Bài tập giải tích 12 - Tích Phân pot

Gv: Nguyn Tt Thu Bi tp Gii Tớch 12 Trang 1 TCH PHN 1. nh ngha: Cho hm s y=f(x) liờn tc trờn K; a,b l hai phn t bt kỡ thuc K, F(x) l m t nguyờn hm ca f(x) trờn K. Hiu s F(b)-F(a) gi l tớch phõn ca ca f(x) t a ủn b v ủc kớ hiu: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a = = 2. Cỏc tớnh ch t ca tớch phõn: b a a (1) ( ) 0 (2) ( ) ( ) (3) . ( ) . ( ) (4) [ ( ) ( )] ( ) ( ) (5) f(x) ( ) ( ) (6) Neỏu ( ) 0 treõn [a;b] ( ) 0 (7) Neỏu ( ) ( ) tre a a a b b a b b a a b b b a a a c b a c b f x dx f x dx f x dx k f x dx k f x dx f x g x dx f x dx g x dx dx f x dx f x dx f x f x dx f x g x = = = = = + õn [a;b] ( ) ( ) (8) ( ) treõn [a;b] ( - ) ( ) ( ) (9) t bieỏn thieõn treõn [a;b] ( ) ( ) laứ m oọt nguyeõn haứm cuỷa ( ) vaứ ( ) 0 b b a a b a t a f x dx g x dx m f x M m b a f x M b a G t f x dx f t G a = = 3. Cỏc vớ d : *Chỳ ý: tớnh tớch phõn ( ) b a I f x dx = ta phõn tớch 1 1 ( ) ( ) ( ) m m f x k f x k f x = + + Trong ủú cỏc hm ( ) i f x cú trong bng nguyờn hm. Bi 1: Tớnh cỏc tớch phõn sau Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12 Trang 2 π − + + + − ∫ ∫ ∫ 1 2 3 3 2 2 0 0 2 2 1) ( 2 1) 2) (2sin 3cos - ) 3) | 1| cos x x x dx x x dx x dx x π π π π π π π π π + − + − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 22 2 3 2 2 0 1 - 2 1 3 4 4 2 0 0 6 1 3 2 4 0 4 2 3 1 4) sin (2 ) 5) sin2 .sin3 6) 4 cos2 7) cos 2 8) 9) 1 sin 2 10) 11) 1 x x x x x x dx x x dx x x dx xdx dx x x x x dx tg xdx x − ∫ 2 2 0 12) |x |x dx Chú ý: ðể tính 2 2 ' ' ( 4 0) a x b I dx b ac ax bx c + = − ≥ + + ∫ ta làm như sau TH1: Nếu 2 4 0 b ac − = , khi ñó ta luôn có sự phân tích 2 2 ( ) 2 b ax bx c a x a + + = + 2 2 ' ' '( ) ' ' ' 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 b ba ba a x b b a dx dx a a a I dx b b b a a a x x x a a a + + − − ⇒ = = + + + + ∫ ∫ ∫ TH2: Nếu 2 2 1 2 4 0 ( )( ) b ac ax bx c a x x x x − > ⇒ + + = − − . Ta xác ñịnh A,B sao cho 1 2 ' ' ( ) ( ) a x b A x x B x x + = − + − 1 2 ' ' A B a Ax Bx b + =  ⇔  + = −  1 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )( ) A x x B x x A B I dx dx a x x x x a x x x x − + − = = + − − − − ∫ ∫ . Bài 2: Tính các tích phân sau + − + − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 5 1 1 4 32 2 2 2 2 4 0 0 0 x 4 11 x 1) 2) 3) 4) 5 6 1 5 6 2 1 dx x dx dx dx x x x x x x x Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12 Trang 3 + + + + + + = = = − − + + − ∫ ∫ ∫ 1 2 3 2 3 2 2 2 3 0 0 2 2 3 2 3 2 2 3 5) 6) 7) 2 3 2 x x x x x x I dx I dx I dx x x x x x x Bài 3: Tính 2 0 cos sin 2cos x I dx x x π = + ∫ Ta xác ñịnh A,B sao cho: cos (sin 2cos ) (cos 2sin ) x A x x B x x = + + − 2 1 , 5 5 A B ⇒ = = 2 2 0 0 2 1 cos - 2sin 2 1 ln2 ( ) ( ln |sin 2cos |) 5 5 sin 2cos 5 5 5 x x I dx x x x x x π π π − ⇒ = + = + + = + ∫ Chú ý: * ðể chứng minh BðT có dạng ( ) b a q f x dx p ≤ ≤ ∫ . Ta chứng minh ( ) m f x M ≤ ≤ [ ; ] ( ) ( ) ( ) b a x a b m b a f x dx M b a ∀ ∈ ⇒ − ≤ ≤ − ∫ , khi ñó ( ) ; ( ) m b a q M b a p − = − = ðể chứng minh ( ) [ ; ] m f x M x a b ≤ ≤ ∀ ∈ ta có thể ñánh giá trực tiếp hoặc ta khảo sát hàm f(x) trên [a;b] với chú ý: Nếu f(x) lt trên [a;b] thì [ ; ] [ ; ] min ( ) ( ) ( ) a b a b f x f x Max f x ≤ ≤ * ðể chứng minh BðT có dạng ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx ≤ ∫ ∫ ta c/m ( ) ( ) [ ; ] f x g x x a b ≥ ∀ ∈ Bài 4: Chứng minh các BðT sau π π π π π π π − − − ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 2 1 1 2 2 3 1 1 0 2 3 2 2 2 4 0 0 0 6 6 2 0 2 2 1) 4 4 2 5 2) 3) 1 2 4 9 7 8 2 3 sin 1 4) 2 5) sin2 2 cos 6) 4 2 7) 60 36 9 4sin x x x dx x dx dx x x e dx e xdx xdx dx x e dx x π π π + ≤ ∫ ∫ 2 2 9 8 0 0 8) cos sin 2 xdx xdx π π + ≤ + ≤ ∫ ∫ ∫ 1 4 4 2 2 0 0 0 9) | sin cos | 10) sin cos a x b x dx a b xdx xdx Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12 Trang 4 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I. Phương pháp ñổi biến số dạng 1 Gi ả sử cần tính ( ) b a I f x dx = ∫ ta thực hiện các bước sau B1: ðặt ( ) x u t = (với u(t) là hàm có ñạo hàm liên tục trên [ ; ] α β , f(u(t)) xác ñịnh trên [ ; ] α β và ( ) , ( ) u a u b α β = = ) và xác ñịnh , α β B2: Thay vào ta có: ( ) ( ( )). '( ) ( ) ( ) ( )I f u t u t dt g t dt G t G G β β β α α α β α = = = = − ∫ ∫ M ột số dạng thường dùng phương pháp ñổi biến số dang 1 * Hàm s ố dưới dấu tích phân chứa − 2 2 2 a b x ta thường ñặt = sin a x t b * Hàm số dưới dấu tích phân chứa − 2 2 2 b x a ta thường ñặt = sin a x b t * Hàm số dưới dấu tích phân chứa + 2 2 2 a b x ta thường ñặt = a x tgt b * Hàm số dưới dấu tích phân chứa − ( ) x a bx ta thường ñặt = 2 sin a x t b Ví d ụ 1: Tính các tích phân sau 1 2 0 1) 1 I x x dx = − ∫ HD: ðặt sin cos . x t dx t dt = ⇒ = . ðổi cận : Với 0 0; 1 2 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 sin 1 sin .cos . cos .sin cos . (cos ) 3 I t t t dt t tdt t d t π π π = − = = − = ∫ ∫ ∫ = − ∫ 2 1 2 0 2) 4 3 x I dx x HD: ðặt = 2 sin 3 x t 1 2 0 3) 3 -2 - x I dx x x = ∫ HD: ðặt 1 2sin x t − = 2 2 1 1 4) x I x − = ∫ HD: ðặt 1 sin x t = Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12 Trang 5 3 2 1 1 5) (2 ) x I dx x x + = − ∫ HD: ðặt 2 2sin x t = Ví dụ 2: Tính các tích phân sau = + ∫ 1) 1 2 0 1 dx I x ðặt 2 (1 ) x tgt dx tg t dt = ⇒ = + . ðổi cận 0 0 ; 1 4 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = 2 4 4 2 0 0 (1 ) 4 1 tg t dt I dt tg t π π π + = = = + ∫ ∫ = + + ∫ 2) 1 2 0 1 dx I x x HD: ðặt 1 3 2 2 x tgt + = 0 2 2 1 ( 2 2) dx I x x − = + + ∫ 3) HD: ðặt x+1=tgt = + ∫ 4) 2 3 2 2 2 4 I x x HD: ðặt x=2tgt * Chú ý: Tích phân ( ) b a I f x dx = ∫ chỉ phụ thuộc vào f, a và b không phụ thuộc vào biến, nghĩa là ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx f y dy f t dt = = = ∫ ∫ ∫ Ví dụ 3: Tính các tích phân sau π = + ∫ 1) 4 2 4 4 0 sin sin cos x I dx x x ðặt 2 x t dx dt π = − ⇒ = − . ðổi cận 0 ; 0 2 2 x t x t π π = ⇒ = = ⇒ = 4 4 4 0 2 2 4 4 4 4 4 4 0 0 2 sin ( ) os os 2 sin os sin os sin ( ) os ( ) 2 2 t c t c x I dt dt dx t c t x c x t c t π π π π π π − = − = = + + − + − ∫ ∫ ∫ 4 4 2 2 2 4 4 4 4 0 0 0 sin os 2 2 4 sin os sin os x c x I dx dx dx I x c x x c x π π π π π ⇒ = + = = ⇒ = + + ∫ ∫ ∫ . Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12 Trang 6 4 0 ln(1 ) I tgx dx π = + ∫ 2) ðặt 4 x t dx dt π = − ⇒ = − ðổi cận 0 ; 0 4 4 x t x t π π = ⇒ = = ⇒ = 0 4 4 4 0 0 0 4 1 ln[1 ( )] ln(1 ) [ln2 ln(1 )] ln2. 4 1 ln2 .ln2 2 . 4 8 tgt I tg t dt dt tgt dt dt I tgt I I π π π π π π π − = − + − = + = − + = − + ⇒ = ⇒ = ∫ ∫ ∫ ∫ Ví d ụ 4: Chứng minh các công thức sau π π = ∫ ∫ 1) 2 2 0 0 sin cos n n xdx xdx HD: ðặt 2 x t π = − . 2) Cho ( ) a a I f x dx − = ∫ . Cmr: a) 0 2 ( ) a I f x dx = ∫ nếu f(x) là hàm số chẵn b) 0 I = nếu f(x) là hàm số lẻ 3) Cmr n ếu f(x) là hàm số chẵn thì 0 ( ) 1 ( ) 2 1 b b x b f x dx f x dx a − = + ∫ ∫ . Áp d ụng: Tính 2 2 2 2 1 2 1 x x I dx − + = + ∫ . 4) Cmr 0 0 (sin ) (sin ) 2 xf x dx f x dx π π π = ∫ ∫ (HD: ðặt x t π = − ). Áp d ụng: Tính 2 0 sin 4 sin x x I dx x π = + ∫ . Bài t ập: Tính các tích phân sau + − = − = − = − = + = = − − = = = + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 21 2 2 2 2 3 2 2 0 0 0 1 23 1 2 2 2 2 2 2 1 0 0 4 0 1 1 2 2 3 2 3 1 0 0 2 1) 2) 1 3) 1 4) 5) 6) 2 7) 8) 9) ( 1) 1 1 a a p p x I x a x I x x dx I dx x dx x I x x a dx I I x x x x dx x x I I dx I dx x x x x Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12 Trang 7 π π π π − = = = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 4 2 2 9 0 0 4 2 21 3 4 2006 2007 2 1 1 2 4 sin sin 2 10) 11) 3 - 12) 9 4cos sin 2 cos 2 1-x 1+x 13) I= 14) I= 15) I= cos .sin . n n n x x x I dx I x x dx I dx x x x dx x x dx x x 16) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ( ) ( ) 2 2cos2 f x f x x + − = − . Tính 2 2 ( ) I f x dx π π − = ∫ 17) Tính tích phân sau: 1 2 3 1 [ln( 1)] I x x dx − = + + ∫ 18) Cho f là hàm liên t ục trên [a;b]. Cmr: 1 0 ( ) ( ) ( ( ) ) b a f x dx b a f a b a x dx = − + − ∫ ∫ II. Phương pháp ñổi biến số loại 2 ðể tính tích phân ( ) b a I f x dx = ∫ , nếu f(x)=g(u(x)).u’(x), ta có thể thực hiện phép ñổi biến nh ư sau B1: ðặt ( ) '( ) t u x dt u x dx = ⇒ = . ðổi cận ( ), ( ) x a t u a x b t u b = ⇒ = = ⇒ = B2: Thay vào ta có ( ) ( ) ( ) ( ) u b b a u a I g t dt G t = = ∫ Ví d ụ 1: Tính các tích phân sau 1 10 0 (2 1) I x dx = − ∫ 1) ðặt 2 1 2 2 dt t x dt dx dx = − ⇒ = ⇒ = . ðổi cận 0 1; 1 1 x t x t = ⇒ = − = ⇒ = 1 11 10 1 1 1 1 1 1 . 2 2 11 11 t I t dt − − = = = ∫ Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12 Trang 8 1 1 3 3 1 dx I x x = + ∫ 2) ðặ t 2 1 2 3 1 3 3 t t x x dx tdt − = + ⇒ = → = . ðổ i c ậ n 1 2; 1 2 3 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 ( ) ln | | | ln ln 3 1 1 1 2 2 1 1 1 3 tdt dt t I dt t t t t t t − − = = = − = = − − + + + − − ∫ ∫ ∫ * Dạng tổng quát: ( ax+b) I f dx β α = ∫ . ðặ t ax+b t = 7 3 3 2 0 1 x I dx x = + ∫ 3) . HD: ðặt 2 1 t x = + ðS: 141 20 I = 1 5 0 (2 1) xdx I x = + ∫ 4) HD: ðặt 1 2 1 54 t x I= + ⇒ = 2 5 0 5) sin I xdx π = ∫ Ta có: 2 2 2 0 (1 cos ) sin I x xdx π = − ∫ . ðặt sin cos t x dt xdx = ⇒ = ðổi cận 0 0; 1 2 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = 1 1 2 2 2 4 0 0 8 (1 ) (1 2 ) 15 I t dt t t dt ⇒ = − = − + = ∫ ∫ *Chú ý: Từ ví dụ trên ta thấy khi gặp tích phân có dạng sin n I xdx = ∫ + N ếu n chẵn thì ta hạ bậc + Nếu n lẻ ta ñặt t=sinx 2 2sin 0 6) cos x I e xdx π = ∫ ðặt 2sin 2cos cos 2 dt t x dt xdx xdx = ⇒ = ⇒ = ðổi cận 0 0; 2 2 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = 2 2 2 0 0 1 1 1 | ( 1) 2 2 2 t t I e dt e e ⇒ = = = − ∫ 2 ln 7) (ln 1) e e x I dx x x = + ∫ ðặt ln dx t x dt x = ⇒ = . ðổi cận 2 1; 2 x e t x e t = ⇒ = = ⇒ = 2 2 2 1 1 1 1 2 (1 ) ( ln(1 ))| 1 ln 1 1 3 t I dt dt t t t t = = − = − + = + + + ∫ ∫ Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12 Trang 9 Ví d ụ 2: Tính các tích phân sau 4 4 0 1) I tg xdx π = ∫ ðặt 2 2 (1 ) 1 dt t tgx dt tg x dx dx t = ⇒ = + ⇒ = + ðổi cận 0 0; 1 4 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = ðS: 3 8 12 I π − = Chú ý:* Bài toán trên ta có thể giải cách khác như sau 4 4 4 4 4 2 2 2 0 0 0 0 3 8 ( 1 1) ( 1)( 1) ( 1) ( ) 4 12 I tg x dx tg x tg x dx dx tg x d tgx π π π π π π − = − + = − + + = − + = ∫ ∫ ∫ ∫ * Khi gặp tích phân ( ) b a I f tgx dx = ∫ ( (cot ) ) b a I f gx dx = ∫ ta ñặt ( cot ) t tgx t gx = = 2 2 ( ) 1 1 dt dt dx dx t t ⇒ = − = + + 32 3 3 3 sin sinx 2) cotgx.dx sin x I x π π − = ∫ Ta có 2 2 2 3 3 2 2 2 3 3 1 1 1 1 .cot . cot .cot . sin sin sin I gx dx g x gx dx x x x π π π π = − = ∫ ∫ ðặt 2 sin dx t cotgx dt x = ⇒ = − . ðổi cận 1 ; 0 3 2 3 x t x t π π = ⇒ = = ⇒ = 1 1 1 5 8 3 3 3 3 2 3 3 3 0 0 0 3 9 3 . | 8 8 I t tdt t dt t= = = = ∫ ∫ 1 5 2 2 4 2 1 1 3) 1 x I dx x x + + = − + ∫ 1 5 1 5 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 x x I dx dx x x x x + + + + = = + − − + ∫ ∫ . ðăt 1 t x x = − (ðS: 4 I π = ) Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12 Trang 10 Chú ý: Chúng ta cần lưu ý ñến các kết quả sau : 2 ( )' 1 k k x x x ± = ∓ và 2 2 2 2 ( ) 2 k k x x k x x + = ± ∓ ln 2 0 1 4) 1 x x e I dx e − = + ∫ ðặt 1 1 x x dt t e dt e dx dx t = + ⇒ = ⇒ = − . ðổi cận 0 2; ln2 3 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 3 2 2 8 ln ( 1) 9 t I dt t t − = = − ∫ . *Chú ý: Khi gặp ( ) x I f ae b dx β α = + ∫ ta ñặt x dt t ae b dx t b = + ⇒ = − 6) 2 2 2 0 sin .cos ( , 0; ) sin cos x x I dx a b a b a x b x π = ≠ ≠ + ∫ ðặt 2 2 2 2 ( )sin cos sin cos sin cos a b x x t a x b x dt dx a x b x − = + ⇒ = + ðổi cận 0 ; 2 x t b x t a π = ⇒ = = ⇒ = 1 1 a b I dt a b a b ⇒ = = − + ∫ 2 2 0 7) a dx I x a = + ∫ Bài này ngoài cách ñặt x= a.tgt ta có thể thực hiện phép ñặt như sau ðặt 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) x t dt dx t x x a dt dx dx t x a x a x a = + + ⇒ = + = ⇒ = + + + ðổi cận 0 ; (1 2) x t a x a t a = ⇒ = = ⇒ = + (1 2) (1 2) ln | ln(1 2) a a a a dt I t t + + = = = + ∫ *Chú ý: Nếu 2 2 dx I x a = − ∫ ta ñặt 2 2 t x x a = + − Bài tập [...]...Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 π π 1 − 2sin 2 x 1) I = ∫ dx ( ðH Kh i B-2003) 1 + sin 2 x 0 4 10) I = ∫ π 4 9 2 x 2) I = ∫ dx (ðH Kh i A-2004) 1+ x −1 1 e 1 11) I = ∫ x 3 x − 1dx 1 1 1 + 3ln x ln x dx x 3) I = ∫ sin x − cos x dx 1 + sin 2 x 2 x7 12) I = ∫ (ðH Kh i B-2004) x +1 4 0 dx π 2 4) I = ∫ sin 2 x + sin x 1 + 3cos x (ðH Kh i A-2005) π dx 4 cos 4 x 0 π π 2 4 sin 2... : Có nhi u bài tuy không thu c nh ng d ng trên nhưng ta v n s d ng phương pháp t ng ph n, sau ñây là m t s ví d Bài 1 : Tính các tích phân sau : b π 2 1) I = ∫ x sin 2 xdx 0 2) I = ∫ ( x − 2)e 0 π 2 x +1 0 dx 3) I = ∫ (2 x 2 + x + 1)ln( x + 2)dx −1 π 2 4) I = ∫ cos x.e dx 2x 0 2 2 1 0 0 5) I = ∫ sin x.ln(1 + sin x)dx 6) I = ∫ x ln( x 2 + 1)dx Trang 12 Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 Gi i : du... ∫ x 2 9) I = ∫ ( x 2 + 1)sin xdx 0 11) I = ∫ cos(ln x)dx 1 1 12) I = ∫ ln( x + 2) 0 0 14) I = π 2 2x e3 e e 2 1 π 2 e ∫ x ln −1 1 1 − xdx 15) I = ∫ 0 x +1 x2 x +1 2 dx dx Trang 16 Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 DI N TÍCH HÌNH PH NG TH TÍCH V T TRÒN XOAY 1 Di n tích hình ph ng Cho f(x) và g(x) là hai hàm s liên t c trên [a;b] Di n tích hình ph ng gi i h n b i ñ th các hàm s y = f ( x), y = g... 27 y 2 = 8( x − 1)3 10) y =| x 2 − 4 x + 3 |, y = x + 3 (ðH Kh i A-2002) Trang 17 Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 x2 x2 11) y = 4 − , y= (ðH Kh i B-2002) 4 4 2 5 12) ( P) : y = 4 x − x 2 và các ti p tuy n ñ qua A( ;6) c a (P) 2 2 Ví d 2: Cho ( P) : y = x G i A,B là hai ñi m di ñ ng trên (P) sao cho AB=2 Tìm A,B sao cho di n tích c a ph n gi i h n b i (P) và cát tuy n AB l n nh t? Ví d 3: Xét... ñư c tính b i công b th c: S = ∫ | f ( x) - g ( x) | dx a Chú ý: * N u bài toán ch cho hình ph ng gi i h n b i ñ th hai hàm s y=f(x) và y=g(x) thì ta ñi gi i phương trình HðGð f(x)=g(x) ta tìm ñư c các nghi m x1 < x2 < < xn Khi ñó di n tích hình ph ng là: S = xn ∫ | f ( x) − g ( x) | dx x1 *Khi tính di n tích ta nên v ñ th c a các hàm s mà bài toán cho 2 Th tích v t tròn xoay a) Cho hình ph ng gi i... 2 ) 2 |0 − ∫ x 2 x 2 + a 2 dx − 3 30 3 a ∫ 0 3 1 1 a2 x + a dx = a (2a 2 ) 2 − I − J 3 3 3 2 2 2 + ln(1 + 2) 2 7 2 − ln(1 + 2) 4 a ⇒I = a 2 8 Bài t p : Tính các tích phân sau Theo câu 1 J = Trang 15 Gv: Nguy n T t Thu π 1) I = ∫ x sin xdx 2 Bài t p Gi i Tích 12 e 2) I = ∫ x ln xdx 2 0 π 3) I = ∫ x.cos 2 xdx 1 0 π 2 4) I = ∫ e sin x x 2 0 7) I = ∫ e 0 2 10) I = ∫ −x 5) I = ∫ ( x ln x) dx 6) I = π ln... B-2005) 8) I = dx 13) I = ∫ 0 0 cos 2 x 3 0 (sin x + cos x + 2) cosx 2+cos2x dx dx Trang 11 Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 III Phương pháp t ng ph n Cho hai hàm s u và v liên t c trên [a;b] và có ñ o hàm liên t c trên [a;b] Khi ñó b ∫ udv = uv b b a − ∫ vdu (1) a a b ð tính tích phân I = ∫ f ( x)dx b ng phương pháp t ng ph n ta làm như sau a B1: Ch n u,v sao cho f(x)dx=udv (chú ý: dv=v’(x)dx)... 0 2 sin 2 x 7) I = ∫ cos x + 4sin x (ðH Kh i A-2006) 2 0 ln 2 2 dx ex 0 16) I = π (e + 2) e + 1 ∫ 2 17) I = ∫ x x2 + 1 4 1 x +1 x dx 1 dx 18) I = ∫ x2 − 1 4 0 x +1 dx dx + 2e− x − 3 (ðH Kh i B-2006) π x 2 18) I = ∫ π 9) I = ∫ dx ∫2 x ln x.ln(ln x) ln 3 (ðH Kh i D-2005) 4 x e 6) I = ∫ (esin x + cos x)cos xdx ∫ cos6 x 0 π ln 3 e sin 2 x 14) I = ∫ (ðH Kh i B-2005) 8) I = dx 13) I = ∫ 0 0 cos 2 x 3 0 (sin...  π 2 0 0 −1 = 16 119 ln 2 − 3 396 π 12 1 1 + ∫ sin x.e2 x dx = − + J 20 2 2 π du = cos xdx u = sin x   Tính J = ∫ sin x.e dx : ð t  ⇒ 1 2x dv = e2 x dx v = e   0 2  2 2x π π 2 1 2 1 2x 1 1 J = e sin x | − ∫ cos x.e2 x dx = eπ − I 2 2 2 0 20 1 1 1 1 5 π −2 π −2 ⇒ I = − + ( eπ − I ) ⇒ I = ⇒I = 2 2 2 2 4 4 5 Trang 13 Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 cos x  dx u = ln(1 + sin x) du... = 1 x 2 ln( x 2 + 1) |1 − x dx ⇒ 6) ð t  0 ∫ 2 2 dv = xdx   v = 1 x 2 0 x +1  2  1 x 1 1 1 1 1 I = ln 2 − ∫ ( x − 2 )dx = ln 2 − ( x 2 − ln( x 2 + 1)) |1 = ln 2 − 0 2 2 2 2 2 x +1 0 Bài 2 : Tính các tích phân sau π a 3 x sin x 2) I = ∫ dx cos 2 x 0 1) I = ∫ x + a dx 2 2 0 1 3) I = ∫ ln( x + 1 + x 2 )dx 0 π 2 4) I = ∫ π a xdx 5) I = ∫ x 2 x 2 + a 2 dx 2 sin x 0 6 Gi i : a x2 + a2 1) Ta có : I . x x a = + − Bài tập Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12 Trang 11 4 2 0 1 2sin 1) 1 sin2 x I dx x π − = + ∫ ( ðH Khối B-2003) 2 1 2) 1 1 x I dx x = + − ∫ (ðH Khối A-2004) 1 1 3ln. Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12 Trang 17 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG TH Ể TÍCH VẬT TRÒN XOAY 1. Diện tích hình phẳng Cho f(x) và g(x) là hai hàm s ố liên tục trên [a;b]. Diện tích hình phẳng. Bài 2: Tính các tích phân sau + − + − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 5 1 1 4 32 2 2 2 2 4 0 0 0 x 4 11 x 1) 2) 3) 4) 5 6 1 5 6 2 1 dx x dx dx dx x x x x x x x Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12