Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5b: Quy hoạch tuyến tính hai biến cung cấp cho người học các kiến thức: Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, dạng ma trận của bài toán quy hoạch tuyến tính, bài toán dạng chính tắc,... Mời các bạn cùng tham khảo.
12/09/2017 Ví dụ CHƯƠNG 5b QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH HAI BIẾN • Một xí nghiệp cần sản xuất loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thập cẩm bánh dẻo Lượng nguyên liệu đường, đậu cho bánh loại, lượng dự trữ nguyên liệu, tiền lãi cho bánh loại cho bảng sau: • Hãy lập mơ hình tốn tìm số lượng loại bánh cần sản xuất cho không bị động nguyên liệu mà lãi đạt cao Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Ví dụ Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Gọi x1,x2,x3 số bánh đậu xanh, bánh thập cẩm, bánh dẻo cần phải sản xuất • Điều kiện: xj ≥ = 1,2,3 • Tiền lãi thu (ngàn đồng) f x f x1 , x2 , x3 3x1 x2 2,5 x3 • Lượng đường sử dụng điều kiện: 0,04 x1 0,06 x2 0,05 x3 500 • Lượng đậu sử dụng điều kiện: • Vậy ta có mơ hình toán: f x f x1 , x2 , x3 3x1 x2 2,5 x3 max 0,04 x1 0,06 x2 0,05 x3 500 0,07 x1 0,02 x3 300 x j 1, 2,3 j • Đây tốn quy hoạch tuyến tính biến, tìm giá trị lớn hàm mục tiêu 0,07 x1 0,02 x3 300 Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp Ví dụ Ví dụ – Đ/S • Giả sử yêu cầu tối thiểu ngày chất dinh dưỡng đạm, đường, khoáng cho loại gia súc tương ứng 90g, 130g, 10g Cho biết hàm lượng chất dinh dưỡng có 1g thức ăn A, B, C giá mua 1kg thức ăn loại cho bảng sau: • Hãy lập mơ hình tốn học toán xác định khối lượng thức ăn loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn đáp ứng nhu cầu dinh dưỡng ngày Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến • Ta có mơ hình sau: f x f x1 , x2 , x3 3x1 x2 x3 0,1x1 0, x2 0,3x3 90 0,3 x 0, x 0, x 130 0,02 x 0,01x 0,03x 10 x j j 1, 2,3 Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 12/09/2017 Ví dụ Ví dụ – Đ/S • Một sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sản phẩm bàn, ghế tủ Định mức sử dụng lao động, chi phí sản xuất giá bán sản phẩm loại ước tính bảng sau: • Hãy lập mơ hình toán học toán xác định số sản phẩm loại cần phải sản xuất cho không bị động sản xuất tổng doanh thu đạt cao nhất, biết sở có số lao động tương đương với 500 ngày công, số tiền dành cho chi phí sản xuất 40 triệu đồng số bàn, ghế phải theo tỉ lệ 1/6 Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Ta có mơ hình sau: f x f x1 , x2 , x3 260 x1 120 x2 600 x3 max 2 x1 x2 3x3 500 100 x 40 x 250 x 40.000 x x x j j 1, 2,3 Bài giảng Toán Cao cấp Ví dụ Bài tốn QHTT tổng qt • Bài tốn lập kế hoạch sản xuất • Một trại cưa khúc gỗ thành ván Có hai loại ván: ván thành phẩm ván sử dụng xây dựng Giả sử, đối với: • Ván thành phẩm cần để cưa để bào 10m ván • Ván xây dựng cần để cưa để bào 10m ván • Máy cưa làm việc tối đa ngày máy bào làm việc tối đa 15 ngày Nếu lợi nhuận 10m ván thành phẩm 120 (ngàn đồng) lợi nhuận 10m ván xây dựng 100 (ngàn đồng) Trong ngày, trại cưa phải cưa ván loại để lợi nhuận lớn Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến 1 f x c1 x1 c2 x2 cn xn (max) 2 ai1 x1 x2 ain xn bi i 1, 2, , m 3 x j tuy j 1, 2, , n y (1) Hàm f(x) gọi hàm mục tiêu (2) hệ ràng buộc (3) hệ ràng buộc dấu (2) (3) gọi chung hệ ràng buộc toán Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Dạng ma trận toán QHTT Dạng ma trận tốn QHTT • Xét tốn QHTT dạng: f x c1 x1 c2 x2 cn xn (max) • Đặt: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 22 2n n am1 x1 am x2 amn xn bm xj • Dạng gọi dạng chuẩn tốn QHTT Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến a11 a12 a1n a a a2 n A 21 22 a a a mn m1 m b1 b b bm x1 x x 2 xn c1 c c 2 cn • Ta có dạng ma trận toán QHTT: f cT x max Ax b x Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 12/09/2017 Ví dụ Bài tốn QHTT - Kinh tế • Viết toán QHTT sau dạng ma trận: n f x c jx j max f x cT x (max) j1 n aij x j bi (i 1,m) j1 x (j 1,n) j c1 c c 2 cn Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài toán QHTT - Kinh tế b1 b B 2 bn Bài giảng Toán Cao cấp a11 a12 a1n a a a2 n A 21 22 am1 am amn Nguyễn Văn Tiến Bài tốn dạng tắc n n f x c jx j f x cT x (max) j1 n aij x j bi (i 1,m) j1 x (j 1,n) j c1 c c 2 cn x1 x x 2 xn A.x B (i 1, m) x ( j 1, n) x1 x x 2 xn Bài giảng Toán Cao cấp A.x B (i 1, m) x ( j 1, n) b1 b B 2 bn a11 a12 a1n a a a2 n A 21 22 a a a mn m1 m Nguyễn Văn Tiến f x c jx j (max) n aijx j bi (i 1,m) j1 x (j 1,n) j Mọi tốn quy hoạch tuyến tính quy tốn dạng tắc tương đương theo nghĩa trị tối ưu hàm mục tiêu hai toán trùng từ phương án tối ưu toán suy phương án tối ưu toán Bài giảng Toán Cao cấp Bài tốn dạng tắc • Dạng sau: • Các ràng buộc phương trình • Các ẩn khơng âm j1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Bài tốn sau có dạng tắc: 260 x1 120 x2 600 x3 max 2 x1 x2 x3 500 100 x1 40 x2 250 x3 40000 6 x1 x2 x1 , x2 , x3 Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 12/09/2017 Giải tốn QHTT Giải tốn QHTT • B1 Nhận dạng biến hàm mục tiêu • B2 Diễn tả hàm mục tiêu ràng buộc theo biến • B3 Kiểm tra quan hệ hàm mục tiêu ràng buộc có phải tuyến tính khơng Nếu khơng ta tìm mơ hình khác • B4 Kiểm tra tập phương án để xem xét điều kiện có nghiệm tốn • B5 Tìm p án tối ưu có Phương pháp: đơn hình đồ thị • B4 Kiểm tra tập phương án để xem xét điều kiện có nghiệm tốn • Khơng có tập phương án (tập p.án rỗng) • Tập phương án vơ hạn khơng có p.án tối ưu • Tập phương án vơ hạn có p.án tối ưu • Tập phương án hữu hạn Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Các loại phương án Ví dụ • Định nghĩa Vec tơ ∈ thỏa tất ràng buộc tốn quy hoạch tuyến tính gọi phương án chấp nhận • Định nghĩa Phương án chấp nhận làm cho hàm mục tiêu có giá trị lớn (nếu toán max) hay nhỏ (nếu tốn min) gọi phương án tối ưu (PATU) • Cho tốn QHTT: f x 120 x1 100 x2 max x1 3x2 5 x1 3x2 15 x 0, x • Trong phương án sau phương án phương án chấp nhận 1 u1 2 Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp Tính chất tập phương án • Định nghĩa Đoạn thẳng nối hai điểm x1 x2 định nghĩa: x R n x x1 1 x2 , • Nhận xét • Nếu = có x2, = có x1 • Những điểm thuộc đoạn thẳng với < < gọi điểm đoạn thẳng • x1, x2 gọi điểm biên đoạn thẳng Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến 2 u2 2 1 u3 3 2 u4 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất tập phương án • Định lý Cho x1 x2 hai phương án chấp nhận toán QHTT Điểm = + − với ≤ ≤ thuộc đoạn thẳng nối hai điểm x1 x2 • Khi đó: • i) x phương án chấp nhận • ii) Nếu f(x1)=f(x2) f(x)=f(x1)=f(x2) • iii) Nếu f(x1)0} Aj vectơ cột ma trận hệ số A • Chứng minh vectơ T tạo thành hệ vectơ độc lập tuyến tính Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Chứng minh x=(1,2,3,0) PACB tốn QHTT sau: • Tìm tất phương án cực biên toán QHTT: f x1 3x2 max • Với điều kiện: Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Nghiệm Phương án cực biên Giá trị hàm mục tiêu X1=(3/2; 5/2;0;0) X2=(3;0;1;0) X3=4;0;0;-5) X4=(0;5;-1;0) X5=(0;4;0;3) X6=(0;0;4;15) Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 10 ... Bài giảng Toán Cao cấp Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Phương pháp đồ thị • Ví dụ Giải tốn QHTT f x, y x y max x y 5 x y 15 x 0, y Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán. .. nghiệm toán Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 4 x1 x2 x3 x4 15 5 x1 3x2 • • • • Tìm tất nghiệm Chú ý: - Ma trận có hạng Có pt tìm nghiệm - Có ẩn Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn. .. chọn đường đẳng phí gần gốc tọa độ Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Phương pháp đồ thị Nguyễn Văn Tiến Tập phương án • Ví dụ Giải toán QHTT f x, y x y max