CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC I.. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 1... BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1.
Trang 1BÀI 5 CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
I CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN
• Đặt vấn đề:
Xét tích phân dạng I=∫R sin x,cos x dx( )
1 Đổi biến số tổng quát:
Đặt
2
2
t tg x arctg t ;dx ; sin x ; cos x
−
dt
t t
I R sin x,cos x dx R ,
Ta xét 3 trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây mà có thể đổi biến số bằng cách khác để hàm số dưới dấu tích phân nhận được đơn giản hơn
2 Nếu R sinx, cosx( ) là hàm lẻ theo sin: R(− sinx, cosx = R sinx, cosx) − ( )
thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t = cosx
3 Nếu R sinx, cosx( ) là hàm lẻ theo cosin: R sinx, cosx = R sinx, cosx( − ) − ( )
thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t = sinx
4 Nếu R sinx, cosx( ) thoả mãn điều kiện: R(− sinx, cosx = R sinx, cosx − ) ( )
thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t = tgx
II CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
1 Dạng 1: Đổi biến số tổng quát
3cos2x + 4sin2x + 5
Đặt
2
t tg x x arctg t ; dx ; sin 2x ; cos 2x
−
( ) ( )
I
Trang 2Giả sử
2
, t
t +6t− =3 A t+2 1+t +B 1+t + Ct+D t+2 , t∀ (*)
Thay t = −2 vào (*) thì −11 = 5B ⇒ B = −11/5
(*)
2
( )
( )
2
2 2
+
+
2 Dạng 2: R(− sinx, cosx = R sinx, cosx ) − ( )
2
=
sin2xdx
J =
sin x cos xdx cos x cos x
cos x cos x 2
Đặt t = cos x ⇒
( )( )
t 1
Ta có:
2 2
2
t 1 t 2t 2
t 1 t 2t 2
+
Trang 3( )
( ) ( )
2
2
2
ln t 1 ln t 2t 2 arctg t 1 c
ln 1 cos x ln cos x 2 cos x 2 arctg 1 cos x c
sin x dx d cos x dt sin x cos x cos x cos x t t
−
dx
J =
sinxcos x
6 2
t 1 t
1 cos x cos x 3 cos x 5 cos x
+
−
−
−
+
•
2 2
sin x cos x sin x cos x
cos x cos x
−
3
sinx + sin3x
cos2x
( )
1
2
( )
sin x dx d cos x
−
= −
4
0
4sin x
1 + cosx
2 0
4 1 t
1 t
−
+
•
sin x dx sin x dx sin x dx sin x sin x sin x cos x
5
π 6
sin x
sin3x
0
π
π
−
+
Trang 43 Dạng 3: R sinx, cosx = R sinx, cosx( − ) − ( )
cos x
sin x
c
19 sin x 17 sin x 15 sin x 13 sin x 11 sin x
−
∫
( )
cos x cos x cos x cos x
cos x dx d sin x sin x sin x sin x sin x
cos x + cos x
sin x + sin x
( )
2
t 6 arctg t c sin x 6 arctg sin x c
4 Dạng 4: R(− sinx, cosx = R sinx, cosx − ) ( )
•
6 0 2
1
1
−
−
π 6
1
0
=
cosx sinx cosx
d tg x dx
ln tg x ln
tg x cos x tg x
π
3
4
d tg x
tg x cos x cos x tg x tg x
π 3
2
π 4
dx
L =
sin xcos x
8 4
4
4 4
π π
•
2 4
cos x sin x dx
cos x cos x sin x cos x
π
=
+
0
sin xdx
L =
cosx 2sin x + 3cos x
4 3 0
d 3 2 tg x
d tg x
6
π
+
Trang 5II BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1 DẠNG 1: MẪU SỐ LÀ BIỂU THỨC THUẦN NHẤT CỦA SIN
( )
dx sinx
•
( )
2 2
1
4
tg d tg
+
dx
A =
sin x
2
∫
( )
2
A
−
−
−
∫
•
=
=
dx
A =
sin x
4
d tg 2
Cách 2: 2
dx sin x dx A
sin x sin x
( )
2
1 cos x 1 cos x
1 cos x
( )
A
Trang 64 2 4 2
cos x 3 cos x 1 1 cos x cos x 3cos x 3 1 cos x
•
2 sin cos
n
dx
x x +
=
dx
A =
sinx
( )
2 n 2
2 n 1
2
d tg 2
tg 2
+
+
+
=
∫
n
2n
• 10 ∫ 2n+ 2 = −∫ (1+cotg2 ) (cotg )=
dx
n
x d x
n
C C cotg x C cotg x C cotg x d cotg x
∫
2 DẠNG 2: MẪU SỐ LÀ BIỂU THỨC THUẦN NHẤT CỦA COSIN
( )
dx cos x
3
2 2
2
d
sin
x
x
π +
π +
∫
dx
B =
cos x
( )
−
dx
B =
cos x
Trang 7( )2 ( )2 2 ( ) 2
x
+
−
−
∫
( )
2 1
2 2
2 1
d
2
sin
2
n
n
n
x
u u u
x
u
+
+
π +
π +
+
dx
B =
2
1
2
n
n
n
n
2
1
n
n
x d x
∫
dx
B =
3 DẠNG 3:
dx
C =
a sinx + bsinxcosx + c cosx
2
cos 3 5 tg 3 2 21 1 tg 3
tg
x
x
=
+
2
dx
C =
5sin3x + 2cos3x - 21
a sin x + b cos x + c
•
dx
=
1
dx
D =
2sinx + 5cosx + 3
x
2
−
− +
Trang 85 DẠNG 5: TÍCH PHÂN LIÊN KẾT
• 1 ∫
cosxdx
E =
sinx + cosx Xét tích phân liên kết với E1 là: 1
* sin x dx E
sin x cos x
=
+
∫
Ta có:
( )
( )
*
*
cos x sin x
sin x cos x cos x sin x d sin x cos x
sin x cos x sin x cos x
+
+
Giải hệ phương trình suy ra:
1
* 1
1
E x ln sin x cos x c 2
1
E x ln sin x cos x c 2
•
−
∫
2
sin3xdx
E =
2cos3x 5sin3x Xét tích phân liên kết là: 2
3
* cos x dx E
cos x sin x
=
−
Ta có:
( )
( )
*
*
2cos3x 5sin3x
2cos3x 5sin3x
5cos3x 2sin3x 1 d 2cos3x 5sin3x ln 2cos3x 5sin3x
−
−
Giải hệ phương trình suy ra:
2
*
2
3
3
−
−
−
−
( ) ( )
sin x
sin x + cos x
Xét tích phân liên kết là: ( )
( ) ( )
4
* cos x
sinx cos x
=
+
*
sin x cos x
sin x cos x
+
+
( ) ( )
( ) ( )
*
sin x cos x cos x sin x 2 cos x sin x
Trang 9( )
2 2
1 sin 2x
2
+
−
−
−
Từ (1) và (2) suy ra:
*
( ) ( )
∫
0
cosx
0
sin x cos x
=
+
∫
π
Đặt
2
x π u
= − ⇒ dx = −du Với
2
x π
= thì u = 0 và x = 0 thì
2
u π
= Ta có:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
99
*
π
*
0
sin x cos x
2 sin x cos x
+
4
π
π 2
5
0
2
5 0
E∗ = ∫ sin x cos x dx
π
2 2
0 0
1 cos12x dx x
π π
π
2
0 0
∗
π π
∫
•
∫
π 2
6
0
sinx dx
E =
sinx + cosx
Xét tích phân:
2
0
* cos x dx E
sin x cos x
=
+
∫
π
Trang 10Ta có: ( )
sin x cos x sin x cos x
0
4
4
π
+
cos x sin x dx d sin x cos x
sin x cos x sin x cos x
2
*
2 0
2
2 sin x cos x
π
−
+
6 DẠNG 6: F =∫ a sin x + b cos x dx
m sin x + n cos x
a Phương pháp:
Giả sử: a sin x+b cos x=α(m sin x+n cos x)+β(m cos x−n sin x , x) ∀
⇔ a sin x+b cos x=(mα −nβ)sin x+(nα+mβ)cos x , x∀
⇔
am bn
m n
α
α β
α β
β
+
=
⇔
+
Khi đó ta có:
am bn m sin x n cos x bm an m cos x n sin x
m sin x n cos x m sin x n cos x
am bn bm an d m sin x n cos x
dx
m sin x n cos x
am bn bm an
x ln m sin x n cos x c
+
b Các bài tập mẫu minh họa:
∫
1
2 5sin 2x 3cos 2x 2 5sin u 3cos u
Giả sử 4sin u−7cos u=α(5sin u+3cos u)+β(5cos u−3sin u , u) ∀
4 sin u 7 cos u 5 3 sin u 3 5 cos u , u
Trang 115 3 4 1 34
α + β = − β = −
1
1 4 sin u 7 cos u 1 5sin u 3 cos u 47 5 cos u 3sin u
2 5 sin u 3cos u 68 5sin u 3 cos u 68 5 sin u 3cos u
1 47 d 5 sin u 3cos u 1
1
2x 47 ln 5 sin 2x 3 cos 2x c
68
+
−
c Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
4sin 3x 5cos 3x 2sin 5x 7 cos 5x 4sin 9x 5cos 9x
7 cos 3x 8sin 3x 3sin 5x 4 cos 5x 7 cos 9x 3sin 9x
7 DẠNG 7: G =∫ a sin x + b cos x + c dx
m sin x + n cos x + p
a Phương pháp:
Giả sử a sin x+b cos x+ =c α(m sin x+n cos x+ p)+β(m cos x−n sin x)+γ , x∀
⇔ asinx+bcosx+ =c (mα −nβ)sinx+(nα +mβ)cosx+ pα +γ ,∀ x
am bn
m n
γ
α γ
= − + =
Khi đó ta có:
sin cos
am bn m x n x p bm an m x n x
G
m x n x p m x n x p
m x n x p
m n
+
+
∫
sin cos dx
ln sin cos
sin cos
d m x n x p
m x n x p
∫
b Các bài tập mẫu minh họa:
−
∫
1
sinx + 2cosx 3
Trang 12Giả sử sin x+2cos x− =3 α(sin x−2cos x+3)+β(cos x+2sin x)+γ , x∀
sin x cos x α β sin x α β cos x α γ , x
Khi đó ta có:
1
5 sin x 2 cos x 3 5 sin x 2 cos x 3 5 sin x 2 cos x 3
x ln sin x 2 cos x 3 J
−
dx
J
sin x cos x
=
∫
dx
∫
( )
( )
2
1
x
d tg
tg
x
5 tg 1
+
−
∫
•
2
−
∫
2
0
sinx cosx + 1
sinx + 2cosx + 3
π
Giả sử sin x−cos x+ =1 α(sin x+2cos x+3)+β(cos x−2sin x)+γ , x∀
sin x cos x α β sin x α β cos x α γ , x
⇔ + = − ⇔ = −
Khi đó ta có:
Trang 13( )
2
2 0
5 sin x 2 cos x 3 5 sin x 2 cos x 3 5 sin x 2 cos x 3
dx
5 5 sin x 2 cos x 3 5 sin x 2 cos x 3
π
J 5
( )
2
2 2
2 2
0 2
0
J
sin x 2 cos x 3 2 sin cos 2 cos sin 3 cos sin
x
d tg
2
cos 2 tg 2 2 tg 3 3 tg
x
2
π π
2
8 DẠNG 8:
a sin x + b cos x
m sin x + n cos x
a Phương pháp:
Giả sử a sin x+b cos x=α(m sin x+n cos x)+β(m cos x−n sin x , x) ∀
⇔ a sin x+b cos x=(mα−nβ)sin x+(nα +mβ)cos x , x∀
⇔
am bn
m n
α
α β
α β
β
+
=
⇔
+
Khi đó ta có:
am bn m x n x bm an m x n x
H
m x n x
c
+
∫
Trang 142 Các bài tập mẫu minh họa:
•
−
∫
7 sin x 5 cos x
3 sin x + 4 cos x
Giả sử 7sin x−5cos x=α(3sin x+4cos x)+β(3cos x−4sin x ; x) ∀
⇔ 7sin x−5cos x=(3α −4β)sin x+(4α +3β)cos x; x∀
1
5 43
5
α
α β
=
−
Khi đó ta có:
2
7 sin x 5cos x 1 3sin x 4 cos x 43 3cos x 4sin x
3sin x 4 cos x 3sin x 4 cos x 3sin x 4 cos x
J
5 3sin x 4 cos x 5 3sin x 4 cos x 5 5 3sin x 4 cos x
+
dx
J
sin x cos x
=
+
( )
2
x
d tg
2
cos 6 tg 4 4 tg
+ − + −
x
2 tg 4
x
2
−
−
+
⇒
1
x
2 tg 4
x
25 2 tg 1 5 3sin x 4 cos x
2
−
−
+ +
3 Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
2 sin 5x 3cos 5x 5 sin 7x 4 cos 7x
4 cos 5x 9 cos 5x 2 sin 7x 3cos 7x
∫a sin x + b sin x cos x + c cos x 2 2
m sin x + n cos x
a Phương pháp:
a sin x +b sin x cos x+c cos x =
=(p sin x+q cos x)(m sin x+n cos x)+r sin x( 2 +cos x , x2 ) ∀
a sin x +b sin x cos x+c cos x =
mp r sin x np mq sin x cos x nq r cos x ; x
Trang 15⇔
( ) ( )
a c m bn p
m n
mp r a mp r a
a c n bm
np mq b np mq b q
m n
nq r c mp nq a c
an cm bmn r
m n
=
+
+
=
Khi đó ta có:
msin x n cos x
msin x n cos x
+
+
∫
b Các bài tập mẫu minh họa:
1
0
I =
sin x + 3cos x
3
cos x = a sin x+b cos x sin x+ cos x +c sin x+cos x ; x∀
( )2 ( ) ( )2 ( ) ( )( )2
cos x a c sin x a b sin x cos x b c cos x ; x
1 4
c
b c
=
⇒
cos cos x sin sin x dx
cos sin x sin cos x
+
3
sin x
3
π
π
+
Trang 1610 DẠNG 10:
m sin x + n cos x
a sin x + 2b sin x cos x + c cos x
a Phương pháp:
•Gọi λ λ là nghiệm của phương trình 1, 2 a b 0
b c
− λ
=
− λ
⇔ λ −2 (a+c)λ +ac−b2 = ⇔ 0 ( )2 2
1 2
4 2
,
a+ ±c a−c + b
2
a sin x + b sin x cos x+c cos x = λ A + λ A =
u cos x sin x ;u cos x sin x
A cos x bk sin x ; A cos x bk sin x
Để ý rằng A12 + A22 = ⇒ 1 2 2 ( ) 2 ( ) 2
•Giả sử
m sin x n cos x p sin x cos x q sin x cos x
p q m
+ =
2
m sin x n cos x
a sin x b sin x cos x c cos x
+
Trang 17b Các bài tập mẫu minh họa:
−
∫
sinx + cosx dx
J =
2sin x 4sinxcosx + 5cos x
1, 2
λ λ là nghiệm của phương trình 2 2 0
− λ −
=
− − λ ⇔ λ = λ = 1 1; 2 6
2 2
2 sin x 4 sin x cos x 5 cos x cos x 2 sin x cos x sin x
2
2
sin x+cos x= p sin x− cos x +q sin x+ cos x p 1; q 6
−
sin x cos x sin x 2 cos x sin x cos x
2
−
sin x cos x dx 3 2sin x cos x dx 1 sin x 2cos x dx J
2sin x - 4sin x cos x 5cos x 2cos x sin x 1 6 cos x 2sin x
3 d sin x 2 cos x 1 d cos x 2 sin x
5 sin x 2 cos x 1 5 6 cos x 2 sin x
11 DẠNG 11: CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG HỢP
•
∫
1
dx
K =
( ) ( )
( ) ( )
dx sin a b sin x a sin x b
=
( )
1 sin x a cos x b cos x a sin x b
dx
=
( ) ( )
+
•
∫
2
dx
K =
( ) ( )
dx sin a b cos x a cos x b
=
Trang 18( )
( ) ( )
1 sin x a cos x b cos x a sin x b
dx
=
+
∫
∫
•
∫
3
dx
K =
( ) ( )
dx cos a b sin x a cos x b
=
( )
( ) ( )
1 cos x a cos x b sin x a sin x b
dx
=
+
∫
∫
3 cos sin
3 tg cos
x x
−
−
4
3 + tgx
3 - tgx
3
3
ln 3 cos sin
x x c
x x
−
−
∫
•
π 3
5
π 4
3 4
d
2 2 sin cos
x x
x x
π π
d
x
3 2
4
1
arcsin sin x cos x ln sin x cos x sin x cos x 1
2
π π
+
Trang 191 3sin cos
−
π 4
π 8
dx
K =
sin x + cos x
2
1 tg x d tg x
cos x 1 tg x 3 tg x
( )
1
2
d u
−
+
−
−
•
12 16
cos 2 cos 6 cos 4 sin 8
dx sin 4 sin 8 cos 4 cos 8
π π
=
+
π 12
7
π 16
cos2xcos6x
tg4x + cotg8x
cos 2x cos 6x cos 4x sin 8x 1
dx cos 8x cos 4x sin 8x dx
−
12 12
16 16
sin16 sin12 sin 4 dx cos16 cos12 cos 4
π π
π π
∫
π 2
8
0
sin2x + sinx
1 + 3cosx
1
1 3cos x
2
3 2
0
1 3 cos x 2 1 3cos x
π
x
9
0
sin x cos x
1+ cos x
2 2
0
cos x
2
π
Trang 20cos sin cos
4
+
π 6
10
0
dx
π
cosxcos x +
4
6
d tg x
1 tg x cos x
−
−
•
2
2 2 sin
2 1 cos
4
x x
π
π 4
11
0
dx
2 + sinx cosx
2
0 0
x
d
x
π +
∫
•
dx 2
π 4
12
0
sinxdx
1 + sin2x
( )
( )
4
2 2
2 sinx cosx 2 sinx cosx 2 2 sin x 2 sinx cosx
4
d cos x
ln tg
4
π
π
2 2
−
•
2
x
π 2
13
π 3
dx
( )
( ) ( )
2
0
3 2
du
π
π
( )
3sin 4x sin 6x 3sin 2x
a sin x b cos x
+