Bài giảng Toán cao cấp: Chương 1 GV. Ngô Quang Minh

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 1 Ma trận, định thức được biên soạn nhằm trang bị cho các bạn những kiến thức về định nghĩa ma trận, ma trận vuông, các phép toán trên ma trận, phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận; ma trận bậc thang, tính chất của định thức, ứng dụng của định thức tìm ma trận nghịch đảo, cùng một số kiến thức khác.

10/13/2012 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc Toỏn Cao Cp Đ1. Ma trn Đ2. nh thc Đ3. H phng trỡnh tuyn tớnh Thi lng: 45 tit Ni dung Chng 1: Ma trn, nh thc. Đ1. MA TRN Chng 2: H Phng trỡnh tun tớnh. 1.1. Cỏc nh ngha Chng 3: Hm s v gii hn. Chng 4: Phộp tớnh vi phõn hm mt bin. a) nh ngha ma trn Chng 5: Tớch phõn. Ma trn A cp m n trờn Ă l h thng gm m n s aij Ă (i 1, m; j 1, n ) v c sp thnh bng gm m dũng v n ct: Chng 6. Phộp tớnh vi phõn hm hai bin. Chng 7: Lý thuyt chui. Chng 8. Phng trỡnh vi phõn. ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc a 11 a12 a a 22 A 21 . . am am . . . . a1n a2n . . amn Cỏc s aij c gi l cỏc phn t ca A dũng th i v ct th j . Cp s (m, n ) c gi l kớch thc ca A. Khi m 1, ta gi: A (a11 a12 . a1n ) l ma trn dũng. ỉ Chng 5. i s tuyn tớnh a 11 Khi n 1, ta gi A . l ma trn ct. am Khi m n 1, ta gi: A (a11 ) l ma trn gm phn t. Ma trn O (0ij )mn cú tt c cỏc phn t u bng c gi l ma trn khụng. Tp hp cỏc ma trn A c ký hiu l M m,n (Ă), cho gn ta vit l A (aij )mn . ỉ Chng 5. i s tuyn tớnh Cỏc ma trn vuụng c bit Ma trn vuụng Đ Khi m n , ta gi A l ma trn vuụng cp n . Ký hiu l A (aij )n . Đ ng chộo cha cỏc phn t a11, a22 , ., ann c gi l ng chộo chớnh ca A (aij )n , ng chộo cũn li c gi l ng chộo ph. ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc Đ Ma trn vuụng cú tt c cỏc phn t nm ngoi ng chộo chớnh u bng c gi l ma trn chộo. 0 0 Đ Ma trn chộo cp n gm tt c cỏc phn t trờn ng chộo chớnh u bng c I n gi l ma trn n v cp . Ký hiu l I n . 0 10/13/2012 ỉ Chng 5. i s tuyn tớnh Đ Ma trn ma trn vuụng cp n cú tt c cỏc phn t nm phớa di (trờn) ng chộo chớnh u bng c gi l ma trn tam giỏc trờn (di). 0 B A 1 0 Đ Ma trn vuụng cp n cú tt c cỏc cp phn t i xng qua ng chộo chớnh bng (aij a ji ) c gi l ma trn i xng. Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn b) Ma trn bng Hai ma trn A (aij ) v B (bij ) c gi l bng nhau, ký hiu A B , v ch chỳng cựng kớch thc v aij bij , i, j . x y 1 VD 1. Cho A v B . z t u Ta cú: A B x 0; y 1; z 2; u 2; t . ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc 1.2. Cỏc phộp toỏn trờn ma trn a) Phộp cng v tr hai ma trn Cho hai ma trn A (aij )mn v B (bij )mn , ta cú: VD 2. A B (aij bij )mn . ; 3 0 . Nhn xột Phộp cng ma trn cú tớnh giao hoỏn v kt hp. ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc n Trong ú, cik aijbjk j VD 3. 2 A (aij )mn . 6 ; 12 . Chỳ ý Phộp nhõn vụ hng cú tớnh phõn phi i vi phộp cng ma trn. Ma trn 1.A A c gi l ma trn i ca A. ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc c) Phộp nhõn hai ma trn Cho hai ma trn A (aij )mn v B (bjk )np , ta cú: AB (cik )mp . b) Phộp nhõn vụ hng Cho ma trn A (aij )mn v Ă , ta cú: i 1, m; k 1, p . 1 VD 5. Thc hin phộp nhõn . 1 1 . Gii. VD 4. Thc hin phộp nhõn . Gii. (1 15) (12). 10/13/2012 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn 1 VD 6. Tớnh 1. Tớnh cht 1) (AB)C = A(BC); 2) A(B + C) = AB + AC; 3) (A + B)C = AC + BC; 4) (AB) = (A)B = A(B); 1 4 1 . Gii. 5) AI n A I m A , vi A M m ,n (Ă). 1 VD 7. Cho A 2 v B 1. 3 Thc hin phộp tớnh: a) AB ; b) BA . ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc Gii 11 1 a) AB 2 2 0. 3 3 11 b) BA 12 3. 3 2 Chỳ ý Phộp nhõn ma trn khụng cú tớnh giao hoỏn. c bit, A (aij )n v p Ơ * , ta cú: I np I n v A0 I n , Ap (Ap1 )A A(Ap1 ) (ly tha ma trn). ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc d) Phộp chuyn v Tớnh cht Cho ma trn A (aij )mn . Khi ú, AT (a ji )nm c gi l ma trn chuyn v ca A (ngha l chuyn tt c cỏc dũng thnh ct). VD 13. Cho A AT 4{ 1) (A + B)T = AT + BT; 2) (A)T = AT; T T 3) (A ) = A; 4) (AB)T = BTAT; T 5) A A A i xng. . 10/13/2012 Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn 1 VD 14. Cho A , B . a) Tớnh (AB )T . b) Tớnh BT AT v so sỏnh kt qu vi (AB )T . ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc 1 2 1 3. 12 12 T b) Sinh viờn t lm. 1 T Gii. a) (AB ) T ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc 1.3. Phộp bin i s cp trờn dũng ca ma trn (Gauss Jordan) Cho ma trn A (aij )mn (m 2). Cỏc phộp bin i s cp (PBSC) dũng e trờn A l: di dk A . 1) (e1 ) : Hoỏn v hai dũng cho A i i A . 2) (e2 ) : Nhõn dũng vi s , A d d 3) (e3 ) : Thay dũng bi tng ca dũng ú vi ln di di dk dũng khỏc, A A . Chỳ ý di di dk B. 1) Trong thc hnh ta thng lm A 2) Tng t, ta cng cú cỏc phộp bin i s cp trờn ct ca ma trn. ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc / B . 0 d d d2 d2 d2 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc VD 15. Dựng PBSC trờn dũng a ma trn 1 A v B / 5. 0 d1 d2 Gii. A 1 d2 d2 2d1 d3 d3 3d1 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc 1.4. Ma trn bc thang Mt dũng ca ma trn cú tt c cỏc phn t u bng c gi l dũng bng (hay dũng khụng). Phn t khỏc u tiờn tớnh t trỏi sang ca dũng ma trn c gi l phn t c s ca dũng ú. Ma trn bc thang l ma trn khỏc khụng cp m n (m, n 2) tha hai iu kin: 1) Cỏc dũng bng (nu cú) phớa di cỏc dũng khỏc 0; 2) Phn t c s ca dũng bt k nm bờn phi phn t c s ca dũng phớa trờn dũng ú. 10/13/2012 Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn VD 16. Cỏc ma trn bc thang: 0 3, 0 . . . 0 5, I n . . . . 0 0 . Cỏc ma trn khụng phi l bc thang: 0 0 4, 4, 0 4. 0 0 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc v B VD 17. A l hai ma trn nghch o ca vỡ AB BA I . Chỳ ý 1) Nu ma trn A cú dũng (hay ct) bng thỡ khụng kh nghch. 2) (AB )1 B 1A1 . 3) Nu ac bd thỡ: a b c b d c ac bd . d a . ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc b) Ta cú: 12 . B 1A1 2 11 19 Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn 1.5. Ma trn kh nghch a) nh ngha Ma trn A M n (Ă) c gi l kh nghch nu tn ti ma trn B M n (Ă) cho: AB BA I n . Ma trn B c gi l ma trn nghch o ca A. Ký hiu B A1 . Khi ú: A1A AA1 I n ; (A1 )1 A. Chỳ ý Nu B l ma trn nghch o ca A thỡ B l nht v A cng l ma trn nghch o ca B . ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc VD 18. Cho A v B 2. Thc hin phộp tớnh: a) (AB ) ; b) B 1A1 . 19 12 Gii. a) Ta cú: AB v 19.7 11.12 11 19 12 (AB )1 11 12 . 11 19 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc Đ2. NH THC 2.1. nh ngha a) Ma trn cp k Cho A aij M n (Ă). n Ma trn vuụng cp k c lp t cỏc phn t nm trờn giao ca k dũng v k ct ca A c gi l ma trn cp k ca A. Ma trn M ij cú cp n thu c t A bng cỏch b i dũng th i v ct th j c gi l ma trn ca A ng vi phn t aij . 10/13/2012 Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn VD 1. Ma trn A M 11 , M 12 M 21 , M 22 M 31 , M 32 cú cỏc ma trn ng vi cỏc phn t a l: ij , M 13 8, , M 23 , , M 33 . Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn b) nh thc (Determinant) nh thc ca ma trn vuụng A M n (Ă), ký hiu detA hay A , l s thc c nh ngha: Đ Nu A (a11 ) thỡ detA a11 . a a Đ Nu A 11 12 thỡ detA a11a22 a12a21 . a 21 a 22 Đ Nu A (aij )n (cp n ) thỡ: det A a11A11 a12A12 . a1n A1n ú, Aij (1)i j det M ij v s thc Aij c gi l phn bự i s ca phn t aij . ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc a11 a12 a13 2) Tớnh a21 a 22 a 23 . a 31 a 32 a 33 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc VD 2. Tớnh nh thc ca cỏc ma trn sau: A , B . Chỳ ý 1) det I n 1, detOn . hoc a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 det B 1.(2).1 2.1.2 3.1.(1) 2.(2)(1) 3.2.1 1.1.1 12. (Tng ca tớch cỏc phn t trờn ng chộo nột lin tr i tng ca tớch cỏc phn t trờn ng chộo nột t). ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc VD 3. Tớnh nh thc ca ma trn: 0 . A 3 Gii. Ta cú: det A 0.A11 0.A12 3.A13 (1).A14 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc 2.2. Cỏc tớnh cht c bn ca nh thc Cho ma trn vuụng A aij M n (Ă), ta cú cỏc n tớnh cht c bn sau: a) Tớnh cht 3 33 49 . det AT det A. 3(1)13 det M 13 (1)14 det M 14 1 3.4 1.(2) 14 . Gii. det A VD 4. 12 . 10/13/2012 Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn b) Tớnh cht Nu hoỏn v hai dũng (hoc hai ct) cho thỡ nh thc i du. 1 1 1 VD 5. 2 2 2 . 1 1 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc c) Tớnh cht Nu nhõn dũng (hoc ct) vi s thc thỡ nh thc tng lờn ln. 3.1 3.(1) H qu. Nu nh thc cú ớt nht dũng (hoc ct) ging thỡ bng 0. x x2 x3 3 2 0; VD 6. 1 y2 y5 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc H qu 1) Nu nh thc cú ớt nht dũng (hoc ct) bng thỡ bng 0. 2) Nu nh thc cú dũng (hoc ct) t l vi thỡ bng 0. x x y x2 VD 8. y 0; x x3 x z z3 z z3 x y z cos2 x sin x ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc Gii. d2 d2 d1 3 d3 d 2d1 4 2 x3 sin2 x x x VD 9. x x 12 dng bc thang: . 2 ; d) Tớnh cht Nu nh thc cú dũng (hoc ct) m mi phn t l tng ca s hng thỡ ta cú th tỏch thnh tng nh thc. . e) Tớnh cht nh thc s khụng i nu ta cng vo dũng (hoc ct) vi ln dũng (hoc ct) khỏc. VD 10. S dng tớnh cht a nh thc sau v ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc x y y (x 1) y y . y5 0. y2 VD 7. 1 x 1 z3 y x sin2 x cos2 x cos x y z x x x z3 z z3 y x y y3 ; 6. 9 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc 2 d3 d d2 0 / . Chỳ ý Phộp bin i d 4d d 3 2 l sai 0 vỡ dũng (trc thay i) ó nhõn vi s 4. 10/13/2012 Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn ỉ Chng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc 0 2.3. nh lý (khai trin Laplace) Cho ma trn vuụng A aij M n (Ă), ta cú cỏc n khai trin Laplace ca nh thc A: a) Khai trin theo dũng th i n det A 1Ai 2Ai . ain Ain aij Aij . j Trong ú, Aij (1)i j det(M ij ). b) Khai trin theo ct th j n det A a1 j A1 j a j A2 j . anj Anj aij Aij . i VD 12. Tớnh nh thc 0 2 2 (1).3. 2 . 3 1 (1)32 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc VD 13. p dng tớnh cht v nh lý Laplace, hóy tớnh 1 2 1 . nh thc 2 3 Gii. ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc 1 34 . bng hai cỏch khai trin theo dũng v khai trin theo ct 2. Gii. Khai trin theo dũng 1: 11 (1)14 0 (1) 2 2 1.1. 3 (1).2. . 3 3 khai tr i eồ n coọ t1 3 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc Khai trin theo ct 2: 2 2 d2 d2 2d1 d d3 d1 d d 3d1 1 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc Cỏc kt qu c bit cn nh 1) Dng tam giỏc a11 a12 a22 . . 0 . a1n a11 . a2n a21 a22 . . . . an an . ann . . a11a22 .ann . . . . ann 2) Dng tớch: det(AB ) det A. det B . 3) Dng chia A M B K K K det A. detC , vi A, B, C M n (Ă). On M C 10/13/2012 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc VD 14. Tớnh det A 19 . ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc VD 15. Tớnh det B Gii. Ta cú: det A 1.(2).3.(1) . det B 1 Gii. Ta cú: detC 3 . ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc x VD 18. Phng trỡnh x x x 0 1 12 VD 16. Tớnh detC 3 . 1 19 . Gii. Ta cú: d d1 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc 19 280. ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc 1 12 43 VD 17. Tớnh det D . 31 1 T Gii. Ta cú: 1 4 det D 3 1 21 . ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc 2.4. ng dng nh thc tỡm ma trn nghch o cú nghim x x l: A. x 1; B. x 1; C. x 1; D. . x Gii. Chuyn v nh thc, ta c: x x Phng trỡnh x x (x 1)(x 4) A. a) nh lý Ma trn vuụng A kh nghch v ch khi: det A 0. VD 19. Giỏ tr ca tham s m ma trn T m m m A m m m kh nghch l: m A. ; m m B. ; m C. m ; D. m 1. 10/13/2012 Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn Gii. Ta cú: m m m det A m (m 1)2 . m m 1 m2 m Vy A kh nghch det A B. m Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn b) Thut toỏn tỡm A1 Bc 1. Tớnh detA. Nu det A thỡ kt lun A khụng kh nghch. Ngc li, ta lm tip bc 2. Bc 2. Lp ma trn Aij , Aij (1)i j det M ij . n Suy ma trn ph hp (adjunct matrix) ca A l: T adjA Aij . n Bc 3. Ma trn nghch o ca A l: A1 .adjA. det A ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc VD 20. Tỡm ma trn nghch o (nu cú) ca: A 1 2. Gii. Ta cú: det A A khụng kh nghch. VD 21. Cho ma trn A Gii. Ta cú: det A A 1. Tỡm A1 . kh nghch. ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc mn A21 A31 4, A22 cp k ca A c gi l nh thc cp k ca A. nh lý Nu ma trn A cú tt c cỏc nh thc cp k u bng thỡ cỏc nh thc cp k cng bng 0. b) Hng ca ma trn Cp cao nht ca nh thc khỏc ca ma trn A c gi l hng ca ma trn A . Ký hiu l r (A). 2, A23 0, adjA A1 . 1 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc mn . nh thc ca ma trn 1 1 1 1, A32 1, A33 1. 1 1 Chỳ ý Nu A aij 2.5. Hng ca ma trn a) nh thc cp k Cho ma trn A aij ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc 1 1 A11 1, A12 1, A13 1, 3 khỏc thỡ r (A) min{m, n }. Nu A l ma trn khụng thỡ ta quy c r (A) . c) Thut toỏn tỡm hng ca ma trn Bc 1. a ma trn cn tỡm hng v bc thang. Bc 2. S dũng khỏc ca ma trn bc thang chớnh l hng ca ma trn ó cho. c bit Nu A l ma vuụng cp n thỡ: r (A) n det A 0. 10 10/13/2012 Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn VD 22. iu kin ca tham s m ma trn m A cú hng bng l: A. m 1; B. m 1; C. m 1; Gii. Ta cú: r (A) det A m 1 D. m . D. Trn,, nh Thc ỉChng 1. Ma Trn VD 23. Cho A 4. Tỡm r (A). d2 d2 2d1 Gii. Bin i A d3 d 3d1 d d d2 r (A) . 0 0 ỉChng 1. Ma Trn Trn,, nh Thc VD 24. Cho A Gii. Bin i: 1 A 0 0 1 . Tỡm r (A). 1 . 0 0 0 Vy r (A) . 11 [...]... 2d1 Giải Biến đổi A    3d  0 1 7 0    d3 d 3  1    0 1 7 0      1  3 4 2       d 3 d 3 d2     0 1 7 0  r (A)  2       0 0 0 0     Chương 1 Ma Trận, Định Thức Trận, 2   0  VD 24 Cho A    0   0   Giải Biến đổi: 2 1 1   0  1 0  A 0 0  2   0 0 1   1 1 1 2 1 1 0 1 3    0  Tìm r (A)   0   4   2 1 1. . .10 /13 /2 012 Trận, Chương 1 Ma Trận, Định Thức VD 22 Điều kiện của tham số m để ma trận m 1 2      A0 3 2  có hạng bằng 3 là:       0 1 1     A m  1; B m  1; C m  1; Giải Ta có: r (A)  3  det A  0  m 3 2 1 1 D m  0  0  D Trận, Chương 1 Ma Trận, Định Thức 1  3 4 2       VD 23 Cho A  2 5 1 4 Tìm r (A)      3  8 5 6       1  3 4 2... 2 1 1   0  1 0  A 0 0  2   0 0 1   1 1 1 2 1 1 0 1 3    0  Tìm r (A)   0   4   2 1 1 3            0 1 0  0       0 0     2 0        0 0 0 8   4     3 0 0 Vậy r (A)  4 11