) ! k 1 lim t a (t a)n g ( x) Pn ( x) ( x a)n lim 0, t a ( x a)n (t a)n n 1 g ( x) lưu ý trong đẳng thức cuối cùng là do đònh lý kẹp và (x a)n (t a)n 1 Vậy ta kết thúc chứng minh  Đònh lý 3. 4 .3 [tính duy nhất của xấp xỉ tối hảo] Cho f Cn 1 (Va ) với Va là một lân cận của a Giả sử f có đạo hàm đến... triển Taylor Chứng minh Trường hợp n 1 , theo đònh nghóa đạo hàm của f tại f ( x) P ( x) f ( x) f (a) 1 điểm a thì lim lim f (a) 0, nghóa là x a x a x a x a đònh lý đúng khi n 1 Giả sử đònh lý đúng với giá trò n 1 Theo phép qui nạp, ta sẽ chứng minh đònh lý đúng với giá trò n bất kỳ g minh lim t G(t) 1 , nghóa là xét hàm số n C (Va ) và g có đạo hàm cấp n g(t) (t a Qn 1 (t) a) 0 với Qn 1 (t) n 1 1 tại... gọi là dư số Lagrange trong công thức Taylor b) Công thức (T) được gọi là công thức khai triển Taylor của f đến bậc n xung quanh điểm a c) Trường hợp a = 0 thì công thức (T) được gọi là công thức khai triển Mac-Laurin của f đến bậc n 12 Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến Chứng minh Đặt Q(x) là biểu thức sao cho f ( x) n k 0 f ( k) (a) (x k! Q( x) (x (n 1) ! a) k a)n 1 Xét hàm số F đònh... vậy, áp dụng đònh lý Lagrange cho hàm G đònh bởi g(t) Qn 1 (t) , lưu ý là G(a) 0, ta có một giá trò x nằm giữa a và t sao cho g(t) Qn 1 (t) G(t) G(a) G ( x).(t a), suy ra g(t) Qn 1 (t) g ( x) Mặt khác, hàm số f g ( k) (a) (x 1) ! 1 (k n 1 k a) k 1 (t a) (1) g thuộc lớp Cn 1 (Va ) và f có đạo hàm cấp n tại điểm a Từ giả thiết qui nạp, “đònh lý đúng với n” áp dụng cho hàm f g , ta có lim x a g ( x) (x... tại điểm a Khi đó, xấp xỉ tối hảo đến bậc n của f xung quanh điểm a là duy nhất, có nghóa là nếu n Q( x) là đa thức thỏa lim x a k 0 f ( x) (x a)k (với x ak ( x Q( x) a) 0 thì ak n Va ) f ( k) (a) , k k! 0, n Chứng minh Theo đònh lý 3. 4 .3, ta có n f ( x) do đó 0 lim x a f ( x) (x k 0 Q( x) a) n f ( k) (a) (x k! lim x n a k 0 a) k f ( k) (a) k! quả này, sinh vi n hãy tự suy ra ak 15 o( x ak a)n , 1 (x...Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến trình u( x) 0 (nếu có nghiệm), có ít nhất một nghiệm của phương trình v( x) 2 0 a0 Chứng minh rằng nếu trình ẩn x: a0 xn n a1 xn an a1 n 1 1 2 an 1 x 1 an an 0 thì phương 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0, 1) 3 Giả sử phương trình a0 xn x0 1 Cho f ( x) 1)a1 xn (n xm (1 1 an 1 x 2 an 0 có nghiệm . CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ 3. 1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM Cho hàm số :fD và x là điểm trong của D, nghóa là có lân cận ( , )V x x của x chứa trong. 3. 2. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN 1. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TÍNH ĐẠO HÀM Vi c chứng minh các mệnh đề sau đây dành cho sinh vi n như là bài tập. Mệnh đề 3. 2.1. Nếu hàm số. đề 3. 3.5 và 3. 3.6 là cơ sở cho vi c khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số mà sinh vi n đã làm quen ở trung học phổ thông. Bài tập 1. Cho 1 , ( , ).u v C a b Giả sử rằng hàm số