Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 6 - Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 6: Phương trình vi phân cấp 1 và ứng dụng cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm chung, cấp của phương trình vi phân, phương trình vi phân cấp 1, nghiệm tổng quát, nghiệm kỳ dị,... Mời các bạn cùng tham khảo.

26/05/2017 Khái niệm chung CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP & ỨNG DỤNG Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Trong thực tế nghiên cứu phụ thuộc lẫn đối tượng, nhiều thiết lập trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số đối tượng đó, mà thiết lập mối liên hệ đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, với đạo hàm tích phân hàm số chưa biết • Trong nhiều mơ hình, hệ thức liên hệ viết dạng phương trình có chứa đạo hàm, phương trình vi phân Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa Cấp PTVP • Phương trình mà có xuất biến số độc lập, hàm cần tìm đạo hàm (hay vi phân) gọi chung phương trình vi phân • Ví dụ • Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm có mặt phương trình • Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng: y y ' x   x 2y '  ;  dy  2xy dx F x , y, y ', y , , y n  Bài giảng Toán cao cấp F x , y, y '  hay y '  f x , y  • Phương trình vi phân cấp hai phương trình có dạng: • Phương trình vi phân cấp n phương trình có dạng: n  0  F x, y, y , y , , y Nguyễn Văn Tiến 0 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân cấp Ví dụ • Định nghĩa Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng: • Nêu cấp PTVP sau: a ) y y ' x   x 2y '   dy  F x , y, y '  hay F x , y,    dx  • Trong đó: b ) 2x  1dx  x y  1dy  c ) y ''  4xy  2xy ' • - F xác định miền G thuộc R3 • - x biến độc lập, y hàm cần tìm Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 26/05/2017 Nghiệm PTVP cấp Nghiệm tổng quát • Nghiệm tổng quát • Nghiệm tổng quát dạng ẩn (tích phân tổng quát) • Nghiệm riêng • Nghiệm kỳ dị Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến y   x ,C  • Dạng: • Thỏa mãn PTVP với giá trị C • Với điểm ( 0, 0) ∈ ta tìm C0 cho y   x , C  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Nghiệm tổng qt dạng ẩn Nghiệm riêng • Tên khác: tích phân tổng quát • Hệ thức Φ , , = hay Φ , ) = gọi nghiệm tổng quát phương trình vi phân miền D xác định nghiệm tổng quát phương trình D • Nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát với số C0 xác định gọi nghiệm riêng • Nghiệm riêng: • Tích phân riêng: Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nghiệm kỳ dị PTVP cấp thường gặp • Nghiệm kỳ dị nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát với giá trị C Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến • • • • • • PT biến số phân ly PT biến số phân ly PT đẳng cấp cấp PT tuyến tính cấp PT Bernoulli PT vi phân tồn phần Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến 26/05/2017 PT biến số phân ly PT biến số phân ly • Dạng: g(y)dy=f(x)dx • Lấy tích phân bất định hai vế theo biến x • Ta có:  g y dy   f x dx • Dạng  G y   F x   C • Ví dụ • Cách giải: • Chia hai vế cho f1(x)g2(y) để đưa dạng biến số phân ly • Xét riêng giá trị f1(x)g2(y)=0 2x dx 1 x2 ydy  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Bài giảng Tốn cao cấp • Dạng   x y  1dx  x 1 y 1dy  Nguyễn Văn Tiến PT biến số phân ly • Giải phương trình: f1 x  g y dy  g y  f2 x  dx • Đáp án: • Nghiệm tổng quát: ln x   y  ln y   C y   f ax  by  • Cách giải: • Đặt z=ax+by • Đưa phương trình biến số phân ly dx, dz • Nghiệm: y=-1 • Nghiệm: x=1 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giải phương trình sau: • Đáp số: Bài giảng Toán cao cấp Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Phương trình đẳng cấp cấp y   3x  y • Dạng:  Ce x 3x  y  y y  f   x • Cách giải: • Đặt t=y/x • Đưa dạng biến số phân ly Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 26/05/2017 Ví dụ Phương trình tuyến tính cấp • Giải phương trình sau: x y 2xy y  • Dạng phương trình: y   p x  y  q x  • p(x), q(x) hàm liên tục khoảng (a,b) • Nếu q(x)=0 ta có phương trình • Nếu q(x) ≠ ta có phương trình khơng • Đáp án: y  x   1  C1  y  x  C1x  x  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Phương pháp giải Ví dụ • B1 Giải phương trình y   p x  y  • B2 Giải phương trình khơng phương pháp biến thiên số   y   p x  y  q x  q x   • B3 Công thức nghiệm tổng quát: y e   px dx   p x dx  q x e    dx  C     Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ y   y  2x x • A) Giải phương trình • B) Tìm nghiệm riêng thỏa mãn y(1)=-1 • Đáp số: • Nghiệm tổng quát: y  2x  Cx • Nghiệm riêng: y  2x  3x Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Phương trình Bernoulli • Giải phương trình sau: • Dạng phương trình: y   2xy  xe y   p x  y  q x  y  x • Đáp số:  • Cho phương trình vi phân:  y  x C ex • Cách giải: • Chia hai vế phương trình cho z • Đặt z  y 1 ta có: z   1   y y  hay y y   1 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 26/05/2017 Phương trình Bernoulli • • • • Chú ý: Nếu > y=0 nghiệm Nếu > y=0 nghiệm riêng Nếu < < y=0 nghiệm kỳ dị Ví dụ • Giải phương trình sau: y  xy   y • Đáp số: • Nghiệm tổng quát: y  x x C • Nghiệm kì dị: y=0 Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Phương trình vi phân tồn phần M  x, y  dx  N  x, y  dy  • Dạng: Ví dụ • Giải phương trình vi phân:  3x M N  y x • Điều kiện: Nguyễn Văn Tiến  xy  dx   x y  y  dy  • Ta có: • Nghiệm tổng qt: y x u  x, y    M  x, y0  dx   N  x, y  dy  C x0 y0 y x M  x, y    3x  xy  N  x, y    x y  y  M N   12 xy y x u  x, y    M  x, y  dx   N  x0 , y  dy  C x0 y0 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Ví dụ Ví dụ • Nghiệm tổng qt phương trình: x • Giải phương trình vi phân: y   x, y     3x  xy  dx     y  dy  C Nguyễn Văn Tiến a)  x  y  1 dx   x  y  3 dy  b)  xy.cos  xy   sin  xy   dx  x cos  xy  dy  x3  3x y  y  C Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 26/05/2017 Thừa số tích phân Ví dụ • Xét phương trình vi phân dạng: • Giải phương trình sau: M  x, y  dx  N  x, y  dy  • Nếu phương trình chưa có dạng phương trình vi phân tồn phần ta tìm hàm ( , ) cho phương trình:   x, y  M  x, y  dx    x, y  N  x, y  dy   y  dx    3xy  dy  • Bằng cách sử dụng thừa số tích phân dạng ( ) • Chú ý: – Thừa số tích phân khó tìm – Ta tìm dạng đặc biệt ( ) hay ( ) – Sinh viên khơng cần trình bày cách tìm thừa số TP • Là phương trình vi phân tồn phần • Hàm ( , ) gọi thừa số tích phân Bài giảng Toán cao cấp  xy Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp Ví dụ Nguyễn Văn Tiến Bài tập • Giải ptvp sau a) tan ydx  x ln xdy  b) y  x  y   1; y    1 c ) x y  y  xy  x  y d ) xy  y ln ; y 1  x x  y 1 f ) y  x y 3 e) y  xy   x Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Bài tập Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài tập Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 26/05/2017 Bài tập Bài giảng Toán cao cấp Bài tập Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Ứng dụng PTVP cấp Bài tập • Giải phương trình vi phân sau phương pháp thừa số tích phân Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến • • • • • Phân tích định tính phương pháp đồ thị Tìm hàm số biết hệ số co giãn Mơ hình điều chỉnh giá thị trường Mơ hình tăng trưởng Domar (tự tham khảo) Mơ hình tăng trưởng Solow (tự tham khảo) Bài giảng Tốn cao cấp dy  f  y dt • Đồ thị pha (đồ hình pha) • Trên mặt phẳng tọa độ với trục hoành biểu diễn y trục tung biểu diễn y’ ta lập đồ thị hàm số f(y) • Đồ thị gọi đường pha Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến Đồ thị pha Phân tích định tính phương pháp đồ thị • Xét phương trình vi phân cấp dạng: Nguyễn Văn Tiến • Tại điểm trục hồnh y’ dương nên y tăng theo thời gian, y từ trái sang phải • Tại điểm trục hồnh y’ âm nên y giảm theo thời gian, y từ phải sang trái • Tại giao điểm với trục hoành, giả sử , ta có y’=0 Ta gọi trạng thái cân Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 26/05/2017 Đồ thị pha – dạng y y y Đồ thị pha – dạng • Tại điểm trục hoành y từ trái sang phải • Tại điểm trục hồnh y từ phải sang trái • Tại giao điểm với trục hoành trạng thái cân y y • Tại điểm trục hoành y từ trái sang phải • Tại điểm trục hồnh y từ phải sang trái • Tại giao điểm với trục hồnh trạng thái cân • Trạng thái cân khơng ổn định động • Trạng thái cân ổn định động Bài giảng Toán cao cấp y Nguyễn Văn Tiến Trạng thái cân ổn định Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Trạng thái cân không ổn định y0 y0 y y y0 y0 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nhận xét Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính ổn định trạng thái cân phụ thuộc dấu đạo hàm điểm cân • Trạng thái cân ổn định động khi:   f y 0 • Xét mơ hình ptvt tuyến tính cấp 1: • Ta có: • Trạng thái cân ổn định động khi: p0 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 26/05/2017 Tìm y(x) biết hệ số co giãn • Ta có:  yx  Ví dụ • Biết hệ số co giãn hàm cầu theo giá: y' dy x x y dx y  QP  D  yx    x  • Giả sử: 5P  P Q • Tìm hàm cầu QD biết 10 = 500 • Ta có pt vi phân sau: y' dy   x  x    x   dx y y x  yx  Bài giảng Toán cao cấp • Đáp số: Q  650  P  5P Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Ví dụ Biến động giá thị trường • Biết hệ số co giãn hàm cầu:  QP D • Giả sử hàm cầu, hàm cung loại hàng hóa cho bởi: 2 P  2000  P • Tìm hàm cầu QD biết Nguyễn Văn Tiến QD     p; Qs     p • Điểm cân thị trường: = 2000 p     • Nếu giá ban đầu p    p thị trường cân Còn khơng thị trường đạt giá cân sau trình điều chỉnh Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Biến động giá thị trường • Trong q trình điều chỉnh, Qs, Qd p thay đổi theo t (biến thời gian) • Giả sử theo thời gian t, giá p(t) thời điểm t tỷ lệ với độ chênh lệch cầu cung thời điểm Nghĩa là: Biến động giá thị trường • Từ ta có: p '  t   k    p     p       k       p   k       p  p       • Do đó: p '  t   k Qd  t   Qs  t   dp  • Với k>0 số Nguyễn Văn Tiến p p   k      dt  ln p  p   k      t  ln C  p  p  C e  k0 t  p  p  Ce  k0 t Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 26/05/2017 Biến động giá thị trường Nhận xét biến động P(t) theo t • Nếu giá ban đầu p(0) cao giá cân ̅ P(t) hàm giảm theo t • Với t=0, ta có giá thời điểm ban đầu: p 0  p  C  C  p 0  p lim p  t   p t  • Vậy: • Nếu giá ban đầu p(0) thấp giá cân ̅ P(t) hàm tăng theo t p  t   p   p    p  e  k0t lim p  t   p • Dễ thấy: t   lim p  t   lim p   p    p  e t  t   k0 t   p  k Bài giảng Toán cao cấp  0 Nguyễn Văn Tiến • Như trường hợp với thời gian giá trở với giá điểm cân Do điểm cân thị trường có tính chất ổn định động Bài giảng Toán cao cấp Biến động giá thị trường Giải • Ta có: • Ví dụ: Cho: Qd   p; Nguyễn Văn Tiến Qs  2  p; k  0, 2; p    0, k0  k       0,   3  1; p  0,6 • Vậy: p  p  C.e  k0t   p    p  e k0t   e  t t t p  p  e  0, 01  e  0, 05  t  ln 0, 05  t  ln 20  • Tìm thời gian t cho: p  p    1% • Vậy sau đơn vị thời gian giá thỏa mãn u cầu Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 10 ...  x Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Bài tập Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài tập Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 26/ 05/2017 Bài. .. động Bài giảng Toán cao cấp y Nguyễn Văn Tiến Trạng thái cân ổn định Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Trạng thái cân không ổn định y0 y0 y y y0 y0 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài. .. tập Bài giảng Toán cao cấp Bài tập Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Ứng dụng PTVP cấp Bài tập • Giải phương trình vi phân sau phương pháp thừa số tích phân Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn