Ebook bài tập giải tích (tập 2 liên tục và vi phân) đh quốc gia hà nội

a Chứng minh rằng nếuf : R → R là hàm liên tục, tuần hoàn, khác hàm hằng, thì nó có chu kỳ dương nhỏ nhất, gọi là chu b Chứng minh rằng nếu f : R → Rlà hàm tuần hoàn không cóchu kỳ cơ bả

§¹i Häc Quèc Gia Hµ Néi Tr−êng §¹i Häc Khoa Häc Tù Nhiªn Hµ Néi

W J Kaczor

M T Nowak

Bµi tËp Gi¶i TÝch II

Liªn tôc vµ Vi ph©n

(Cã Lêi Gi¶i Chi TiÕt)

Biªn dÞch: NguyÔn Duy TiÕn, D− §øc Th¾ng, Lª Huy TiÔn

Hµ néi 2002

Mục lục

1.1 Giới hạn của hàm số 3

1.2 Các tính chất của hàm liên tục 9

1.3 Tính chất giá trị trung gian 14

1.4 Hàm nửa liên tục 17

1.5 Tính liên tục đều 22

1.6 Phương trình hàm 26

1.7 Hàm liên tục trong không gian metric 30

2 Phép tính vi phân 35 2.1 Đạo hàm của hàm thực 35

2.2 Định lý giá trị trung bình 43

2.3 Công thức Taylor và quy tắc L’Hospital 49

2.4 Hàm lồi 58

2.5 Các ứng dụng của đạo hàm 64

2.6 Khả vi mạnh và khả vi theo nghĩa Schwarz 72

3

3 Dãy và chuỗi hàm 77

3.1 Dãy hàm và sự hội tụ đều 77

3.2 Chuỗi hàm và sự hội tụ đều 83

3.3 Chuỗi luỹ thừa 91

3.4 Chuỗi Taylor 96

Lời giải 105 1 Giới hạn và liên tục 105 1.1 Giới hạn của hàm số 105

1.2 Các tính chất của hàm liên tục 123

1.3 Tính chất giá trị trung gian 141

1.4 Hàm nửa liên tục 155

1.5 Tính liên tục đều 166

1.6 Phương trình hàm 176

1.7 Hàm liên tục trong không gian metric 193

2 Phép tính vi phân 207 2.1 Đạo hàm của hàm số thực 207

2.2 Các định lý giá trị trung bình 229

2.3 Công thức Taylor và quy tắc L’Hospital 241

2.4 Hàm lồi 263

2.5 Các ứng dụng của đạo hàm 281

2.6 Khả vi mạnh và khả vi theo nghĩa Schwarz 307

3 Dãy hàm và chuỗi hàm 315 3.1 Dãy hàm và sự hội tụ đều 315

3.2 Chuỗi hàm và sự hội tụ đều 334

3.3 Chuỗi luỹ thừa 353

3.4 Chuỗi Taylor 370

5

Lời nói đầu

Bạn đang có trong tay tập II của một trong những sách bài tập giải tích (theochúng tôi) hay nhất thế giới Trước đây, hầu hết những người làm toán của ViệtNam thường sử dụng hai cuốn sách nổi tiếng sau (bằng tiếng Nga và đã đượcdịch ra tiếng Việt):

1 “Bài tập giải tích toán học” của Demidovich (B P Demidoviq;

1969, Sbornik Zadaq i Upraẳneni$ i po Matematiqeskomu Analizu, Izdatel~stvo "Nauka", Moskva)

2 “Giải tích toán học, các ví dụ và bài tập” của Ljaszko, jachuk, Gai, Golovach (I I LÂxko, A K BoÂquk, º G Ga$ i, G.

Bo-P Golobaq; 1975, Matematiqeski$ i Analiz v Primerah i Zadaqah, Tom 1, 2, Izdatel~stvo Vixa Xkola)

để giảng dạy hoặc học giải tích

Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số Cuốn thứ hai cholời giải chi tiết đối với phần lớn bài tập của cuốn thứ nhất và một số bài toánkhác Lần này chúng tôi chọn cuốn sách (bằng tiếng Ba Lan và đã được dịch

ra tiếng Anh):

3 “Bài tập giải tích Tập I: Số thực, D∙y số và Chuỗi số”

(W J Kaczkor, M T Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze´s´cPierwsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, WydawnictwoUniversytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996),

4 “Bài tập giải tích Tập II: Liên tục và Vi phân ” (W J.Kaczkor, M T Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze´s´c Druga,Funkcje Jednej Zmiennej–Rachunek R´ozniczowy, Wydawnictwo Univer-sytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1998)

7

để biên dịch nhằm cung cấp thêm một tài liệu tốt giúp bạn đọc học và dạy giảitích Khi biên dịch, chúng tôi đã tham khảo bản tiếng Anh:

3* W J Kaczkor, M T Nowak,Problems in Mathematical sis I, Real Numbers, Sequences and Series, AMS, 2000.4* W J Kaczkor, M T Nowak,Problems in Mathematical Analy- sis II, Continuity and Differentiation, AMS, 2001

Analy-Sách này có các ưu điểm sau:

• Các bài tập được xắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay

• Lời giải khá đầy đủ và chi tiết

• Kết hợp được những ý tưởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học hiện

đại Nhiều bài tập đựơc lấy từ các tạp chí nổi tiếng như, American Mathematical Monthly (tiếng Anh), Mathematics To- day (tiếng Nga), Delta (tiếng Balan) Vì thế, sách này có thểdùng làm tài liệu cho các học sinh phổ thông ở các lớp chuyên cũng nhưcho các sinh viên đại học ngành toán

Các kiến thức cơ bản để giải các bài tập trong sách này có thể tìm trong

5 Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, Tập I, NXB Đại Học QuốcGia Hà Nội, 2000

6 W Rudin,Principles of Mathematical Analysis, McGraw -HilBook Company, New York, 1964

Tuy vậy, trước mỗi chương chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn

đọc nhớ lại các kiến thức cơ bản cần thiết khi giải bài tập trong chương tươngứng

Tập I và II của sách chỉ bàn đến hàm số một biến số(trừ phần khônggian metric trong tập II) Kaczkor, Nowak chắc sẽ còn viết Bài Tập Giải Tíchcho hàm nhiều biến và phép tính tích phân

Chúng tôi đã biên dịch tập I, và đã xuất bản

Nhân dịp này chúng tôi xin bày tỏ sự biết ơn chân thành tới GS Phạm XuânYêm (Pháp) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh tập I của sách này, GS

Lời nói đầu 9

TSKH Nguyễn Hữu Việt Hưng (Việt Nam) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếngAnh tập II của sách này, GS Spencer Shaw (Mỹ) đã gửi cho chúng tôi bản gốctiếng Anh cuốn sách nổi tiếng của W Rudin (nói trên), xuất bản lần thứ ba,

1976, GS TSKH Phạm Kỳ Anh, TS Nguyễn Vũ Lương, TS Hoàng Quốc Toàn

và PGS TSKH Nguyễn Văn Minh đã đọc kỹ bản thảo và góp cho chúng tôinhiều ý kiến để bản dịch được hoàn thiện hơn

Chúng tôi cũng chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đàotạo Cử nhân Khoa học Tài năng, Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN, đã đọc kỹ bảnthảo và sửa nhiều lỗi chế bản của bản đánh máy đầu tiên

Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ được đông đảo bạn đọc đón nhận

và góp nhiều ý kiến quí báu về phần biên dịch và trình bày Rất mong nhận

được sự chỉ giáo của quý vị bạn đọc Mọi ý kiến góp ý xin gửi về: Nguyễn Duy Tiến,Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 334 Nguyễn Tr∙i, Thanh Xuân,

Hà Nội.

Xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, Xuân 2002.Nhóm biên dịch

Ký hiệu và khái niệm

• Ac= X\A - phần bù của tạp A,

• BX(x, r), ¯BX(x, r) - hình cầu mở và đóng có tâm tại x và bán kính r > 0tương ứng Nếu cố định X thì ta chỉ cần viết B(x, r), ¯B(x, r),

• Ao - phần trong của A trong không gian metric (X, d),

• ¯A - bao đóng của A trong không gian metric (X, d),

• ∂A = ¯A∩ X\A - biên của A,

• diam(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A} - đường kính của tập A,

• dist(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A} - khoảng cách giữa x và tập A,

• A được gọi là có dạng Fσ nếu nó là hợp của một số đếm được các tập

Nếu f và g là hai hàm thực biến thực thì

• f(a+) và f (aư) là giới hạn trái và phải của f tại a, tương ứng,

• nếu thương f(x)/g(x) dần tới không (hay bị chặn) khi x → x0 thì ta viết

f (x) =◦(g(x)) (hay f(x) = O(g(x)))

• C(A) - tập các hàm liên tục trên A,

• C(a, b) - tập các hàm liên tục trên khoảng (a, b),

• f(n) - đạo hàm cấp n của f ,

• Cn(a, b) - tập các hàm khả vi liên tục đến cấp n trên khoảng (a, b),

• f+(a), fư(a) - đạo hàm trái, phải của f tại điểm a,

• C1([a, b]) - tập các hàm khả vi liên tục trên [a, b], trong đó đạo hàm tạicác điểm mút được hiểu là đạo hàm trái, đạo hàm phải, tương ứng Tập

Cn([a, b]) là tập các hàm khả vi liên tục đến cấp n được định nghĩa quynạp

• C∞(a, b), C∞([a, b]) - tập các hàm khả vi liên tục vô hạn lần trên (a, b)

và [a, b], tương ứng

• [a, b] - đoạn đóng, (a, b) - khoảng mở (a, b có thể vô hạn), [a, b) - khoảng

đóng trái (b có thể vô hạn), (a, b] khoảng đóng phải (a có thể vô hạn) I

ký hiệu một trong bốn tập này và được gọi là khoảng

Bµi tËp

f (x1) > f (x2) ) Hàm tăng hay giảm (tương ứng, tăng thực sự hay

giảm thực sự) gọi là hàm đơn điệu (tương ứng, đơn điệu thực sự).

Định nghĩa 2. Tập (aư ε, a + ε) \ {a}, ở đây ε > 0 gọi là lân cận

khuyết của điểm a∈ R

1.1.1. Tìm các hoặc chứng minh chúng không tồn tại

1.1.2. Giả sử f : (ưa, a) \ {0} → R Chứng minh rằng

(a) lim

x →0f (x) = l nếu và chỉ nếu lim

x →0f (sin x) = l,

3

(b) nếu lim

x →0f (x) = l thì lim

x →0f (|x|) = l Điều ngược lại có đúngkhông ?

1.1.3. Giả sử hàm f : (ưa, a) \ {0} → (0, +∞) thoả m∙n điều kiện

P ( |x|), ở đây P (x) là đa thức với hệ số dương

1.1.8. Chỉ ra bằng ví dụ rằng từ điều kiện

lim

x →0(f (x) + f (2x)) = 0(∗)

không suy ra f có giới hạn tại 0 Chứng minh rằng nếu tồn tạihàmϕsao cho bất đẳng thứcf (x)≥ ϕ(x)được thoả m∙n trong mộtlân cận khuyết của 0 và lim

x →0f (x) = 0

1.1.10. Cho trước số thựcα, giả sử lim

x →∞

f (ax)

x α = g(a)với mỗi số dương

a Chứng minh rằng tồn tại c sao cho g(a) = caα

,(b)

.(c)

1.1.24. Chof : [0, +∞) → Rlµ hµm sao cho mçi d∙y{f(a+n)}, a ≥ 0,

héi tô tíi kh«ng Hái giíi h¹n lim

x →∞f (x) cã tån t¹i kh«ng ?

1.1.25. Chof : [0, +∞) → R lµ hµm sao cho víi mäi sè d−¬nga, d∙y

{f(an)} héi tô tíi kh«ng Hái giíi h¹n lim

x →∞f (x)cã tån t¹i kh«ng ?

1.1.26. Cho f : [0, +∞) → R lµ hµm sao cho víi mäi a ≥ 0 vµ mäi

b > 0, d∙y {f(a + bn)} héi tô tíi kh«ng Hái giíi h¹n lim

x →∞f (x) cãtån t¹i kh«ng ?

1.1.27. Chøng minh r»ng nÕu lim

1.1 Giới hạn của hàm số 7

1.1.28. Giả sử f xác định trên (a, +∞), bị chặn trên mỗi khoảnghữu hạn(a, b), a < b Chứng minh rằng nếu lim

x →+∞(f (x+1)−f(x)) = l,thì lim

sao cho |f(x) ư f(x )| < ε với mọi x, x thoả m∙n 0 < |x ư a| < δ và

0 <|x ư a| < δ Lập công thức và chứng minh điều kiện cần và đủtương tự để lim

không nhận giá trị A trong lân cận khuyết củaa

1.1.39. Tìm các hàm f và g sao cho lim

x →af (x) = A và lim

y →Ag(y) = B,nhưng lim

x →ag(f (x)) = B

1.1.40. Giả sử f : R → R là hàm tăng và x→ f(x) ư x có chu kỳ 1

Kí hiệufn là phép lặp thứncủaf, tức làf1 = f vàfn= f◦fn ư1với

n ≥ 2 Chứng minh rằng nếu lim

n →∞

f n (x)

n tồn tại và nhận cùng giá trị với mọi

x∈ R, ở đây fn kí hiệu phép lặp thứ ncủa f

1.2 Các tính chất của hàm liên tục 9

1.2 Các tính chất của hàm liên tục

1.2.1. Tìm tất cả các điểm liên tục của hàm f xác định bởi

f (x) = 0 nếu x vô tỷ,

sin|x| nếu x hữu tỷ

1.2.2. Xác định tập các điểm liên tục của hàm f đ−ợc cho bởi

(Hàm định nghĩa ở (a) đ−ợc gọi là hàm Riemann.)

1.2.4. Chứng minh rằng nếu f ∈ C([a, b]), thì |f| ∈ C([a, b]) Chỉ rabằng ví dụ rằng điều ng−ợc lại không đúng

1.2.5. Xác định tất cả các an và bn sao cho hàm xác định bởi

f (x) = an+ sin πx nếu x∈ [2n, 2n + 1], n ∈ Z,

bn+ cos πx nếu x∈ (2n − 1, 2n), n ∈ Z,liên tục trên R

1.2.6. Cho f (x) = x2 sin πx với x ∈ R Nghiên cứu tính liên tụccủa f

1.2.7. Biết

f (x) = [x] + (x− [x])[x] với x≥ 12

Chứng minh rằng f liên tục và tăng thực sự trên [1,∞)

1.2.8. Nghiên cứu tính liên tục của các hàm sau đây và vẽ đồ thịcủa chúng

f (x) = lim

n →∞

nx− n−x

nx+ n−x, x∈ R,(a)

f (x) = lim

n →∞

x2enx+ x

enx+ 1 , x∈ R,(b)

f (x) = lim

n →∞

ln(en+ xn)

n , x≥ 0,(c)

1.2.11.

(a) Cho ví dụ về hàm bị chặn trên [0, 1] nh−ng không đạt đ−ợcinfimum và supremum

(b) Cho ví dụ về hàm bị chặn trên [0, 1] nh−ng không đạt đ−ợcinfimum của nó trên mọi đoạn [a, b]⊂ [0, 1], a < b

(a) Cho f, g ∈ C([a, b]) và với x ∈ [a, b], đặt h(x) = min{f(x), g(x)}

và H(x) = max{f(x), g(x)} Chứng minh rằngh, H ∈ C([a, b])

1.2 Các tính chất của hàm liên tục 11

(b) Cho f1, f2, f3 ∈ C([a, b]) và với x ∈ [a, b], đặt f (x) là một trong

ba giá trịf1(x), f2(x)và f3(x)mà nằm giữa hai giá trị còn lại.Chứng minh rằng f ∈ C([a, b])

1.2.14. Chứng minh rằng nếu f ∈ C([a, b]), thì các hàm

m(x) = inf{f(ζ) : ζ ∈ [a, x]} và M (x) = sup{f(ζ) : ζ ∈ [a, x]}

cũng liên tục trên [a, b]

1.2.15. Chof là hàm bị chặn trên[a, b] Chứng minh rằng các hàm

m(x) = inf{f(ζ) : ζ ∈ [a, x)} và M (x) = sup{f(ζ) : ζ ∈ [a, x)}

liên tục trái trên (a, b)

1.2.16. Với các giả thiết của bài toán trước, kiểm tra các hàm

m∗(x) = inf{f(ζ) : ζ ∈ [a, x]} và M∗(x) = sup{f(ζ) : ζ ∈ [a, x]}

có liên tục trái trên (a, b)hay không?

1.2.17. Giả sử f liên tục trên [a,∞) và lim

x →∞f (x) hữu hạn Chứngminh rằng f bị chặn trên [a,∞)

1.2.18. Cho f là hàm liên tục trên R và đặt {xn} là d∙y bị chặn.Các bất đẳng thức sau

lim

n →∞f (xn) = f lim

n →∞xn (b)

1.2.20. Cho f : R → R là hàm liên tục, giảm và d∙y {xn} bị chặn.Chứng minh rằng

lim

n →∞

f (xn) = f lim

n →∞xn ,(a)

lim

n →∞f (xn) = f lim

n →∞

xn (b)

1.2.21. Giả sử f liên tục trên R, lim

x →ư∞f (x) = ư∞ và lim

x →∞f (x) =+∞ Định nghĩa g bằng cách đặt

kỳ không thông ước

1.2.23.

(a) Chứng minh rằng nếuf : R → R là hàm liên tục, tuần hoàn,

khác hàm hằng, thì nó có chu kỳ dương nhỏ nhất, gọi là chu

(b) Chứng minh rằng nếu f : R → Rlà hàm tuần hoàn không cóchu kỳ cơ bản và liên tục tại ít nhất một điểm thì nó là hàmhằng

1.2.25. Chứng minh rằng nếu f, g : R → R là hàm liên tục, tuầnhoàn và lim

x →∞(f (x)ư g(x)) = 0 thìf = g

1.2.26. Cho ví dụ hai hàm tuần hoàn f và g sao cho mọi chu kỳcủa f không thông ước với bất kỳ chu kỳ nào củagvà sao chof + g

1.2 Các tính chất của hàm liên tục 13

(a) không tuần hoàn,

(b) tuần hoàn

1.2.27. Cho f, g : R → R là các hàm liên tục và tuần hoàn lần lượtvới chu kỳ cơ bản dương T1 và T2 Chứng minh rằng nếu T 1

T 2 ∈ Q/ ,thì h = f + g không là hàm tuần hoàn

1.2.28. Cho f, g : R → R là các hàm tuần hoàn Giả sử f liên tục

và không có chu kỳ nào của g thông ước với chu kỳ cơ bản củaf.Chứng minh rằng f + g không là hàm tuần hoàn

1.2.29. Chứng minh rằng tập các điểm gián đoạn của hàm đơn

k=0(ư1)k nk f k

n = 0.

1.2.32. Giả sửf : (0,∞) → Rlà hàm liên tục sao chof (x)≤ f(nx)vớimọi số dương x và mọi số tự nhiên n Chứng minh rằng lim

x →∞f (x)

tồn tại (hữu hạn hoặc vô hạn)

1.2.33. Hàm f xác định trên khoảng I ⊂ R được gọi là lồi trên I

nếu

f (λx1+ (1ư λ)x2)≤ λf(x1) + (1ư λ)f(x2)

với mọi x1, x2 ∈ I và λ ∈ (0, 1) Chứng minh rằng nếu hàm f lồitrên khoảng mở thì nó liên tục Hàm lồi trên khoảng bất kỳ cónhất thiết liên tục không?

1.2.34. Chứng minh rằng nếu d∙y {fn} các hàm liên tục trên A

hội tụ đều tới f trên A, thì f liên tục trênA

1.3 Tính chất giá trị trung gian

Ta nhắc lại định nghĩa sau:

Định nghĩa. Hàm thực f có tính chất giá trị trung gian trên

khoảng I chứa [a, b] nếu f (a) < v < f (b) hoặc f (b) < v < f (a), tức lànếu v nằm giữa f (a) và f (b) thì tồn tại c nằm giữaa và b sao cho

f (c) = v

1.3.1. Cho các ví dụ các hàm có tính chất giá trị trung gian trênkhoảng I nhưng không liên tục trên khoảng này

1.3.2. Chứng minh rằng hàm tăng thực sự f : [a, b] → R có tínhchất giá trị trung gian thì liên tục trên [a, b]

1.3.3. Cho f : [0, 1] → [0, 1] liên tục Chứng minh rằng f có điểm

bất động trong [0, 1], tức là tồn tạix0∈ [0, 1] sao cho f (x0) = x0

1.3.4. Giả sử f, g : [a, b]→ R liên tục sao cho f (a) < g(a) và f (b) >g(b) Chứng minh rằng tồn tại x0 ∈ (a, b) sao chof (x0) = g(x0)

1.3.5. Chof : R → Rliên tục và tuần hoàn với chu kỳT > 0 Chứngminh rằng tồn tại x0 sao cho

f x0+T

2 = f (x0).

1.3.6. Hàmf : (a, b)→ Rliên tục Chứng minh rằng, vớix1, x2, , xn

cho trước trong (a, b), tồn tại x0 ∈ (a, b) sao cho

n

k=0(x + bk), x∈ R,

1.3 Tính chất giá trị trung gian 15

đều là thực

1.3.9. Giả sửf và g có tính chất giá trị trung gian trên[a, b] Hỏi

f + g có tính chất giá trị trung gian trên khoảng đó không ?

1.3.10. Giả sửf ∈ C([0, 2])vàf (0) = f (2) Chứng minh rằng tồn tại

x1 và x2 trong [0, 2] sao cho

x2− x1 = 1 và f (x2) = f (x1)

Giải thích ý nghĩa hình học kết quả trên

1.3.11. Cho f ∈ C([0, 2]) Chứng minh rằng tồn tại x1 và x2 trong

Chỉ ra ví dụ rằng giả thiết về tính liên tục củaf vàgtrong bàitoán trên không thể bỏ qua

1.3.16. Chứng minh rằng đơn ánh liên tục f : R → Rthì hoặc tăngthực sự, hoặc giảm thực sự

1.3.17. Giả sử f : R → R là đơn ánh liên tục Chứng minh rằngnếu tồn tại n sao cho phép lặp thứ n của f là ánh xạ đồng nhất,tức là fn(x) = x với mọi x∈ R, thì

(a) f (x) = x, x∈ R, nếuf tăng thực sự,

(b) f2(x) = x, x∈ R, nếuf giảm thực sự

1.3.18. Giả sử f : R → R thoả m∙n điều kiện f (f (x)) = f2(x) =

ưx, x ∈ R Chứng minh rằngf không thể liên tục

1.3.19. Tìm tất cả các hàm f : R → R có tính chất giá trị trunggian và tồn tại n∈ N sao cho fn(x) =ưx, x ∈ R, ở đây fn kí hiệuphép lặp thứ ncủa f

1.3.20. Chứng minh rằng nếu f : R → R có tính chất giá trị trunggian và fư1({q})đóng với mọi q hữu tỷ, thì f liên tục

1.3.21. Giả sử f : (a,∞) → R liên tục và bị chặn Chứng minhrằng, với T cho trước, tồn tại d∙y {xn}sao cho

lim

n →∞xn= +∞ và lim

n →∞(f (xn+ T )ư f(xn)) = 0

1.3.22. Cho ví dụ hàm liên tục f : R → R đạt mỗi giá trị của nó

đúng ba lần Hỏi có tồn tại hay không hàm liên tục f : R → R đạtmỗi giá trị của nó đúng hai lần ?

1.3.23. Cho f : [0, 1] → R liên tục và đơn điệu thực sự từng khúc.

(Hàm f gọi là đơn điệu thực sự từng khúc trên [0, 1] nếu tồn tạiphân hoạch của [0, 1]thành hữu hạn khoảng con [tiư1, ti], trong đó

i = 1, 2, , n và 0 = t0 < t1 <ã ã ã < tn = 1, sao cho f đơn điệu thực

sự trên mỗi khoảng con đó) Chứng minh rằng f nhận ít nhất mộttrong các giá trị của nó một số lẻ lần

1.3.24. Hàm liên tụcf : [0, 1]→ Rnhận mỗi giá trị của nó hữu hạnlần và f (0) = f (1) Chứng minh rằngf nhận ít nhất một trong cácgiá trị của nó một số lẻ lần

1.3.25. Giả sử f : K → K liên tục trên tập con compact K ⊂ R.Hơn nữa, giả sử x0 ∈ K là số sao cho mọi điểm giới hạn của d∙ylặp {fn(x0)} là điểm bất động của f Chứng minh rằng {fn(x0)}

hội tụ

1.4 Hàm nửa liên tục 17

1.3.26. Hàmf : R → Rliên tục, tăng sao choF xác định bởiF (x) =

f (x)ư x tuần hoàn với chu kỳ 1 Chứng minh rằng nếu α(f ) =lim

n →∞

f n (0)

n , thì tồn tại x0 ∈ [0, 1] sao cho F (x0) = α(f ) Chứng minhrằng f có điểm bất động trong [0, 1]nếu và chỉ nếuα(f ) = 0 (Xem1.1.40 - 1.1.42.)

1.3.27. Hàm f : [0, 1]→ R thoả m∙n f (0) < 0 và f (1) > 0, và tồn tạihàm g liên tục trên [0, 1] sao cho f + g giảm Chứng minh rằngphương trình f (x) = 0 có nghiệm trong khoảng mở(0, 1)

1.3.28. Chứng minh rằng mọi song ánh f : R → [0, ∞) có vô hạn

điểm gián đoạn

1.3.29. Nhắc lại rằng mỗi x ∈ (0, 1) có thể được biểu diễn bởi sốnhị phân a1a2a3 ., ở đây ai ∈ {0, 1}, i = 1, 2, Trong trường hợp

x có hai khai triển nhị phân khác nhau, ta chọn khai triển có vôhạn chữ số 1 Tiếp đó, gọi hàm f : (0, 1)→ [0, 1]được xác định bởi

f (x) = lim

n →∞

1nn

i=1

ai

Chứng minh rằng f gián đoạn tại mọi x∈ (0, 1), tuy nhiên, nó cótính chất giá trị trung gian

1.4 Hàm nửa liên tục

Định nghĩa 1 Tập số thực suy rộng R bao gồm tập số thực vàhai kí hiệu +∞,ư∞ với các tính chất sau:

(i) Nếu x là số thực thì ư∞ < x < +∞, và x +∞ = +∞, x ư ∞ =

ư∞, +x∞ = ư∞x = 0

(ii) Nếu x > 0 thì xã (+∞) = +∞, xã (ư∞) = ư∞

(iii) Nếu x < 0 thì xã (+∞) = ư∞, xã (ư∞) = +∞

Định nghĩa 2 Nếu A⊂ R là tập khác rỗng, thìsup A(tương ứng

inf A) là số thực mở suy rộng nhỏ nhất (tương ứng, lớn nhất) mà

lớn hơn (tương ứng, nhỏ hơn) hoặc bằng mọi phần tử của A.

Cho f là hàm thực xác định trên tập khác rỗng A⊂ R

Định nghĩa 3 Nếu x0 là điểm giới hạn của A, thì giới hạn dưới (tương ứng giới hạn trên) của f (x) khi x → x0 được định nghĩa là

inf (tương ứng sup) của tập tất cả các y ∈ R sao cho tồn tại d∙y

{xn} các điểm trongA khácx0, hội tụ tớix0 vày = lim

n →∞f (xn) Giớihạn dưới và giới hạn trên của f (x) khi x→ x0 được kí hiệu tươngứng bởi lim

x →x 0

f (x) và lim

x →x 0

f (x)

Định nghĩa 4 Giả sử x0 ∈ A là điểm giới hạn của A Hàm giá

trị thực được gọi là nửa liên tục dưới (tương ứng trên) tại x0 nếu

1.4.1. Chứng minh rằng nếux0 là điểm giới hạn củaA vàf : A→

1.4.3. Chứng minh rằng y0 ∈ Rlà giới hạn dưới của f : A→ R tại

điểm giới hạnx0 củaAnếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, hai điều kiệnsau đây được thoả m∙n:

(i) tồn tạiδ > 0 sao chof (x) > y0ư ε với mọi x∈ Athoả m∙n

0 <|x ư x0| < δ,

(ii) với mọi δ > 0, tồn tại x ∈ A sao cho 0 < |x ư x0| < δ và

f (x ) < y0+ ε

1.4 Hàm nửa liên tục 19

Thiết lập điều khẳng định tương tự đối với giới hạn trên của f tại

1.4.9. Giả sửf, g : A→ [0, ∞)vàx0 là điểm giới hạn củaA Chứngminh rằng các bất đẳng thức sau đây đúng (trừ trường hợp cácdạng bất định 0ã (+∞) và (+∞) ã 0):

sin x nếu x hữu tỷ

Tìm tất cả các điểm tại đó f là nửa liên tục

1.4.13. Cho f xác định bởi

f (x) = x

2ư 1 nếu x vô tỷ,

0 nếu x hữu tỷTìm tất cả các điểm tại đó f là nửa liên tục

1.4 Hàm nửa liên tục 21

là nửa liên tục trên

1.4.15. Tìm tất cả các điểm tại đó hàm xác định bởi

và p, q nguyên tố cùng nhau,

0 nếu x∈ (0, 1) và x vô tỷkhông nửa liên tục trên, cũng không nửa liên tục dưới

1.4.16. Cho f, g : A → R nửa liên tục dưới (tương ứng, trên) tại

x0 ∈ A Chứng minh rằng

(a) nếu a > 0 thì af nửa liên tục dưới (tương ứng, trên) tại x0.Nếu a < 0thì af nửa liên tục trên (tương ứng, dưới) tại x0.(b) f + g nửa liên tục dưới (tương ứng, trên) tại x0

1.4.17. Giả sử rằng fn : A → R, n ∈ N, nửa liên tục dưới (tươngứng, trên) tại x0 ∈ A Chứng minh rằng sup

n ∈N

fn (tương ứng, inf

n ∈Nfn)nửa liên tục dưới (tương ứng, trên) tại x0

1.4.18. Chứng minh rằng giới hạn theo từng điểm của một d∙ytăng (tương ứng, giảm) các hàm nửa liên tục dưới (tương ứng,trên) là nửa liên tục dưới (tương ứng, trên)

1.4.19. Vớif : A→ Rvà xlà điểm giới hạn củaA, định nghĩa giao

độ của f tạix bởi

of(x) = lim

δ →0 +sup{|f(z) ư f(u)| : z, u ∈ A, |z ư x| < δ, |u ư x| < δ}

(tương ứng, a > f (x0)), tồn tại δ > 0 sao cho f (x) > a (tương ứng,

f (x) < a) bất cứ khi nào|x ư x0| < δ, x ∈ A

1.4.22. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hàm f : A → R

là nửa liên tục dưới (tương ứng, trên) tại x0 ∈ A là với mọi a∈ R,tập {x ∈ A : f(x) > a} (tương ứng, {x ∈ A : f(x) < a}) là mở trong

1.4.24. Chứng minh định lí Baire sau đây: Mọi hàm nửa liên tục

dưới (tương ứng, trên) f : A → R là giới hạn điểm của d∙y tăng(tương ứng, giảm) các hàm liên tục trên A

1.4.25. Chứng minh rằng nếu f : A→ R nửa liên tục trên,g : A→

Rnửa liên tục dưới vàf (x)≤ g(x)khắp nơi trênA, thì tồn tại hàmliên tục h trên A sao cho

1.5 Tính liên tục đều 23

1.5.1. Kiểm tra các hàm sau đây có liên tục đều trên (0, 1) haykhông:

(a) Chứng minh rằng nếuf là liên tục đều trên(a, b]và trên[b, c)

, thì nó cũng liên tục đều trên (a, c)

(b) Giả sử A và B là các tập đóng trong R và gọi f : A∪ B → R

là liên tục đều trên A và B Hỏi f có nhất thiết liên tục đềutrên A∪ B?

1.5.6. Chứng minh rằng mọi hàm liên tục và tuần hoàn trênRthìliên tục đều trên R

1.5.8. Kiểm tra tính liên tục đều của

1.5.12. Hàm f : [0,∞) → R liên tục đều và với mọi x ≥ 0, d∙y

{f(x + n)} hội tụ tới không Chứng minh rằng lim

x →∞f (x) = 0

1.5.13. Giả sử f : [1,∞) → R liên tục đều Chứng minh rằng tồntại số dương M sao cho |f (x)|x ≤ M vớix≥ 1

1.5.14. Gọi f : [0,∞) → R liên tục đều Chứng minh rằng tồn tại

số dương M với tính chất sau đây :

sup

u>0{|f(x + u) ư f(u)|} ≤ M(x + 1) với mọi x≥ 0

1.5.15. Cho f : A→ R, A ⊂ R, liên tục đều Chứng minh rằng nếu

{xn} là d∙y Cauchy các phần tử trong A, thì {f(xn)} cũng là d∙yCauchy

1.5 Tính liên tục đều 25

1.5.16. Giả sử A ⊂ R bị chặn Chứng minh rằng nếu f : A → R

biến d∙y Cauchy các phần tử của A thành d∙y Cauchy, thìf liêntục đều trên A Giả thiết A bị chặn của có thể bỏ được không?

1.5.17. Chứng minh rằngf liên tục đều trênA⊂ Rnếu và chỉ nếuvới mọi d∙y {xn} và {yn} các phần tử của A,

và gọi ωf là mô đun liên tục của f Chứng minh rằng f liên tục

đều trên A nếu và chỉ nếu lim

δ →0 +ωf(δ) = 0

1.5.21. Chof : R → Rliên tục đều Chứng minh rằng các mệnh đềsau tương đương:

(a) Với mọi hàm liên tục đềug : R → R, f ã g liên tục đều trên R

(b) Hàm x→ |x|f(x) liên tục đều trên R

1.5.22. Chứng minh điều kiện cần và đủ sau đây đểf là hàm liêntục đều trên khoảng I: Với ε > 0 cho trước, tồn tại N > 0 sao chovới mọi x1, x2 ∈ I, x1 = x2,

f (x1)ư f(x2)

x1ư x2

> N suy ra |f(x1)ư f(x2)| < ε

và một trong các điều kiện

(a) f liên tục tạix0∈ R,

(b) f bị chặn trên khoảng (a, b) nào đó,

1.6.6. Tìm tất cả các hàm liên tục f : R → R sao cho f (x)− f(y)

hữu tỷ với x− y hữu tỷ

1.6.15. Cho f : [0, 1]→ [0, 1]là hàm liên tục, đơn điệu giảm sao cho

f (f (x)) = x với x∈ [0, 1] Hỏi f (x) = 1− x có phải là hàm duy nhấtnh− vậy không ?

với mọi d∙y hội tụ Cesàro {xn}

1.6.21. Cho f : [0, 1]→ [0, 1] là đơn ánh sao cho f (2x− f(x)) = xvới