Bài giảng toán cao cấp 2

Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4

KHOA TOÁN

——————— ? ———————

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 2

Trần Văn Bằng

Hà Nội-05-10-2013

Mục lục

1.1 Trường số thực 9

1.1.1 Các tiên đề của số thực 10

1.1.2 Các ký hiệu và thuật ngữ 13

1.1.3 Giá trị tuyệt đối 14

1.1.4 Tập số thực mở rộng 14

1.2 Dãy số thực 16

1.2.1 Định nghĩa và ví dụ 16

1.2.2 Các tính chất của dãy hội tụ 16

1.2.3 Các phép toán trên các dãy hội tụ 18

1.2.4 Tiến qua giới hạn trong bất đẳng thức 19

1.2.5 Các nguyên lý cơ bản 19

1

1.2.6 Sự hội tụ của dãy đơn điệu 22

1.2.7 Giới hạn riêng, giới hạn trên và giới hạn dưới 24

1.2.8 Giới hạn vô cùng 25

1.2.9 Bài tập 26

2 Hàm số một biến số thực 31 2.1 Định nghĩa hàm số một biến số thực 31

2.2 Đồ thị của hàm một biến số thực 32

2.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, hàm số đơn điệu 32

2.4 Hàm số hợp 34

2.5 Hàm số ngược 34

2.6 Các hàm số sơ cấp cơ bản 35

2.7 Hàm số sơ cấp 39

3 Giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến số 41 3.1 Định nghĩa giới hạn hàm số 41

3.2 Các tính chất của giới hạn 42

3.3 Giới hạn một phía 47

MỤC LỤC 3

3.4 Vô cùng bé và vô cùng lớn 48

3.4.1 Định nghĩa 48

3.4.2 Tính chất 49

3.4.3 So sánh các vô cùng bé 49

3.4.4 Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định 50 3.5 Sự liên tục của hàm một biến số 50

3.5.1 Định nghĩa 50

3.5.2 Hàm số liên tục một phía 51

3.5.3 Các loại điểm gián đoạn 52

3.5.4 Hàm số liên tục đều 53

3.5.5 Các phép toán trên các hàm liên tục Hàm số hợp của hai hàm số liên tục 55

3.6 Các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn 56

3.7 Bài tập 56

4 Đạo hàm và vi phân hàm một biến 57 4.1 Đạo hàm 57

4.2 Vi phân 60

4.3 Đạo hàm một phía 61

4.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 62

5 Các định lý giá trị trung bình 65 5.1 Các định lý giá trị trung bình 65

5.2 Công thức Taylor 69

5.3 Quy tắc L’Hospital 72

5.4 Khảo sát hàm số y = f (x) 73

5.5 Hệ tọa độ cực 76

5.6 Khảo sát đường cong cho bởi phương trình tham số 79

5.7 Bài tập 81

6 Nguyên hàm và tích phân bất định 87 6.1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định 87

6.1.1 Một số khái niệm và ví dụ 87

6.1.2 Tính chất của tích phân bất định 88

6.1.3 Bảng nguyên hàm cơ bản 90

6.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 91

6.2.1 Phương pháp đổi biến số 91

6.2.2 Phương pháp tích phân từng phần 93

MỤC LỤC 5

6.3 Tích phân một số lớp hàm đặc biệt 94

6.3.1 Tích phân các hàm hữu tỷ 94

6.3.2 Tích phân các hàm vô tỷ 97

6.3.3 Tích phân các hàm lượng giác 102

7 Tích phân xác định 105 7.1 Định nghĩa tích phân xác định 105

7.2 Các điều kiện khả tích 106

7.2.1 Điều kiện cần 106

7.2.2 Tổng Darboux 107

7.2.3 Các tính chất của tổng Darboux 108

7.2.4 Điều kiện cần và đủ của tính khả tích 109

7.3 Tính chất của tích phân xác định 111

7.4 Các lớp hàm khả tích 119

7.5 Mối liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định 123

7.5.1 Hàm theo cận trên 123

7.5.2 Công thức Newton-Leibnitz 125

7.6 Các phương pháp tính tích phân xác định 126

7.6.1 Phương pháp đổi biến số 126

7.6.2 Phương pháp tích phân từng phần 129

7.7 Ứng dụng của tích phân xác định 130

7.7.1 Tính diện tích hình phẳng 130

7.7.2 Tính độ dài cung 132

7.7.3 Thể tích vật thể tròn xoay 134

7.7.4 Diện tích mặt tròn xoay 136

7.7.5 Một vài ứng dụng vật lý 138

7.8 Tích phân suy rộng 140

7.8.1 Tích phân suy rộng loại 1 (cận vô tận) 140

7.8.2 Tích phân suy rộng loại 1 của hàm số không âm 145 7.8.3 Định lý Dirichlet và định lý Abel 148

7.8.4 Tích phân hội tụ tuyệt đối 152

7.8.5 Tích phân suy rộng loại 2 (tích phân của hàm không bị chặn) 155

8 Chuỗi số 161 8.1 Chuỗi số 161

8.1.1 Khái niệm chuỗi số 161

MỤC LỤC 7

8.1.2 Một vài tính chất đơn giản 165

8.1.3 Phần dư của một chuỗi hội tụ 167

8.2 Chuỗi số dương 168

8.2.1 Các dấu hiệu so sánh 169

8.3 Sự hội tụ của chuỗi với các số hạng có dấu thay đổi 175

8.3.1 Chuỗi đan dấu 175

8.3.2 Các định lý Dirichlet và Abel 176

8.3.3 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ 177

8.4 Bài tập 179

8.4.1 Chuỗi số 179

8.4.2 Chuỗi số dương 182

Chương 1

Số thực và dãy số thực

Trong học phần này chúng ta nghiên cứu về hàm số một biến số (biến

số thực, hàm giá trị thực) nên nhất thiết phải hiểu về trường số thực.Thế nhưng số thực là gì? Đây là một câu hỏi khó Việc xây dựng số thực

là một vấn đề cơ bản của toán học Ngày nay, số thực thường được xâydựng theo một trong các phương pháp sau:

1 Phương pháp nhát cắt Dedekind (xem [4] và [6]);

2 Phương pháp dãy Cauchy (xem [8]);

3 Phương pháp tiên đề (xem [12])

9

Trong giáo trình này ta sử dụng phương pháp tiên đề để xây dựngtrường số thực.

(i) Phép tính cộng + : R × R → R, (x, y) 7→ x + y có các tích chất:(R, +) là nhóm giao hoán, tức là,

· x + y = y + x với mọi x, y ∈ R;

· x + (y + z) = (x + y) + z với mọi x, y, z ∈ R;

· tồn tại phần tử 0 ∈ R sao cho x + 0 = x với mọi x ∈ R;

· với mọi x ∈ R tồn tại − x ∈ R sao cho x + (−x) = 0 (−x được gọi

là phần tử đối của x);

và phép tính nhân : R × R → R, (x, y) 7→ x.y = xy có các tính chất:

Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 11

(R, ) là nhóm giao hoán, tức là,

· xy = yx với mọi x, y ∈ R\{0};

· x(yz) = (xy)z với mọi x, y, z ∈ R\{0};

· tồn tại phần tử 1 ∈ R sao cho 1x = x với mọi x ∈ R\{0};

· với mọi x ∈ R\{0} tồn tại x−1 ∈ R\{0} sao cho xx−1 = 1 (x−1được gọi là phần tử nghịch đảo của x);

Giữa hai phép tính này có mối liên hệ sau

Ta viết x < y (hoặc y > x) nếu x ≤ y và x 6= y

(iii) Tiên đề về cận trên Mọi tập A ⊂ R, A 6= ∅ bị chặn trên cócận trên đúng

Để hiểu Tiên đề về cận trên, ta cần các khái niệm quan trọng sau:

Định nghĩa 1.2 Ta nói rằng tập A ⊂ R bị chặn trên nếu tồn tại z ∈ Rsao cho x ≤ z với mọi x ∈ A; phần tử z được gọi là cận trên của tập A.Giả sử A bị chặn trên, z được gọi là cận trên đúng của A nếu:

· z là cận trên của A, tức là, x ≤ z ∀x ∈ A;

· z là cận trên bé nhất của A, tức là, nếu y < z thì y không phải làcận trên của A

Cận trên đúng của tập A được ký hiệu là sup A

Tương tự ta có thể định nghĩa tập bị chặn dưới, cận dưới và cận dướiđúng như sau

Định nghĩa 1.3 Ta nói rằng tập A ⊂ R bị chặn dưới nếu tồn tại z ∈ Rsao cho z ≤ x với mọi x ∈ A; phần tử z được gọi là cận dưới của tập A.Giả sử A bị chặn dưới, z được gọi là cận dưới đúng của A nếu:

Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 13

Định lý 1.1 (i) Nếu A ⊂ R bị chặn trên thì z = sup A khi và chỉ khi

(iii) Giữa cận trên đúng và cận dưới đúng có mối liên hệ sau

inf A = − sup(−A), sup A = − inf(−A)

Định lý 1.2 (Tính trù mật của tập Q trong R) Giữa hai số thực a < bbất kỳ luôn luôn có ít nhất một số hữu tỷ r sao cho a < r < b

1.1.2 Các ký hiệu và thuật ngữ

Trong giáo trình này chúng ta sẽ sử dụng các ký hiệu sau đây:

Đoạn, đoạn đóng hay khoảng đóng [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b};Khoảng hay khoảng mở (a, b) := {x ∈ R | a < x < b};

Khoảng đóng trái [a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b};

Khoảng đóng phải (a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}

Một tập thuộc bốn loại trên được gọi là một khoảng

1.1.3 Giá trị tuyệt đối

Với x ∈ R, ta gọi giá trị tuyệt đối của x là giá trị

Giá trị tuyệt đối có các tính chất cơ bản sau:

i> |x| ≥, ∀x; |x| = 0 khi và chỉ khi x = 0;

ii> |xy| = |x||y; |

Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 15

(ii) Với mọi x > 0 ta đặt

bị chặn?

Bài 1.2 Ta nói rằng M là phần tử lớn nhất của tập A nếu M ∈ A

và x ≤ M ∀x ∈ A (trong trường hợp đó ta viết M = max A) Tương

tự m là phần tử bé nhất của tập A nếu m ∈ A và m ≤ x ∀x ∈ A(trong trường hợp đó ta viết m = min A) Chứng minh rằng: nếu A cóphần tử lớn nhất thì sup A = max A; nếu A có phần tử bé nhất thìinf A = min A

Bài 1.3 Chứng tỏ rằng: cận trên đúng, cận dưới đúng nếu tồn tại thìduy nhất

1.2 Dãy số thực

1.2.1 Định nghĩa và ví dụ

Cho tập hợp các số nguyên dương N∗ := {1, 2, 3, } Ta gọi một ánh

xạ u : N∗ → R là một dãy số thực Nếu đặt un := u(n) thì ta có thể biểudiễn dãy số thực đó dưới dạng u1, u2, , un, Ta kí hiệu dãy số đó là(un), hoặc {un} Phần tử un được gọi là số hạng tổng quát của dãy

Định nghĩa 1.5 Cho dãy số thực (un) Số a ∈ R được gọi là giới hạncủa dãy (un) nếu với mọi ε > 0 cho trước bao giờ cũng tồn tại một

số N = N (ε) (phụ thuộc vào ε) sao cho với mọi n ≥ N ta đều có

|un − a| < ε

Khi đó ta nói dãy (un) hội tụ đến a hay tiến đến giới hạn a và ta viết

un → a(n → ∞) hay lim

(ii) Dãy số (qn) hội tụ đến 0, trong đó q ∈ R sao cho |q| < 1

1.2.2 Các tính chất của dãy hội tụ

Định lý 1.3 Giới hạn của một dãy số (nếu có) là duy nhất

Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 17

Chứng minh Giả sử dãy số (un) có hai giới hạn a1, a2 khác nhau khi ntiến tới vô cùng Chọn ε0 = |a1 −a2|

2 > 0 Do giả thiết lim

n→∞un = a1, nênvới ε0 > 0 tồn tại N1 sao cho |un − a1| < ε0 với mọi n ≥ N1 Tương tự,

Điều đó chứng tỏ giới hạn của một dãy số (nếu có) là duy nhất

Định nghĩa 1.6 Cho dãy số thực (un) và dãy số nguyên dương (nk)sao cho n1 < n2 < < nk < Khi đó dãy (unk) được gọi là một dãycon của dãy (un)

Chú ý rằng với dãy con (unk) của dãy (un) ta luôn có nk ≥ k ∀k ∈ N∗.Định lý 1.4 Mọi dãy con của dãy hội tụ là dãy hội tụ và có cùng giớihạn với dãy ban đầu

Chứng minh Xem [4, p 39]

Định lý 1.5 Nếu dãy (un) hội tụ và lim

n→∞un = a thì (|un|) hội tụ vàlim

n→∞|un| = |a|

Chứng minh Xem [4, p 39]

Dãy (un) được gọi là bị chặn nếu tập hợp {un | n ∈ N∗} là tậphợp bị chặn, điều này xảy ra khi và chỉ khi tồn tại M > 0 sao cho

|un| ≤ M ∀n ∈ N∗

Định lý 1.6 Mọi dãy hội tụ là dãy bị chặn

Chứng minh Giả sử dãy (un) hội tụ và có giới hạn a khi n tiến tới vôcùng Theo Định lý 1.5 ta có lim

n→∞|un| = |a| Cho ε0 = 1, theo định nghĩatồn tại N sao cho với mọi n ≥ N ta có |un| − |a| < 1, từ đó suy ra

|un| < |a| + 1 ∀n ≥ N

Đặt M = max{|u1|, |u2|, , |uN|, |a| + 1} Ta có

|un| ≤ M ∀n ∈ N∗.Vậy dãy (un) là dãy bị chặn

1.2.3 Các phép toán trên các dãy hội tụ

Định lý 1.7 Giả sử các dãy (un) và (vn) hội tụ Khi đó:

(a) Dãy (un + vn) cũng hội tụ và lim

n→∞(un + vn) = lim

n→∞un+ lim

n→∞vn.(b) Dãy (un.vn) cũng hội tụ và lim

n→∞vn.Chứng minh Xem [4, p 40]

Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 19

Hệ quả 1.1 Nếu lim

n→∞un = a và α ∈ R thì lim

n→∞αun = αa

1.2.4 Tiến qua giới hạn trong bất đẳng thức

Định lý 1.8 Cho hai dãy hội tụ (un) và (vn) Giả sử tồn tại N sao cho

un ≥ vn với mọi n > N Khi đó lim

n→∞un ≥ lim

n→∞vn.Chứng minh Xem [4, p 42]

Nhận xét 1.1 1 Từ bất đẳng thức un > vn với mọi n ∈ N∗, nói chungkhông thể suy ra lim

lồng nhau và thắt lại, tức là [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ ⊃ [an, bn] ⊃ vàlim

n→∞(bn − an) = 0 Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử α ∈

∞

T

n=1

[an, bn]

Chứng minh Đặt A := {a1, a2, } Khi đó tập A bị chặn trên bởi bk bất

kỳ Do đó tồn tại sup A = α Theo định nghĩa của cận trên đúng ta có

an ≤ α với mọi n ∈ N∗ Hơn nữa, do A bị chặn trên bởi bk bất kỳ và α

là cận trên đúng của A nên α ≤ bk với mọi k ∈ N∗ Vậy α ∈ [an, bn] vớimọi n ∈ N∗

Phần tử α có tính chất đó là duy nhất vì nếu tồn tại α0 6= α sao cho

α0 ∈ [an, bn] với mọi n ∈ N∗, thì ta có 0 < ε = |α − α0| ≤ (bn − an) vớimọi n ∈ N∗, điều này trái với giả thiết lim

n→∞(bn− an) = 0

Định lý 1.11 (Nguyên lý Bolzano - Weierstrass) Mọi dãy vô hạn bịchặn đều chứa một dãy con hội tụ

Chứng minh Giả sử dãy (un) là một dãy bị chặn Khi đó tồn tại hai số

a, b sao cho a ≤ un ≤ b với mọi n ∈ N∗ Ta chia [a, b] thành hai đoạnbằng nhau Khi đó ít nhất một trong hai đoạn đó chứa vô số số hạng củadãy Gọi [a1, b1] là một đoạn con có tính chất đó Ta có b1 − a1 = b − a

Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 21

mỗi đoạn này chứa vô số số hạng của dãy (un) Theo nguyên lý Cantortồn tại c ∈

ta thu được một dãy con (unk) của dãy (un) sao cho unk ∈ [ak, bk] VÌ

c ∈ [ak, bk] nên

|unk − c| ≤ bk− ak = b − a

2k Vậy lim

n→∞unk = c

Định nghĩa 1.7 Dãy số thực (un) được gọi là dãy cơ bản hay dãyCauchy nếu với mọi ε > 0 cho trước tồn tại N sao cho với mọi n, m > N

ta có |un − um| < ε

Từ định nghĩa dãy cơ bản ta suy ra:

(a) Mọi dãy cơ bản đều bị chặn

(b) Nếu dãy cơ bản (un) có một dãy con (unk) hội tụ đến giới hạn athì dãy (un) cũng hội tụ đến a

Định lý 1.12 (Nguyên lý Cauchy) Một dãy hội tụ khi và chỉ khi nó làmột dãy cơ bản, tức là khi và chỉ khi

∀ε > 0 ∃N với mọi n, m > N ta có |un− um| < ε

Chứng minh (i) Điều kiện cần Giả sử dãy (un) hội tụ đến giới hạn a

Ví dụ 1.2 Dùng nguyên lý Cauchy xét sự hội tụ của dãy số (un) với

un = 1

1.2 +

12.3 + +

1n.(n + 1).

Ví dụ 1.3 Cho dãy số (un) với un = 1 + 1

2 + +

1

n Chứng minh rằngdãy này phân kỳ

1.2.6 Sự hội tụ của dãy đơn điệu

Định nghĩa 1.8 (i) Dãy (un) được gọi là dãy tăng (tương ứng dãy tăngthực sự) nếu un ≤ un+1 với mọi n (tương ứng un < un+1 với mọi n).(i) Dãy (un) được gọi là dãy giảm (tương ứng dãy giảm thực sự) nếu

un ≥ un+1 với mọi n (tương ứng un > un+1 với mọi n)

Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 23

Định lý 1.13 (a) Nếu dãy (un) tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ vàlim

Với ε > 0 cho trước tùy ý, tồn tại uN sao cho a − ε < uN ≤ a

Mặt khác vì (un) là dãy tăng nên với mọi n > N thì uN < un, do đó

1n!.

Ta thấy dãy này là một dãy tăng và bị chặn trên bởi 3 Thật vậy, hiểnnhiên dãy (un) tăng và

Do đó, dãy này có giới hạn hữu hạn Ta ký hiệu

e = lim

n→∞



1 + 11! +

12! + +

1n!



Rõ ràng 2 < e ≤ 3 Có thể chứng minh e là số vô tỷ và e xấp xỉ bằng2.7183

Trong nhiều tài liệu kết quả sau đây thường được dùng làm địnhnghĩa của số e

n

1.2.7 Giới hạn riêng, giới hạn trên và giới hạn dưới

Định nghĩa 1.9 Cho dãy số (un) Số a ∈ R được gọi là giới hạn riêngcủa dãy (un) nếu có một dãy con (unk) của dãy này hội tụ đến a

Định nghĩa 1.10 Cho (xn) là dãy số bị chặn Với mỗi n ta đặt

n→∞un = inf

n un và lim

n→∞vn =sup

Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 25

Rõ ràng vn ≤ un với mọi n, từ đó ta có lim

n→∞xn ≤ lim

n→∞xn Hơn nữa tacó:

Định lý 1.15 lim

n→∞xn là giới hạn riêng lớn nhất của (xn); lim

n→∞xn là giớihạn riêng nhỏ nhất của dãy đó

Định lý 1.16 Số a là giới hạn của dãy (xn) khi và chỉ khi lim

n→∞xn =lim

n→∞xn = +∞

(ii) Ta nói dãy (xn) có giới hạn −∞ nếu với mọi số dương M tồn tại

N ∈ N∗ sao cho xn < −M với mọi n > N Khi đó ta viết lim

n→∞xn = −∞

Chú ý: Nếu lim

n→∞xn = +∞ hoặc lim

n→∞xn = −∞ thì theo định nghĩadãy (xn) là phân kỳ

Từ định nghĩa ta suy ra:

(a) Nếu dãy (xn) không bị chặn trên thì tồn tại một dãy con (xnk)sao cho lim

n→∞xnk = +∞

(b) Tương tự nếu dãy (xn) không bị chặn dưới thì tồn tại một dãycon (xnk) sao cho lim

n→∞xnk = −∞

(c) Nếu dãy (xn) tăng và không bị chặn trên thì lim

n→∞xn = +∞.(d) Nếu dãy (xn) giảm và không bị chặn dưới thì lim

n→∞xn = −∞.1.2.9 Bài tập

Bài 1.4 Chứng minh các đẳng thức sau đây:

Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 27

(f) lim

n→∞



1 − 13

 

1 − 16

 1 − 1

n(n+1) 2

(a) xn =



1 + 12

 

1 + 14





1 + 1

2n

, (n = 1, 2, );

Bài 1.7 Dùng nguyên lý hội tụ Cauchy để xét tính hội tụ của các dãysau:

sin 2α

22 + + sin nα

2n Bài 1.8 Dùng nguyên lý hội tụ Cauchy để chứng minh tính phân kỳ củacác dãy sau:

13n − 1− 1

3n (n = 1, 2, )

Bài 1.9 Nếu lim

n→∞xnyn = 0 thì có thể suy ra hoặc lim

n→∞xn = 0 hoặclim

(n = 1, 2, );

Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 29

f (X) := {y | ∃x ∈ X, y = f (x)} được gọi là tập giá trị; x ∈ X được gọi

là biến số độc lập hay đối số, y ∈ f (X) được gọi là biến phụ thuộc hayhàm số

Ví dụ 2.1 (a) x 7→ x là hàm số đồng nhất, thường ký hiệu là id(x).(b) x 7→ 2x + 1 là hàm số bậc nhất

(c) x 7→ [x] là hàm số phần nguyên của x, nghĩa là [x] là số nguyênlớn nhất không lớn hơn x Theo định nghĩa của hàm phần nguyên ta có:

x − 1 < [x] ≤ x ∀x ∈ R

31

Giả sử X ⊂ R nhận gốc O làm tâm đối xứng, tức là nếu x ∈ X thì

−x ∈ X Hàm số f : X → R được gọi là hàm số chẵn nếu

Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 33

số dương T nhỏ nhất sao cho ta có đẳng thức trên được gọi là chu kỳcủa f Chẳng hạn, các hàm số y = sin x, y = cos x là các hàm số tuầnhoàn với chu kỳ 2π

2.4 Hàm số hợp

Cho X ⊂ R, Y ⊂ R, Z ⊂ R, các hàm số g : X → Y và f : Y → Z.Hàm số h := f ◦ g : X → Z định nghĩa bởi

h(x) := f (g(x)) , x ∈ Xđược gọi là hàm số hợp của hàm số f và hàm số g

đó xác định cho ta một hàm số ánh xạ từ Y sang X, hàm số này đượcgọi là hàm số ngược của song ánh f và được ký hiệu là f−1 : Y → X,nghĩa là

f−1 : y 7→ x = f−1(y)

Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 35

trong đó y là biến số độc lập và x là biến số phụ thuộc

Từ định nghĩa hàm số ngược, ta có

y = f (x) ⇔ x = f−1(y)

Do vậy trong cùng một hệ tọa độ, đồ thị hai hàm số f và f−1 trùng nhaunhưng thông thường và đặc biệt khi vẽ đồ thị người ta có thói quen dùngchữ cái x để chỉ biến số độc lập, chữ cái y để chỉ biến số phụ thuộc, vớiquy ước đó hàm số ngược của f được viết là

Tất cả các hàm số nêu trên (trừ các hàm số lượng giác ngược) lànhững hàm số đã quen biết đối với học sinh phổ thông trung học nên ở

đây chỉ nhắc lại những tính chất chủ yếu của chúng; riêng các hàm sốlượng giác ngược sẽ được trình bày chi tiết hơn.

(1) Hàm số lũy thừa x 7→ xα, với α ∈ R Miền xác định của hàm sốlũy thừa phụ thuộc α

Với α là số vô tỷ thì quy ước chỉ xét y = xα tại mọi x ≥ 0 nếu α > 0

và tại mọi x > 0 nếu α < 0

Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 37

• Hàm số x 7→ tan x xác định với mọi x 6= π

2 + kπ; k ∈ Z và có miềngiá trị là R Hàm tan là hàm tuần hoàn với chu ky π

• Hàm số x 7→ cot x xác định với mọi x 6= kπ; k ∈ Z và có miền giátrị là R Hàm cot là hàm tuần hoàn với chu ky π

(5) Các hàm số lượng giác ngược

• Hàm số x 7→ arcsin x

Xét hàm số f :  −π

2 ,

π2



là hàm số y = arcsin x.Hàm số y = arcsin x có miền xác định là khoảng đóng [−1, 1] và miềngiá trị là khoảng đóng  −π

2 ,

π2

Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 39

trị là khoảng mở (0, π) và là một hàm số giảm

Cho hai hàm số f và g, gọi tổng của f và g, viết là f + g; hiệu, viết

là f − g; tích, viết là f.g và thương viết là f

g là các hàm số được địnhnghĩa như sau:

số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia), các phép lấyhàm số hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng

Bài 2.17 Các bài tập 1 đến 5 và từ 8 đến 18 [1, pp 65 68]