Bài giảng toán cao cấp 2 (giải tích) chương 4 lý thuyết chuỗi

Bài giảng TỐN CAO CẤP A2 Thạc sĩ Nguyễn Cơng Nhựt Video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc Ngày 13 tháng 10 năm 2020 Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 / 21 Nội dung Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI 4.1 Các khái niệm tính chất 4.2 Chuỗi số dương Bài tập ôn tập chương Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 / 21 Nội dung Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI 4.1 Các khái niệm tính chất 4.2 Chuỗi số dương Bài tập ơn tập chương Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 / 21 Nội dung Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI 4.1 Các khái niệm tính chất 4.2 Chuỗi số dương Bài tập ôn tập chương Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 / 21 Nội dung Giới thiệu môn học Tốn cao cấp A2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI 4.1 Các khái niệm tính chất 4.2 Chuỗi số dương Bài tập ôn tập chương Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 / 21 Nội dung Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI 4.1 Các khái niệm tính chất 4.2 Chuỗi số dương Bài tập ôn tập chương Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 / 21 LÝ THUYẾT CHUỖI NỘI DUNG 4-1 Các khái niệm tính chất 4-2 Chuỗi khơng âm 4-3 Chuỗi có dấu 4-4 Chuỗi hàm số 4-5 Chuỗi lũy thừa Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 / 21 4.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT NỘI DUNG Định nghĩa chuỗi Các tính chất Thac si Nguyen Cong Nhut Tốn cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 / 21 4.1.1 Định nghĩa chuỗi ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ Cho dãy số thực { ♥ }♥ Biểu thức + + · · · + ♥ + · · · = ∑♥+=∞1 ♥ gọi chuỗi số hay ngắn gọn chuỗi Số hạng ♥ gọi số hạng tổng quát thứ Với ∈ N, ≥ 1, tổng ❦ = + + · · · + ❦ = ∑❦♥ =1 ♥ gọi tổng riêng phần thứ chuỗi Nếu lim❦ →+∞ ❦ tồn hũu hạn ta nói chuỗi ∑♥+=∞1 ♥ hội tụ = lim❦ →+∞ ❦ tổng chuỗi ta viết ❦ ❙ ♥ ❦ ❙ ❙ ❦ ❙ ✉ ✉ ✉ +∞ ❙ = ∑ ✉♥ ♥ =1 ❙ ❙ ✉ Nếu lim❦ →+∞ ❦ không tồn lim❦ →+∞ ❦ = ∞, ta nói chuỗi ∑♥+=∞1 ♥ phân kỳ Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 / 21 4.1.2 Các tính chất Định lý (Điều kiện cần chuỗi hội tụ) ✉ ✉ Nếu chuỗi ∑♥+=∞1 ♥ hội tụ lim ♥ →+∞ ♥ = Như ta suy ra: Nếu lim ♥ →+∞ ♥ = lim♥ →+∞ ♥ khơng tồn chuỗi phân kỳ ✉ ✉ ✉ ✉ ✈ ✉ ✉ ✈ ∑♥∞=1 ♥ , ∑♥∞=1 ♥ hội tụ =⇒ ∑♥∞=1 ( ♥ + ♥ ) hội tụ ∑♥∞=1 ♥ hội tụ, ∑♥∞=1 ♥ phân kỳ =⇒ ∑♥∞=1 ( ♥ + ♥ ) phân kỳ ∑♥∞=1 ( ♥ + ♥ ) hội tụ ⇒ khơng có kết luận Nếu < ♥ ≤ ♥ với ≥ ∑♥∞=1 ♥ hội tụ =⇒ ∑♥∞=1 ♥ hội tụ ∑♥∞=1 ♥ phân kỳ =⇒ ∑♥∞=1 ♥ phân kỳ ✈ ✉ ✉ ✈ ✈ Thac si Nguyen Cong Nhut ✈ ♥ ♥ ✉ ✉ ✈ ✈ Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 10 / 21 4.2 CHUỖI SỐ DƯƠNG NỘI DUNG Định nghĩa Các tiêu chuẩn xét hội tụ chuỗi không âm Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 11 / 21 4.2.1 Định nghĩa Định nghĩa ✉ ✉ ✉ ✉ Chuỗi ∑♥∞=1 ♥ với ♥ ≥ gọi chuỗi khơng âm Khi đó, dãy tổng riêng { ❦ } dãy khơng giảm nên có giới hạn (chuỗi hội tụ) bị chặn Chuỗi ∑♥∞=1 ♥ với ♥ > gọi chuỗi số dương Thac si Nguyen Cong Nhut ❙ Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 12 / 21 4.2.2 Các tiêu chuẩn xét hội tụ chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh ✉ ✈ Cho hai chuỗi (1) ∑♥∞=1 ♥ (2) ∑♥∞=1 ♥ Giả sử lim♥ →+∞ ✉✈♥♥ = L ▲ = : (2) hội tụ =⇒ (1) hội tụ ▲ = +∞ : (1) hội tụ =⇒ (2) hội tụ < ▲ < +∞ : (1) (2) có tính chất hội tụ, phân kỳ Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 13 / 21 4.2.2 Các tiêu chuẩn xét hội tụ chuỗi không âm Tiêu chuẩn D’Alembert Tiêu chuẩn Cauchy ❉ ✉ Giả sử ta có ( ) lim♥ →+∞ ♥✉+♥ = ♥ ✉ = ▲ ▲ ta có (C) lim♥→+∞ √ ♥ ▲ < =⇒ chuỗi hội tụ ▲ > =⇒ chuỗi phân kỳ ▲ = =⇒ khơng có kết luận √ ✉ Nếu có ♥0 mà ♥✉♥ ≥ ♥ ✉♥ ≥ với ♥ ≥ ♥0 chuỗi phân +1 kỳ Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 14 / 21 4.2.2 Các tiêu chuẩn xét hội tụ chuỗi không âm Tiêu chuẩn tích phân Cho hàm số liên tục, khơng âm Khi ② = ❢ (① ) nghịch biến khoảng (1, +∞) ∞ ∑ ❢ (♥ ) +∞ ♥ =1 ❢ (① )❞① có tính chất hội tụ phân kỳ Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 15 / 21 4.3 Chuỗi có dấu chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối ✉ ✉ Nếu ∑♥∞=1 |✉♥ | phân kỳ ∑♥∞=1 ✉♥ hội tụ ∑♥∞=1 ✉♥ gọi bán hội Nếu ∑♥∞=1 | ♥ | hội tụ ∑♥∞=1 ♥ hội tụ tụ Chú ý: Khi sử dụng tiêu chuẩn D’Alambert Cauchy cho chuỗi số dương ∑♥∞=1 | ♥ | cho kết hội tụ phân kỳ chuỗi ∑♥∞=1 ♥ tương ứng hội tụ phân kỳ ✉ Thac si Nguyen Cong Nhut ✉ Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 16 / 21 4.3 Chuỗi có dấu chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn Leibniz (chuỗi đan dấu) ✉ ✉ ✉ Nếu dãy số ♥ giảm lim♥ →+∞ ♥ = chuỗi ∑♥∞=1 (−1)♥ +1 ♥ hội tụ Hơn < < ❙ ❙ ✉ Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 17 / 21 4.4 Chuỗi hàm Miền hội tụ chuỗi hàm Tập hợp D gồm tất giá trị gọi miền hội tụ ① cho chuỗi ∑♥∞=1 ✉♥ (① ) hội tụ Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa ❘ ❛① ❘❘ Giá trị cho chuỗi lũy thừa ∑♥∞=1 ♥ ♥ hội tụ (− , ) phân kỳ (−∞, − ) ∪ ( , +∞) đgl bán kính hội tụ ❘ ❘ Định lý (tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa) ✉ ▲ Nếu (D) lim♥ →+∞ ♥✉+♥ = (C) lim♥ →+∞ chuỗi lũy thừa = ▲1 ❘ Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 √ ♥ ✉♥ = ▲ bán kính hội tụ Ngày 13 tháng 10 năm 2020 18 / 21 4.4 Chuỗi lũy thừa Định nghĩa ✉ ① ①0 )♥ , ①0 gọi tâm Chuỗi lũy thừa chuỗi có dạng ∑♥+=∞1 ♥ ( − chuỗi lũy thừa Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 19 / 21 4.4 Chuỗi lũy thừa Định lí ✉ ① ①0 )♥ Giả sử | ✉♥ + | lim = ρ lim ♥ |✉♥ | = ρ ♥ →+∞ |✉♥ | ♥ →+∞ Cho chuỗi lũy thừa ∑♥+=∞1 ♥ ( − ❘ = ρ1 ❘ gọi bán kính hội tụ chuỗi (nếu ρ = ❘ = +∞, ρ = +∞ ❘ = ) Khi đó, Với |① − ①0 | < ❘ ⇔ ① ∈ (①0 − ❘ ; ①0 + ❘ ) chuỗi ∑♥+=∞0 ✉♥ (① − ①0 )♥ Đặt hội tụ Với | − ① ①0 | > ❘ chuỗi ∑♥+=∞0 ✉♥ (① − ①0 )♥ phân kỳ Với |① − ①0 | = ❘ ⇔ ① = ①0 − ❘ ① = ①0 + ❘ chưa kết luận Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 20 / 21 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG Bài tập Xét hội tụ chuỗi sau +∞ ∑♥ =1 ♥ (♥1+1) Ta có ♥ (♥1+1) = ♥1 − ♥ + ❙ ❙ Do ❦ = − ♥ + ⇒ lim❦ →+∞ ❦ = Vậy chuỗi hội tụ ∑♥+=∞1 ♥ (♥1+1) = Bài tập Cho hàm ẩn Tính ① , ② ③ ③ ② = ❢ (① , ② ) xác định phương trình ① + ② + ③ + 6①②③ = Bài tập Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 21 / 21 ... Các khái niệm tính chất 4 -2 Chuỗi khơng âm 4- 3 Chuỗi có dấu 4- 4 Chuỗi hàm số 4- 5 Chuỗi lũy thừa Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 20 20 / 21 4. 1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH... THUYẾT CHUỖI 4. 1 Các khái niệm tính chất 4 .2 Chuỗi số dương Bài tập ơn tập chương Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 20 20 / 21 LÝ THUYẾT CHUỖI NỘI DUNG 4- 1 Các khái... BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI 4. 1 Các khái niệm tính chất 4 .2 Chuỗi số dương Bài tập ôn tập chương Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 20 20 / 21 Nội dung Giới thiệu mơn học Tốn cao