CHƯƠNG 3 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN pdf

CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Trong thực tế, phần lớn các bài toán mà ta gặp thường liên quan đến các hàm có nhiều hơn một biến.. Thật vậy, xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Thể t

CHƯƠNG 3

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Trong thực tế, phần lớn các bài toán mà ta gặp thường liên quan đến các hàm có nhiều hơn một biến Thật vậy, xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Thể tích của một khối trụ tròn xoay phụ thuộc vào bán kính đáy R và chiều cao h của nó bởi vì ta có công thức V .R h2 Vì thế ta có thể nói V là một hàm theo hai biến R và h và có thể viết:   2

V R h  R h

Ví dụ 2: Nhiệt độ T tại một điểm trên bề mặt trái đất ở một thời điểm cho trước nào đó phụ thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y của điểm đó Vì thế ta có thể cho rằng T là một hàm của hai biến x và y và có thể viết T  f x y , 

Ví dụ 3: Vào tháng 5/2006, một nhóm sinh viên khoa kinh tế, ĐHQG TPHCM, đã tiến hành điều tra về tiền lương của viên chức làm tại các công sở trên địa bàn thành phố

Họ đã đưa ra kết quả phân tích như sau:

Trong đó, WAGE là tiền lương; MBA là trình độ học vấn; FL là trình độ ngoại ngữ; EXPER là chỉ số năm công tác Như vậy, tiền lương WAGE là một hàm theo 3 biến: MBA, FL và EXPER

gọi là miền giá trị của hàm số f

Chú ý: Theo định nghĩa trên thì miền xác định của f thuộc 2, còn miền giá trị của

nó thuộc Hàm số n biến số f x 1 , , , x2 x n được định nghĩa tương tự

Ví dụ 4: Hàm chi phí của hai sản phẩm

Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm A và B Hàm chi phí mỗi tuần của mỗi loại sản phẩm như sau:

x y,  sao cho biểu thức f x y ,  có nghĩa

Ví dụ 5: Hàm số z2x3y5 xác định với mọi cặp x y ,  2, miền xác định của nó

y

x

1

1 O

 Khi cho x,y dần về 0 ( (x,y) dần về gốc

tọa độ thì ta có bảng giá trị của hàm số f(x,y) như sau:

y

-1 0.45 0.76 0.83 0.84 0.83 0.76 0.45 -0.5 0.76 0.96 0.99 0.99 0.99 0.96 0.76 -0.2 0.83 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 0.83

0.2 0.83 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 0.83 0.5 0.76 0.96 0.99 0.99 0.99 0.96 0.76

3.2 Định nghĩa Nếu f(x,y) dần về L1 khi (x,y) tiến về (x0,y0) dọc theo đường cong C1

và f(x,y) dần về L2 khi (x,y) tiến về (x0,y0) dọc theo đường cong C2 mà L1L2thì

4 Tính liên tục của hàm số hai biến số

Cho hàm số f x y ,  xác định trong miền D M0x y0 , 0 là điểm thuộc D Ta nói rằng hàm số f x y ,  liên tục tại M0 nếu:

  (xem ví dụ 5) nên G x y ,  không liên tục tại

0, 0 Tóm lại G x y ,  liên tục tại mọi điểm x y ,  0, 0

tại x y0 , 0 và được ký hiệu là: f xx y0 , 0 hay f x y0, 0

số và lấy đạo của f đối với y

Trong tính tóan người ta thường ký hiệu đạo hàm riêng theo các cách sau:

và tính đạo hàm của f đối với biến số ấy

Ví dụ 18: Tính các đạo hàm riêng của hàm số ze x y2

2 Đạo hàm riêng cấp cao

Các đạo hàm riêng f x, f y gọi là đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số z f x y ,  Chúng là những hàm số của x y,  Vì vậy có thể xét các đạo hàm riêng của chúng:  f x x,  f x y,

 f y x,  f y y gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f x y ,  Ta dùng các ký hiệu sau:

Ta thừa nhận mà không chứng minh định lý quan trọng sau:

Định lý Schwarz: Nếu hàm số f x y ,  có các đạo hàm riêng f xy và f yx trong một miền D và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tịa điểm x y0 , 0D thì

 0 , 0  0 , 0

f x y  f x y

Ta đã thấy kết quả này ở ví dụ 19 Từ định lý Schwarz dễ dàng suy ra rằng

3 Vi phân toàn phần

3.1 Định nghĩa: Biết rằng nếu hàm số của một biến số f x  xác định trong khoảng

I  và nếu tồn tại đạo hàm f ' x0 , x0 I thì số gia f x 0  f x 0  x f x 0 , trong đó x0  x I, có thể được biểu diễn dưới dạng:

 0 ' 0

trong đó   0 khi  x 0 Biểu thức f ' x0 x ( phần chính của f x 0 khi  x 0)

gọi là vi phân của f x  tại x0 Vậy nếu đạo hàm f' x0 tồn tại thì f x  khả vi tại x0 Bây giờ, xét hàm số hai biến số f x y ,  xác định trong miền 2

trong đó A B, là những số không phụ thuộc x, y, còn  0 và  0 khi

 x, y0, 0 (tức là M M0) thì ta nói rằng hà số f x y ,  khả vi tại M0, biểu thức A x  B y gọi là vi phân toàn phần của hàm số f x y ,  tại x y0 , 0 ứng với các số gia x, y và được ký hiệu là df x y 0 , 0

Nếu hàm số f x y ,  khả vi tại x y0 , 0 thì nó liên tục tại đó, vì từ công thức (3.1) suy

ra f x y 0 , 0 0 khi  x, y0, 0

Hàm số f x y ,  gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D

Chú ý 2: Nếu f x y ,  khả vi tại x y0 , 0 thì nó tồn tại các đạo hàm riêng

3.2 Điều kiện khả vi của hàm số nhiều biến số

3.2 Định lý Nếu hàm số f x y ,  có đạo hàm riêng trên một miền D chứa điểm

liên tục trên toàn 3

nên hàm số u khả vi trên toàn 3

và

due dxxze dyxye dze dxxzdyxydz

Ví dụ 25: Tính vi phân toàn phần của các hàm số

P x y dxQ x y dy là một vi phần toàn phần của một hàm số f x y ,  nào đó

3.4 Định lý Giả sử các hàm số P x y , , Q x y ,  có các đạo hàm riêng liên tục trong một miền D nào đó Biểu thức P x y dx ,  Q x y dy ,  là một vi phân toàn phần khi và chỉ khi:

df P x y dxQ x y dy Việc tìm hàm số f x y ,  được trình bày trong ví dụ sau

Ví dụ 29: Chứng minh rằng biểu thức sau đây là vi phân toàn phần

* Trường hợp 1: Cho hàm số z f u v ,  trong đó uu x , vv x  là những hàm

số của x Ta nói rằng z f u x v x    ,  là hàm số hợp của x qua các biến số trung

Theo công thức trên ta có:

Để tính đạo hàm riêng của x đối với hàm số z ta xem y không đổi, khi đó

z f u x y v x y là hàm số hợp của một biến số độc lập x thông qua hai biến số

trung gian u v, Do định lý 1, ta có

b) z sin cosu v, trong đó uxy2, vx2 y2

Chú ý 2: Quy tắc tính đạo hàm của ham số hợp cũng được mở rộng cho trường hợp

hàm số f phụ thuộc vào nhiều biến số trung gian hơn và các biến số trung gian phụ

thuộc nhiều biến số độc lập hơn

4.3 Đạo hàm của hàm số ẩn

4.3.1 Định nghĩa hàm ẩn

Xét phương trình F(x,y) = 0 (4.3) , nói chung không giải ra đối với y, trong đó F(x,y)

là một hàm số xác định Nếu   x E thì (4.3) có nghiệm duy nhất y = f(x) thì y được

gọi là hàm ẩn theo biến số x trên E

không thể biểu diễn dưới dạng y f x 

Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số F x y ,  khả vi trừ một số điểm, hàm số

F x y x y  axy khả vi trên toàn 2

nên theo công thức (4.4) ta có

y y

Ta nói rằng hàm số hai biến số z f x y ,  là hàm số ẩn xác định bởi phương trình:

  , nếu xyz cosxyz

Vì F x y z , , xyz cosxyz khả vi trên 3

nên công thức trên cho ta

5 Cực trị của hàm số hai biến số

5.1 Định nghĩa Ta nói rằng hàm số z f x y ,  đạt cực trị tại điểm M0x y0 , 0 nếu với mọi điểm M x y ,  khá gần với M0 nhưng khác M0 một hiệu f M  f M 0 có dấu không đổi, nếu f M  f M 0 0 thì f M 0 là cực tiểu, nếu f M  f M 0 0 thì

 0

f M là cực đại Cực đại và cực tiểu được gọi chung là cực trị và điểm M0 được gọi

là điểm cực trị

Ví dụ 41: Hàm số zx y đạt cực tiểu tại 0, 0 vì x y 0, x y,   0, 0

5.2 Điều kiện cần của cực trị

Định lý Nếu hàm số f x y ,  đạt cực trị tại điểm M0x y0 , 0 và tại đó các đạo hàm riêng tồn tại thì:

 0 , 0 0;  0 , 0 0

Điều kiện (5.1) là điều kiện cần của cực trị, nó không là điều kiện đủ vì tại những điểm

mà các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 chưa chắc hàm số đạt cực trị Tuy nhiên định lý sau đây cho phép ta chỉ tìm cực trị tại những điểm mà ở đó các đạo hàm riêng cấp 1

đều bằng 0, gọi là điểm dừng

5.3 Điều kiện đủ của cực trị

Định lý Giả sử rằng M0x y0 , 0 là một điểm dừng của hàm số f x y ,  và hàm số

Vì z xx  2; z xy  0; z yy 2 nên B AC  4 0, còn C 2  0, vậy ham số đạt cực tiểu tại điểm  2, 1 và 2 2  

Phương trình này có hai nghiệm x0; x1

Vậy ta có hai điểm dừng M00, 0 và M11, 1

Vì z xx 6 , x z xy 3, z yy 6y nên:

Tại M00, 0 ta có 2

9 0

B AC  , điểm M0 không là điểm cực trị

Tại M1 1,1 ta có B2AC 9 36 270, C 6  0, M1 là điểm cực tiểu,

z M z  z x y z x y Hiệu ấy là dương nếu

điểm M x y ,  nằm trong góc phần tư thứ nhất, là âm nếu M x y ,  nằm trong góc phần

tư thứ ba Do đó dấu của hiệu z M z M 0 thay đổi ở lân cận điểm M0 nên M0

không là điểm cực trị

Chú ý: Cực trị của hàm số 3 biến số (*) trong đó các biến số x y z, , thỏa mãn điều

kiện (**) gọi là cực trị có điều kiện (hay cực trị tương đối) Trong ví dụ 45, ta đã thấy

bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm số 3 biến số f x y z , ,  vào điều kiện

y x được đưa về bài toán tìm cực trị của hàm số một biến số f x , x : F x 

Ví dụ 46: Cho hàm lợi nhuận   2 2

2/ Phương pháp nhân tử Lagrange

Điều kiện cần: Xét bài toán cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện (x, y)0 Giả

sử hàm số z đạt cực trị có điều kiện tại M0(x0,y0) và các hàm số f(x,y) và (x, y)có các đạo hàm riêng cấp 1 tại M (x , y )0 0 0 Khi đó tồn tại   sao cho

  đgl nhân tử Lagrange M0(x0,y0) đgl điểm dừng ứng với  

Đặt L(x, y, ) f (x, y) (x, y) thì L đgl hàm Lagrange và hệ (1) tương đương với

Điều kiện đủ: Xét bài toán cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện (x, y)0.Giả

sử M0(x0,y0) là điểm dừng ứng với   ( tức là (x , y , )0 0  thỏa hệ (1)) và các hàm số f(x,y) và (x, y)có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục

* Nếu |H| < 0 thì hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại M0(x0,y0)

* Nếu |H| > 0 thì hàm số đạt cực đại có điều kiện tại M0(x0,y0)

* Nếu |H| = 0 thì ko có kết luận về cực đại, cực tiểu của hàm số tại M0(x0,y0)

Ví dụ 52: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền 2 lọai sản phẩm Biết hàm cầu của hai sản