Bài giảng toán cao cấp 2 bài 1 3

Bán hội tụ Chuỗi đan dấu Vài tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối... Chương 1 Bài tập CHUỖI SỐ... Các chuỗi số có số hạng tổng quát sau có hội tụ không?. Tính tổng của chúng khi chú

Bài 1.3

Chuỗi có số hạng

với dấu bất kì

NỘI DUNG

1.3.1 1.3.2 1.3.3

Hội tụ

tuyệt đối

Bán hội

tụ

Chuỗi đan dấu

Vài tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối

1.3.1 Hội tụ tuyệt đối Bán hội tụ

Định lí 1.4:

Cho chuỗi số (bất kỳ) 



1

n

n

u Nếu 



1

n

n

u hội tụ thì chuỗi 



1

n

n

u hội tụ

Ví dụ





1

2

sin

n

1.3.1 Hội tụ tuyệt đối Bán hội tụ



1

n

n

u hội tụ





1

n

n

u hội tụ tuyệt đối nếu b) Chuỗi





1

n

n

u phân kì





 1

n

n

u hội tụ mà





1

n

n

u bán hội tụ nếu

Định nghĩa

Chú thích

a) Điều kiện 



1

n n

u hội tụ là điều kiện đủ để 

1

n n

u hội tụ chứ

không là điều kiện cần

b) Nếu dùng quy tắc D’Alembert hay quy tắc Cauchy mà

xác định được chuỗi 

1

n n

u phân kì thì có thể khẳng định

được rằng chuỗi 

1

n n

u phân kì

1.3.2 CHUỖI ĐAN DẤU

Định nghĩa:

Chuỗi số có dạng:

) 1 (

) 1

1

1























n n

n

n

u u

u u

u u

hoặc có dạng ( 1 ) 1 2 3 4 ( 1 )

1



























n

n n

n

n

u u

u u

u u







 0 n , 1 ,

un

Ví dụ:

n

n

n 1 ) 1

(

1









n

n

sin )

1

(

2

1











là các chuỗi đan dấu

Định lí 1.5 (định lí Leibniz)

Nếu lim  0



n u và 0 < un+1  un

n

n

u











1

1

) 1

n

n

u









1

) 1 ( hội tụ và có tổng

Ví dụ

Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu

n

a

n

n 1 ) 1 (

)

1









thì chuỗi

s ≤ u1

1 3

) 1 (

)





n b

n

n

Ví dụ

Xét sự hội tụ tuyệt đối hay bán hội tụ của chuỗi số

n

1 )

1 (

)

a

1 n

n









n

1 n

n

1 n

2

n )

1 (

)





























1

2

) 3

( )

n

n

n c

1.3.3 Vài tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối

Tính chất 1: Nếu chuỗi số 

1

n n

u hội tụ tuyệt đối và có tổng S

thì chuỗi số suy từ nó bằng cách thay đổi thứ tự các số hạng

và bằng cách nhóm tùy ý một số số hạng lại cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng S

Định nghĩa: Nếu hai chuỗi số 

1

n n

u , 

1

n n

v hội tụ, người ta

gọi tích của chúng là 

1

n n

w , trong đó  

n

n k n k

w

1

Tính chất 2: Nếu hai chuỗi số 

1

n n

u , 

1

n n

v hội tụ tuyệt đối và

có tổng S và S’ thì tích của chúng cũng hội tụ tuyệt đối và

có tổng SS’

Chương 1

Bài tập

CHUỖI SỐ

Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi số

n

n n  













 3

2 1

1

2

n

n n  













 2

3 1

1 2





1 ln( 1  )

1



1

1 sin













1

4 4

) 1 3

(

n

n



 2  3

1



3 

3

)!

5 2

(

7

n

n



1 n

2

)!

n 2 (

)

! n (





1

2

2

sin

n

n





















1

cos

1

























1 n

1 n 2

1 n

3

n

















1 n

n n

2

n

1 n

3 3

Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi số





2

n ln( n ! )

1











1 n

1 n

2 ntg

Xét sự hội tụ tuyệt đối hay bán hội tụ của các chuỗi số sau









2 n

n

n ln n

) 1

(











1 n

n 1

n

! n

2 )

1 (

2





 



1 n

n

1 n

2

) 1

(









1

n

1 n

1 n

2 )

1 (

Bài tập:

Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số có số

hạng tổng quát sau:

) 0

( n

n cos

2

un     



















1

n

n u

) 2 n

( n

1 tg n

n

n

n ln

2







Các chuỗi số có số hạng tổng quát sau có hội tụ không? Tính tổng của

chúng khi chúng hội tụ.

1

1 cos

1 cos

) 1 (

1 sin







n n

n

n

un

) 1 (

1

2 )

1

( 1







 

n n n

3-D Pie Chart

Text1

Text2

Text3

Text4

Text5 Text6

Your text

in here

Your text

in here

ThemeGallery is a Design Digital

Content & Contents mall developed by Guild Design Inc.

ThemeGallery is a Design Digital

Content & Contents mall developed by Guild Design Inc.

ThemeGallery is a Design Digital Content & Contents

mall developed by Guild Design Inc.

Title

Title

Title Title

Title

Title

ThemeGallery is a Design Digital Content &

Contents mall developed

by Guild Design Inc.

Diagra m

Text in here

Text in here

www.themegallery.com