Bài tập Giải tích: Phép tính tích phân pot

 √ x 2 ± adx = x 2 √ x 2 ± a ± a 2 ln    x + √ x 2 ± a    + C a > 0  √ a 2 − x 2 dx = x 2 √ a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C a > 0  dx √ a 2 − x 2 = arcsin x a + C a > 0  dx √ x 2 ± a = ln    x + √ x 2 ± a    + C a > 0  dx x 2 + a 2 = 1 a arctan x a + C a = 0  dx a 2 − x 2 = 1 2a ln     a + x a − x     + C a = 0  e ax cos bx = b sin bx + a cos bx a 2 + b 2 e ax + C a = 0  e ax sin bx = a sin bx − b cos bx a 2 + b 2 e ax + C a = 0  dx sin x = ln    tan x 2    + C x = kπ  dx cos x = ln    tan  x 2 + π 4     + C x = π 2 + kπ •  dx x 4 − 1 •  1 + 2x 2 x 2 (1 + x 2 ) dx •  √ x 2 + 1 + √ 1 − x 2 √ 1 − x 4 dx •  √ x 2 + 1 − √ 1 − x 2 √ x 4 − 1 dx •  √ x 4 + x −4 + 2 x 3 dx •  2 3x − 1 e x − 1 dx •  2 2x − 1 √ 2 x dx •  dx x(2 + 2 x) •  3 √ 2 x x dx •  e x + e 2x 1 − e x dx •  e x dx 1 + e x •  sin 2 x 2 dx Phép tính tích phân trên R 1 Bài tập Giải tích II K53 -Toán tin ĐHKHTN •  2 xdx •  √ 1 + sin 2xdx x ∈  0, π 2  •  e cos x sin xdx •  e x cos e x dx •  1 1 + cos x dx •  dx sin x + cos x •  1 + cos x (x + sin x) 3 dx •  sin 2x  1 − 4 sin 2 x dx •  sin x  2 − sin 2 x dx •  sin x cos x  3 − sin 4 x dx •  3x 1 + 9x 2 dx •  x + √ 2x 1 + 4x 2 dx •  sin x − cos x √ 1 − x 2 dx •  x + sin 3 2x √ 1 − 4x 2 dx •  x + cos 3/2 x √ 1 − x 2 dx •  x|x|dx •  (2x − 3)|x − 2|dx •  f(x)dx f(x) =  1 − x 2 , |x|  1, 1 − |x|, |x| > 1.  e 2x 4 √ e x + 1 dx  dx √ e x + 1  e 2x e x − 1 dx  √ 1 + x x dx  √ 1 + x x x dx  dx e x/2 + e x  √ x √ x dx 1 + x  √ e 3x + e 2x dx  e 2x 2 +2x−1 (2x + 1)dx  dx √ e x − 1  e 2x dx √ e 4x + 1  2 x dx √ 1 − 4 x  dx 1 + √ x + 1  x + 1 x √ x − 2 dx  dx √ ax + b + m  dx 3 √ x( 3 √ x − 1)  dx (1 − x 2 ) 3/2  dx (x 2 + a 2 ) 3/2  dx (x 2 − 1) 3/2  √ a 2 − x 2 dx  √ a 2 + x 2 dx  x 2 √ a 2 + x 2 dx  dx x 2 √ x 2 + a 2  x 2 dx √ a 2 − x 2  dx x √ x 2 − a 2 Phép tính tích phân trên R 2 Bài tập Giải tích II K53 -Toán tin ĐHKHTN •  x2 x dx •  x 2 e −x dx •  x 3 e −x 2 dx •  (x 3 + x)e 5x dx •  sin xdx •  x sin xdx •  x 2 sin 2xdx •  xdx •  √ xdx •  x 3 xdx •  ( x) 2 xdx •  ( sin x) 2 dx •  sin x √ x + 1 dx •  sin x x 2 dx •  x x √ 1 + x 2 dx •  sin √ x √ 1 − x dx •  ln xdx •  √ x ln 2 xdx •  ln(x+ √ 16 + x 2 )dsx •  x ln(x + √ 1 + x 2 ) √ 1 + x 2 dx •  sin x ln( x)dx •  x 2 ln(1 + x)dx •  x 2 sin 2xdx •  x 3 cos(2x 2 )dx •  e x sin xdx •  3 x cos xdx •  e 3x (sin 2x−cos 2x)dx •  xe 2x sin 5xdx •  x 2 e x sin xdx •  x 2 e x cos xdx •  x 2 sin(ln x)dx • I n =  x n e ax dx a = 0 • I n =  ln n xdx • I n =  x α ln n xdx α = −1 • I n =  x n dx √ x 2 + a n > 2 • I n =  sin n xdx n > 2 • I n =  cos n xdx n > 2 • I n =  dx cos n x n > 2  xdx (x + 1)(x + 2)(x − 3)  2x 4 + 5x 2 − 2 2x 3 − x − 1 dx  2x 3 + x 2 + 5x + 1 (x 2 + 3)(x 2 − x + 1) dx  x 4 + x 2 + 1 x(x − 2)(x + 2) dx Phép tính tích phân trên R 3 Bài tập Giải tích II K53 -Toán tin ĐHKHTN  dx x(x − 1)(x 2 − x + 1) 2  x 4 − x 2 + 1 (x 2 − 1)(x 2 + 4)(x 2 − 2) dx  3x 2 + 5x + 12 (x 2 + 3)(x 2 + 1) dx  (x 4 + 1)dx x 5 + x 4 − x 3 − x 2  x 3 + x + 1 x 4 − 1 dx  x 4 1 − x 4 dx  3x + 5 (x 2 + 2x + 2) 2 dx  x 4 − 2x 2 + 2 (x 2 − 2x + 2) 2 dx  x 2 + 2x + 7 (x − 2)(x 2 + 1) 3 dx  x 2 (x + 2) 2 (x + 1) dx  x 2 + 1 (x − 1) 3 (x + 3) dx  dx x 5 − x 2  3x 2 + 8 x 3 + 4x 2 + 4x dx  2x 5 + 6x 3 + 1 x 4 + 3x 2 dx  x 3 + 4x 2 − 2x + 1 x 4 + x dx  x 3 − 3 x 4 + 10x 2 + 25 dx  dx √ 2x − 1 − 3 √ 2x − 1  xdx (3x − 1) √ 3x − 1   1 − x 1 + x dx x  3  x + 1 x − 1 dx x + 1  √ x + 1 − √ x − 1 √ x + 1 + √ x − 1 dx  xdx √ x + 1 − 3 √ x + 1  (x − 2)  1 + x 1 − x dx  3  x + 1 x − 1 dx (x − 1) 3  dx  (x − 1) 3 (x − 2)  dx 3  (x − 1) 2 (x + 1)  dx 3  (x + 1) 2 (x − 1) 4  dx 4  (x − 1) 3 (x + 2) 5  dx 3  (x − 1) 7 (x + 1) 2  dx 6  (x − 7) 7 (x − 5) 5  dx n  (x − a) n+1 (x − b) n−1 a = b  √ x + 1 − √ x − 1 √ x + 1 + √ x − 1 dx Phép tính tích phân trên R 4 Bài tập Giải tích II K53 -Toán tin ĐHKHTN  dx x √ x 2 + x + 1  dx (x − 2) √ −x 2 + 4x − 3  dx (x + 1) √ 1 + x − x 2  dx (x − 1) √ x 2 + x + 1  (x − 1)dx (x 2 + 2x) √ x 2 + 2x  5x + 4 √ x 2 + 2x + 5 dx  x − 1 3 (1 − x 1/6 ) −1 dx  x − 2 3 (1 + x 1 3 ) −3 dx  x − 1 2 (1 + x 1 4 ) −10 dx  x  1 + 3 √ x 2 dx  x 3 (1 + 2x 2 ) − 2 3 dx  dx x 4 √ 1 + x 2  dx x 2 (1 + x 3 ) 5/3  dx √ x 3 3  1 + 4 √ x 3  dx 3 √ x 2 ( 3 √ x + 1) 3  3 √ x  3 √ x + 1 dx  dx x 6 √ x 2 − 1  dx x 3 √ 1 + x 5  x 7 √ 1 + x 2 dx  dx 3 √ 1 + x 3  dx 4 √ 1 + x 4  3 √ x − x 3 dx •  cos 4 xdx •  sin 5 xdx •  sin 3 x cos 2 xdx •  cos 3 x sin 5 xdx •  dx sin 2x •  dx cos x 3 •  dx cos x 3 •  sin x + cos x sin 2x dx •  sin 2 x cos 6 x dx •  sin 3x cos xdx •  sin x 3 cos 2x 3 dx Phép tính tích phân trên R 5 Bài tập Giải tích II K53 -Toán tin ĐHKHTN •  cos 3 x sin 2 x dx •  sin 3 x cos 2 x dx •  cos 3 x sin 5 x dx •  dx 3 + 5 cos x •  dx sin x + cos x •  3 sin x + 2 cos x 2 sin x + 3 cos x dx •  dx 1 + sin x + cos x •  dx (2 − sin x)(3 − sin x) •  sin 3 x cos 5 xdx •  sin 2 x cos 4 xdx •  sin 4 x cos 6 xdx •  sin 4 x cos 2 xdx •  sin 4 x cos 5 xdx •  sin 3 x cos x 3 √ cos x dx •  dx 3 √ sin 11 x cos x •  sin 3 x 3 √ cos 2 x dx •  3 √ cos 2 x sin 3 xdx •  dx 4 √ sin 3 x cos 5 x  sin 7x sin x dx  dx x 4 ± 1  dx 4 √ x 4 + 1  1 − √ x + 1 1 + 3 √ x + 1 dx  dx x + √ x 2 − x + 1  dx sin 3 x  dx cos 3 x  dx 1 + ε cos x 0 < ε < 1 ε > 1  tanh 2 xdx  sinh x cosh x  sinh 4 x + cosh 4 x dx  dx sinh 2 x cosh 2 x Phép tính tích phân trên R 6 Bài tập Giải tích II K53 -Toán tin ĐHKHTN 0 < a < b f(x) =  x x ∈ [a, b] ∩ Q, 0 x ∈ [a, b]\Q. • f • f g : [0, 1] → R g(x) =  1 x = 1 n , n ∈ N, 0 . • g • g  1 0 g (x) dx lim n→∞  1 n+1 + 1 n+2 + + 1 n+2n  lim n→∞ n 2  1 n 3 +1 3 + 1 n 3 +2 3 + + 1 n 3 +n 3  lim n→∞  1 k +2 k + +n k n k+1  k  0 lim n→∞ 1 n n  (n + 1) (n + 2) (n + n) lim n→∞  sin n n 2 +1 2 + sin n n 2 +2 2 + + sin n n 2 +n 2  lim n→∞  2 1 n n+ 1 1 + 2 2 n n+ 1 2 + + 2 n n n+ 1 n  lim n→∞  sin π n+1 1 + sin 2π n+1 2 + sin nπ n+1 n  . f [0, 1] lim n→∞ n  1 n n  i=1 f  i n  −  1 0 f (x) dx  = f (1) − f (0) 2 . Phép tính tích phân trên R 7 Bài tập Giải tích II K53 -Toán tin ĐHKHTN f f  lim n→∞ n 2   1 0 f (x) dx − 1 n n  i=1 f  2i − 1 2n   = f  (1) − f  (0) 24 . f [0, 1]  π 0 xf (sin x) dx = π 2  π 0 f (sin x) dx. f [0, 1]  1 0 f (x) f (x) + f (1 −x) dx. f [a, b]  b a f (x) dx = 0 f f [a, b]  b a f (x) g (x) dx = 0 g [a, b] f  π 2 0 sin n xdx  π 2 0 cos n xdx  π 4 0 tan 2n xdx  π 4 0 sin x sin x + cos x dx  π 0 x sin x 1 + cos 2 x dx  1 −1 dx (e x + 1) (x 2 + 1)  3 0 sgn  x − x 3  dx  π 2 0 dx 1 + tan 2008 x f, g [0, T ] g T lim n→∞  T 0 f (x) g (nx) dx = 1 T  T 0 f (x) dx  T 0 g (x) dx. lim n→∞  π 0 sin x 1 + 3 cos 2 nx dx Phép tính tích phân trên R 8 Bài tập Giải tích II K53 -Toán tin ĐHKHTN f [a, b] θ ∈ [a, b]  θ a f (t) dt =  b θ f (t) dt. f, g [a, b] θ 1 , θ 2 ∈ [a, b] g (θ 1 )  b a f (x) dx = f (θ 1 )  b a g (x) dx g (θ 2 )  θ 2 a f (x) dx = f (θ 2 )  b θ 2 g (x) dx. f, g [a, b] θ ∈ (a, b) f (θ)  θ a f (x) dx − g (θ)  b θ g (x) dx = 1. f [0, 1] θ ∈ (0, 1)  1 0 f (x) dx = f (0) + 1 2 f  (θ) . f [0, 1] θ ∈ (0, 1)  1 0 f (x) dx = f (0) + 1 2 f  (0) + 1 6 f  (θ) . f(x) g(x) [a, b] ξ ∈ [a, b]  b a f(x)g(x)dx = f(a)  ξ a g(x)dx + f(b)  b ξ g(x)dx. f, g : [a, b] → [0, ∞) g  b x f(t)dt ≥  b x g(t)dt x ∈ [a, b]  b a f 3 (x)dx ≥  b a g 3 (x)dx. Phép tính tích phân trên R 9 Bài tập Giải tích II K53 -Toán tin ĐHKHTN lim n→∞  n 4  n+1 n xdx x 5 + 1  lim n→∞  n 3  2n n xdx x 5 + 1  lim n→∞  2 1 ln  x + x 5 n  dx lim n→∞  1 3π  2π π xdx arctan (nx)  n lim n→∞  π 2 0 e −n sin x dx lim n→∞  π 0 n √ x sin xdx lim n→∞  π 2 0 sin n x √ 1 + x dx lim x→+∞ 1 √ x  x 0 ln  1 + 1 √ t  dt lim x→+∞ x  1 x cos t t 2 dt lim x→0+  x 2 0 sin √ tdt x 3 lim x→0+  1 x 2  x 0 t 1+t dt  lim x→0   1 0 f p (x) dx  1 p f [0, 1] lim x→−∞   1 0 f p (x) dx  1 p f [0, 1] r =  sin θ 3  3 0  θ  3π x 3 + y 3 = 3xy r = 1 + cos t θ = t − tan t 2 0  t  β < π r = aθ 0 ≤ θ ≤ 2π r 2 = a 2 cos 2θ r = a(1 + cos θ) x 3 + y 3 = 3axy x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 x = a(t − sin t) y = a(1 − cos t) 0 ≤ t ≤ 2π r = a(1 + cos 3θ) y = 6x − x 2 − 7 y = x − 3 y = 6x − x 2 y = 0 4y = 8x − x 2 4y = x + 6 y = 4 − x 2 y = x 2 − 2x 6x = y 3 − 16y 24x = y 3 − 16y y = 1 − e x x = 2 y = 0 y = x 2 −6x + 10 y = 6x −x 2 x = −1 y = sin x y = ± π 2 x = 0 y = e x y = e −x x = 1 Phép tính tích phân trên R 10 Bài tập Giải tích II K53 -Toán tin ĐHKHTN [...]... dây cung bằng chiều cao của viên phân 8 Tìm thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 16 và hai mặt phẳng là x = 2,và x = 3 9 Tìm thể tích của vật được tạo ra khi quay hình giới hạn bởi đường cong thẳng y 2 = (x 1)3 và đường x = 2 quanh trục 0x K53 -Toỏn tin 11 HKHTN Bi tp Gii tớch II 1.5 Phộp tớnh tớch phõn trờn R Tích phân suy rộng 1 Tính các tích phân sau 2 (a) 0 dx 4 sin x + cos4... sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau (tham số (a) (3x4 x2 )ex dx (q) 1 0 x(x 1)(x 2) 3 1 (e1/x 1)dx x (n) dx (p) 0 0 + (l) + + 0 sin x dx ln x x sin x dx x + sin x (d) 1 a 4 Chứng minh rằng nếu các tích phân (f (x))2 dx cũng hội tụ a f 2 (x) dx và f liên tục đều trên [a, ) và tích phân suy rộng lim f (x) = 0 5 Giả sử a (f (x))2 dx a f (x) dx hội tụ hội tụ thì tích phân Chứng minh rằng... xoắn ốc hypecbon 2 5 Tính thể tích miền giới hạn bởi hình ellipsoit x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1 (a, b, c > 0) a2 b c 6 Tính thể tích, diện tích xung quanh vật tròn xoay khi quay quanh i) y 2 = 2px (0 x2 a2 ii) iii) + y2 b2 x Ox, Oy : b) =1 (x a)2 + y 2 = b2 (0 < b < a) 7 Tìm thể tích của một vật mà đáy của nó là tam giác cân có chiều cao h và cạnh đáy là a Thiết diện ngang của vật là viên phân parabol có dây... đều trên [a, ) và tích phân suy rộng lim f (x) = 0 5 Giả sử a (f (x))2 dx a f (x) dx hội tụ hội tụ thì tích phân Chứng minh rằng x 6 Chứng minh rằng nếu tích phân suy rộng 1 xf (x) dx hội tụ thì tích phân suy rộng 1 cũng hội tụ 7 Tính các tích phân sau: e 6 dx (a) 3 2 (4 x)2 dx x ln x (c) 0 2 dx 3 0 x ln xdx (e) 1 2 (b) 1 (x 1)2 K53 -Toỏn tin 3 dx 2 4x + 3 x (d) 0 xdx 4 x2 4 (f) 2 13 HKHTN... xdx (n) (h) 0 0 xdx + 1)3 (s) dx (x2 + 1)2 (m) 1 dx + 4x + 9 + 0 0 x2 dx x x2 1 1 n (r) (l) (c) dx 0 ln (sin x) dx (b) xe (k) 2 + x2 eax cos bxdx, a > 0 (x) 0 2 Khảo sát sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau (a) 2 (b) 0 dx x ln x (e) 0 + sin2 3x dx 3 x4 + 1 (h) 1 sin2 x dx x2 + 1 (f) 1 ex dx x + (i) 1 ( ln x) dx (c) xdx 1 + x2 sin2 x dx 4x + ln x 1 0 + 1 (d) 0 dx x ( ln x) K53... R 2 0 dx (x 1)2 (g) (j) b e1/x dx x3 1 0 2 1 xdx x2 1 (h) (k) 2 2 (i) a e1/x dx x3 1 x ln2 xdx (n) 0 1 dx (l) 0 (x a)(b x) a < b 0 x3 dx 4 x2 dx (m) x(1 x) 0 8 Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau: 1 (a) 1 cos2 x dx 3 1 x2 2 dx x cos x e (g) (l) 0 0 3 1 ln(1 + x dx esin x 1 (b) 0 (d) 1 dx (m) 2 1 ln x dx x (i) xdx 1 x(ex ex ) 0 0 0 1 ln(sin 2x) dx 5 x (h) dx x1 e 0 0 (e)... a cos t, y = b sin t, t [0, 2] (i) x = et cos t, y = et sin t t = ln (j) x = 8 sin t + 6 cos t, y = 6 sin t 8 cos t từ t = 0 đến t = 2 = aek (đường xoắn ốc lô ga) từ = 0 đến = T t [0, 2] 4 Tính độ dài cung của các đường cong: (a) y = x3/2 (b) y = x2 1 từ x = 1 đến x = 1 a y = ex/a +ex/a từ x = 0 đến x = a 2 y = ln cos x từ x = 0 đến x = 6 2 y = ln sin x từ x = đến x = 3 3 x = et sin . + 2 x) •  3 √ 2 x x dx •  e x + e 2x 1 − e x dx •  e x dx 1 + e x •  sin 2 x 2 dx Phép tính tích phân trên R 1 Bài tập Giải tích II K53 -Toán tin ĐHKHTN •  2 xdx •  √ 1 + sin 2xdx x ∈  0, π 2  •  e cos. x 2 dx  x 2 √ a 2 + x 2 dx  dx x 2 √ x 2 + a 2  x 2 dx √ a 2 − x 2  dx x √ x 2 − a 2 Phép tính tích phân trên R 2 Bài tập Giải tích II K53 -Toán tin ĐHKHTN •  x2 x dx •  x 2 e −x dx •  x 3 e −x 2 dx •  (x 3 +. x 2 + 5x + 1 (x 2 + 3)(x 2 − x + 1) dx  x 4 + x 2 + 1 x(x − 2)(x + 2) dx Phép tính tích phân trên R 3 Bài tập Giải tích II K53 -Toán tin ĐHKHTN  dx x(x − 1)(x 2 − x + 1) 2  x 4 − x 2 + 1 (x 2 −