chương 2 phép tính vi phân hàm một biến thực

Chương 2 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN THỰC Trong chương này ta nghiên cứu đạo hàm, vi phân của hàm một biến cùng với các ứng dụng của nó.. Đạo hàm một phía Trong định nghĩa đạo hàm,

Chương 2 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN THỰC

Trong chương này ta nghiên cứu đạo hàm, vi phân của hàm một biến cùng với các ứng dụng của nó

2.4.1 Đạo hàm của hàm số

2.1.1 Khái niệm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b), x0( , )a b Cho x0 một số gia x đủ bé sao cho Gọi y là số gia tương ứng của hàm số ứng với x:

     x x 0  x ( , )a b

a Định nghĩa Nếu tồn tại giới hạn

0

lim

x

y x

 



 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0, ký hiệu:

f ’(xo ) =

o

o

y

b Ví dụ Tính đạo hàm của hàm số y = x2 tại x = 2

f

2.1.2 Đạo hàm một phía

Trong định nghĩa đạo hàm, nếu ta xét giới hạn một phía thì các đạo hàm đó được gọi là đạo hàm một phía

Định nghĩa Các giới hạn sau đây được gọi là đạo hàm trái, đạo hàm phải tương

ứng của hàm số y = f(x)

o

o x

x o

x x

x f x f x

f

o 







) ( ) ( lim ) (

o

o x

x o

x x

x f x f x

f

o 







) ( ) ( lim ) (

'

Mệnh đề Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f(x) có các đạo hàm một phía tại x0 và chúng bằng nhau

Ví dụ Hàm số y x không có đạo hàm tại x = 0

Vì

lim ( ) lim 1 lim ( ) lim 1

Mệnh đề Nếu f(x) có đạo hàm tại x0, thì liên tục tại x0

Nhận xét Điều ngược lại của mệnh đề trên không đúng

Ví dụ Hàm số y x liên tục tại 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm này

2.1.3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm y = f(x) tại xo bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong

y = f(x) tại điểm Mo(xo,f(xo))

2.1.4 Các quy tắc tính đạo hàm

1) ( u  v ) ’ = u’  v’

( uv)’ = u’v + u v’

' ' 2 '

) (

v

uv v u v

2) Hàm hợp : y = y[u(x)]  yx y u u  x

3) Hàm ngược : y =f(x)  x = f -1(y)  x’y = 1'

x

y

4) Đạo hàm theo tham số

Cho x=f(t) và y=g(t) , khả vi t  ( ,) Nếu hàm số ngược t = -1(x) tồn tại thì

y’x =

t

t x

y

'

'

2.1.5 Bảng đạo hàm của một số hàm số

(x )’ = x -1 (u )’ = u -1u’ ( cosx)’ = -sinx ( cosu)’ = -u’sinu (ax)’ = axlna (au)’ = u’aulna (tgx)’ =

x

2 cos

1

u

u

2 cos '

(ex)’ = ex (eu)’ =u’ eu (cotgx)’ =

x

2 sin

1

 (cotgu)’ =

u

u

2 sin

'



( logax)’ =

a

x ln

1 ( logau)’ =

a u

u

ln

' ( arcsinx)’ =

2

1

1

x

 ( arcsinu)’ = 1 2

'

u

u



( lnx)’ =

x

1

u

u'

1

1

x

 (arctgu)’ =1 2

'

u

u



2.2 Vi phân hàm số

2.2.1 Định nghĩa Cho hàm số y f x( ) xác định trên ( , )a b chứa x0 Nếu số gia của hàm tại x0 có dạng:     y A x ( )x (trong đó A không phụ thuộc vào x) thì ta

nói f x( ) khả vi tại x0 và biểu thức A x  được gọi là vi phân của hàm số f x( ) tại x0

Ta kí hiệu vi phân là dy hoặc df

 Đặc biệt ,nếu xét hàm số y = x thì dy = dx = y’.x =x

==> x = dx Vậy y’ = dy y dx

dx

dy

'





 Tổng quát : y =f(u) với u=g(x)

f khả vi đối với u, g khả vi đối với x thì f(g(x)) khả ví đối với x

dy = f’x.dx

Mệnh đề f x( ) khả vi tại x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại x0 và dy f x dx( )0

2.2.2 Ứng dụng của vi phân

Ta có y = f ’(xo).x + .x

==> y  f ’(xo).x khi x càng bé

hay f(xo + x ) – f(xo)  f ’(xo).x

f(x o + x )  f(x o ) + f ’(x o ).x

Phương pháp gần đúng giá trị hàm số đã cho

- Từ giá trị f() cần tính rút ra dạng f(x)

- Phân tích giá trị  thành xo + x sao cho f(xo) tính được và x càng nhỏ

- Tính f(xo) và f’(xo)

Ví Dụ Tính gần đúng ln1.01 bằng vi phân

Chọn hàm số f x( ) ln(1 x), x0 0 và  x 0.01 Ta có: ( ) 1

1

f x

x

 

 , suy ra 1

(1)

2

f   Do đó ln1.01 ln1 1.01 0.005

2

2.2.3 Các quy tắc tính vi phân

Tương tự như đạo hàm ta có các quy tắc tính vi phân sau

Nếu u, v khả vi thì tổng, hiệu, tích, thương(v 0) của chúng cũng khả vi và:

1) d u v(  ) du dv

2) d uv( )vdu udv

3) d( )u vdu udv2





2.2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao

Giả sử f x( ) có đạo hàm tại  x ( , )a b Khi đó f x( ) là một hàm số xác định trên ( , )

  nên ta có thể tính đạo hàm của hàm số f x( ) Một cách quy nạp, ta định nghĩa:

Đạo hàm cấp 2: f x( ) ( ( )) f x  Đạo hàm cấp 3: f( ) ( ( ))x  f x  Đạo hàm cấp n: f x n( ) ( f n 1( ))x 

2.3 Các định lý cơ bản của phép tính vi phân

2.3.1 Các định lý giá trị trung bình

1 Cực trị địa phương

Cho hàm số f x( ) xác định trên ( , )a b Ta nói điểm x0( , )a b là điểm cực đại (tương ứng cực tiểu) địa phương của hàm số f x( ) nếu tồn tại lân cận

(x ,x )( , )a b sao cho:  x (x0,x0), ( )f x  f x( ), (t.u ( )0 f x  f x( ))0

2 Định Lý Fermat

Cho f(x) xác định trong lân cận của xo và đạt cực trị tại xo Nếu f(x) có đạo hàm tại xo thì f ’(xo) = 0

3 Định Lý Rolle

Cho f(x) thỏa điều kiện: liên tục trên đoạn [a,b], khả vi trên khoảng (a,b) và f(a)

=f(b) Khi đó , tồn tại c  (a,b) sao cho f ’(c) = 0

4 Định Lý Lagrange

Cho f(x) thỏa điều kiện : liên tục trên [a,b] và khả vi trên (a,b) Khi đó :

 c (a,b) : f ’(c) =

a b

a f b f



 ( ) )

(

 Ý nghĩa hình học của định lý Lagrange

( C ) là đồ thị của hàm số y = f(x) và A (a,f(a)) , B(b, f(b))  ( C ) Cát tuyến

AB có hệ số góc k =

a b

a f b f



 ( ) )

(

Công thức Lagrange chứng tỏ  M (c,f(c ))  ( C ) sao cho tiếp tuyến tại đó

song song với cát tuyến AB

Ví Dụ Tìm trên đường cong y = lnx một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với

cát tuyến AB, biết rằng A(1,0),B(e,1)

2.3.2 Công thức Taylor

1 Định Lý Cho f(x) xác định trên đoạn [a,b], khả vi đến cấp n+1 trong khoảng

(a,b) và xo (a,b ) Khi đó x  [a,b] , tồn tại c ở giữa xo và x sao cho hàm f(x) được khai triển dưới dạng :

)!

1 (

) ( )

(

!

) (

) (

! 2

) ( '' ) (

! 1

) (

















o

n n o o

n o

o o

n

C f x

x n

x f x

x x f x x x f

Công thức trên gọi là công thức Taylor

2 Công thức MacLaurin

Nếu xo = 0 thì công thức Taylor trở thành công thức MacLaurin sau đây :







( c nằm giữa 0 và x )

)!

1 (

)







n o

n

x x n

c f

thì Rn(x) gọi là phần dư bậc n trong công thức Taylor

Trong công thức MacLaurin : Rn(x) = ( 1) 1

)!

1 (

)





n

n

x n

x

f  ( 0 <  < 1 )

3 Biểu diễn một số hàm sơ cấp theo công thức MacLaurin







 , với 0   1

k k

k









k

k x



1

( 1)

n

n









Áp dụng Tính gần đúng số e

Ta khai triển hàm e x, lấy x 1ta được: 1 1 1 1

e e





 , với 0   1

Công thức này cho phép tính 1 1 1 1

e

n

    

Với n = 6, ta có 2 1 1 1 1 1 2 517

2! 3! 4! 5! 6! 7! 720 7!

e

Vì 0   1 nên 1 3

7! 7! 7!

e

  Từ đó: 2 517 1 2 517 3

720 7! e 720 7!

Vậy: e 2.718

2.4 Một số ứng dụng của vi phân hàm 1 biến

2.4.1 Qui tắc L’hospital

Giả sử các hàm số f(x), g(x) khả vi tại lân cận của xo, lim f(x)

o

x







limg x

o

x

g’(x)  0 với mọi x  V (xo) Khi đó :

Nếu

0

'( ) lim '( )

x x

f x

A

g x

x g

x f

o

x

 ( )

) ( lim

Ví dụ Tính các giới hạn

1

cos



2.4.2 Khảo sát hàm số

1 Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ Descartes

Sơ đồ khảo sát hàm số

1 Miền xác định

2 Đạo hàm :

 Cấp 1 : Tăng, giảm – Cực tr

 Cấp 2 : Lồi, lõm, điểm uốn

3 Giới hạn – Tiệm cận

4 Bảng biến thiên – Điểm đặc biệt

5 Vẽ đồ thị :

Ví Dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :

y = 4 2 42

x x

Ghi chú : Điểm uốn ( -3 , -

9

26 ) cực tiểu ( -2,-3) Cắt trục hoành : x = 1  3

 Đường cong cho dưới dạng tham số :









 ) (

) (

t y

t x





y

t x











 2 1 2

Ví Dụ 3:











t R y

t R x

sin

cos











t b y

t a x

sin cos

2 Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ cực

 Hệ tọa độ cực

Trong mặt phẳng, chọn 1 điểm O cố định, gọi là cực và một véctơ đơn vị

P

O, tia mang vectơ O P gọi là trục cực Hệ tọa độ xác định bới cực và trục cực được gọi

là hệ tọa độ cực

Điểm M trong mặt phẳng được xác định bới véctơ O M nghĩa là góc )

,

(O P O M



 và mođun r = O M

 : góc cực, r : bán kính cực Cặp số (r,  ) vớ r  0 và 0   < 2  được gọi là Tọa độ cực của điểm M trong mặt phẳng

Liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes :















 sin

cos

R y

R x

( 0   < 2  , r 0 )

 r = x2 y2 , tg  =

x

y (chọn  sao cho sin  cùng dấu với y )

Ví Dụ 1 Biểu diển các điểm sau đây qua hệ tọa độ cực :

a) M (

2

3 , 2

1 ) b) M ( 3,1)

Ví Dụ 2 a) M ( r =

4

5 ,

2   

) b) N( r=5,

3

5

  )

1- Miền xác định của f()

2- Xét sự tuần hoàn của r theo  ( nếu có) Nếu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T,

ta chỉ khảo sát đường cong trong góc -

2 2

T T



 sau đó quay những góc bằng T quanh O

3- Xét sự đối xứng ( nếu có ) :

 f(-) = f() : đối xứng qua trục cực

 f(-) = - f() : đối xứng qua đường vuông góc với trục cực

4 - Tính đạo hàm r’ = f() : xét tăng giảm

5 – Tìm tg  =

'

r

r Chứng Minh  = (O M,M O)

6 – Bảng biến thiên

7 – Vẽ đồ thị

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Tính đạo hàm của các hàm số

2.1 a) y = x + x3 x b) y =

3 1 1 1

x x

c) y = 1 x 2 d) y = x  x2 1

2.2 a) y = shx + chx b) y = ln(arcsin5x)

c) y = log3(x2-sinx) d) y =exln(sinx)

2.3 a) y = sin3(4x+3) b) y =ln2(cosx)

c) y = cos(cos(cosx)) d) = e arctgx2

2.4 a) ln

2

x

1

x y

x





c) 1arc 2 2

x

x



2

2.4 a) y = (sinx) tgx b) = xcos 2x

c) y(cos )x 2x21 d) y =

4

x

x

2.5 a)











t b y

t a x

sin

cos b)













2 1

arcsin

t y

t x

c) ar 2

ln(1 )





  

3 3 3

t t

x

 





 2.6 Tính

( )

d

( )

d

c) (sinx)

(cos )

d

(2 )

x x

d d



2.7 Tính vi phân cấp một của các hàm số sau

2.8 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số

a) y e x2 b) yln x a2x2

2.9 Chứng minh rằng hàm số y x c n( os(ln ) sin(ln ))n  n thỏa mãn phương trình

2 (1 2 ) (1 2) 0

x y  n xy n y

2.10 Chứng minh rằng hàm số y e xcosxthỏa mãn phương trình

(4) 4 0

2.11 Chứng minh rằng nếu y = exsinx thì y’’ – 2y’ + 2y = 0

2.12 Chứng minh rằng nếu y = acos(lnx) + bsin(lnx) thì x2y’’ + xy’ + y = 0

2.13 Chứng minh rằng arcsinx + arccosx =

2



2.14 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong y =2x3 1x2 tại giao điểm của đường cong với trục tung

2.15 Tìm điểm Mo trên cung AB của đường cong y = 2x-x2 mà tại đó tiếp tuyến song song với dây cung AB với A(1,1) , B(3,-3)

2.16 Áp dụng định lý Rolle cho hàm số f(x) = 3 8xx2 trên đoạn [0,8]

2.17 Hàm số f(x) = 3(x 8) 2 có thỏa điều kiện định lý Rolle trên đoạn [0,16] hay không ?

2.18 Chứng minh rằng đạo hàm f’(x) của đa thức f(x) = x3-x2-x+1 có nghiệm thực trong khoảng (-1,1)

2.19 Áp dụng định lý Lagrange để chứng minh các bất đẳng thức

a)  sinx-siny   x-y, x,y  R

b) ln(1+x) < x , x > 0

c)

b

b a b

a a

b







ln nếu 0<b<a

2.20 Giả sử f(x) xác định, liên tục, dương trên [a,b] và khả vi trên (a,b) Chứng minh rằng

) ) (

) (

) ( b a f f c c e a f

b



(Hướng dẫn : y=F(x) = ln(f(x)) – Dùng định lý Lagrange )

2.21 Dùng vi phân để tính gần đúng

a) (1,003)50 b) 51,001 c) e1,003 d) ln(1.05)

2.22 Tìm các giới hạn

ln

1 ( lim 2 2

x

x



sin

2 cos (

lim

2

x

e x x





c)

x

x

2

0 sin

) 1 ln(

1

0( )

lim 

e)

0

2 lim

s inx

x

x





n n

x a

m n a





 g)

0

x

tgx x





1 lim

1 s in x

2

x

x







 2.23 Tìm khoảng tăng ,giảm và cực trị của các hàm số :

a) y = (1-x)(x+2)2 b) y = -x3 + 3x2 - 5x + 2

c) y =

x

x

ln d) y = ln(x2 1) 2.24 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số

a) y = 2

1 x

x

3



x x

c) y = 4 x 2 d) y =

x x

ln