Chương II Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 19 Ch-ơng II: phép tính vi phân hàm nhiều biến kh ông gian R n Tiết: 16 - 18 Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu: - Kiến thức: - Kỹ năng: - Thái độ: Nghiêm túc. II/. Tiến trình 1. Kiểm tra sỹ số: 2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3. Bài mới Hoạt động Nội dung 1 Chuẩn và không gian Mêtric trong R n +/. n R là một không gian vecto với phép toán 1 1 2 2 , , , nn x y x y x y x y ; 12 , , , n x x x x 1 2 1 2 , , , ; , , , ; n nn x x x x y y y y R R Khi đó phần tử của n R gọi là một vecto hay là một điểm. +/. Chuẩn Euclid của x là số 2 2 2 2 12 1 n ni i x x x x x +/. 1 1 2 2 1 n n n i i i xy x y x y x y x y gọi là tích vô h-ớng của hai vecto &xy Khi đó ,, n x y z R có 2 xy yx x y z xy xz x x x x x x +/. Định lý 1: , , & n x y z R R ta có: 0; 0 0x x x xx .xy x y x y x y x z x y y z +/. Khoảng cách giữa hai điểm ,xy là số 2 1 , n ii i x y x y x y gọi là khoảng cách Euclid trong n R và , , ; n x y z R R , ta có: Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 20 , 0; , 0x y x y x y ,,x y y x , , ,x z x y y z ,,x y x y 2 Tôpô trong R n +/. Cho ;0 n xR gọi , n B x y R x y là _ lân cận của điểm x Tức là: _ lân cận của điểm x là tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách đến x bé hơn , n B x y R x y là _ lân cận đóng của điểm x x B x B x +/. Điểm trong, điểm ngoài, điểm biên ( giáo trình ); Tập điểm biên của A ta ký hiệu là A +/. Tập A là mở nếu ; 0:x A B x A Tập A là đóng nếu ; 0:x A B x A +/. Ví dụ: ( giáo trình ) +/. n AR Khi đó: A A A là tập đóng bé nhất chứa A và gọi là bao đóng của A 0 \A A A là tập mở lớn nhất nằm trong A và gọi là phần trong của A 0 \A A A A là tập liên thông nếu 12 , n S S R thoả mãn 12 ;S A S A và 12 S S A đều có 12 S S A Tức là: Tập A đ-ợc gọi là liên thông nếu chia tập đó ra thành hai phần rời nhau thì hai phần đó phải có ít nhất một điểm biên chung nhau nằm trong A +/. Ví dụ: ( giáo trình ) +/. Tập D gọi là một miền trong n R nếu D mở và D liên thông. Nếu D là một miền thì D D D gọi là miền đóng. +/. Ví dụ: ( giáo trình ) +/. Tập n AR gọi là bị chặn nếu 0:c x c x A Tức là A nằm trong hình cầu đóng, tâm là gốc toạ độ, bán kính c 4. Bài tập về nhà 5. Rút kinh nghiệm Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 21 hàm nhiều biến - giới hạn Tiết: 19 - 21 Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu: - Kiến thức: - Kỹ năng: - Thái độ: Nghiêm túc. II/. Tiến trình 1. Kiểm tra sỹ số: 2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3. Bài mới Hoạt động Nội dung 1 Hàm nhiều biến a Các khái niệm - Cho n XR , một quy luật f đặt t-ơng ứng mỗi điểm 12 , , , n x x x x X với một số thực 12 , , , n u f x x x R gọi là một hàm n biến số có miền xác định là tập X . - Ký hiệu hàm f có miền xác định X là ,u f x x R hoặc ,x f x x R - Nếu 12 , , , n u f x x x là hàm cho bởi một công thức thì miền xác định của hàm f là tập tất cả các điểm 12 , , , n x x x mà công thức đã cho xác định. - Nếu f là một hàm hai biến thì ta sẽ ký hiệu , ; ,z f x y x y R - Ví dụ: +/. Hàm hai biến 22 , ln 1z f x y x y có miền xác định là hình tròn mở ( không kể biên ) tâm O, bán kính 1 +/. Hàm hai biến ,z g x y xy có miền xác định là tập các điểm ,xy có một trong hai toạ độ bằng 0 hoặc hai toạ độ cùng dấu, tức là miền xác định của nó góc phần t- thứ I & III cùng với các trục toạ độ. b Biểu diễn hình học của hàm hai biến - Cho hàm hai biến , ; ,z f x y x y R ; Khi ta biểu diễn tất cả các điểm ,,x y z trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz th-ờng ta đ-ợc một mặt, gọi là mặt biểu diễn của hàm ,z f x y - Ví dụ: Mặt biểu diễn của hàm hai biến , 2 1z f x y x y là mặt phẳng 2 1 0x y z c Đ-ờng mức Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 22 - Với 0 zz cố định thì 0 ,z f x y zz là ph-ơng trình của một đ-ờng cong nằm trong mặt phẳng 0 zz , gọi là đ-ờng mức hay đ-ờng đẳng trị. - Ví dụ: Hàm hai biến 22 1 ,z f x y xy , với mọi 0 0zz , đ-ờng mức là đ-ờng tròn tâm 0 0,0,Iz bán kính 0 1 z nằm trong mặt phẳng 0 zz 2 Giới hạn hàm nhiều biến a Điểm tụ của một tập hợp - Cho tập n XR , điểm n aR gọi là điểm tụ của tập X nếu 0, Ba đều chứa những điểm thuộc X khác với a Tức là: 0, :0x X x a Suy ra những điểm thuộc X không phải là điểm tụ đ-ợc gọi là điểm cô lập. - Ví dụ: ( giáo trình ) b Giới hạn của dãy điểm trong R n - Dãy điểm n k xR gọi là có giới hạn n aR khi k nếu 0, k để Kk có K aa Ký hiệu: lim K K aa - Tập n KR gọi là compac nếu mọi dãy 12 , , , k k k kn a x x x K có dãy con jk a hội tụ tới aK - Định lý: n KR là compac khi và chỉ khi K đóng và bị chặn. c Giới hạn của hàm số - Hàm u f x xác định trên X ; a là một điểm tụ của X , khi đó nói fx có giới hạn A khi xa nếu \ k a X a mà lim k k aa đều có lim k k f a A Ký hiệu: lim xa f x A hoặc xa f x A - Định nghĩa khác: Hàm u f x xác định trên X và là một điểm tụ của X Khi đó nói fx có giới hạn AR khi xa nếu 0, 0 sao cho xX thoả mãn 0 xa đều có f x A - Hàm ,z f x y xác định trên 2 R viết 0 0 lim , xx yy f x y A nếu 0 0 0 0 , \ , ; ; n n n n x y X x y x x y y đều có , nn f x y A - Ví dụ: ( giáo trình ) - Tính chất: ( giáo trình ) d Giới hạn lặp - Hàm ,u f x y xác định trên X ; 00 ,xy là điểm tụ thuộc X , với Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 23 0 yy đặt: 0 lim , xx g y f x y . Nếu tồn tại 0 lim yy g y A thì A gọi là giới hạn lặp của hàm số ,u f x y khi 00 ;x x y y Ký hiệu: 00 lim lim , y y x x f x y (1) và 00 lim lim , x x y y f x y (2) - Ví dụ: ( giáo trình ) 3 Bài tập Bài 1: Cho hàm 1 1 , n ii i x y x y với 1 2 1 2 , , , ; , , , n nn x x x x y y y y R CMR: a/. 1 là một khoảng cách trên n R b/. Tồn tại các hằng số d-ơng ,AB sao cho 1 , , , , n A x y x y B x y x y R trong đó ,xy là một khoảng cách Euclid trên n R c/. 1 lim , 0 lim , 0 kk kk x x x x Giải: +/. 2 22 ii i i i i i i x y x y n Tức là 11 ,,x y B x y B n +/ 12 , , , n có 1 2 1 2 nn (1) Từ 2 (1) i i i i x y x y Tức 1 , , 1A x y x y A Bài 2: Tìm các giới hạn a/. 0 0 0 0 lim limlim 1 1 1 1 x x y y xy xy xy xy b/. 0 0 0 0 sin sin lim limlim x x y y xy xy yy 4. Bài tập về nhà 5. Rút kinh nghiệm Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 24 hàm liên tục Tiết: 22 - 24 Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu: - Kiến thức: - Kỹ năng: - Thái độ: Nghiêm túc. II/. Tiến trình 1. Kiểm tra sỹ số: 2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3. Bài mới Hoạt động Nội dung 1 Hàm liên tục - Hàm u f x xác định trên n XR đ-ợc gọi là liên tục tại 0 xX nếu 0 0 lim xx f x f x - Hàm fx gọi là liên tục trên tập X nếu nó liên tục tại xX . - Hàm fx gọi là liên tục đều trên tập X nếu 0, 0: , ,x y X xy có f x f y - Chú ý: fx liên tục đều trên X thì fx liên tục trên X , ng-ợc lại ch-a chắc đúng. 2 Tính chất của hàm liên tục - Định lý 1: Nếu hàm fx liên tục trên tập compac n KR thì fx đạt cận trên đúng và cận d-ới đúng trên K Tức là: ,:a b K f a f x f b x K - Định lý 2: Nếu hàm fx liên tục trên tập compac n KR thì fx liên tục đều trên tập compac K 3 Bài tập Bài 1: Xét tính liên tục tại 0,0 của các hàm số sau: a/. 22 22 22 22 11 0 , 00 xy xy xy f x y xy Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 25 b/. 22 22 22 22 1 0 , 00 cos x y xy xy f x y xy Giải: a/. 0 0 0, 1 lim 0, 1 0,0 0 y x f y f y f y Hàm ,f x y không liên tục tại 0,0 b/. Ta có 22 2 22 2 2 2 2 2sin 1 2 , xy cos x y f x y x y x y Nên 2 22 22 2 22 2 22 0 0 0 0 22 0 0 0 0 sin 2 1 2 lim , 2lim lim lim 0 0,0 2 2 x x x x y y y y xy xy f x y x y f xy xy Vậy: ,f x y liên tục tại 0,0 Bài 2: CMR hàm số , xy f x y xy không có giới hạn tại 0,0 - Chọn 1 lim , 0 1 n nn n n x n f x y y n - Chọn ' '' ' 2 lim , 3 1 n nn n n x n f x y y n Vậy: Hàm số , xy f x y xy không có giới hạn tại 0,0 4. Bài tập về nhà 5. Rút kinh nghiệm Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 26 bài tập Tiết: 25 Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu: - Kiến thức: - Kỹ năng: - Thái độ: Nghiêm túc. II/. Tiến trình 1. Kiểm tra sỹ số: 2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3. Bài mới Hoạt động Nội dung 1 Bài 1: CMR các hàm số sau không có giới hạn tại 0,0 a/. 2 2 , 2 yx f x y yx b/. 1 , sinf x y xy Giải: a/. - Chọn 1 , 0 lim , 0 1 n n n n n n n x n n f x y n f x y y n (1) - Chọn ' ' ' ' ' ' 0 , 1 lim , 1 1 n n n n n n n x n f x y n f x y y n (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. b/. ( Ph-ơng pháp làm giống nh- ý a/. ) - Chọn 1 1,2, , 0,0 lim , 0 1 n n n n n n n n x n n x y f x y y n (1) Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 27 - Chọn ' ' ' ' ' ' 1 2 2 , 1, 1,2, lim , 1 1 2 2 n n n n n n n x n f x y n f x y y n (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. 2 Bài 2: Xét sự tồn tại giới hạn lặp của các hàm số sau: a/. , xy f x y xy tại 0,0 b/. 1 , 1 cosxy f x y xy tại 0,1 Giải: a/. 00 lim , lim , 1 xy f x y f x y Do đó 0 0 0 0 limlim 1 limlim y x x y x y x y x y x y b/. ' ' 0 0 0 0 cos 1 cos 1 sin 1:lim , lim lim lim 0 11 1 x x x x x x xy xy y xy y f x y x y y xy Vậy: 10 limlim , 0 yx f x y Mỗi 0x có: 1 1 1 cos 1 sin lim , lim lim sin 1 y y y xy x xy f x y x x y x 0 1 0 limlim , limsin 0 x y x f x y x Vậy: 01 limlim , 0 xy f x y 4. Bài tập về nhà 5. Rút kinh nghiệm Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 28 đạo hàm - bài tập Tiết: 26 - 29 Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu: - Kiến thức: - Kỹ năng: - Thái độ: Nghiêm túc. II/. Tiến trình 1. Kiểm tra sỹ số: 2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3. Bài mới Hoạt động Nội dung 1 Đạo hàm - Định nghĩa: ( giáo trình ) - Định lý 1: Hàm fx có đạo hàm tại 0 x khi và chỉ khi fx có đạo hàm bên trái, phải tại 0 x và các đạo hàm đó bằng nhau. - ý nghĩa hình học, cơ học - Định lý 2: Hàm fx có đạo hàm tại 0 x thì liên tục tại 0 x - Định lý 3: Nếu fx và gx là các hàm có đạo hàm tại x thì tổng, hiệu, tích, th-ơng ( 0gx ) cũng có đạo hàm tại x và: ' '' f x g x f x g x ' '' .f x g x f x g x f x g x ' '' 2 f x f x g x f x g x g x g x - Định lý 4: Cho hàm y f x có đạo hàm tại điểm 0 x , hàm z g x xác định trong một khoảng chứa 00 y f x và có đạo hàm tại 0 y Khi đó hàm gf x có đạo hàm tại 0 x và ' ' 0 0 0 gf x g y f x - Định lý 5: Cho hàm y f x liên tục và đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trong khoảng ,ab Nếu fx có đạo hàm tại điểm 0 ,x a b và 0 0x thì hàm ng-ợc xy của fx cũng có đạo hàm tại 00 y f x và ' ' 0 1 y fx [...]... nên f 0,0 0 và f x, 0 x Hàm y một biến này không có đạo hàm tại x 0 nên không tồn tại 0 c/ f x, y 1 xy 0 Hàm gián đoạn tại 0, 0 vì xy 0 f 0, 0 x 1 1 , 0, 0 n n 1 1 nh-ng f , 1 không dần đến f 0, 0 0 khi n n n Tuy nhiên hàm có các đạo hàm riêng tại 0, 0 , thật vậy f 0 x,0 f 0,0 f 00 f lim lim 0 và 0,0 x0 0,0 0 x 0 x x x y 3 Đạo hàm riêng cấp cao f 2...Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 2 Đạo hàm riêng - Giả sử z f x, y xác định trên _ lân cận của điểm x0 , y0 Cho x số gia x , khi đó số gia của hàm số tại điểm x0 , y0 là x f f x0 x , y0 f x0 , y0 Nếu tồn tại và hữu hạn: lim x 0 x f thì giới hạn đó gọi là đạo hàm riêng của x hàm f x, y theo biến x tại x0 , y0 Ký hiệu - T-ơng tự: f x0 , y0 hoặc f y' x0... f x,1 f 1,1 ln 2 x ln 3 f 3 lim lim a/ 1,1 lim x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 ln 1 1 3 1 lim x 1 3 x 1 3 3 b/ f x,0 f 0,0 f 0 lim 0 0,0 lim x 0 x 0 x x x0 Bài 2: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau: a/ f x, y ln x b/ f x, y arctg y 2x x y c/ f x, y x 2 y 2 e xy Giải: a/ y 2x y ln x 2 ; x 2x 2x y y 1 ln x 2 y 2x 2x y ' f x b/ x, y ... y y 2 +/ Ví dụ: ( giáo trình ) +/ Định lý Schwartz +/ '' '' Nếu đạo hàm hỗn hợp f xy ; f yx xác định và liên tục trong một _ lân cận của '' '' điểm x0 , y0 thì f xy x0 , y0 f yx x0 , y0 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 29 Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 4 Bài tập Bài 1: Dùng định nghĩa, tính a/ f 1,1 với f x, y ln 1 x y 2 x 1 x2 y 2 0 f f xy sin... Bài 3: Cho hàm số f x, y 0 x2 y 2 0 CMR: 2 f 2 f 0, 0 0, 0 xy yx Giải: Tại các điểm x, y 0, 0 , dùng các quy tắc quen thuộc, ta có: f x2 y 2 x2 y 2 4x2 y 2 x, y xy 2 y 2 x x x y 2 x y 2 x 2 y 2 2 và 2 2 2 2 f x2 y 2 y x y 4x y x, y xy 2 2 2 2 x y x 2 y 2 2 y x x y Nói riêng f 0, y y x y 0 ; f x, 0 x x x 0 Các đạo hàm riêng tại... xy 2 2 2 2 x y x 2 y 2 2 y x x y Nói riêng f 0, y y x y 0 ; f x, 0 x x x 0 Các đạo hàm riêng tại 0, 0 đ-ợc tính bằng định nghĩa: f 0, y f 0, 0 f x,0 f 0,0 f f 0 0; 0, 0 lim 0,0 lim y 0 x 0 y y0 x x0 Theo định nghĩa của đạo hàm riêng cấp hai thì: f f x, 0 0, 0 f x y y lim 0 0, 0 lim x 0 x 0 x xy x0 2 f f 0, y 0, 0 2 f y x lim 1 0, 0 lim . Trang: 19 Ch-ơng II: phép tính vi phân hàm nhiều biến kh ông gian R n Tiết: 16 - 18 Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu: - Kiến thức: - Kỹ năng: - Thái độ: Nghiêm túc. II/ . Tiến trình 1 x - Định lý 4: Cho hàm y f x có đạo hàm tại điểm 0 x , hàm z g x xác định trong một khoảng chứa 00 y f x và có đạo hàm tại 0 y Khi đó hàm gf x có đạo hàm tại 0 x và . 5: Cho hàm y f x liên tục và đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trong khoảng ,ab Nếu fx có đạo hàm tại điểm 0 ,x a b và 0 0x thì hàm ng-ợc xy của fx cũng có đạo hàm tại