Bài giảng toán cao cấp 2 (giải tích) chương 2 phép tính tích phân hàm một biến

Bài giảng TỐN CAO CẤP A2 Thạc sĩ Nguyễn Cơng Nhựt Video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc Ngày 27 tháng năm 2021 Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 50 Nội dung Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Nguyên hàm tích phân bất định Tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tích phân suy rộng Bài tập chương VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 50 Nội dung Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Nguyên hàm tích phân bất định Tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tích phân suy rộng Bài tập chương VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 50 Nội dung Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Nguyên hàm tích phân bất định Tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tích phân suy rộng Bài tập chương VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 50 CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN NỘI DUNG 2-1 Nguyên hàm tích phân bất định 2-2 Tích phân xác định 2-3 Ứng dụng Tích phân xác định 2-4 Tích phân suy rộng Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 50 2.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH NỘI DUNG Các khái niệm Bảng tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Tích phân hàm hữu tỉ, vô tỉ lượng giác Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 50 2.1.1 Các khái niệm Hàm ❋ (① ) gọi nguyên hàm hàm số ❢ (① ) (trên ❉ ), ❋ (① ) = ❢ (① ), ∀① ∈ ❉ Định lý: Mọi nguyên hàm ❢ (① ) có dạng ❋ (① ) + ❈ với ❈ số Cho ❋ (① ) nguyên hàm ❢ (① ) Khi đó, họ hàm ❋ (① ) + ❈ (với ❈ số tùy ý) gọi tích phân bất định hàm số ❢ (① ) Kí hiệu ❢ (① )❞① = ❋ (① ) + ❈ Tính chất: [α❢ (① ) ± β❣ (① )]❞① = α Thac si Nguyen Cong Nhut ❢ (① )❞① ± β ❣ (① )❞① Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 50 2.1.2 Bảng tích phân bất định hàm số thông dụng ❦❞① = ❦① + ❈ (❦ : const) ♥ +1 ① ♥ ❞① = ♥① + + ❈ , ♥ ∈ R\{−1} 1 ① − ❛| + ❈ ❞① = ln | ① − ❛2 2❛ ① +❛ 1 ① +❈ ❞① = arctan ① + ❛2 ❛ ❛ Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 50 2.1.2 Bảng tích phân bất định hàm số thơng dụng √ √ √ ①2 + ❜ ❛2 − ① ❞① = ln ① + ① + ❜ +❈ ① ❞① = arcsin + ❈ ❛ √ ❛2 − ① 2❞① = ❛2 √ √ ① + ❜❞① = ❜2 ln ① + ① + ❜ Thac si Nguyen Cong Nhut arcsin ① + ① √❛ − ① + ❈ ❛ + Toán cao cấp A2 ① √① + ❜ + ❈ Ngày 27 tháng năm 2021 / 50 Ví dụ Tính tích phân bất định sau a) ■ = ① (① + 1)2❞① b) 2① ■ = ① + ①❡① − ❞① Giải a) ■ = ① (① + 1)2❞① = b) ■ = ①❞① + ❡ 2① ❞① − ①1 ❞① = ①22 + 12 ❡ 2① − ln ① + ❈ Thac si Nguyen Cong Nhut (① + 2① + ① )❞① = Toán cao cấp A2 ①4 + ①3 + ①2 + ❈ Ngày 27 tháng năm 2021 10 / 50 2.4.1 Tích phân suy rộng loại (Cận lấy tích phân vơ hạn) ❢ (① ) xác định [❛, +∞) liên tục [❛, t ] ⊂ [❛, +∞), ∀t ≥ ❛ +∞ TPSR ❢ (① ) [❛, +∞), ký hiệu ❢ (① )❞① giới hạn (nếu có) ❛ +∞ ❢ (① )❞① = t →+ lim ❢ (① )❞① ∞ ❛ t ❛ ❢ (① ) xác định (−∞, ❛] liên tục [t , ❛] ⊂ (−∞, ❛], ∀t ≤ ❛ ❛ TPSR ❢ (① ) (−∞, ❛ ], ký hiệu ❢ (① )❞① giới hạn (nếu có) ❛ −∞ Thac si Nguyen Cong Nhut −∞ ❛ ❢ (① )❞① = t →− lim ❢ (① )❞① ∞ t Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 37 / 50 2.4.1 Tích phân suy rộng loại (Cận lấy tích phân vơ hạn) Giả sử ❢ (① ) xác định (−∞, +∞) liên tục [❛, ❜ ], ∀❛ ≤ ❜ TPSR ❢ (① ) (−∞, +∞): ❛ +∞ ❢ (① )❞① = −∞ ❢ (① )❞① + −∞ ❛ = lim t →−∞ Thac si Nguyen Cong Nhut t +∞ ❢ (① )❞① ❛ ❜ ❢ (① )❞① + ❜→+ lim ❢ (① )❞① ∞ ❛ Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 38 / 50 2.4.1 Tích phân suy rộng loại (Cận lấy tích phân vơ hạn) Ví dụ 11 Tính tích phân suy rộng sau ■= +∞ ❞① + ①2 = lim arctan ① |t0 = lim arctan t = π/2 t →+∞ Thac si Nguyen Cong Nhut t →+∞ Hình: Tốn cao cấp A2 t = lim t →+∞ ❞① + ①2 Ngày 27 tháng năm 2021 39 / 50 2.4.1 Tích phân suy rộng loại (Cận lấy tích phân vơ hạn) Ví dụ 12 Tính tích phân suy rộng sau ❡ −1 −2① t t →−∞ = lim ❞① ■2 = −1 −∞ ❡ −2① ❞① − − 2① − = lim ❡ t →−∞ t − 2t −1 ❡ = ❡ + t →− lim ∞ 2 = +∞ Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 40 / 50 2.4.1 Tích phân suy rộng loại (Cận lấy tích phân vơ hạn) Ví dụ 13 ■3 = +∞ ❞① + ①2 Tính tích phân suy rộng sau +∞ −∞ ❞① + ①2 ❞① + + ①2 ❞① t ❞① = lim t + lim t →−∞ + ① t →+∞ + ① t = lim arctan ① + lim arctan ① t →+∞ t →−∞ t = − lim arctan t + lim arctan t t →+∞ t →−∞ = −∞ =π Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 41 / 50 2.4.2 Tích phân suy rộng loại (Cận lấy tích phân điểm gián đoạn vơ hạn) ❢ (① ) xác định [❛, ❜ ) liên tục [❛, t ] ⊂ [❛, ❜ ), ∀t , t ≤ ❛ < ❜ lim ❢ (① ) = ∞ − ① →❜ ❜ ❛ ❢ (① )❞① = t lim t →❜ − ❛ ❢ (① )❞① ❢ (① ) xác định (❛, ❜ ] liên tục [t , ❜ ] ⊂ (❛, ❜ ], ∀t , t < ❛ ≤ ❜ lim ❢ (① ) = ∞ + ① →❛ ❜ ❛ Thac si Nguyen Cong Nhut ❢ (① )❞① = ❜ lim t →❛ + Toán cao cấp A2 ❢ (① )❞① t Ngày 27 tháng năm 2021 42 / 50 2.4.2 Tích phân suy rộng loại (Cận lấy tích phân điểm gián đoạn vô hạn) Giả sử ❢ (① ) xác định (❛, ❜ ) liên tục [t , ❦ ] ⊂ (❛, ❜ ), ∀t , ❦ , ❛ < t ≤ ❦ < ❜ lim ❢ (① ) = ∞; lim ❢ (① ) = ∞ Tích phân ① →❛ + ① →❜ − suy rộng ❢ (① ) [❛, ❜ ], định nghĩa ❜ ❢ (① )❞① ❝ = ❛ ❛ ❜ ❢ (① )❞① + ❢ (① )❞① ❝ ❝ = lim t →❛ + t Thac si Nguyen Cong Nhut ❢ (① )❞① + ❦ lim ❦ →❜ − ❝ Toán cao cấp A2 ❢ (① )❞① Ngày 27 tháng năm 2021 43 / 50 2.4.2 Tích phân suy rộng loại (Cận lấy tích phân điểm gián đoạn vơ hạn) Ví dụ 14 Tính tích phân suy rộng sau t →0+ ❞① ① √ lim t = lim t →0+ Thac si Nguyen Cong Nhut √ ■= ❞① ① √ ① |1t = Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 44 / 50 2.4.2 Tích phân suy rộng loại (Cận lấy tích phân điểm gián đoạn vơ hạn) Ví dụ 15 Tính tích phân suy rộng sau t t →3 = lim ❞① (① + 1)(① − 3) t t →3 1 = lim ln t →3 = −∞ = lim ① −3 ① −3 ① +1 − t ① +1 ■1 = ❞① (① + 1)(① − 3) ❞① Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 45 / 50 2.4.2 Tích phân suy rộng loại (Cận lấy tích phân điểm gián đoạn vơ hạn) Ví dụ 16 Tính tích phân suy rộng sau √ = −1 = = ❞① − ①2 t + t →−1 lim √ lim arcsin t →−1+ + ❞① √ − ①2 ① t ■4 = ❞① √ −1 − ①2 + lim t →1− t √ + lim arcsin ① t →1− = lim arcsin t + lim arcsin t t →1+ t →1− =π Thac si Nguyen Cong Nhut ❞① − ①2 ❞① − ①2 t Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 46 / 50 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG Bài tập Tính tích phân bất định sau ■ = ①3 √ + ① ❞① Bài tập Tính tích phân bất định sau ■= 2① ln ①❞① Bài tập Tính tích phân sau Thac si Nguyen Cong Nhut ■= π ① sin ①❞① Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 47 / 50 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG Bài tập Tính tích phân suy rộng sau ■1 = +∞ ❞① (① + 3)(① + 6) Bài tập Tính tích phân suy rộng sau Thac si Nguyen Cong Nhut ■3 = ln ①❞① Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 48 / 50 Nội dung Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Nguyên hàm tích phân bất định Tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tích phân suy rộng Bài tập chương VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 49 / 50 Nội dung Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Nguyên hàm tích phân bất định Tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tích phân suy rộng Bài tập chương VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 50 / 50 a Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 2021 50 / 50 ... Tốn cao cấp A2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Nguyên hàm tích phân bất định Tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tích phân suy rộng Bài tập chương VI PHÂN... ①❞① Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng năm 20 21 48 / 50 Nội dung Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngun hàm tích phân bất định Tích phân. .. Tốn cao cấp A2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngun hàm tích phân bất định Tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tích phân suy rộng Bài tập chương VI PHÂN