Bài giảng toán cao cấp 1 chương 3 hoàng văn thắng

Chương 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT) Ta biết phương pháp sơ cấp để giải hệ pttt (pp Gauss) Chương đưa thêm phương pháp khác để khảo sát hệ pttt cách tổng quát nhờ vào công cụ ma trận định thức Các vấn đề định tính định lượng, chẳng hạn: Khi hệ có nghiệm? Có nghiệm? Mô tả tập hợp nghiệm? Tìm nghiệm? Sẽ giải đáp chương quan trọng Tât nhiên thực hành ta kết hợp nhiều phương pháp kết nhanh chóng gọn gàng nhất!! Trước tiên ta xét hai phương pháp phương pháp ma trận phương pháp định thức để giải loại hệ đặc biệt là: Hệ Cramer § 1: Phương pháp ma trận định thức Hệ Cramer: Định nghĩa: Hệ Cramer hệ pttt thỏa mãn điều kiện:  Số phương trình số ẩn  Ma trận hệ số không suy biến ( ( )≠ ) Ví dụ: Hãy cho biết hệ sau có hệ Cramer? − − + + + + = = − = Giải:  Hiển nhiên: số PT = số ẩn (= )  = = − − = Vậy hệ cho hệ Cramer ≠ Phương pháp ma trận Một hệ pttt viết dạng ma trận: AX = B (1) Nếu hệ (1) hệ Cramer ( )≠ ⟶∃ = ⟺ Từ đó, ⟺ = = ⟺ = = Như vậy, Hệ Cramer có nghiệm nhất: = Phương pháp giải hệ nhờ công thức gọi phương pháp ma trận Ví dụ: Giải hệ sau phương pháp ma trận (phương pháp ma trận nghịch đảo): − − + + + + = = − = Giải:  = = − − = ≠  Hệ hệ Cramer nên có nghiệm nhất: = GABRIEL CRAMER ( 1704 – 1752) Gabriel Cramer sinh ngày 31/7/1704 Geneva, Thụy Sĩ 4/1/1752 Bangnols-sur-ceze Pháp, Gabriel có nhiều cố gắng việc học tập Năm 1722, 18 tuổi ông đạt học vị tiến sĩ cho luận án dựa lý thuyết âm Cramer tiếng người biên soạn thiên tài Cuốn sách tiếng ông “ Introduction l’analyse des lignes courbes algébraique”, có qui tắc Cramer tiếng Vậy , ,…, hệ nghiệm hệ cho Định lý chứng minh Nhận xét:  Phép chứng minh định lý đồng thời cách tìm hệ nghiệm hệ  Trong chứng minh thay chọn hệ véc tơ đơn vị gán cho ẩn tự do, ta chọn hệ véc tơ n – r chiều ĐLTT (Thường lấy dòng định thức khác 0, cấp n – r ) Các bước tìm hệ nghiệm hệ AX =  Tìm hạng ma trận hệ số: =  Chọn định thức sở D ma trận hệ số A Theo D ta lập hệ phương trình sở định ẩn chính, ẩn tự (Khi = < hệ phương trình sở có r phương trình có n – r ẩn tự do)  Biểu diễn ẩn qua ẩn tự (gần giải hệ)  Chọn n – r véc tơ n – r chiều ĐLTT làm số gán cho ẩn tự (thường chọn hệ véc tơ đơn vị n – r chiều: , ,…, ∈ ) Mỗi số cho ta nghiệm hệ nghiệm Ví dụ: Tìm hệ nghiệm hệ: + + − − + − Giải: ∎ Tìm = + − + = = = Chú ý 1: Ta chọn dòng định thức khác để gán cho ẩn tự để hệ nghiệm khác nhau, Chẳng hạn: , , = , ⟹ nghiệm: = − , , , = , ⟹ nghiệm: = − , ⟹Hệ nghiệm là: , , , Chú ý 2: Nếu ta giải hệ nhất, tức tìm nghiệm tổng quát từ nghiệm tổng quát ta dễ dàng suy hệ nghiệm bản: − = − + − − = − + − = + − = − + Ví dụ 2: Cho hệ có ma trận hệ số là: − − − − − Tìm k để không gian nghiệm không gian chiều Khi tìm hệ nghiệm hệ Ví dụ 3: Tìm hệ nghiệm hệ (coi BTVN) + + + − − − − + + + − − = = = Liên hệ với hệ phương trình tuyến tính không = ⟶ = Cùng vế trái Định nghĩa: Hệ (2) gọi hệ thuân liên kết hệ (1) Định lý:  Tổng nghiệm (1) với mọt nghiệm (2) nghiệm (1)  Hiệu hai nghiệm (1) nghiệm (2)  Từ đây, suy ra: Nghiệm TQ (1) = nghiệm riêng (1) + Nghiệm TQ (2) Nhận xét: Nếu giải hệ (1) ta suy nghiệm TQ hệ (2): Nghiệm TQ (2) = Nghiệm TQ (1) – nghiệm riêng (1) Ví dụ 1: Cho hệ + − + + − + − − − + − − + − + + = = = = Tìm nghiệm tổng quát hệ trên, từ tìm nghiệm tổng quát hệ nghiệm hệ phương trình liên kết [...]... sở của A Do = , nên D đồng thời cũng là định thức con cơ sở của Từ đây suy ra, r dòng đầu của là một cơ sở của hệ véc tơ dòng của nó Suy ra, các dòng từ dòng thứ r +1 đến dòng m bdtt qua r dòng đầu Từ đó ta có thể biến đổi các dòng r +1, …,m thành các dòng bằng 0 Điều này chứng tỏ hệ ban đầu tương đương với hệ sau (giữ lại các PT có cùng chỉ số dòng với định thức con cơ sở): Chú ý: + + ⋯ + = = + + ⋯... ta thu được nghiệm tổng quát Lưu ý: Chỉ bằng 3 số tự nhiên là: , ( ) và ta có thể biết được số nghiệm của hệ (không cần giải) ∎ ≠ ( ): hệ vô nghiệm ∎ = ∎ = ( ) < : hệ vô số nghiệm = : hệ có nghiệm duy nhất Ví dụ: Giải hệ sau − − + − Giải: ∎ Tìm Ta có: , + − + − + − = = − = Ví dụ 2: Giải hệ sau − + + + Giải: ∎ Tìm Ta có: , − + − + − + = = = − Ví dụ 3: Giải hệ sau + − + + − Giải: ∎ Tìm , + + − −... + + = = − = Giải:  = = − − = ≠ Ví dụ: Tìm m để hệ sau đây là hệ Cramer, khi đó hãy giải hệ bằng quy tắc Cramer − + + + − − + = − − − = = − = Giải:  = = + §2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT 1 Các dạng biểu diễn của hệ phương trình  Dạng khai triển (dạng tổng quát): Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số , ,…, có dạng: ⋯ + + ⋯ + ⋯ + ⋯ + + ⋯ + ⋯ ⋯ ⋯ + ⋯ +  Dạng ma trận =  =  = × : ma trận... tự do các số tùy ý ta được một hệ Cramer (với các ẩn chính) Giải hệ Cramer theo quy tắc Cramer ta biểu diễn được ẩn chính qua ẩn tự do Trường hợp này hệ có Vô số nghiệm Tóm tắt các bước giải hệ Bước 1: Lập , và tính , ( )  Nếu ≠ ( ) ⟶ hệ vô nghiệm  Nếu = = (n:số ẩn) ⟶ hệ là hệ Cramer nên nó có nghiệm duy nhất (xác định bằng quy tắc Cramer)  Nếu = = < ⟶ hệ có vô số nghiệm, chuyển sang Bước 2 = Bước... cột của Suy ra, B bdtt qua , ,…, ⟶ ⟶B bdtt qua , ,…, lại gán hệ số bằng 0) Như (mỗi véc tơ còn vậy, cột số hạng tự do B bdtt qua các cột của ma trận hệ số, do đó hệ có nghiệm Định lý được chứng minh 3 Khảo sát tổng quát hệ pttt Xét hệ pttt n ẩn số: , ,…, Trước tiên ta tìm hạng của ma trận hệ số và ma trận mở rộng: , ( )  Nếu ≠ ( ) ⟹ Hệ vô nghiệm  Nếu = = : Hệ có nghiệm Để tìm nghiệm, ta chọn một ... nhất: = GABRIEL CRAMER ( 17 04 – 17 52) Gabriel Cramer sinh ngày 31 / 7 /17 04 Geneva, Thụy Sĩ 4 /1/ 1752 Bangnols-sur-ceze Pháp, Gabriel có nhiều cố gắng việc học tập Năm 17 22, 18 tuổi ông đạt học vị... không tầm thường =  Hệ với số PT nhỏ số ẩn có nghiệm không tầm thường Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Bài 11 - Trang 200 - SGTr) Nếu hệ phương trình tuyến tính có hệ véc tơ cột ma trận hệ số độc lập... hai cột tỷ lệ hệ véc tơ cột PTTT, nên < ⟹ hệ phương trình có nghiệm không tầm thường ∎ Ví dụ 3: (Bài 13 - Trang 200 - SGTr) Ma trận hệ số hệ phương trình tuyến tính ẩn số có ma trận chuyển vị ma