Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - Nguyễn Văn Tiến (2017)

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm tại một điểm, đạo hàm phải – trái, ý nghĩa đạo hàm tại điểm, hàm số đạo hàm, đạo hàm của hàm ngược,... Mời các bạn cùng tham khảo.

19/09/2017 Đạo hàm điểm CHƯƠNG • Định nghĩa: Đạo hàm hàm f điểm a, ký hiệu f’(a) là: f ' a   lim ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG f x   f a  x a x a (nếu giới hạn tồn hữu hạn) • Chú ý: đặt h=x-a, ta có: f ' a   lim f a  h   f a  h h 0 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Ví dụ Đạo hàm phải – trái • Tìm đạo hàm hàm: f x   x  8x  a=2 theo định nghĩa Ta xét giới hạn sau: 2  h  lim f 2  h   f 2  h h0  2  h    h h0 Vậy: lim Nguyễn Văn Tiến • Đạo hàm trái f(x) a là:   f ' a   lim x a f x   f a  x a  lim h0 f a  h   f a  h • Đạo hàm phải f(x) a là:  lim h0 h  4h  4 h   f ' a   lim x a f x   f a  x a  lim h 0 f a  h   f a  h f ' 2    Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Định lý Ví dụ • Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm điểm a có đạo hàm trái; đạo hàm phải a hai đạo hàm     f ' a   L  f ' a   f ' a   L • Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm a hàm số liên tục a Chiều ngược lại không f ' a   L  lim f x   f a  x a Bài giảng Tốn cao cấp • Cho hàm số:  e 1/x f x        ,x  ,x  Tìm f ' 0  ; f ' 0  Ta có:   f '   lim   f 0  h   f 0  h0 f '   lim h0 h f 0  h   f 0  h e 1/h  u  lim u  u   e h e 1/h   lim   h0 h  lim h0 Vậy không tồn đạo hàm hàm số Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 19/09/2017 Ý nghĩa đạo hàm điểm f a  h   f a  • Ta có: f ' a   lim h0 h • Là hsg tiếp tuyến điểm (a;f(a)) • f’(a+): hsg nửa tiếp tuyến bên phải điểm (a; f(a)) • f’(a-): hsg nửa tiếp tuyến bên trái điểm (a; f(a)) • Thể tốc độ biến thiên hàm số a  slope secant line Hàm số đạo hàm • Hàm số đạo hàm hàm y=f(x) • Tập xác định hàm f’ tập giá trị x cho f’(x) tồn Nó nhỏ TXĐ hàm số f(x) • Ký hiệu: Lagrange : f '; y ' df dy d Leibnitz : ; ; f x  dx dx dx Cauchy : Dy ; Df x  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Ví dụ Qui tắc tính đạo hàm • Cho u, v hai hàm theo x Khi đạo hàm theo x hàm sau là: • Tìm (hàm số) đạo hàm hàm y=x2 • Ta có: f x  h   f x  lim h h0 x  h   lim h0 Nguyễn Văn Tiến  x2 h  2x • Giới hạn tồn hữu hạn với x thuộc TXĐ • Vậy đạo hàm hàm số: ii ku  '  k u ' iii u v  '  u ' v  u v '  u  u ' v  u v ' iv     v  v2 • Đạo hàm dạng:uv u   u v y  uv Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Qui tắc tính đạo hàm Ví dụ • Đạo hàm hàm hợp: • Ví dụ: Hàm y  ln cos x  hàm hợp hàm: • Vậy: y' Nguyễn Văn Tiến x sin x y ln x  ln sin x  y' 2x cos x    y 3x sin x 1 x2  Vậy:  sin x    tan x cos x  ln y  ln  x  f x   ln x ; g x   cos x  Bài giảng Toán cao cấp 1  x2 • Tìm f’(x) biết: f x   • Ta có: y  f0 g x   y x  fg g x y x  fg g x    v ' ln u  v u '   u   v • Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số: y '  2x Bài giảng Toán cao cấp i u  v  '  u ' v ' Bài giảng Toán cao cấp  2x cos x        x x s in x  x si n x 1 x2 Nguyễn Văn Tiến 19/09/2017 Đạo hàm hàm ngược • Định lý Giả sử hàm y=f(x) khả vi liên tục đoạn (a,b) f’(x)≠0 (a;b) • Khi có hàm ngược: x=g(y) hay x=f-1(y) • Chú ý: a ; b  f : x     f a  ; f b   f x   y  g : f a  ; f b   y  Đạo hàm hàm ngược • Khi đó: y x x y  a ; b  f y   x y x  1 Nguyễn Văn Tiến 1 1   x y 1 x2  cot2 y   Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ   x  1;  x y • Ví dụ 1: Hàm y=arccotx có hàm ngược x=cotny Bài giảng Tốn cao cấp • Ví dụ 2: Hàm y=arcsinx • Ta có:  y x  Hàm ẩn y  • Hàm y=f(x) với x(a;b) hàm ẩn cho phương trình F(x,y)=0 thay y=f(x) vào ta đẳng thức • Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b)  • Ta biết: y  arcsin x  x  sin y  x '  cos y    sin y  • Vậy: y 'x   x 'y 1x2  x , x   1;1   y    x , x   1;1   y1  1 x2 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Đạo hàm hàm ẩn Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm hàm ẩn • Cho phương trình: F(x;y)=0 • Để tính: y’x • B1 Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x Chú ý y hàm theo x • B2 Giải phương trình tìm y’ • B3 Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình Ví dụ: Cho phương trình: x  ln y  x 2e y  • B1 Lấy đạo hàm theo x x  ln y  x 2e y x  0  • B2 Giải tìm y’ *  3x    *  y  y ' 2xy e y  x 2ye y y '      3x 2y  2xy e y  y '  x 2ye y  3x y  2xy e x ye  1  y' Nguyễn Văn Tiến  y'  3x   2x e y  e y y ' x  y Tính đạo hàm y theo x Bài giảng Toán cao cấp F x , y   x  y  • Ví dụ: Phương trình: xác định hai hàm ẩn: Bài giảng Toán cao cấp y y Nguyễn Văn Tiến 19/09/2017 Đạo hàm hàm ẩn Vi phân • B3 Tính y’(0) Cho y  f  x  x  x2  x1 ta có: y  y2  y1  f  x1  x   f  x1  x  ln y  x 2e y  x   ln y   y   y 0  • Ta có: h 0 3x y  2xy e  x ye  1 y y' f  x  h  f  x  h f  x  x   f  x  y f '  x   lim  lim x 0 x 0 x x f '  x   lim y y  f '  x  x • Thay x=0 y(0)=1 vào ta có: y ' 0   Vi phân f(x) 3.0  2.0 e   0.1 e  1 1 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Vi phân hàm số Nguyễn Văn Tiến Vi phân hàm số • Vi phân hàm số y=f(x) biểu thức: • Nếu y=f(x)=x thì: dx  f '  x  x  x '.x  x • Như ta thường ghi dx=Δx Do đó: f '  x  x • Ký hiệu vi phân dy hay df Do đó: dy  f '  x  x  df dy dx • Điều giải thích ta cịn ký hiệu đạo hàm dy/dx dy  f '  x  dx  f '  x   • Vi phân hàm số, phụ thuộc biến x Δx Bài giảng Toán cao cấp Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa vi phân Ví dụ • Tính xấp xỉ giá trị hàm số biến độc lập thay đổi lượng nhỏ f x   x   f x   f ' x   x • Cho hàm số: f x   x  a) Tính vi phân cấp hàm số x0=1 b) Tính gần đúng: 4, 03 Giải: f  x   • hay f x   f x   f ' x  x  x  Bài giảng Toán cao cấp df 1  Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 x3 1  df x   dx  x 3 dx 1 dx  x  1 4 Nguyễn Văn Tiến 19/09/2017 Ví dụ Vi phân hàm hợp • Cho hàm số: f x   x  a) Tính vi phân cấp hàm số x0=1 b) Tính gần đúng: 4, 03 Giải: f x   f 1  • • • • x  1 dy  f 't dt 0, 03 4, 03  f 1, 03   f 1  1, 03  1    2, 0075 4 Nếu tính máy tính: 4, 03  2, 00748599 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Ta có: dy  f 't dt  f 'x x 't dt  f 'x dx • Do vi phân cấp có tính bất biến Bài giảng Tốn cao cấp Ví dụ • Hãy tính: d cos x  d sin x  ? Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến ĐỊNH LÝ CƠ BẢN HÀM KHẢ VI ex  • Cho hàm số y  ln x Hãy tìm dy? e 1 Nguyễn Văn Tiến Cực trị địa phương • • • • • Cực trị địa phương Định lý Ferma Định lý Rolle Định lý Lagrange Định lý Cauchy Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Cực trị địa phương • Cho hàm y=f(x) xác định khoảng (a,b) • Xét điểm c thuộc (a,b) • Hàm số đạt cực đại địa phương c tồn số δ>0 cho: f(x)≤f(c) với x thuộc (c- δ;c+ δ) • Hàm số đạt cực tiểu địa phương c tồn số δ>0 cho: f(x)≥f(c) với x thuộc (cδ;c+ δ) • Cực đại cực tiểu gọi chung cực trị Bài giảng Toán cao cấp Xét hàm số: y  f x  Ta có: dy  f 'x dx Giả sử x hàm số theo biến t, chẳng hạn x=g(t) Khi hàm số y đưa theo t Do đó: Nguyễn Văn Tiến Các điểm cực trị địa phương hàm số là??? Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 19/09/2017 Định lý Fermat Định lý Rolle • Cho hàm số y=f(x) xác định lân cận c • Nếu f(x) đạt cực trị c có đạo hàm c thì: f ' c   Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Hàm f(x) liên tục [a,b], Hàm f(x) khả vi (a,b) f(a)=f(b) Khi đó: tồn điểm c thuộc (a,b) cho f’(c)=0 • Đặc biệt f(a)=f(b)=0 định lý Rolle có nghĩa hai nghiệm hàm số có nghiệm đạo hàm • • • • Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Định lý Lagrange (ĐL số gia hữu hạn) Định lý Cauchy • Nếu f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) tồn c thuộc (a,b) cho: • Nếu f(x), g(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) g(x) khác (a,b) tồn c thuộc (a,b) cho: f b   f a  b a  f ' c  f b   f a  g b   g a  • Trên dây cung AB tìm tiếp tuyến song song với AB Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hàm số: Bài giảng Toán cao cấp  f ' c  g ' c  Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm, vi phân cấp cao   x2  ,0  x    f x      ,  x      x • Đạo hàm cấp cao • Vi phân cấp cao • Cơng thức Taylor • Tìm giá trị trung gian c công thức số gia hữu hạn hàm số f(x) đoạn [0;2] Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 19/09/2017 Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao • Cho f hàm khả vi Đạo hàm (nếu có) f’ gọi đạo hàm cấp hàm số f(x) • Ký hiệu: • Đạo hàm cấp n hàm f đạo hàm đạo hàm cấp (n-1) d  df  d f  f    f      dx  dx  dx • Đạo hàm cấp hàm f đạo hàm đạo hàm cấp d  d f  d f  f    f       dx  dx  dx Bài giảng Toán cao cấp f n  n 1 n 1 f  d n f    dx n n 1 • Ví dụ: Cho hàm: f x   x e x Tìm đạo hàm cấp n hàm số Giải:   f  x   x  e x  x e x  e x  x e x  x  1e x   Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao thường gặp • Ta có:     n  i ) x  a       1   n  1x  a    n    n    1 n ! ii )   n 1  x  a  x  a  n  f  x   x  1e x   e x  x  1e x  x  e x   • Tương tự: f 4  x   x  e n    iii ) e ax f  x   x  e x ; x  a n e ax n  iv ) ln x  f n  x   x  n e Bài giảng Toán cao cấp n 1   1 x Nguyễn Văn Tiến n Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Chú ý Ví dụ n    n  i ) ax  b       1   n  1ax  b  a n   n  n 1 n  1 ! iv ) ln ax  b    1 a n n ax  b   n   v ) sin ax  b   a n sin ax  b  n     n   n  vi ) cos ax  b   a cos ax  b  n          n  1 ! xn    v ) sin ax   a sin ax  n     n   n  vi ) cos ax   a cos ax  n    n  • Tổng qt: Bài giảng Tốn cao cấp  d      dxd dx  f Nguyễn Văn Tiến • Tính đạo hàm cấp n của: a ) f x   Bài giảng Toán cao cấp 1 x 1  x  b )g x   x  3x  Nguyễn Văn Tiến 19/09/2017 Công thức Leibnitz Ví dụ • Tính đạo hàm cấp của: y  x  1 sin x • Đặt • Dễ thấy:  f g   f .g  g .f  f g    f .g  g .f    • Ta có: • Mở rộng: y n   f g   n C k 0 k n k  n k  3   f 3  2  g  f g ' f ' g • Thay ta có: f g y 3  2    f g 3    cos x  6x sin x  x  cos x • Đạo hàm cấp 10 y là??? Gần giống khai triển nhị thức Newton Bài giảng Toán cao cấp  f  x  ; g  sin x f .g  f g   f g  Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp Ví dụ Nguyễn Văn Tiến Vi phân cấp cao • Tính đạo hàm cấp hàm số sau • Cho f hàm số khả vi cấp n • Vi phân cấp hàm f, ký hiệu: d2f xác định công thức sau: y  x f ' x  a   f a  x  d f  d df  • Tổng quát, vi phân cấp n hàm f:  d n f  d d n 1 f Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Vi phân cấp cao • Tính vi phân cấp của: • Vi phân cấp 2: x biến độc lập dx số    dx d  f ' x   dx f  x dx  f  x  dx d f x   d df   d f ' x dx • Vi phân cấp 2: x biến phụ thuộc dx biến thiên d f x   d df   d  f 'x x 't dt   dt d  f 'x x 't   dt  f ''xx x 't x 't  f 'x x ''tt  dt  f  x  dx  f ' x  d 2x a ) y  arctan x b ) y  arctan x ; x  sin t • Giải a ) d 2y   2x 1  x  b ) d 2y   2x 1  x  • Vi phân cấp cao khơng có tính bất biến Nguyễn Văn Tiến 2 Bài giảng Toán cao cấp  Bài giảng Toán cao cấp dx dx  sin t dt 1 x2 Nguyễn Văn Tiến 19/09/2017 Công thức Taylor Cơng thức Taylor • Nếu hàm f khả vi x0 thì: f x  h   f x   f ' x  h  h  • Trong O(h) vô bé bậc cao so với h • Cơng thức cho ta cách tính giá trị f(x) lân cận điểm x0 biết f(x0) f’(x0) • Vấn đề: biết thêm đạo hàm cấp cao hàm f(x) x0 ta tính xác giá trị hàm f(x) lân cận x0 hay khơng? Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Công thức Taylor   f ' x  1! n  f x  n! x  x     Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Rn  x  x    f c    n  ! x  x    lim x  Rn x  x  n Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Khai triển Maclaurin hàm số sau: a) ex Bài giảng Toán cao cấp x   f n  0  x n!  c ) ln 1  x  b ) sin x d ) 1  x  • Chú ý n  2! n Ví dụ f x   x Rn  x  x  0 Công thức Maclaurin 1! 0 Cho hàm số f(x): • Liên tục [a,b] • Có đạo hàm đến cấp n+1 (a,b) • Xét x0=0 (a,b) Khi [a,b] ta có: f 0   n 1 x  x  • Dạng Peano: (thường dùng hơn) Bài giảng Toán cao cấp f " 0  c  n  1 ! n 1 n • Với c điểm nằm x x0 f ' 0  n 1 f 2! n 1 x  x   • Dạng Lagrange: f " x  n 1 n 1 x x2 x5     1  x 2n 2n  x2 x3 xn ex   x      xn 2! 3! n! arctan x  x  Phần dư cơng thức Taylor Cho hàm số f(x): • Liên tục [a,b] • Có đạo hàm đến cấp n+1 (a,b) • Xét x0(a,b) Khi [a,b] ta có: f x   f x   • Khai triển hàm số phức tạp thành dạng đơn giản • Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức • Ví dụ: khai triển Taylor x=0 sin x  n    xn Nguyễn Văn Tiến  k     sin x    n  ln 1  x  Bài giảng Toán cao cấp   1 n n  cos x  n! n 1 1  x    1  x      ??? n   ??? Nguyễn Văn Tiến 19/09/2017 Ví dụ Khai triển Maclaurin • Khai triển hàm y=ex Ta có: f x   e x  f n  x   e x  f n  0   e  1,  n • Thay vào cơng thức khai triển: f x   f 0   f ' 0  x f " 0  x   f 1! 2! x x2 xn  ex       xn 1! 2! n! n  0  n!   xn  xn   • Nhận xét: phải tính đạo hàm cấp cao hàm số cần khai triển Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp Cơng thức L’Hospital CÁC HÀM KINH TẾ • Áp dùng tìm giới hạn dạng: ;   Định lý: Cho giới hạn : lim x a Nếu lim x a lim x a f  x  g  x  f x  g x  f x  g x   lim x a x a f  x  g  x   ;  có dạn g  L lim f x  g x  • Hàm chi phí • Hàm thu nhập • Hàm cung hàm cầu L L Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp HÀM CHI PHÍ Nguyễn Văn Tiến HÀM CHI PHÍ • Tổng chi phí: (Total Cost – TC) – Chi phí cố định (Fixed Cost – FC) – Chi phí biến đổi(Variable Cost- VC) • Ta có: TC=f(Q), Q sản lượng • FC chi phí xí nghiệp thiết phải trả dù khơng sản xuất • VC chi phí tăng lên với mức tăng sản lượng • Chi phí cận biên (Marginal Cost – MC) chi phí gia tăng để sản xuất thêm đơn vị sản phẩm • Chi phí bình qn (Average Cost – AC) Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến • Ta có: AC  TC Q Bài giảng Toán cao cấp AFC  FC Q AVC  VC Q Nguyễn Văn Tiến 10 19/09/2017 Hàm thu nhập Hàm lợi nhuận • Tổng thu nhập (Total Revenue – TR) • TR=f(Q)=P.Q • Điểm hịa vốn (Break – Even Point): mức sản lượng mà TR=TC • Lợi nhuận: Total Profit – TP • Thường ký hiệu π=TR-TC Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Hàm cầu Quan hệ giá lượng cầu • Thường gọi đường cầu (Demanded Curve) • Thể tương quan giá lượng cầu mặt hàng • Ký hiệu: QD=f(P) • Tương quan giá lượng cầu nghịch biến • Giá tăng lượng cầu giảm ngược lại • Độ dốc đường cầu phản ánh mức đáp ứng lượng cầu với thay đổi giá Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Hàm cung Quan hệ giá lượng cung • Thường gọi đường cung (Supply Curve) • Thể tương quan giá lượng cung mặt hàng giá trị khác giữ nguyên • Ký hiệu: QS=f(P) • Tương quan giá lượng cung đồng biến • Giá tăng lượng cung tăng ngược lại • Độ dốc đường cung phản ánh mức đáp ứng lượng cung với thay đổi giá Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 11 19/09/2017 Sự cân cung cầu Ứng dụng hàm liên tục • Thị trường cân đường cung gặp đường cầu Giao điểm đường cung đường cầu điểm cân • Ở điểm cần ta có giá cân lượng cân • Trên thực tế cung cầu lúc trạng thái cân bằng, xu lướng thị trường tiến tới cân • Cho mơ hình cân thị trường QS=QD Trong đó: Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM • • • • QD  50 P2 • Chứng minh mơ hình có giá cân thuộc khoảng (3;5) Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa đạo hàm Ý nghĩa đạo hàm Giá trị cận biên Hệ số co dãn Lựa chọn tối ưu kinh tế Bài giảng Toán cao cấp Q S  0,1P  P  10; • Ví dụ Hàm cầu loại hàng hóa p=50-Q2 • Tìm tốc độ thay đổi giá lượng cầu thay đổi • Giá thay đổi Q=1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa đạo hàm Giá trị cận biên • Ví dụ Hàm cầu loại hàng hóa = 45 − • Tìm tốc độ thay đổi giá lượng cầu thay đổi • Giá thay đổi Q=4 • Đo tốc độ thay đổi y theo x, ký hiệu My(x) My x   f ' x  • Ta thường chọn xấp xỉ ( ) ≈ ∆ tức My(x) gần lượng thay đổi y x thay đổi đơn vị ∆ =1 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 12 19/09/2017 Giá trị cận biên chi phí Ví dụ • Cho hàm chi phí C=C(Q) • Hàm cận biên chi phí: MC(Q)=C’(Q) • Lượng thay đổi chi phí Q tăng lên đơn vị • Giả sử chi phí trung bình để sản xuất sản phẩm là: 500 AC  0, 0001Q  0, 02Q   Q • A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm • B) Tìm giá trị cận biên hàm chi phí Nêu ý nghĩa Q=50 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Giải Giá trị cận biên doanh thu • Hàm tổng chi phí để sản xuất Q đơn vị sản phẩm: • Cho hàm doanh thu R=R(Q) • Hàm cận biên doanh thu: MR(Q)=R’(Q) • Lượng thay đổi doanh thu Q tăng lên đơn vị C  Q AC  0, 0001Q  0, 02Q  5Q  500 • Giá trị cận biên chi phí: dC MC   0, 0003Q  0, 04Q  dQ • Khi Q=50 MC(50)=3,75 Như Q tăng lên đơn vị (từ 50 lên 51) chi phí tăng lên khoảng 3,75 đơn vị Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Tiêu dùng tiết kiệm cận biên • Số vé bán Q giá vé p hãng xe bus cho công thức: • Cho hàm tiêu dùng C=C(I) I tổng thu nhập kinh tế quốc dân • Xu hướng tiêu dùng cận biên MC(I) tốc độ thay đổi tiêu dùng theo thu nhập • Hàm tiết kiệm: S=I-C • Xu hướng tiết kiệm cận biên: MS(I)=1-MC(I) Q  10000  125 p • A) Xác định hàm tổng doanh thu • B) Xác định doanh thu cận biên p=30 p=32 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 13 19/09/2017 Ví dụ Giải • Cho hàm tiêu dùng là: C   I3 3 • Ta có:     I  30 I     MC I   I  10  I  10 • Xác định xu hướng tiêu dùng cận biên xu hướng tiết kiệm cận biên I=100 • Khi I=100 ta có: MC 100   0, 536 MS 100   0, 464 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Độ thay đổi tuyệt đối tương đối Hệ số co dãn • Định nghĩa: đại lượng x thay đổi lượng Δx ta nói: • Δx độ thay đổi tuyệt đối x ∆ • Tỷ số 100% gọi độ thay đổi tương đối x • Hệ số co dãn y theo x tỷ số độ thay đổi tương đối y x thay đổi lượng Δx • Ký hiệu: xy  f ' x  y / y y x   x x / x x y f x  • Thể % thay đổi y x thay đổi 1% Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp Ví dụ Lựa chọn tối ưu kinh tế • Cho hàm cầu Q=30-4p-p2 Tìm hệ số co dãn p=3 • Giải 2P 2  P    2P • Ta có: QP  P  2 30  P  P QP 3    3, 333 P  P  30 • Vậy thời điểm P=3, tăng giá 1% cầu giảm 3,3% Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến • • • • Trong kinh tế ta quan tâm tốn sau: + Tìm p để sản lượng Q đạt tối đa + Tìm p Q để doanh thu R đạt tối đa + Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu) • Ta đưa tốn dạng tìm cực trị hàm biến số học Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 14 19/09/2017 Ví dụ Ví dụ • Cho hàm cầu Q=300-p, hàm chi phí C=Q319Q2+333Q+10 • Tìm Q để lợi nhuận lớn • Cho hàm cầu Q=100-p, hàm chi phí C=Q325Q2+184Q+15 • Tìm Q để lợi nhuận lớn Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Một loại thuốc kích thích sinh sản tác động đến loại vi khuẩn Say t phút, số lượng vi khuẩn xấp xỉ: N t   1000  30t  t 0  t  20  • A) Khi tố độ tăng trưởng N’(t) tăng; giảm? • B) Tìm điểm cực trị N? • C) Tốc độ tăng trưởng lớn bao nhiêu? Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 15 ... ) d 2y   2x 1  x  b ) d 2y   2x 1  x  • Vi phân cấp cao khơng có tính bất biến Nguyễn Văn Tiến 2 Bài giảng Toán cao cấp  Bài giảng Toán cao cấp dx dx  sin t dt 1 x2 Nguyễn Văn Tiến. .. quát, vi phân cấp n hàm f:  d n f  d d n 1 f Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Vi phân cấp cao • Tính vi phân cấp của: • Vi phân cấp 2: x biến... ''  x   • Vi phân hàm số, phụ thuộc biến x Δx Bài giảng Toán cao cấp Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa vi phân Ví dụ • Tính xấp xỉ giá trị