Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Phép tính vi phân hàm nhiều biếnA. Lý thuyết.• Định nghĩa hàm hai (nhiều) biến và MXĐ của hàm số. Định nghĩa và cách tính giới hạn dãy điểm, giới hạn hàm số. Định nghĩa tính liên tục của hàm số.• Định nghĩa và cách tính đạo hàm riêng cấp 1. Biểu thức và ứng dụng cua vi phân cấp 1. Công thức tính đạo hàm riêng của hàm hợp. Cách tính đạo hàm riêng và vi phân cấp 2 (cấp cao).• Định nghĩa cực trị. Các định lý điều kiện cần, điều kiện đủ của cực trị (quy tắc tìm cực trị). Công thức tính đạo hàm hàm ẩn. Định nghĩa cực trị có điều kiện. Cách tìm cực trị có điều kiện. Cách tìm max và min của hàm số trên tập đóng và giới nội.

Phép tính vi phân hàm nhiều biến A Lý thuyết • Định nghĩa hàm hai (nhiều) biến MXĐ hàm số Định nghĩa cách tính giới hạn dãy điểm, giới hạn hàm số Định nghĩa tính liên tục hàm số • Định nghĩa cách tính đạo hàm riêng cấp Biểu thức ứng dụng cua vi phân cấp Cơng thức tính đạo hàm riêng hàm hợp Cách tính đạo hàm riêng vi phân cấp (cấp cao) • Định nghĩa cực trị Các định lý điều kiện cần, điều kiện đủ cực trị (quy tắc tìm cực trị) Cơng thức tính đạo hàm hàm ẩn Định nghĩa cực trị có điều kiện Cách tìm cực trị có điều kiện Cách tìm max hàm số tập đóng giới nội B Bài tập b) z = a) z = ln xy c) z = − d) z = x2 y − a b2 1 + x+ y x− y 1 Tìm miền xác định hàm sau y − x2 e) z = arcsin y −1 x f) z = x ln y Lời giải { a) D = ( x, y ) ∈ ¡ b) D = { ( x, y ) ∈ ¡ } : xy > : y ≠ x2 }   y2   x c) D = ( x, y ) ∈ ¡ : + ≤ 1 a b     d) D = ( x, y ) ∈ ¡ : − x < y < x { } e) Hàm số xác định  y ≤ x +  y ≥ x +  y −1 − y + x + ∨  ≥0 1 − x = y −1   x > x < x −1 ≤ ≤1⇔  ⇔ x  y −1 +1 = y + x −1 ≥  y ≥ − x + ∨  y ≤ − x +   x  x > x  x <  f) Hàm số xác định x ≥ x ≤ x ≥ x ≤ x ln y ≥ ⇔  ∨ ⇔ ∨ ln y ≥ ln y ≤ y ≥ 0 < y ≤   Tính giới hạn sau http://kinhhoa.violet.vn ( ) lim a) x→0 x + y sin xy y →0 2 x sin xy lim b) x→0 x y  lim c) x→∞  + ÷ x  y →2 x+ y lim d) x→∞ x + y y →2 x +y lim e) x→0 y →∞ y →0 ( lim f) x→0 + x2 + y2 + − y →0 2 x2 + y2 x y ) Lời giải lim( x + y ) = 2 ≤ x + y x→0 a) Từ ≤ x + y sin , theo tiêu chuẩn kẹp, ta xy y →0 lim x + y sin =0 x→0 xy ( 2 ) y →0 lim b) x→0 y →2 ( ) sin xy / sin xy = lim y = x→0 xy x y →2 y x  y y y   c) lim  + ÷ = lim  + ÷  = e x→∞  x  x→∞  x  y →2 y →2     x y x+ y 1 ≤ + < + d) Từ < 2 x y x +y x +y x +y x 1∞ 1 1 1 lim  + ÷ = lim + lim = , theo tiêu chuẩn kẹp, ta x→∞  x y ÷ x→∞ x y →∞ y  y →∞  lim x→∞ y →∞ lim e) x→0 y →0 x2 + y x2 + y2 + − t2 0/0 = lim t →0 x+ y = x2 + y lim t + − t →0 ( ) t + + = 2, t := x + y x2 y = lim =0 f) Do x→0 x + y x →0 nên y →0 y →0 + y x lim ( lim + x→0 y →0 2 x2 + y2 x y )  = lim  + x y x →0  y →0  ( ) x2 y x2 y2  x2 + y2    = e0 = Chứng minh hàm sau khơng có giới hạn ( x, y ) → ( 0,0 ) x a) f ( x, y ) = x+ y x2 − y2 b) f ( x, y ) = x + y2 c) f ( x, y ) = x2 y x2 y + ( x − y ) Lời giải http://kinhhoa.violet.vn a) Do k → ∞ , ta có  1 1 1 1/ k 1  1  xk , yk =  k , k ÷ → ( 0,0 )  f xk , yk = 1/ k + 1/ k = →       −1/ k 2  2 2 f x ,y =  x , y = − , → ( 0;0 ) = −1 → −1 k k  ÷   k k −1/ k + / k  k k   ( ) ( ) ( ) ( ) b) Do k → ∞ , ta có   1 1/ k − 1/ k 1 1 xk , yk =  , ÷ → ( 0,0 ) f x1 , y1 = =0→0   k k   k k 1/ k + 1/ k   2  f x , y = / k − 1/ k = →  x , y =  ,  → ( 0;0 )  ÷ k k   k k k k / k + 1/ k   ( ) ( ) ( ) ( ) c) Do k → ∞ , ta có  1/ k 1/ k  1 1 1 f x1 , y1 = =1→1  k k  xk , yk =  k , k ÷ → ( 0,0 ) 1/ k 1/ k + ( 1/ k − 1/ k )        −1  1/ k 1/ k 1 2  x ,y = ,  f x2 , y = = →  ÷ → ( 0;0 ) k k  k k  k k   5  1/ k 1/ k + ( 1/ k + 1/ k )  ( ) ( ) ( ) ( ) Tính đạo hàm hàm riêng cấp vi phân toàn phần hàm sau x2 − y b) z = x + y2 a) z = x + y − xy d) z = x x y ( 2 g) z = ln x + x + y j) u = e xyz ) c) e) z = yx y f) z = h) z = arctg y x x y − xy y−x i) z = arcsin x y x z  x k) u =  xy + ÷ y  y sin z z=e sin l) u = ln ( xy + z ) Lời giải ( ) ( ) 2 2 a) z′ = x − y, z′ = y − x dz = x − y dx + y − x dy x y ′ b) z x = (x xy 2 + y2 ) , z′y = −4 x y (x + y2 ) dz = y c) z′ = − x 4xy ( xdx − ydy ) (x + y2 ) y y y sin  y y y sin y sin  cos e x , z′y = cos e x dz = cos e x  − dx + dy ÷ x x x x x x  x  d) Ta có z = e x y ln x z′ = z = e x x y Vậy ln x http://kinhhoa.violet.vn (x y ln x )′ x = xx y ( yx y −1 ) ln x + x y −1 = x x y + y −1 ( y ln x + 1) , z′y = e x y ln x (x dz = x x y y ln x + y −1 )′ y = xx y (x y ) ln x.ln x = x x ( y ln x + 1) dx + (x xy+y y +y ) ln x dy z′ = y x y −1 , z′y = x y + yx y ln x = x y (1 + y ln x ) x e) dz = x y  y x −1dx + ( + y ln x ) dy    f) z′ = x xy − y 2 x y − xy , z ′y = x − xy 2 x y − xy dz = x 1+ g) z′ = x ln x , x+ x + y = x +y dz = − y / x2 ( ) xy − y dx + x − xy dy 2 x y − xy x x2 + y 2 , z′y = dx x2 + y + x2 + y 2 x+ x + y ( x+ xdy x2 + y2 ) = ( x+ x x +y ) , x +y x2 + y −y 1/ x x − ydx + xdy , z′y = = , dz = 2 x2 + y x + y2 x2 + y 1+ ( y / x) 1+ ( y / x) y 1 − ydx + dy z′ = − , z′y = dz x = x x i) x −  y − x / x2 x −  y − x / x2 , x − ( y − x ) / x  ( )  ( )      h) z′ = x xyz j) u = e sin = y z y y xyz y y y xyz y xyz xyz xyz ¢ *) u¢ = yze sin , u¢ = xze sin + e cos ;uz = xye sin - e cos * x y z z z z z z z ỉ ỉ ÷ ỉ y y y y xyz ỗ ữ ỗ dy ỗ dz *) du = e ỗyzsin dx + ỗxzsin + cos ữ + ỗxy sin - cos ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ z z z zø z z zø ø è è è z  x k) u =  xy + ÷ y  z- z z ỉ x ưỉ ỉ 1ửổ ử- ổ ổ ữỗ xử ỗ ỗ ữỗxy + x ữ ;u = ỗxy + x ữ ln ỗxy + x ữ  ữ ữ ữ ữ ỗ ữ u = z ỗy + ữxy + ữ ;uy = z ỗy ỗ ỗ ữỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ữ x z ỗ ữ ỗ ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ỳè ỳ yứ yứ ố yứ ữ ố ố ỗ y2 ứ è è z ỉ ỉ ư- 1éỉ ỉ ự ỗxy + x ữ ỗy + 1ữ + z ỗy - x ữ + ln ỗxy + x ữ ỳ ữ ỗ ữ ờỗ ữ ữ ỳ du = ỗ z dx dy dz ỗ ữ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ç ỳ ê è ỳ ỳ ú ÷ è è ç y2 ø è ë û l) u = ln ( xy + z ) u¢ = x http://kinhhoa.violet.vn y x ¢ ;u¢ = ;uz = y xy + z xy + z xy + z du = Chứng minh ( ( ydx + xdy + dz) xy + z ∂z ∂z + y = ∂x ∂y ∂z ∂z + y = xy + z thoả phương trình x ∂x ∂y ) 2 a) Hàm z = ln x + xy + y thoả phương trình x b) Hàm z = xy + xe y / x Lời giải a) Ta có ∂z 2x + y ∂z 2y + x = , = 2 ∂x x + xy + y ∂y x + xy + y Khi x ∂z ∂z 2x + y 2y + x +y =x +y = ∂x ∂y x + xy + y x + xy + y b) Ta có ∂z y  ∂z  = y + e y / x  − ÷∧ = x + ey/ x ∂x  x  ∂y Khi x ∂z ∂z y  + y = xy + xe y / x 1 − ÷+ yx + ye y / x = xy + xe y / x = xy + z ∂x ∂y  x Dùng biểu thức vi phân cấp tính gần trị biểu thức a) A = ( 1,003) 1,995 b) B = ( 1,95 ) + ( 8,1) c) C = arctg 1,02 0,95 Lời giải Trong ta áp dụng công thức ′ f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ≈ f ( x0 , y0 ) + f x′ ( x0 , y0 ) ∆x + f y ( x0 , y0 ) ∆y a) Đặt Ta ( x0 , y0 ) = ( 1;2 ) , ( ∆x, ∆y ) = ( 0,003; −0,005) , f ( x, y ) = x y , f x′ = yx y −1; f y′ = x y ln x , ′ f ( x0 , y0 ) = 1, f x′ ( x0 , y0 ) = 2, f y ( x0 , y0 ) = A = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ≈ + × 0,003 + × ( −0,005 ) = 1,006 b) Đặt ( x0 , y0 ) = ( 2;8 ) , ( ∆x, ∆y ) = ( −0,05;0,1) , f ( x, y ) = x + y , f x′ = 9x 9x2 + y2 ′ ; fy = y 9x2 + y2 , f ( x0 , y0 ) = 10, f x′ ( x0 , y0 ) = 1,8, f x′ ( x0 , y0 ) = 0,8 http://kinhhoa.violet.vn Khi B = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ≈ 10 + 1,8 × ( −0,05 ) + 0,8 × 0,1 = 9,99 c) Đặt ( x0 , y0 ) = ( 1;1) ; ( ∆x, ∆y ) = ( 0,02; −0,05 ) , x y −x ′ f ( x, y ) = arctg , f x′ = , fy = , y x +y x + y2 π 1 f ( x0 , y0 ) = , f x′ ( x0 , y0 ) = , f x′ ( x0 , y0 ) = − 2 Khi C = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ≈ π 1 π + × 0,02 − × 0,05 = + 0,035 2 Tính đạo hàm hàm riêng hàm hợp sau a) Cho z = x sin y, x = u ′ ′ , y = v u Tính zu , zv v x b) Cho f ( x, y ) = arctg , x = u sin v, y = u cos v Tính fu′, f v′ y x c) Cho z = y arctg , y = cos x Tính z′ x y x , x = 3t , y = + t Tính f t ′ d) Cho f ( x, y ) = ln sin y Lời giải a) Ta có v u ′ ′ ′ ′ , yv = u z′ = x sin y, z′y = x cos y ; xu = , xv = − ; yu = x v u v Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp, ta ′ ′ zu = z′ xu + z′y yu = x ′ 2u v sin v u + cos v u 2 u v 2u ′ ′ zu = z′ xv + z′y yv = − sin v u + v cos v u x ′ v x b) Cho f ( x, y ) = arctg , x = u sin v, y = u cos v Tính fu′, f v′ y u cos v u sin v ′ ′ f u′ = f x′xu + f y′ yu = 2 sin v − 2 cosv = 2 u sin v + u cos v u sin v + u cos v u cos v u sin v ′ ′ f u′ = f x′xv + f y′ yv = 2 ucosv + 2 u sin v = 2 u sin v + u cos v u sin v + u cos v c) Ta có z′ = x y2 x xy , z′y = arctg − , y′ ( x ) = − sin x y x + y2 x2 + y2 Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp, ta http://kinhhoa.violet.vn  dz cos x x x cos x  = z′ + z′y y′ ( x ) = −  arctg − ÷sin x x dx x + cos x  cos x x + cos x ÷   x , x = 3t , y = + t Tính f t ′ y d) Cho f ( x, y ) = ln sin ¢ fx = y cot g x y x ¢ ,fy = - y3 cot g x y  t2  cot g 2 − ÷ 4 1+ t2 1+ t2  1+ t2  Tính đạo hàm hàm riêng vi phân cấp hàm sau a) z = ln( x + y ) c) z = arctg 3t 3t f t ′ = f x′xt′ + f y′ yt′ = b) z = xy + y x+ y − xy d) u = x2 + y + z Lời giải ( ) y − x2 −1 2x , z′′ = , z′y = a) z′ = z′′ = xx yy x x +y x +y x2 + y x2 + y ( x b) z′ = y xy + y x+ y , z′y = xy + y − y2 z′′ = xx ( xy + y ) ( − xy ) c) z′ = x ( − xy ) ( − xy ) + ( x + y ) d) u = x + y2 + z2 u¢ = x ¢ u¢ = xx ¢ u¢ = xy (1+ x ) x x2 + y2 + z2 ) x2 + y2 + z2 - xy ( ) ( x2 + y ) ( xy + y ) , z′′ = xy xy ( xy + y ) + y2 1 = = , y′ = , 2 2 1+ x y + x + y 1+ x + y2 , z′′ = yy −2 y (1+ y ) , z′′ = xy y2 + z2 ( − x2 , z′′ = yy −2 x ( −2 x , + y2 z′′ = xx ) , z′′ = xy ) x2 + y2 + z2 http://kinhhoa.violet.vn y ;u¢ = y ¢ ;u¢ = yy ¢ ;u¢ = zy ¢ ;uz = x2 + y2 + z2 x2 + z2 ( ) x2 + y2 + z2 - yz ( ) x2 + y2 + z2 z x2 + y2 + z2 ¢ ¢ ;uzz = ¢ ¢ ;uzx = y2 + x2 ( ) ) x2 + y2 + z2 - zx ( x2 + y2 + z2 d u= ( ( ) ( ) ( ) é ù 2 2 2 2 êy + z dx + x + z dy + x + y dz - 2xydxdyú ê ú ú ê 2xzdxdz - 2yzdydz ú ë û x2 + y2 + z2 ê ) Tính đạo hàm hàm ẩn xác định phương trình sau x+ y y y x xy - =0 Tính y ′(x) a) arctg b) xe + ye − e = Tính y′(x ) a a 2  x + y − z = x + y + z − xyz = Tính z ′ , z ′ Tính y′ ( x ) , z ′ ( x ) c) d)  x y 2  x + y + 3z =  Lời giải a) Ta có ′ F ( x ) := xe y + ye x − e xy , Fx′ = e y + ye x − ye xy , Fy = xe y + e x − xe xy Áp dụng cơng thức tính đạo hàm hàm ẩn, ta Fx′ e y + ye x − ye xy y′ ( x ) = − =− y ′ Fy xe + e x − xe xy b) F ( x ) := xy − ln y − a ⇒ y′ ( x ) = − c) F ( x ) := y − x ⇒ y′ ( x ) = − x y 10 Phương trình z + = x Fx′ y y2 =− = ′ Fy x − ( 1/ y ) − xy Fx′ yx y −1 − y x ln y = ′ Fy xy x −1 − x y ln x y − z xác định hàm ẩn z = z(x,y) Chứng minh x2 ∂z ∂z + = \ ∂x y ∂y z Giải 11 Tìm cực trị hàm sau a) z = 4( x − y ) − x − y b) z = x + xy + y + x − y + c) z = x + y − xe y d) z = ( x − 1) + y e) z = x + y − x − y f) z = xy − x − y + 10 g) z = x3 + xy − 15 x + 12 y h) z = xy + 2 i) u = x + y + z − xy − x − z 2 j) u = x − y − x + y + z + z − 50 20 + x y Lời giải a) • Tìm điểm tới hạn  z′ = − x = x =  x ⇔ ⇒ M ( 2, −2 )  ′ z y = −4 − y = y = −2    • Xác định điểm cực trị http://kinhhoa.violet.vn z′′ = −2; z′′ = 0; z′′ = −2 xx xy yy Tại M : A = −2 < 0, B = 0, C = −2, B − AC = −4 < ⇒ M điểm cực đại zmax =  z′ = x + y + =  x  x = −1 ⇔ ⇒ M ( −1,1) b) •   z′y = y + x − = y =1  • z′′ = 2; z′′ = 1; z′′ = xx xy yy Tại M : A = > 0, B = 1, C = 2, B − AC = −3 < ⇒ M điểm cực tiểu zmin =  z′ = − e y = x =  x ⇔ ⇒ M ( 1,0 ) c) •  y y =  z′y = − xe =  y y • z′′ = 0; z′′ = −e ; z′′ = − xe xx xy yy Tại M : A = 0, B = −1, C = −1, B − AC = > ⇒ Hàm số khơng có cực trị  z′ = ( x − 1) = x =  x ⇔ ⇒ M ( 1,0 ) d) •  z′y = y = y=0    • z′′ = 2, z′′ = 0, z′′ = xx xy yy Tại M : A = > 0, B = 0, C = 4, B − AC = −8 < ⇒ M điểm cực tiểu zmin = ; e) • Tìm điểm tới hạn   z′ = x3 − x =  x x = ∨ x = ± ⇔  z′y = y − y =   y = ∨ y = ±1   Vậy hàm số có điểm tới hạn 1   M1 (0,0), M 2,3 ( 0, ±1) , M 4,5 ( ± ,0), M 6,7 ( , ±1), M 8,9  − , ±1÷ 2   • Xác định điểm cực trị z′′ = 24 x − 2; z′′ = 0; z′′ = 12 y − xx xy yy * Tại M : A = −2 < 0, B = 0, C = −4, B − AC = −8 < ⇒ M1 điểm cực đại zmax = * Tại M 2,3 : A = −2 < 0, B = 0, C = 8, B − AC = 16 > ⇒ M 2,3 điểm cực trị * Tại M 4,5 : A = > 0, B = 0, C = −4, B − AC = 16 > ⇒ M 4,5 điểm cực trị * Tại M 6,7 : A = > 0, B = 0, C = 8, B − AC = −32 < ⇒ M 6,7 điểm cực tiểu zmin = − * Tại M 8,9 : A = > 0, B = 0, C = 8, B − AC = −32 < http://kinhhoa.violet.vn ⇒ M 8,9 điểm cực tiểu zmin = −  z′ = y − x = x =  x ⇔ ⇒ M ( 0,0 ) f) •  z′y = x − y = y=0    • z′′ = −6; z′′ = 2; z′′ = −4 xx xy yy Tại M : A = −6 < 0, B = 2, C = −4, B − AC = −20 < ⇒ M điểm cực đại zmax = 10 g) • Tìm điểm tới hạn  z ′ = 3x + y − 15 =  x = −2, y =  x ⇔   x = −1, y =  z ′ = xy + 12 =  y ⇒ M1 ( 2, −1) , M ( −1, ) , M ( −2,1) , M ( −2,1) • Xác định điểm cực trị z′′ = x, z′′ = y, z′′ = x xx xy yy * Tại M : A = 12 > 0, B = −6, C = 12, B − AC = −108 < ⇒ M1 điểm cực tiểu zmin = −22 * Tại M : A = −6 > 0, B = 12, C = −6, B − AC = 108 > ⇒ M điểm cực trị * Tại M : A = −12 > 0, B = 6, C = −12, B − AC = −108 < ⇒ M điểm cực tiểu zmin = −22 * Tại M : A = > 0, B = −12, C = 6, B − AC = 108 > ⇒ M điểm cực trị 50  ′  zx = y − x2 = x =  ⇔ ⇒ M ( 5, ) h) •  y =  z′y = x − 20 =  y2  100 40 , z′′ = 1, z′′ = xy yy x3 y Tại M : A = > 0, B = 1, C = 5, B − AC = −3 < ⇒ M điểm cực tiểu zmin = 30 • z′′ = xx 12 Tìm cực trị có điều kiện hàm sau a) z = xy với x + y = b) z = cos x + cos y với y − x = c) z = x + y với x + y = d) z = http://kinhhoa.violet.vn π 1 1 + với + = x y x y a 10 Lời giải a) Do x + y = ⇔ y = 1− x , nên ta đưa toán tốn tìm cực trị hàm biến z = z ( x ) = x − x2 , x ∈ ¡ Ta có z′ ( x ) = − x = ⇔ x = Vậy hàm z ( x ) đạt cực đại x = 1 z′′ ( x ) = −2, z′′  ÷ = −2  2 nên hàm z ( x, y ) đạt cực đại có điều kiện ( x, y ) =   1 , ÷ zmax = 2 2 b) Do y−x= π π ⇔ y = x+ 4 nên ta đưa tốn tốn tìm cực trị hàm biến π  z = z ( x ) = cos x + cos  x + ÷, x ∈ ¡ 4  Ta có π π   z ′ ( x ) = − sin 2x − sin  x + ÷ = − sin 2x − cos x = − sin  x + ÷ 2 4   π π π kπ  z′ ( x) = ⇔ 2x + = k π ⇔ x = − + z ′′ ( x ) = −2 cos  x + ÷ 4  2 2, k = 2m + π   π kπ   π z ′′  − + = −2 cos  − + k π + ÷ = −2 cos ( k π ) =  , m ữ −2 2, k = 2m  Vậy hàm số đạt cực tiểu có điều kiện  π ( 2m + 1) π π ( 2m + 1) π  1 , + cos ( 2m + 1) π = − − + ÷ với zmin = + 2   đạt cực đại có điều kiện 1 π  π  cos ( 2mπ ) = +  − + mπ, + mπ ÷ với zmax = + 2   c) Hàm Lagrange ( L ( x, y , λ ) = x + y + λ x + y − ) • Tìm điểm tới hạn http://kinhhoa.violet.vn 11   L′ = + 2λx =  x = −1/ 2λ x M1 ( 1, ) , λ = −      L′ = + 2λy = ⇔  y = −1/ λ ⇔  y  M ( −1, −2 ) ; λ =   2 λ = 1/  x + y =    • Xác định điểm cực trị ( )  Lxx = 2λ, Lxy = 0, L′′ = 2λ ⇒ d L = 2λ dx + dy ′′ ′′ yy   x2  ⇒ d L = 2λ  + ÷dx  x  y ÷   ϕ′x = x, ϕ′y = y ⇒ d ϕ = ( xdx + ydy ) = ⇔ dy = − dx y  * Tại M ( 1, ) , λ = − : 1   1 d L 1, 2, − ÷ = −  + ÷dx < 0, ∀dx ≠ ⇒ M1 điểm cực đại có điều kiện 2   4 * Tại M ( −1, −2 ) , λ = : 1  1  d L  −1, −2, ÷ = 1 + ÷dx > 0, ∀dx ≠ ⇒ M điểm cực tiểu có điều kiện 2  4  d) Hàm Lagrange L ( x, y , λ ) = • Tìm điểm tới hạn  1 1  + + λ  + − ÷, a > x y y a  x  2λ ′  Lx = − − =  x x   x = y = −2λ  M − 2a, − a , λ =  2λ   ⇔ a  L′ = − − = ⇔  y λ=± y y M     2 a, 2a , λ = − 1  1  2+ = y a x  ( ( ) ) a a • Xác định điểm cực trị   3λ   3λ   6λ 6λ ′′ ′′  Lxx = + , Lxy = 0, L′′ = + ⇒ d L =  + ÷dx +  + ÷dy  yy x x y y x  y   x   y      2 y3  ϕ′x = − , ϕ′y = − ⇒ d ϕ = −2  dx + dy ÷ = ⇔ dy = − dx  x y y x x    3λ   3λ   y   2 ⇒ d L =  + ÷+  + ÷ ÷ dx x  y y   x ÷  x    a : * Tại M − 2a, − 2a , λ = ( http://kinhhoa.violet.vn ) 12  dx  d L = 4 − + > ⇒ M1 điểm cực tiểu có điều kiện ÷dx = dx = a  2a 4a  a : * Tại M 2a, 2a , λ = −  dx  d 2L = 4 − dx = dx = − < ⇒ M điểm cực đại có điều kiện ÷ a  2a 4a  ( ) 13 Trong tất tam giác vng có diện tích 1, tìm tam giác có cạnh huyền nhỏ Lời giải Gọi x, y, z > hai cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng có diện tích Khi xy = ⇔ y = z = x + y := z ( x, y ) x Bài tốn đưa tốn tìm cực trị hàm số x4 + := z ( x ) , x ∈ ( 0, +∞ ) x z = z ( x, y ) = x + y = x + = x 2 Ta có z′ = x x4 − x2 x4 + =0⇔ x= Lập bảng xét dấu z′ ta thấy x = điểm cực tiểu hàm số z ( x ) nên hàm z ( x, y ) đạt x cực tiểu ( ) 2, Vậy tam giác vng có diện tích tam giác vng cân tamgiác có cạnh huyền nhỏ 15 Tính max hàm sau tập đóng giới nội D tương ứng a) z = x y ( − x − y ) với D giới hạn đường x = 0, y = 0, x + y =   2 c) z = x − y với D = ( x, y ) ∈ ¡ : x + y ≤ b) z = sin x + sin y + sin ( x + y ) với D = ( x, y ) ∈ ¡ d) z = e ( − x2 + y ) { ( 2x ) + y với D = { ( x, y ) ∈ ¡ } 2 :0 ≤ x ≤ π ,0 ≤ y ≤ π  2 } : x2 + y2 ≤ Lời giải a) Ta có { ( x, y ) ∈ ¡ : ≤ x ≤ 6,0 ≤ y ≤ − x} • Tìm điểm tới hạn D = { ( x, y ) ∈ ¡ : < x < 6,0 < y < − x} : Ta có D= z = x y ( − x − y ) = x y − x3 y − x y Giải hệ phương trình http://kinhhoa.violet.vn 13  z′ = xy ( −3x − y + ) = 3 x + y − = x =  x ⇔ ⇔  x + y − = y =1  z′y = x ( − x − y + ) =  , hàm số có điểm tới hạn M ( 2,1) z ( M ) = Vậy D • Tìm điểm tới hạn ∂D : * Trên OA : x = 0, y ∈ ( 0,6 ) : z = * Trên OB : y = 0, x ∈ ( 0, ) : z = * Trên AB : y = − x, x ∈ ( 0,6 ) Ta có hàm biến z = x y ( − x − y ) = x − 12 x =: z ( x ) z′ = x − 24 x = ⇔ x = ∈ ( 0,6 ) x Trên AB, hàm số có điểm tới hạn M ( 2, ) z ( M ) = −64 * Tại điểm O ( 0,0 ) , A ( 0,6 ) , B ( 6,0 ) : z ( A ) = z ( B ) = z ( B ) = So sánh giá trị hàm số điểm tới hạn, ta max z = đạt M1 ( 2,1) z = −64 đạt M ( 4, ) D D y y C π/2 π/3 π/4 B M1 M2 A Hình x M3 B M1 M2 π π x π A Hình π π  D = ( x, y ) ∈ ¡ : < x < ,0 < y <  : Ta có b) • Tìm điểm tới hạn 2   z′ = cos x + cos ( x + y ) =   x cos x = cos y ⇔  cos x + cos ( x + y ) =  z′y = cos y + cos ( x + y ) =   π π π π 3 ⇔ ( x, y ) =  , ÷∈ D z  , ÷ = 3 3 3 3 • Tìm điểm tới hạn ∂D :  π  2  π * OB : x = 0, y ∈  0, ÷: z = 2sin y z′ ( y ) = 2cos y = ⇔ VN  2 π π  π  z = + sin x + sin  x + ÷ = + sin x + cos x * BC : y = , x ∈  0, ÷: 2  2  * OA : y = 0, x ∈  0, ÷: z = 2sin x z′ ( x ) = 2cos x = ⇔ VN http://kinhhoa.violet.vn 14 π π π ⇒ z  , ÷= + 4 2 π  z = + sin y + sin  y + ÷ = + sin y + cos y 2  z′ ( x ) = cos x − sin x = ⇔ x = * OB : x = π  π , y ∈  0, ÷:  2 π π π ⇒ z  , ÷= + 2 4 π   π π  π * Tại đỉnh O ( 0,0 ) , A  ,0 ÷, B  , ÷, C  0, ÷: 2  2 2  2 z ( O ) = 0, z ( A ) = z ( B ) = z ( B ) = z′ ( y ) = cos y − sin y = ⇔ y = Kết luận: max z = D c) • Tìm điểm tới hạn D = 3 , z = D { ( x, y ) ∈ ¡ } : x + y < : Ta có  z′ = x = x =  x ⇔ ⇒ z ( 0,0 ) =  ′ y=0  z y = −2 y =   2 • Tìm điểm tới hạn ∂D : x + y = Cách Hàm Lagrange ( ) L ( x, y , λ ) = x − y + λ x + y − Ta có  L′ = x + 2λx =  x = ∨ λ = −1  x  x = 0, y = ±2   ⇒ z ( 0, ±2 ) = −4, z ( ±2,0 ) =  L′ = −2 y + 2λy = ⇔  y = ∨ λ = ⇒  y  y = 0, x = ±2   2 x + y = x + y =  Kết luận max z = 4, z = −4 D Cách D x + y = ⇔ y = − x , x ∈ [ −2, 2] Xét z = x − y = x − ⇒ z′ ( x ) = x = ⇔ x = So sánh giá trị y ta z ( ) = −4, z ( −2 ) = z ( ) = y max z = 4, z = −4 D −2 x D −1 −2 −1 Hình Hình http://kinhhoa.violet.vn x 15 d) • Tìm điểm tới hạn D = { ( x, y ) ∈ ¡ } : x + y < Ta có − x2 + y2 )   −2 x x + y + x  = x = y =  x − x2 − y = ′ =e (  zx     ⇔ ⇔  x = 0, y = ±1  2  2  z′ = e −( x + y )  −2 y x + y + y  =  y − 2x − 3y =  x = ±1, y =    y    ( ( ) ) ( ( ) ) ⇔ ( x, y ) = ( 0,0 ) ∈ D ⇒ z ( 0,0 ) = • Tìm điểm tới hạn biên ∂D : x + y = ⇔ y = − x Ta có z=e ( − x2 + y2 ) ( 2x ) + y = e −1 (3 − x ) := z ( x ) , x ∈ [ −1,1] z′ ( x ) = − x = ⇔ x = e So sánh giá trị z ( ) = , z ( −1) = z ( 1) = e e ta max z = , z = D e D http://kinhhoa.violet.vn 16 ... y2 + z2 ê ) Tính đạo hàm hàm ẩn xác định phương trình sau x+ y y y x xy - =0 Tính y ′(x) a) arctg b) xe + ye − e = Tính y′(x ) a a 2  x + y − z = x + y + z − xyz = Tính z ′ , z ′ Tính y′ ( x... − × 0,05 = + 0,035 2 Tính đạo hàm hàm riêng hàm hợp sau a) Cho z = x sin y, x = u ′ ′ , y = v u Tính zu , zv v x b) Cho f ( x, y ) = arctg , x = u sin v, y = u cos v Tính fu′, f v′ y x c)... cot g x y x ¢ ,fy = - y3 cot g x y  t2  cot g 2 − ÷ 4 1+ t2 1+ t2  1+ t2  Tính đạo hàm hàm riêng vi phân cấp hàm sau a) z = ln( x + y ) c) z = arctg 3t 3t f t ′ = f x′xt′ + f y′ yt′ = b)