Tài liệu Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P2 doc

2.1. Đạo hàm của hàm số thực 43 2.1.29. Cho f khả vi trên [a; b] thoả mn f(a)=f(b)=0;(i) f 0 (a)=f 0 + (a) > 0;f 0 (b)=f 0 Ă (b) > 0:(ii) Chứng minh rằng tồn tại c 2 (a; b) sao cho f(c)=0 và f 0 (c) 0 . 2.1.30. Chứng minh rằng f(x) = arctan x thoả mnphơng trình (1 + x 2 )f (n) (x)+2(n Ă 1)f (nĂ1) (x)+(n Ă 2)(n Ă1)f (nĂ2) (x)=0 với x 2 R và n á 2 . Chứng minh rằng f (2m) (0) = 0;f (2m+1) (0) = (Ă1) m (2m)!: 2.1.31. Chứng minh rằng (e x sin x) (n) =2 n=2 e x sin x + n ẳ 4 ;x2 R;ná 1;(a) (x n ln x ) (n) = n! à ln x +1+ 1 2 + ÂÂÂ+ 1 n ả ;x>0;ná 1;(b) à ln x x ả (n) =(Ă1) n n!x ĂnĂ1 à ln x Ă 1 Ă 1 2 ĂÂÂÂĂ 1 n ả ;x>0;ná 1;(c) Ă x nĂ1 e 1=x  (n) =(Ă1) n e 1=x x n+1 ;x6=0;ná 1:(d) 2.1.32. Chứng minh các đồng nhất thức sau: n X k=0 à n k ả sin x + k ẳ 2 =2 n=2 sin x + n ẳ 4 ;x2 R;ná 1(a) n X k=1 (Ă1) k+1 1 k à n k ả =1+ 1 2 + ÂÂÂ+ 1 n ;ná 1(b) 2.1.33. Cho f(x)= p x 2 Ă1 với x>1 . Chứng minh rằng f (n) (x) > 0 nếu n lẻ và f (n) < 0 với n chẵn. 2.1.34. Cho f 2n =ln(1+x 2n );n2 N . Chứng minh rằng f (2n) 2n (Ă1) = 0: 44 Chơng 2. Vi phân 2.1.35. Cho P là một đa thức bậc n , chứng minh rằng n X k=0 P (k) (0) (k +1)! x k+1 = n X k=0 (Ă1) k P (k) (x) (k +1)! x k+1 : 2.1.36. Cho á 1 ;á 2 ;::: ;á n là các giá trị thoả mnđiềukiện á k 1 + á k 2 + :::+ á k n > 0; 8k 2 N: Khođóhàm f(x)= 1 (1 Ăá 1 x)(1 Ă á 2 x) ÂÂÂ(1 Ă á n x) sẽ đợc xác định trong lân cận 0. Chứng minh rằng với k 2 N ta có f (k) (0) > 0 . 2.1.37. Cho f là hàm k hả vi đế n cấp n trên (0; +1) . Chứng m inh rằng với x>0 , 1 x n+1 f (n) à 1 x ả =(Ă1) n à x nĂ1 f à 1 x ảả (n) : 2.1.38. Cho I; J là hai k hoảng mở và f : J ! R , g : I ! J là các hàm khả vi vô hạn trên J và I . Chứng minh công thức Faà d i Bruno cho đạo hàm cấp n của h = f g sau: h (n) (t)= X n! k 1 ! ÂÂÂk n ! f (k) (g(t)) à g (1) (t) 1! ả k 1  à g (n) (t) 1! ả k n ; trong đó k = k 1 + k 2 + ÂÂÂ+ k n và tổng lấy trên tất cả các giá trị k 1 ;k 2 ;::: ;k n sao cho k 1 +2k 2 + ÂÂÂ+ nk n = n . 2.1.39. Chứng minh rằng các hàm số sau : f(x)= ( e Ă1=x 2 nếu x 6=0; 0 nếu x =0; (a) g(x)= ( e Ă1=x nếu x>0; 0 nếu x 0; (b) h(x)= ( e Ă 1 xĂa + 1 xĂb nếu x 2 (a; b); 0 nếu x=2 (a; b); (c) cùng thuộc C 1 (R) . 2.2. Các định lý giá trị trung bình 45 2.1.40. Cho f khả vi trên (a; b) sao cho với x 2 (a; b) ta có f 0 (x)=g(f(x)) , trong đó g 2 C 1 (a; b) . Chứng minh rằng f 2 C 1 (a; b) . 2.1.41. Cho f là hàm khả vi cấp hai trên (a; b) và với các số đ; ; thực thoả mn đ 2 + 2 > 0 ta có đf 00 (x)+f 0 (x)+f (x)=0;x2 (a; b): Chứng minh rằng f 2 C 1 (a; b) . 2.2 Các định lý giá trị trung bình 2.2.1. Chứng minh rằng nếu f liên tục trong khoảng đóng [a; b] ,khảvitrên khoảng mở (a; b) và f(a)=f(b)=0 thì với đ 2 R , tồn tại x 2 (a; b) sao cho đf(x)+f 0 (x)=0: 2.2.2. Cho f và g là các hàm liên tục trên [a; b] , khả vi trên khoảng mở (a; b) và giả sử f(a)=f(b)=0 .Chứngminhrằngtồntại x 2 (a; b) sao cho g 0 (x)f(x)+f 0 (x)=0: 2.2.3. Cho f là hàm liên tục trên [a; b];a>0 vàkhảvitrênkhoảngmở (a; b) . Chứng minh rằng nếu f(a) a = f(b) b ; thì tồn tại x 0 2 (a; b) sao cho x 0 f 0 (x 0 )=f(x 0 ): 2.2.4. Giả sử f liên tục trên [a; b] và khả vi trên (a; b) . Chứng minh rằng nếu f 2 (b) Ăf 2 (a)=b 2 Ă a 2 thì phơng trình f 0 (x)f(x)=x có ít nhất một nghiệm trong (a; b) . 46 Chơng 2. Vi phân 2.2.5. Giả sử f và g liên tục, khác 0 trong [a; b] và khả vi t rên (a; b) . Chứng minh rằng nếu f(a)g(b)=f(b)g(a) thì tồn tại x 0 2 (a; b) sao cho f 0 (x 0 ) f(x 0 ) = g 0 (x 0 ) g(x 0 ) : 2.2.6. Giả sử a 0 ;a 1 ;::: ;a n là các số thực thoả mn a 0 n +1 + a 1 n + ÂÂÂ+ a nĂ1 2 + a n =0: Chứng minh rằng đa thức P (x)=a 0 x n + a 1 x nĂ1 + ÂÂÂ+ a n có ít nhất một nghiệm trong (0; 1) . 2.2.7. Xét các số thực a 0 ;a 1 ;::: ;a n thoả mn a 0 1 + 2a 1 1 + 2 2 a 2 3 ÂÂÂ+ 2 nĂ1 a nĂ1 n + 2 n a n n +1 =0: Chứng minh rằng hàm số f(x)=a n ln n x + ÂÂÂ+ a 2 ln 2 x + a 1 ln x + a 0 có ít nhất một nghiệm trong (1;e 2 ) . 2.2.8. Chứng m inh rằng nếu mọi nghiệm của đa thức P có bậc n á 2 đều là thực thì mọi nghiệm của đa thức P 0 cũng đều là thực. 2.2.9. Cho f khả v i liên tục trên [a; b] và khả vi cấp hai trên (a; b) ,giả sử f(a)=f 0 (a)=f(b)=0 . Chứng minh rằng tồn tại x 1 2 (a; b) sao cho f 00 (x 1 )=0 . 2.2.10. Cho f khả vi l iên tục trên [a; b] và khả vi cấp hai trên (a; b) ,giảsử f(a)=f(b) và f 0 (a)=f 0 (b)=0 . Chứng minh rằng tồn tại hai số x 1 ;x 2 2 (a; b);x 1 6= x 2 sao cho f 00 (x 1 )=f 00 (x 2 ): 2.2. Các định lý giá trị trung bình 47 2.2.11. Chứng minh rằng các phơng trình sau: x 13 +7x 3 Ă5=0;(a) 3 x +4 x =5 x (b) có đúng một nghiệm thực . 2.2.12. Chứng minh rằng với các số a 1 ;a 2 ;::: ;a n khác0vàvớicácsố đ 1 ;đ 2 ;::: ;đ n thoả mn đ i 6= đ j ;i6= j ,phơng trình a 1 x đ 1 + a 2 x đ 2 + ÂÂÂ+ a n x đ n =0 có nhiều nhất là n Ă 1 nghiệm trong (0; +1) . 2.2.13. Chứng minh rằng với các giả thiết của bài trên, phơng trình a 1 e đ 1 x + a 2 e đ 2 x + ÂÂÂ+ a n e đ n x =0 có nhiều nhất là n Ă 1 nghiệm trong (0; +1) . 2.2.14. Cho các hàm f;g;h liên tục trên [a; b] và khả vi trên (a; b) ,tađịnh nghĩa hàm F (x)=det f(x) g(x) h(x) f(a) g(a) h(a) f(b) g(b) h(b) ;x2 [a; b]: Chứng minh rằng tồn tại x 0 2 (a; b) sao cho F 0 (x 0 )=0 .Sửdụngkếtquảvừa nhận đợc phát biểu định lý giá trị trung bình và định lý giá trị trung bình tổng quát. 2.2.15. Cho f liên tục trên [0; 2] và khả vi cấp hai trên (0; 2) . Chứng minh rằng nếu f(0) = 0;f(1) = 1 và f(2) = 2 thì tồn tại x 0 2 (0; 2) sao cho f 00 (x 0 )=0 . 2.2.16. Giả sử f liên tục trên [a; b] và khả vi trên (a; b) . Chứng minh rằn g nếu f không là một hàm tuyến tính thì tồn tại x 1 và x 2 thuộc (a; b) sao cho f 0 (x 1 ) < f(b) Ăf(a) b Ăa <f 0 (x 2 ): 48 Chơng 2. Vi phân 2.2.17. Cho f là hàm liên tục trên [0; 1] và khả vi trên (0; 1) . Giả s ử rằng f(0) = f(1) = 0 và tồn tại x 0 2 (0; 1) sao cho f(x 0 )=1 . Chứng minh rằng jf 0 (c)j > 2 với c 2 (0; 1) . 2.2.18. Cho f liên tục trên [a; b];a>0 ,khảvitrên (a; b) . Chứng minh rằng tồn tại x 0 2 (a; b) sao cho bf(a) Ăaf(b) b Ăa = f(x 1 ) Ă x 1 f 0 (x 1 ): 2.2.19. Chứng minh rằng các hàm số x 7! ln(1 + x) , x 7! ln(1 + x 2 ) và x 7! arctan x liêntụcđềutrên [0; +1) . 2.2.20. Giả sử f khả vi cấp hai trên (a; b) và tồn tại M á 0 sao cho jf 00 (x)j M với mọi x 2 (a; b) . Chứng minh rằng f liên tục đều trên (a; b) . 2.2.21. Giả sử f :[a; b] ! R , b Ă a á 4 khả vi trên khoảng mở (a; b) . Chứng minh rằng tồn tại x 0 2 (a; b) sao cho f 0 (x 0 ) < 1+f 2 (x 0 ): 2.2.22. Chứng minh rằng nếu f khả vi trên (a; b) và nếu lim x!a + f(x)=+1; lim x!b Ă f(x)=Ă1;(i) f 0 (x)+f 2 (x)+1á 0; với x 2 (a; b);(ii) thì b Ăa á ẳ . 2.2.23. Cho f liên tục trên [a; b] và khả vi trên (a; b) . Chứng minh rằng nếu lim x!b Ă f 0 (x)=A thì f 0 Ă (b)=A . 2.2.24. Giả sử f khả vi trên (0; 1) và f 0 (x)=O(x) khi x !1 . Chứng minh rằng f(x)=O(x 2 ) khi x !1 . 2.2.25. Cho f 1 ;f 2 ;::: ;f n và g 1 ;g 2 ;::: ;g n là các hàm liên tục trên [a; b] và khả vi trên (a; b) . Giả sử rằng g k (a) 6= g k (b) với mọi k =1; 2;::: ;n . Chứng minh rằng tồn tại c 2 (a; b) sao cho n X k=1 f 0 k (c)= n X k=1 g 0 k (c) f k (b) Ăf k (a) g k (b) Ăg k (a) : 2.2. Các định lý giá trị trung bình 49 2.2.26. Cho hàm f khảvitrênkhoảngmở I và giả sử [a; b] ẵ I . Ta nói rằng f khả vi đều trên [a; b] nếu với mọi ">0 ,tồntại >0 sao cho f(x + h) Ăf(x) h Ă f 0 (x) <" với mọi x 2 [a; b] và jhj < , x + h 2 I . Chứng minh rằng f khả vi đều trên [a; b] khi và chỉ khi f 0 liên tục trên [a; b] . 2.2.27. Cho f liên tục trên [a; b] , g khả vi trên [a; b] và g(a)=0 . Chứng minh rằng nếu tồn tại á 6=0 sao cho jg(x)f(x)+ág 0 (x)j jg(x)j; với x 2 [a; b]; thì g(x) 0 trên [a; b] . 2.2.28. Cho f khả vi trên (0; +1) .Chứngminhrằngnếu lim x!+1 f(x) x =0 thì lim x!+1 jf 0 (x)j =0: 2.2.29. Tìm tất cả các hàm f : R ! R là thoả mnphơng trình hàm f(x + h) Ă f(x) h = f 0 à x + 1 2 h ả với x; h 2 R;h6=0: (HD. Chứng minh rằng phơng trình chỉ có duy nhất nghiệm là một đa thức bậc hai bất kỳ). 2.2.30. Cho các số dơng p; q thoả mn p + q =1 ,hy tìm tất cả các hàm f : R ! R thoả mnphơng trình f(x) Ăf(y) x Ăy = f 0 (px + qy) với x; y 2 R;x6= y: 2.2.31. Chứng minh rằng nếu f khả vi trên khoảng mở I thì f 0 nhận mọi giá trị trung gian trong I . 2.2.32. Cho f khả vi trên (0; 1) . Chứng minh rằng (a) nếu lim x!+1 (f(x) Ăf 0 (x)) = 0 thì lim x!+1 f(x)=0 , 50 Chơng 2. Vi phân (b) nếu lim x!+1 (f(x) Ă2 p xf 0 (x)) = 0 thì lim x!+1 f(x)=0 . 2.2.33. Chứng minh rằng nếu f 2 C 2 ([a; b]) có ít nhất b a nghiệm trong [a; b] thì phơng trình f(x)+f 00 (x)=2f 0 (x) có ít nhất một nghiệm trong [a; b] . 2.2.34. Chứng minh rằng nếu đa thức P bậc n có n nghiệm phân biệt lớn hơn 1 thì đa thức Q(x)=(x 2 +1)P (x)P 0 (x)+xP 2 (x)+(P 0 (x)) 2 có ít nhất 2n Ă 1 nghiệm phân biệt. 2.2.35. Giả sử rằng đa thức P (x)=a m x m +a mĂ1 x mĂ1 +ÂÂÂ+a 1 x+a 0 với a m > 0 có m nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng đ a t hức Q(x)=(P(x)) 2 ĂP 0 (x) có (1)đúng m +1 nghiệm thực phân biệt nếu m lẻ, (2) đúng m nghiệm thực phân biệt nếu m chẵn. 2.2.36. Giảsửđathức P (x) bậc n á 3 có các nghiệm đều thực, viết P (x)=(x Ă a 1 )(x Ă a 2 ) ÂÂÂ(x Ă a n ); trong đó a i a i+1 ;i=1; 2;::: ; nĂ 1 và P 0 (x)=n(x Ă c 1 )(x Ăc 2 ) ÂÂÂ(x Ă c nĂ1 ); trong đó a i c i a i+1 ;i=1; 2;::: ; nĂ 1 . Chứng minh rằng nếu Q(x)=(x Ăa 1 )(x Ăa 2 ) ÂÂÂ(x Ă a nĂ1 ); Q 0 (x)=(n Ă1)(x Ăd 1 )(x Ăd 2 ) ÂÂÂ(x Ă d nĂ2 ); thì d i á c i với i =1; 2;::: ;nĂ 2 . Hơn nữa chứng minh rằng nếu R(x)=(x Ăa 2 )(x Ăa 3 ) ÂÂÂ(x Ăa n ); R 0 (x)=(n Ă1)(x Ăe 1 )(x Ăe 2 ) ÂÂÂ(x Ă e nĂ2 ); thì e i c i+1 với i =1; 2;::: ;nĂ 2 . 2.2. Các định lý giá trị trung bình 51 2.2.37. Sử dụng giả thiết của bài trên hy chứng minh rằng (1)nếu S(x)=(x Ă a 1 Ă ")(x Ă a 2 ) :::(x Ă a n ) ,trongđó ">0 thoả mn a 1 +" a nĂ1 và nếu S 0 (x)=n(xĂf 1 )(xĂf 2 ) :::(xĂf nĂ1 ) thì f nĂ1 á c nĂ1 , (2) nếu T (x)=(x Ăa 1 )(x Ăa 2 ) :::(x Ăa n + ") ,với ">0 thoả mn a n Ă" a 2 và nếu T 0 (x)=n(x Ă g 1 )(x Ăg 2 ) :::(x Ă g nĂ1 ) thì g 1 c 1 . 2.2.38. Sử dụng giả thiết của bài 2.2.36 hy chứng minh rằng a i + a i+1 Ă a i n Ă i +1 c i a i+1 Ă a i+1 Ăa i i +1 ;i=1; 2;::: ;nĂ 1: 2.2.39. Chứng minh rằng nếu f khả vi trên [0; 1] và (i) f(0) = 0 , (ii) tồn tại K>0 sao cho jf 0 (x)j Kjf(x)j với x 2 [0; 1] , thì f(x) 0 . 2.2.40. Cho f là một hàm khả vi vô hạn trên khoảng (Ă1; 1) , J ẵ (Ă1; 1) làmộtkhoảngcóđộdài á .Giảsử J đợc chia thành ba khoảng liên tiếp J 1 ; J 2 ; J 3 có độ dài tơng ứng là á 1 ;á 2 ;á 3 ,tứclàtacó J 1 [ J 2 [ J 3 = J và á 1 + á 2 + á 3 = á . Chứng minh rằng nếu m k (J)=inf â jf (k) (x)j : x 2 J ê ;k2 N; thì m k (J) 1 á 2 (m kĂ1 (J 1 )+m kĂ1 (J 3 )): 2.2.41. Chứng minh rằng với giả thiết của bài trớc, nếu jf(x)j 1 với x 2 (Ă1; 1) thì m k (J) 2 k(k+1) 2 k k á k ;k2 N: 2.2.42. Giảsửrằngđathức P (x)=a n x n + a nĂ1 x nĂ1 + ÂÂÂ+ a 1 x + a 0 có n nghiệm thực ph ân biệt. Chứng minh rằng nếu tồn tại p; 1 p n Ă 1 sao cho a p =0 và a i 6=0 với mọi i 6= p thì a pĂ1 a p+1 < 0 . 52 Chơng 2. Vi phân 2.3 Công thức Taylor và quy tắc LHôpital 2.3.1. Giả sử f :[a; b] ! R khả vi cấp n Ă1 trên [a; b] .Nếu f (n) (x 0 ) tồn tại thì với mọi x 2 [a; b] , f(x)=f(x 0 )+ f 0 (x 0 ) 1! (x Ăx 0 )+ f 00 (x 0 ) 2! (x Ăx 0 ) 2 + ÂÂÂ+ f (n) (x 0 ) n! (x Ăx 0 ) n + o((x Ăx 0 ) n ): (Công thức này đợc gọi là công thức Taylor với phần d dạng Peano). 2.3.2. Giả sử f :[a; b] ! R khả vi liên tục cấp n trên [a; b] và giả sử rằng f (n+1) tồn tại trong khoảng mở (a; b) . Chứng minh rằng với mọi x; x 0 2 [a; b] và mọi p>0 tồn tại à 2 (0; 1) sao cho , f(x)=f(x 0 )+ f 0 (x 0 ) 1! (x Ăx 0 )+ f 00 (x 0 ) 2! (x Ăx 0 ) 2 + ÂÂÂ+ f (n) (x 0 ) n! (x Ăx 0 ) n + r n (x); trong đó r n (x)= f (n+1) (x 0 + à(x Ăx 0 )) n!p (1 Ăà) n+1Ăp (x Ăx 0 ) n+1 đợc gọi là phần d dạng Schlomilch-Roche. 2.3.3. Sử dụng kết quả trên hy chứng minh các dạng phần d sau: r n (x)= f (n+1) (x 0 + à(x Ăx 0 )) (n +1)! (x Ăx 0 ) n+1 (a) (dạng Lagrange), r n (x)= f (n+1) (x 0 + à(x Ăx 0 )) n! (1 Ăà) n (x Ăx 0 ) n+1 (b) (dạng Cauchy). [...]... 2.5.57 Chỉ ra ví dụ để chứng tỏ rằng giả thiết khả vi vô hạn trên [0; 1] trong bài tập trên là cần thiết Chứng minh rằng nếu lim f (n) (x) = 0 n!1 với mỗi x 2 [0; 1] thì ta không thể suy ra kết luận trong bài 2.5.56 Chương 2 Vi phân 76 2.6 Khả vi mạnh và khả vi theo nghĩa Schwarz Định nghĩa 1 Một hàm thực xác định trên tập mở A ẵ R được gọi là khả vi mạnh tại điểm a 2 A nếu f (x1 ) Ă f (x2 ) = f Ô... 2.6.5 Cho tập mở G ẵ A Chứng minh rằng f khả vi mạnh trên G khi và chỉ khi đạo hàm f 0 liên tục trên G 2.6.6 Chứng minh rằng nếu f khả vi trên R thì nó khả vi mạnh trong một tập thặng dư, tức là trong tập RnB trong đó B là một tập thuộc phạm trù thứ nhất trên R (xem 1.7.20) 2.6.7 Giả sử f liên tục trên [a; b] và tồn tại đạo hàm Schwarz f s trong một khoảng mở (a; b) Chứng minh rằng nếu f (b) > f(a)... 2.6.15 Ta nói hàm f : R ! R có tính chất Baire nếu tồn tại một tập thặng dư S ẵ R để f liên tục trên đó Chứng minh rằng nếu f có tính chất Baire thì tồn tại một tập thặng dư B sao cho với mọi x 2 B, Ds f (x) = DÔ f (x) và Ds f(x) = DÔ f (x): 2.6.16 Chứng minh rằng nếu f có tính chất Baire và khả vi Schwarz trên R thì f khả vi mạnh trên một tập thặng dư 2.6.17 Cho f khả vi Schwarz trên một khoảng mở I... Một hàm lồi f được gọi là lồi chặt trong I nếu bất đẳng thức (1) là chặt với x1 6= x2 f là hàm lõm nếu Ăf là hàm lồi Định nghĩa 2 Hàm f (x) được gọi là thoả mn điều kiện Lipschitz địa phương trên một khoảng mở I với hằng số Lipschitz L > 0 nếu với mọi x; y 2 I, x 6= y thì jf(x) Ă f (y)j Ljx Ă yj: 2.4.1 Chứng minh rằng f khả vi trên một khoảng mở I là lồi khi và chỉ khi f 0 tăng trong I 2.4.2 Chứng... là tập các điểm mà tại đó f khả vi và khả vi mạnh Chứng minh rằng nếu a 2 AÔ là một điểm giới hạn của AÔ thì lim f Ô (x) = lim f 0 (x) = f Ô (a) = f 0 (a): x!A x2AÔ x!A x2A1 2.6.3 Chứng minh rằng mọi hàm khả vi liên tục tại a thì khả vi mạnh tại a 2.6 Khả vi mạnh và khả vi theo nghĩa Schwarz 77 2.6.4 Từ tính khả vi mạnh của f tại a có suy ra được tính liên tục của f 0 tại điểm đó không ? 2.6.5 Cho tập. .. lồi và giới nội trên (a; b) , Ă1 a; b 1 Chứng minh rằng f liên tục đều trên (a; b) (So sánh với bài 2.4.14) 2.4.19 Giả sử f : (a; b) ! R lồi trên (a; b), trong đó Ă1 a; b 1 Chứng minh rằng đạo hàm một phía của f tồn tại và đơn điệu trên (a; b) Hơn nữa đạo hàm phải và trái của nó bằng nhau bên ngoài một tập đếm được 2.4.20 Giả sử f khả vi cấp hai trên R và f; f 0 ; f 00 tăng chặt trên R Với a; b cho... Chứng minh rằng f lồi trên I 2.4.27 Chứng minh rằng điều kiện liên tục trong bài 2.4.26 là không thể bỏ được (Hy chỉ ra phản ví dụ) 2.4.28 Cho f liên tục trên I sao cho ả à x+y f(x) + f (y) f < 2 2 với x; y 2 I, x 6= y Chứng minh rằng f lồi chặt trên I 2.4.29 Giả sử f lồi trong khoảng mở I Chứng minh rằng f thoả mn điều kiện Lipschitz địa phương trên I Chương 2 Vi phân 66 2.4.30 Cho f : (0; 1) ! R lồi,... sử f liên tục trên I chứa [a; b] Chứng minh rằng f khả vi Schwarz đều trên [a; b] khi và chỉ khi f s liên tục trên [a; b] 2.6.19 Hy chỉ ra phản ví dụ để chứng tỏ rằng giả thiết liên tục của hàm f ở bài tập trên là cần thiết 2.6.20 Chứng minh rằng một hàm bị chặn địa phương trên khoảng mở I f sẽ khả vi Schwarz đều trên mọi đoạn [a; b] ẵ I khi và chỉ khi f 0 liên tục trên I ... f 0 (x)) = 0 thì lim f(x) = 0 x!+1 x!+1 2.5.5 Cho f khả vi cấp hai trên (0; 1) Chứng minh rằng nếu lim (f(x) + x!+1 f 0 (x) + f 00 (x)) = L thì lim f (x) = L x!+1 2.5.6 Cho f khả vi cấp ba trên (0; 1) Liệu từ sự tồn tại của giới hạn lim (f(x) + f 0 (x) + f 00 (x) + f 000 (x)) x!+1 có suy ra sự tồn tại của giới hạn lim f(x) không ? x!+1 2.5.7 (a) Giả sử f khả vi liên tục trên (0; 1) và cho f (0) = 1... minh bất đẳng thức sau biết 0 < đ < 1 và x; y > 0 : (x + y)đ < xđ + y đ : 2.5.26 Cho đ 2 (0; 1) và x 2 [Ă1; 1], chứng minh rằng (1 + x)đ 1 + đx Ă đ(đ Ă 1) 2 x: 8 2.5.27 Chứng minh kết quả tổng quát của bài trên: Cho B á 0 và x 2 (Ă1; B], chứng minh rằng: (a) (b) đ(1 Ă đ) 2 x 2(1 + B)2 đ(1 Ă đ) 2 (1 + x)đ á 1 + đx Ă x 2(1 + B)2 (1 + x)đ 1 + đx Ă với 0 < đ < 1; với 1 < đ < 2: 2.5.28 Chứng minh rằng (a) . lồi. Định nghĩa 2. Hàm f(x) đợcgọilàthoảmn điều kiện Lipschitz địa phơng trên một khoảng mở I với hằng số Lipschitz L>0 nếu với mọi x; y 2 I , x 6= y thì jf(x). ;nĂ 2 . 2.2. Các định lý giá trị trung bình 51 2.2.37. Sử dụng giả thiết của bài trên hy chứng minh rằng (1)nếu S(x)=(x Ă a 1 Ă ")(x Ă a 2 ) :::(x Ă